专题01 不等式及基本不等式的应用
目录
第一部分 研·考情精析 锁定靶心 高效备考
第二部分 理·方法技巧 梳理知识 总结技巧与方法
第三部分 攻·题型速解 典例精析+变式巩固
【题型01】不等式，基本不等式性质
【题型02】直接公式法（凑项、凑系数、分离或裂项）
【题型03】常数代换
【题型04】消元
【题型05】换元
【题型06】构建目标不等式
【题型07】基本不等式的拓展应用
【题型08】利用基本不等式比较大小求最值
【题型09】基本不等式中恒成立与能成立问题
【题型10】基本不等式中的实际应用
【题型11】一元二次不等式的逆用
【题型12】一元二次不等式中的恒成立与能成立问题
【题型13】不等式根的范围
第四部分 练·决胜冲刺 精选好题+通关训练
考向聚焦
不等式性质、基本不等式、一元二次不等式恒成立与能成立问题是高考热点问题，
重点考查利用：
求最值，强调“一正、二定、三相等”，结合配
凑、换元、条件等式设计题型；易错点为忽略正数条件或等号取不到；常以选择题和填
空题的形式进行考查，题目比较灵活；也可能与解三角形、数列，直线与圆、圆锥曲
线、导数等知识结合的综合性问题出现.在不等式恒成立与能成立问题上，通常结合函数
及图象进行最值分析，或参编分析求解函数的最值.
关键能力
掌握基本不等式（如均值不等式）的核心在于：理解“一正二定三相等”原则，能
灵活构造或变形表达式以满足应用条件，善于配凑定值、识别变量关系，并在求最值问
题中准确判断等号成立条件；一元二次不等式恒成立与能成立问题上，通常结合函数图
象进行分析，利用数形结合思想，求解函数的最值.同时需结合函数思想与代数技巧，提
升转化与综合分析能力.
备考策略
基本不等式解题策略：紧扣“一正二定三相等”原则，合理变形或配凑使条件满
足；灵活运用均值不等式求最值；注意变量的正负与取等条件；结合换元、对称性或整
体代换简化问题；必要时与其他知识（如函数、方程）融合，提升解题效率与准确性；
一元二次不等式恒成立与能成立问题，重点利用函数进行最值的求解，或者利用函数图
像进行零点个数的分析即可.
◇方法技巧 01 基本不等式常用方法
基本不等式的解题方法与技巧核心原则：
“一正、二定、三相等”：
一正：参与不等式的变量必须为正数；
二定：构造出“和为定值”或“积为定值”；
三相等：等号成立条件必须能实现（需验证）.
1、直接公式法：
当题目结构明显符合
，
或其变形时，直
接使用.
2、配凑法（构造法）：
加减常数、拆分项、乘以1，进行凑项，凑系数，分离或裂项，常数代换（如
）；
3、换元法：
引入新变量简化表达式，如令
，或设
等.
4、整体代换法：
利用对称性假设变量相等（在最值问题中常有效），或整体视为一个变量.
5、多次使用基本不等式法：
对复杂式子分段使用基本不等式，但务必检查各次取等条件是否一致.
6、结合约束条件消元法：
如已知
，可将二元问题化为一元，再用基本不等式.
◇方法技巧 02 恒成立与能成立问题常用解题技巧
利用函数的最值进行分析求解目标函数的最值
恒成立问题：①
，即求
；②
即求
.
能成立问题：①
，即求
；②
即求
.
注意：
“1”的代换：若
，则
，展开后可用基本不等式.
平方处理：有时对式子平方后再用不等式更易操作（注意保持等价）.
避免盲目放缩：放缩后若等号无法成立，则结果无效.
图形或函数辅助：结合函数单调性、图像判断最值位置，验证不等式合理性.
◇题型 01 不等式、基本不等式性质
典｜例｜精｜析
典例1．已知正实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】举出反例可得A、C，借助基本不等式可得B，借助指数运算及基本不等式可得D.
【详解】对A：取
，
，此时
，但
，故A 错误；
对B：
，当且仅当
时，等号成立，故B 正确；
对C：取
，
，此时
，但
，故C 错误；
对D：
，
当且仅当
时，等号成立，故D 正确.
故选：BD.
典例2．已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】对于ABC 由基本不等式逐项验证，对于D，利用代入消元，借助二次函数求解.
