培优专题05 函数与导数 6 大重难题型
题型01 导数与切线、函数单调性问题
题型 01 导数与切线、函数单调性问题
命题方向一 导数的切线方程以及切线条数问题
命题方向二 利用导数研究函数的单调性（不含参数）
命题方向三 利用导数研究函数的单调性（含参数）
命题方向四 利用函数的单调性确定参数值或取值范围
题型 02 导数与函数的极值、最值问题
命题方向一 利用导数研究函数最值
命题方向二 利用导数研究函数极值点、极值问题
题型 03 导数与函数的零点、隐零点、极值点偏移相关问题
命题方向一 确定零点个数的判断问题
命题方向二 由函数零点或极值点求参数问题
命题方向三 极值点偏移问题
命题方向四 隐零点问题
题型 04 导数与不等式恒（能）成立问题
命题方向一 利用导数证明不等式
命题方向二 利用导数研究不等式恒成立问题
命题方向三 利用导数研究不等式能成立问题
命题方向四 利用导数研究端点效应问题
题型 05 函数与导数的创新交汇问题
命题方向一 导数与三角函数交汇的组合型函数问题
命题方向二 导数与数列交汇的函数及不等式问题
题型06 导数的新定义与创新问题
抓关键
· 破难点
一、曲线切线方程的5 个高频结论
1.切点已知求切线
◎结论① 导数法:求切点处的导数，即切线斜率→利用点斜式得切线方程.
2.切点未知求切线
◎结论② 三步法:设切点坐标→利用导数求斜率→利用点斜式写切线方程→根据切线满足的性质列方程
→求解切点坐标.
◎结论③ 点斜式方程法:设斜率→根据已知的定点用点斜式写出切线方程→设切点坐标→代人切点坐标
列方程→求解切点坐标.
3.求公切线问题
◎结论④ 对号入座法:根据两曲线分别求出切线方程→根据两切线方程斜率、截距对应相等列方程组→
解方程组得解.
4.公切线数量问题
◎结论⑤ 单切点法:设出两个切点中的一个切点→根据这个切点利用三步法求切线方程→依据另一个切
点坐标建立方程→方程解的个数即公切线条数.
二、利用导数求解函数单调性问题的技法
第①步 求导化简定义域：化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个
连续的区间.
第②步 变号保留定号去：变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分；定号部分：已知恒正或
恒负，无需单独讨论的部分.
第③步 恒正恒负先讨论：变号部分因为参数的取值恒正恒负；然后再求有效根.
第④步 根的分布来定参：此处需要考虑根是否在定义域内和多根之间的大小关系.
第⑤步 判断定义域是否符合取值范围
刷经典
· 通方法
🎯命题方向一 导数的切线方程以及切线条数问题
1.（2026·广东深圳·模拟）已知函数
，其中
.
（1）若曲线
在
处的切线过原点，求
的值.
（2）当
时，
（i）判断过点
的切线条数，直接写出结果；
（ii）判断过点
的切线条数并说明理由.
2. （2026·山东烟台诊断性·测试）已知函数
，
为
的导
函数，且
．
（1）求
在点
处的切线方程；
（2）证明：当
时，
；当
时，
．
3. （2026·江苏苏北七市·二调）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）若曲线
经过点
，且在
处的切线为．证明：除切点
外，曲线
在
直线的下方．
1
1 ln 1
2
f x
x
x
ax a
R
f
x
f x
0
0
f
f x
1,
1
f
1
0
x
0
f x
0
x
0
f x
4. （2026·海南部分学校·联合调研）已知函数
2
e
,
3ln
3
x
f x
ax
x g x
x
.
（1）若
f
x
是
f x 的导函数，且0 为
f
x
的极值点，求a ；
（2）当
0
a
时，过原点的直线l 与
f x 的图象相切，证明：当
0
x
时，l 在
g x 图象的上方.
🎯命题方向二 利用导数研究函数的单调性（不含参数）
5. （2026·青海西宁·一模）已知函数
．
（1）求函数
的单调区间；
（2）点是函数
图象上任意一点，求点到直线
距离的最小值．
6.（2026·四川内江·模拟）已知函数
，
为
的导函数，
（1）当
时，讨论
的单调性；
（2）若
有两个零点，
（i）求的取值范围；
（ii）记
较小的一个零点为，证明：
.
🎯命题方向三 利用导数研究函数的单调性（含参数）
7. （2026·江苏南京市六合区名校联盟·一调）已知函数
．
（1）若
，求
在
处的切线方程；
（2）讨论
的单调性．
8 .（2026·湖北武汉3 月调研）已知函数
.
（1）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
（2）讨论
的单调性；
（3）若
有极小值，且
，求a 的取值范围.
9. （2026·黑龙江实验中学高三联合·模拟）已知函数
2
(
1)
ln
f x
a x
x
x
，
R
a
．
（1）讨论
f x 的单调性；
（2）当
1
0
2
a
时，求证：
1
2
1
2
f x
a
a
．
2
2 ln
2
,
2
x
f x
a
x
a
x a
R
0
a
( )
f x
1
x
f x
2
ln
1
2
2
x
a
f x
a
x
a
x
1
a
y
f x
1,
1
f
f x
f x
0
f x
🎯命题方向四 利用函数的单调性确定参数值或取值范围
10. （2026·甘肃陇南康县第一中学等三校·一模）已知函数
3
2
3
,
0
e ,
0
x
x
ax
a x
f x
x
a
x
（1）当
1
a
时，求曲线
y
f x
在点
2,
2