【详解】对于A：
，当且仅当
时取等号，正确；
对于B：因为
，所以
当且仅当
时取等号
所以
，当且仅当
时取等号，正确；
对于C:
，当且仅当
时取等号，错误；
对于D:因为
，所以
又
，所以
成立，正确
故选：ABD+
（1）基本不等式常见公式：** 错误的表达式 **
，满足“一正、二定、三相等”；**
错误的表达式 **
，满足“二定、三相等”．
（2）常见不等式关系的证明，首先可以通过特殊值法进行求解，其次在利用作差法，作商法和基
本不等式法进行不等式变形进行分析．
变｜式｜巩｜固
变式1．设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】结合基本不等式、不等式的性质，根据充分必要条件的定义判断．
【详解】
，若
，
则
，
当且仅当
时等号同时成立，充分性满足，
若
，
不一定成立，例如
，
时，
，
但
，必要性不满足，
故选：B．
变式2．若
，则使
成立的一个充分不必要条件为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用特殊值法代入可知A、B、D 均错误，再利用基本不等式计算可得C 正确.
【详解】对于A，易知当
时满足
，但此时
不成立，可知A 错误；
对于B，当
，可知
成立，但
不成立，可知B 错误；
对于C，由
可得
，即可得
，即充分性成立；
当
时，满足
，但此时
不成立，即必要性不成立，可得C 正确；
对于D，当
时，易知
成立，此时
不成立，可得D 错误.
故选：C
变式3．已知
，
，则下列不等关系中恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】举反例排除ACD；利用基本不等式进行判断B 即可.
【详解】对于A：当
时，
，故A 错误；
对于B：因为
，
，所以
，
当且仅当
时，等号成立，故B 正确；
对于C：当
时，
，故C 错误；
对于D：当
时，
，则
，而
，
显然
，故D 错误.
故选：B.
◇题型 02 直接公式法（凑项、凑系数、分离或裂项）
典｜例｜精｜析
典例1．若
，则函数
有（ ）
A．最小值1
B．最大值1
C．最小值
D．最大值
【答案】D
【分析】由题意，
，
，利用基本不等式求解.
【详解】因为
，所以
，
.
当且仅当
，即
时等号成立，
所以函数
有最大值
.
故选：D.
典例2．（多选）下列结论不正确的是（ ）
A．当
时,
B．当
时,
的最小值是
C．当
时,
的最小值是
D．设
,
,且
,则
的最小值是
【答案】BC
【分析】关于选项A,直接利用基本不等式即可判断正误;关于选项B,先将
表示为
,再
用基本不等式,注意取等条件即可判断正误;关于选项C,当
时,
,所以不能直接用基本不等式,举
出反例即可;关于选项D,先将
用
把
代换掉,即得
,再用“1”的代换即可求
出最值,注意等号取得的条件.
【详解】解:由题知,关于选项A,当
时,
,
,
当且仅当
时取等号,
故选项A 正确;
关于选项B,当
时,
,
当且仅当
时取等号,
但此时无解,等号取不到,因此最小值不是
,
故选项B 错误;
关于选项C,
因为
,不妨取
,
此时
的值为负数,
故选项C 错误;
关于选项D,因为
,
,
,
则
,
则
当且仅当
,即
时取等号,故最小值为
,
故选项D 正确.
故选:BC.
（1）利用题目给出的现有条件，进行目标函数的变形，包括凑项，凑系数，分离或裂项，使其满
足“一正、二定、三相等”，再进行基本不等式求解.
（2）利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；
拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
变式1．（多选）下列函数中最小值为2 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】A 项，通过化简二次函数即可得出函数最小值；B，C，D 项，利用基本不等式即可得出结论.
【详解】由题意，
A 项，
，故A 正确；
B 项，在
中，
，所以
，当且仅当
时，
等号成立，故B 正确；
C 项，
，
，故
，当且仅当
即
时等号成立，
C 错误；
D 项，
，
，只有当
时才有
，当且仅当
即
时
等号成立，故D 错误.
故选：AB.
变式2．函数
的最大值是（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】化简函数
，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由题意，函数
又由
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，所以
即函数
的最大值是
.
故选：C.
变式3．（多选）若正实数
满足
，则下列结论正确的是（ ）
A．
的最大值为
B．
的最小值为
C．
的最大值为
D．
的最小值为
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式进行求解.
【详解】因为正实数
满足
，
对A 选项：
，当且仅当
时等号成立，故A 正确；
对B 选项：
，
，当
时等号成立，
故B 错误；
对C 选项：由
，则
，当且仅当
时等号成立，故C 正确；
对D 选项：
，当且仅当
时，等号成立，故D 正确.
故选：ACD.
◇题型 03 常数代换
典例1．若
，且满足
，则
的最小值是（ ）
A．6
B．18
C．
D．9
【答案】C
【分析】由题设条件
可得
，利用“乘1 法”与基本不等式求最小值.
【详解】由
，
则
.
当且仅当
时取等号，即
，再结合
，
可得
，
时取等号.
故选：C
典例2．若已知
，
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】结合条件可得
，展开等式右侧，结合基本不等
式求其最小值即可.
【详解】因为
，所以
，
所以
所以
，
又
，当且仅当
时等号成立，
，当且仅当
时等号成立，
，当且仅当
时等号成立，
所以
，当且仅当
，
，
时等号成立，
所以
的最小值为
，
故选：A.
1、若已知条件中的“１”（常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与
分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数.
模型1：已知正数
满足
，求
的最小值.
模型2：已知正数
满足
求
的最小值.
2、常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：
（1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
（2）把确定的定值(常数)变形为1；
（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
（4）利用基本不等式求解最值．
变式1．已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．4
C．3
D．2
【答案】B
【分析】利用1 的代换，结合基本不等式可求最小值.
【详解】因为
，所以
，
当且仅当
，即
时取等号，所以
的最小值为
.
故选：B.
变式2．若
，且
，则
的最小值是（ ）
A．16
B．25
C．4
D．5
【答案】D
【分析】利用常数代换，结合基本不等式可得.
【详解】因为
，且
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以
的最小值是5.
故选：D
变式3．已知正数
，
满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．9
C．
D．13
【答案】C
【分析】由
可得
，再根据基本不等式“1”的妙用求解即可.
【详解】由
，则
，即
，则
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最小值是
.
故选：C.
◇题型 04 消元
典例1．已知正实数
满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．4
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意得
，代入
得
，再由均值不等式求解即可.
【详解】由
，
，可得
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
故选：A
根据条件中的二元方程，结合目标函数的内容，利用代换，转化为只有一个变量的函数，然后转
化为函数进行最值的求解，有时候出现多元的问题时，利用整体代换，进行消元，使其变成整体符合
基本不等式的式子进行求解或者对勾函数的图像进行分析，注意保留变量的取值范围.
变式1．已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）．
A．4
B．6
C．8
D．12
【答案】A
【分析】利用基本不等式和消元思想对本题目进行求解.
【详解】解：已知
，且
，
2x+y=2x+
=2(x+1)
，当且仅当
时取等号，
故2x+y 的最小值为4.
故选:A
变式2．已知正实数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式可得最值.
【详解】根据题意，
，可得
，
则
，
设
，则
，原式为
，
当且仅当
时等号成立，
故选：C.
变式3．若正数a，b 满足
，则
的最小值是（ ）
A．15
B．18
C．24
D．36
【答案】B
【分析】由条件得
，还原利用基本不等式求
的最小值.
【详解】由
，得
，
则
，
∴
，
当且仅当
，即
时等号成立．
∴
的最小值是18.
故选：B
◇题型 05 换元
典例1．已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式可得到
，再代换，解一元二次不等
式可得答案.
【详解】因为
，
所以
，
当且仅当
时，取等号.
令
得：
，
由
得：
，
所以：
，
，
解得：
或
，
又因为
，所以
，
故
，当且仅当
，即
时，取等号.
故选：D
根据多元目标条件，进行加、减、乘、除等方式的变形，变成基本不等式“常数”代换的形式；
再换元上，结合目标函数，进行换元处理.
变式1．已知正数
，
，满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设令
，故
，
，变形得到
，由基
本不等式“1”的代换求出
的最小值，从而得到答案.
【详解】正数
，
，满足
，故
，
令
，故
，
，
，
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立，
故
.
故选：D
变式2．（多选）已知
为正实数，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的最小值为-1
C．
的最小值为12
D．
的最小值为
【答案】ABD
【分析】根据题意，化简得到
，令
，得到
，结合函数
单调性，可判定A 正确；由
，得到
，结合二次函数的性质，可
得判定B 正确；化简
，利用基本不等式，可得判定C 不正确；由
，得到
，可判定D 正确.
【详解】由
，可得
，
对于A 中，令
，则
且
，
可得
，则
，
因为函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
可得
，所以
，所以A 正确；
对于B 中，由
，可得
，
则
，
当且仅当
时，
取得最小值
，所以B 正确；
对于C 中，由
，
当且仅当
时，即
时，即
时，等号成立，所以C 不正确；
对于D 中，由
，
可得
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，
所以
的最小值为
，所以D 正确.
故选：ABD.
变式3．若实数
满足
，则
的最大值为________________.
【答案】
【解析】已知条件可化为
，故可设
，从而目标代数式可化为
，利用基本不等式可求其最大值.
【详解】由
，得
，
设
，其中
.
则
，从而
，
记
，则
，
不妨设
，则
,
当且仅当
，即
时取等号，即最大值为
.
故答案为：
.
◇题型 06 构建目标不等式
典例1．（多选）下列说法正确的有（ ）
A．
的最小值为
B．已知
，则
的最小值为
C．若正数
、
为实数，若
，则
的最大值为
D．设
、
为实数，若
，则
的最大值
【答案】BD
【分析】取
，利用基本不等式可判断A 选项；利用基本不等式可判断B 选项；由已知等式变形得出
，将代数式
与代数式
相乘，展开后利用基本不等式可判断C 选项；由基本不等
式可得出关于
的不等式，可求出
的最大值，可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，当
时，
，
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
所以，函数
无最小值，A 错；
对于B 选项，当
时，则
，
则
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
故当
时，函数
的最小值为
，B 对；
对于C 选项，因为正数
、
满足
，则
，
所以，
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
故
的最小值为
，C 错；
对于D 选项，因为
、
为实数，且
，
则
，
可得
，解得
，
当且仅当
时，即当
时，
取最大值
，D 对.
故选：BD.
根据多元目标条件给出的“和”与“积”的关系时，可以利用常见的两个基本不等式进行放缩，
有条件进行构建得到目标不等式，从而转化为一元二次不等式进行最值的求解
变式1．已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
【答案】C
【分析】利用基本不等式转化为一元二次不等式即可求解．
【详解】由题意可知
，当
时等号成立，
即
，
令
，则
解得
或
舍
即
，
当且仅当
时，等号成立．
故选：C.
变式2．若
，且
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】B
【分析】由条件可得
，然后由基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】因为
，即
，即
，
且
，则
，
则
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
故选：B
变式3．已知
，满足
，则
的取值范围是______________.
【答案】
【分析】由已知得
，可得
，展开后利用基本不等式
求得
的范围，即得答案.
【详解】由题意知
，满足
，则
，
故
，
因为
，故
，故
，
当且仅当
，结合
，即
或
时等号成立，
故
，即
，解得
，
当
时，
；当
时，
，
故
的取值范围是
，
故答案为：
◇题型 07 基本不等式的拓展应用
典例1．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：
设正数
，
，
，
，满足
，当且仅当
时，等号成立．则函数
的最小值为（ ）
A．16
B．25
C．36
D．49
【答案】D
【分析】根据权方和不等式，直接计算即可.
【详解】因为
，
，
，
，则
，当且仅当
时等号成立，
又
，即
，于是得
，
当且仅当
，即
时取“=”，
所以函数的
最小值为49．
故选：D
典例2．基本不等式是均值不等式“链”
中的一环（
时），
而利用该不等式链我们可以解决某些函数的最值问题，例如：求
的最小值我们可以这样处
理：
，即
，当且仅当
时等号成立.那么函数
（
）的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用题干中的知识，参照基本不等式的解法求解即可.
【详解】因为
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
（
）的最小值为
.
故选：B.
根据题目提供的多元基本不等式的公式及其应用，进行条件和目标函数的变形和应用，结合权方
不等式，多元基本不等式的公式，进行目标函数的最值的求解，注意满足相等的条件.
变式1．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：
设a，b，x，y>0，则
，当且仅当
时等号成立．根据权方和不等式，函数
的最小值为（ ）
A．16
B．25
C．36
D．49
【答案】B
【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.
【详解】因a，b，x，y>0，则
，当且仅当
时等号成立，
又
，即
，
于是得
，当且仅当
，即
时取“=”，
所以函数
的最小值为25.
故选：B
变式2．设
，
，
，则
有（ ）
A．最小值3
B．最大值3
C．最小值
D．最大值
【答案】B
【分析】由基本不等式求出
，从而求出
，得到AD 错误，
B 正确，举出反例得到C 错误.
【详解】
，
，故
，
故
，当且仅当
时成立，
AD 错误，B 正确；
当
时，
，C 错误.
故选：B．
◇题型 08 利用基本不等式比较大小求最值
典例1 ．记
表示数集
中最大的数，设
为正数，
，
，则
的最小值为_________________.
【答案】4
【分析】由不等式性质可得
，再利用基本不等式求出最小值.
【详解】由题意，
，
则
，
当且仅当
时，全部取得等号，所以
，故
的最小值为4.
故答案为：4.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据新定义结合不等式性质求得
.
根据给定的条件和目标，首先利用作差法、作商法等方法，进行最值的判断，然后利用基本不等
式等方法进行目标函数中的最值的求解，注意再求解最值时是否符合对应的条件.
变式1．记
表示
中最大的数．已知
均为正实数，则
的最小值为
（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【分析】设
，得
，两次应用基本不等式求最小值，注意等号
成立的条件即可．
【详解】设
，则
，
，
，
∴
，当且仅当
时取等号，
又
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
，
所以
的最小值是2，
故选：C．
变式2 ．记
表示
这3 个数中最大的数．已知
都是正实数，
，则
的最小值为_______________．
【答案】
【分析】由题意可确定
与
的不等关系，结合基本不等式即可得最值.
【详解】因为
，所以
，
，
又
都是正实数，所以
，所以
，即
，
当且仅当
时取等号，所以
的最小值为
．
故答案为：
．
变式3 ．以
表示数集
中最大（小）的数.设
，已知
，则
_________________.
【答案】
【分析】由
，得
，设
，则
再结合基本不等
式求解即得.
【详解】由
可得
，
设
，则
由
，当且仅当
时，等号成立.
故
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：设
，由已知得出
，进而得出
是解决本题的关键.
◇题型 09 基本不等式中恒成立与能成立问题
典例1．已知实数
，满足
，若不等式
对任意的正实数
恒成立，
那么实数m 的最大值为（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】D
【分析】由
根据函数的单调性求
，再由基本不等式求
的最小值，由此可求实
数m 的最大值.
【详解】设
，则
，
当
时，
，
所以函数
在
上为增函数，
∵
∴
，即
，又
，
∴
，
∴
当且仅当
时等号成立，
∵不等式
对任意的正实数
恒成立，
∴
，
故选：D.
利用函数的最值进行分析求解目标函数的最值
恒成立问题：** 错误的表达式 **
，即求
；** 错误的表达式 **
即求
.
能成立问题：** 错误的表达式 **
，即求
；** 错误的表达式 **
即求
.
变式1．设
，
，不等式
恒成立，则实数m 的最小值是（ ）
A．
B．2
C．1
D．
【答案】D
【分析】将不等式
恒成立转化为
, 利用基本不等式求得
的最小值，即可得答案.
【详解】∵
，
，不等式
恒成立，
即
恒成立，∴只需
,
∵
，当且仅当
时取等号.
所以
，
∴
，∴m 的最小值为
，
故选：D
变式2．设实数
满足
，
，不等式
恒成立，则实数
的
最大值为（ ）
A．12
B．24
C．
D．
【答案】B
【分析】原不等式可转化为
，利用均值不等式求
最小值即可.
【详解】由
，
变形可得
，
，
令
，
，
则
转化为
，即
，
其中
，
当且仅当
，即
，
时取等号，
所以不等式
恒成立，只需
，
故选：B
变式3．当
时，
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将左侧分式的分子因式分解成
的形式，再利用均值不等式的结论进行计算即可
以得到结果.
【详解】当
，
时，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最大值为
．
所以
，即
．
故选：A.
◇题型 10 基本不等式中的实际应用
典例1．（多选）根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（ ）
A．自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的
面积．
B．在b 克盐水中含有a 克盐（
），再加入n 克盐，全部溶解，则盐水变咸了．
C．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率等
于
．
D．购买同一种物品，可以用两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的
数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．用第一种方式购买一定
更实惠.
【答案】AB
【分析】根据题意利用不等式的性质以及作差法、基本不等式逐项分析判断.
【详解】对于选项A：设周长为
，则圆的面积为
，
正方形的面积为
，因为
，
，可得
，即
，故A 正确；
对于选项B：原盐水的浓度为
，加入
克盐，盐水的浓度为
，则
，
因为
，
，可得
，
，
所以
，即
，故B 正确；
对于选项C：设这两年的平均增长率为
，
则
，可得
，
因为
，即
，
当且仅当
，即
时，等号成立，即这两年的平均增长率不大于
，故C 错误；
对于选项D：按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为
元/kg，购nkg，
第二次购物时的价格为
元/kg，购nkg，两次购物的平均价格为
；
若按第二种策略购物，第一次花
元钱，能购m
p1
kg 物品，
第二次仍花
元钱，能购m
p2
kg物品，两次购物的平均价格为
．
比较两次购的平均价格：
，
当且仅当
时，等号成立，所以第一种策略的平均价格不低于第二种策略的平均价格，
因而用第二种策略比较经济，故D 错误.
故选：AB．
利用实际应用进行分析，结合问题，进行对应的目标函数的表示，利用基本不等式进行对应的最
值求解，核心关键是如何表示对应的目标函数；注意对应的自变量的范围.
变式1．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设
三角形的三条边长分别为
，
，
，则三角形的面积
可由公式
求得，其中
为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足
，
，
则此三角形面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，将题中的数据代入公式，再结合基本不等式，即可求解.
【详解】由题意可知，三角形的周长为12，则
，
，
因为
，所以
，当且仅当
时等号成立，
所以
的最大值为16，
所以三角形面积的最大值
.
故选：B
变式2．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝
码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘中，再取出
一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．顾客实际购买的黄金（ ）
A．大于10g；
B．小于10g；
C．等于10g；
D．不能判断大小．
【答案】A
【分析】设出天平的左右臂及两次称得的黄金质量，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论.
【详解】设天平左臂长为
，右臂长为
，
，设第一次称得黄金为
，第二次称得黄金为
，
则
，
，即
，
，而
，
因此
，
当且仅当
，即
时等号成立，但
，即等号不成立，则
，
所以顾客购得的黄金大于
.
故选：A.
变式3．出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后面积（或体积）的总和保持不变，我
国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶
等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若
，
，
，图中两个阴影三角形的周长分别为，
，则
的最小值为_____________.
【答案】
【分析】根据图形中的相似关系先表示出
，然后利用基本不等式求解出最小值.
【详解】如图1，易知
，且
，
所以
，所以
；
如图2，易知
，且
，
所以
，所以
，
所以
,
又因为
，所以
，当且仅当
时取等号，
所以
，
所以最小值为
，
故答案为：
.
◇题型 11 一元二次不等式的逆用
典例1．（多选）已知关于x 的不等式
的解集为
，则下列选项中正确的是
（ ）
A．
B．不等式
的解集是
C．
D．不等式
的解集为
【答案】BD
【分析】对于A，根据不等式的解集得到
判断A；对于B，结合题意得到
和3 是关于x 的方程
的两根，再结合韦达定理得到
，将目标不等式化为
，求出解集判
断B，对于C，结合
得到
判断C，对于D，将
合理变形后求
出解集判断D 即可.
【详解】对于A，因为关于
的不等式
的解集为
，
所以
和3 是关于
的方程
的两根，且
，故A 错误；
对于B，由已知得
和3 是关于
的方程
的两根，
由韦达定理得
，解得
，
对于不等式
，即化为
，解得
，故B 正确；
对于C，可得
，故C 错误；
对于D，对于不等式
，可化为
，
而
，则化为
，解得
，故D 正确．
故选：BD
利用一元二次不等式的求解方法，反过来进行求解，转化为一元二次方程，以及对应的根的关系
（韦达定理），求解出对应的
及关系，最后完成一元二次不等式的逆用.
变式1．若不等式
的解集为
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得{
b=-6a
c =5a 且
，由此化简要求的不等式为
，
从而求出它的解集.
【详解】由题，可得和是方程
的两根，且
，
，解得{
b=-6a
c =5a ，
则不等式
可化为
，即
，
解得
，故不等式
的解集为
.
故选：A.
变式2．若关于
的不等式
的解集是
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由已知根据解集的形式判断二次函数的开口方向和方程根的大小关系，即可求解.
【详解】因为关于
的不等式
的解集是
，
所以
且
，
解得
，所以
的取值范围是
.
故选：
.
变式3．（多选）已知关于
的不等式
的解集是
，则（ ）
A．
B．
C．
D．不等式
的解集是
或
【答案】ABD
【分析】由一元二次不等式的解和韦达定理逐项判断即可.
【详解】由题意可知，1，3 是方程
的两个根，且
，
，
A：由以上可知
，故A 正确；
B：当
时，代入方程可得
，故B 正确；
C：因为
，不等式
的解集是
，故将
代入不等式左边为
，
故C 错误；
D：原不等式可变为
，且
，约分可得
，解集为
或
，
故D 正确；
故选：ABD
◇题型 12 一元二次不等式中的恒成立与能成立问题
典例1．已知关于
的不等式
对任意
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】A
【分析】根据题意，分
和
两种情况讨论，即可求出
的取值范围．
【详解】当
时，不等式
化为
恒成立，
当
时，不等式
不能恒成立，
当
时，要使不等式
恒成立，需
，
解得
，
综上所述，不等式
对任意
恒成立，
的取值范围是
，
故选：A.
典例2．已知命题
：
，
；命题
：
，
．若
为假命题，
为
真命题，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】结合二次函数的单调性和一元二次不等式在某区间上恒成立问题求解
即可；
【详解】命题
：
，
为假命题，
在
上无解，
即
与
，
函数图象没有交点，
由图可知：
或
，
命题
：
，
为真命题，
则
，解得
，
综上所述：实数
的取值范围为
.
故选：C.
1、在实数范围内的恒成立与能成立问题时，转化为与
进行对应的比较，首先确定是否为一元二
次不等式，再利用数形结合判断根的个数，
进行求解；
2、在给定区间进行求解时，利用分类讨论求函数最值，或者参变分离进行对应的最值求解，解不
等式求参数的取值范围；注意自变量的取值范围.
变式1．若存在实数
，使得
成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分别在
、
和
的情况下，结合二次函数的性质讨论得到结果.
【详解】①当
时，不等式化为
，解得：
，符合题意；
②当
时，
为开口方向向上的二次函数，
只需
，即
；
③当
时，
为开口方向向下的二次函数，
则必存在实数
，使得
成立；
综上所述：实数
的取值范围为
.
故选：C.
变式2．若
，使得
成立是真命题，则实数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．4
D．
【答案】B
【分析】依据题意先将问题等价转化成
在
上恒成立，接着将恒成立问题转化成最值问
题
，再结合基本不等式即可求解.
【详解】
，使得
成立是真命题，
所以
,
恒成立.
所以
在
上恒成立，
所以
，
因为
，当且仅当
即
时等号成立，
所以
，所以
，即实数
的最大值为
.
故选：B.
变式3．（多选）已知
,若对任意的
,不等式
恒成立.则（ ）
A．
B．
C．
的最小值为12
D．
的最小值为
【答案】ACD
【分析】先对
进行因式分解,分情况讨论小于等于零的情况,可得
, 即
,可得选项A,B 正误;将
中的
用
代替,再用基本不等式即可得出正误;先将
代入
中,再进行换元,求出新元的范围,根据二次函数的单调性即可求出最值,判断D 的正误.
【详解】因为
,
恒成立,即
恒成立,
因为
,所以当
时,
,则需
,
当
时,
,则需
,
故当
时,
,即
,
所以
且
,故选项A 正确,选项B 错误;
所以
,
当且仅当
时,即
时取等,故选项C 正确;
因为
,
令
,
当且仅当
，即
时等号成立，故
，
所以
,故
,
所以在
上,
单调递减, 即
, 所以
，故选项D 正确.
故选:ACD
【点睛】思路点睛:该题考查基本不等式的应用,属于难题,关于不等式有:
(1)
,
;
(2)柯西不等式:
;
(3)变换后再用基本不等式:
.
◇题型 13 不等式根的问题
典例1．已知关于
的不等式
的整数解恰有4 个，则
的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先对不等式
变形为
，再根据不等式
）的整数解恰有4 个，对
进行限制即可得出答案.
【
详
解
】
由
，
得
，
因
为
不
等
式
）的整数解恰有4 个，则
或
，所以
或
．
故选：
．
1、一元二次不等式根的问题上，若一元二次不等式可以进行十字相乘，进行分类讨论求解根，即
可直接进行对应的根直接按的讨论.
2、若一元二次不等式不可以进行十字相乘，即可利用开口方向，对称轴，进行简单的数形结合分
析，再利用图像进行二次函数零点的判断，从而找到函数值与0 的大小比较，进行参数范围的求解.
变式1．若关于
的不等式
有且只有一个整数解，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】当
时，解得：
，不满足条件；
故
，关于
的不等式
可得
，
所以
，即
，
方程
的两根为
，
当
时，不等式可化为
，
，
解集为：
，不满足条件；
当
时，不等式可化为
，
当
时，则
，即
，不等式的解集为：
，
要使不等式有且只有一个整数解，则
，又因为
，不满足条件；
当
时，则
，即
，不等式的解集为空集，
当
时，则
，即
，不等式的解集为
，
要使不等式有且只有一个整数解，则
，解得：
，
故实数
的取值范围是：
.
故选：B.
变式2．若函数
在区间
内恰有一个零点，则实数a 的取值集合为（ ）
A．
B．
或
.
C．
D．
或
.
【答案】D
【分析】根据题意，分
和
，结合二次函数的性质，以及零点存在性定理，列出不等式，即可求
解.
由函数
，
【详解】由函数
，
若
，可得
，令
，即
，解得
，符合题意；
若
，令
，即
，可得
，
当
时，即
，解得
，此时
，解得
，符合题意；
当
时，即
且
，则满足
，
解得
且
，
若
，可得
，令
，即
，
解得
或
，其中
，符合题意；
若
，可得
，令
，即
，
解得
或
，其中
，符合题意；
综上可得，实数
的取值范围为
或
.
故选：D.
变式3．已知方程
有且仅有两个不相等的正实数根，则实数
的取值范围是
__________________.
【答案】
【分析】根据
的正负以及
的正负分类讨论，结合图象确定
的取值范围.
【详解】（1）当
时，方程
化为：
，此时无解，舍去；
（2）当
时，考虑方程正实数根情况，只需研究当
时方程
解的情况，
即此时方程化为
，
若此时方程有两个不相等的正实数根，则需
（3）当
时，因为
，
所以方程
化为
，
若此时方程有两个不相等的正实数根，则需
（4）当
时，函数
与
轴有两个零点
函数
与
轴有两个零点
因为
，所以
即
作出函数
与函数
图象，
由图可知两图象有两个不同交点，且交点横坐标大于零，从而方程
有两个不相等
的正实数根，
综上，满足条件
的取值范围为
或
，即
故答案为：
一、单项选择题
1．（2025·广东梅州·模拟预测）已知
，且
，则
的最小值是（ ）
A．4
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【分析】将已知等式变形为
，然后使用常数代换法，结合基本不等式可得.
【详解】由
得
，即
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为8.
故选：D
2．（2025·湖北黄冈·一模）已知
为正实数，且
，则
的最小值为（ ）
A．12
B．16
C．18
D．20
【答案】B
【分析】由题可得
，然后由基本不等式可得答案.
【详解】
.
当且仅当
，即
时取等号.
故选：B
3．（2025·山西·三模）已知正实数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．4
D．7
【答案】D
【分析】对于
，利用以值代参，求解基本不等式.
【详解】
，
当且仅当
,即
取等号．
故选：D．
4．（2025·安徽·一模）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先化简得出
，再应用基本不等式计算
的最小值即可求解.
【详解】已知
，所以
，
则
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以
的最小值为
.
故选：D.
5．（2025·河南·期末）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】C
【分析】根据对数的运算性质可得
，进而根据基本不等式求解最值.
【详解】由
，可得
，故
，
故
，
当且仅当
，
时取等号，故
的最小值为
.
故选:C.
6．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数
，
，满足
，则
的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设令
，故
，
，变形得到
，由基
本不等式“1”的代换求出
的最小值，从而得到答案.
【详解】正数
，
，满足
，故
，
令
，故
，
，
，
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立，
故
.
故选：D
7．（2025·陕西咸阳·模拟预测）记
表示实数a，b 中的较大的数，已知x，y，z 均为正数，则
的最小值为（ ）
A．
B．3
C．
D．6
【答案】C
【分析】本题分两种情况讨论，当
和
时的两种情况，然后根据基本不等式的性质求出最小值.
【详解】设
，
当
时，
，
因为
均为正数，所以
，
当且仅当
，
，
时，等式成立；
当
时，
，
当且仅当
，
，
时，等式成立.
综上可知，t 的最小值为
.
故选：C.
二、多项选择题
1．（2025·重庆·期末）设正数
满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的最小值为
B．
的最小值为4
C．
的最大值为
D．
的最小值为
【答案】BCD
【分析】直接利用均值不等式判断A 选项，通过“1”的代换判断B 选项，利用平方判断CD 选项.
【详解】A 选项，
，
当且仅当
即
时等号成立，故
的最大值为
，A 错误；
B 选项，
，当且仅当
时等号成立，故B 正确；
C 选项，由
，得
，
所以
，当且仅当
时等号成立，故C 正确；
D 选项，由
，得
，
当且仅当
时等号成立，故D 正确；
故选：BCD.
2．（2025·河北保定·模拟预测）已知正数
满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】对于A，分离得到
可判断；对于B，分离得到
可判断；对于C，由
可得判断，对于D，由
得
，再结合基本不等
式得到
即可判断；
【详解】对于A，分离变量可得
，解得
，故A 错误；
对于B，分离变量可得
，解得
，故B 正确；
对于C，由基本不等式可得
，
所以
，则
，当且仅当
即
时取等号，
故C 正确；
对于D，由
得
，
由基本不等式可得
，得
，
当且仅当
即
，
时取等号，故D 正确.
故选：BCD.
三、填空题
1．（2025·广西来宾·模拟预测）在公差不为0 的等差数列
中，若
是
与
的等差中项，则
的
最小值为_______________．
【答案】
【分析】根据等差中项性质可得
，再利用基本不等式中“1”的应用计算可得结果.
【详解】因为在公差不为0 的等差数列
中，
是
与
的等差中项，
所以
，所以
，
因此
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最小值为
．
故答案为：
2．（2024 高三下·全国·专题练习）已知
，若
对一切实数x 恒成立，
则实数a 的取值范围为________________．
【答案】
【分析】思路一：移向转换为
对一切实数x 恒成立，对
分类讨论即可求解；思路
二：移向构造函数，对
分类讨论，转换为函数最小值大于0 求参数即可；思路三：分离参数，构造函数，
利用导数求最值即可求解.
【详解】解法一（运用判别式）：由已知可得
，
即
对一切实数x 恒成立．
当
时，
不可能恒成立，
从而由二次函数的性质可得，只能
，解得
．
因此实数a 的取值范围为
．
解法二（利用二次函数图像与性质）：原不等式整理得
，
令
，则原问题转化为
对
恒成立．
当
时，抛物线开口向下，显然不合题意；
当
时，
，其图像是一条直线，也不合题意；
当
时，抛物线开口向上，只要
，即
．
解得
或
，∴
，因此实数a 的取值范围为
．
解法三（参变分离，构造新函数，运用导数求解函数的单调性及最值）：
∵
恒成立．
∴问题转化为
对
恒成立，从而
．
令
，则
，
令
，则
或
．
从而
在
，
上单调递增，在
上单调递减．
又
，且当
时，
，故
．
于是
，因此实数a 的取值范围为
．
故答案为：
.
3．（2025·山西朔州·模拟预测）已知正数
满足
，则
的最小值为
___________________．
【答案】
【分析】原式化简并利用基本不等式得
，再进一步利用乘“1”的方法求最值.
【详解】根据题意，由于
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
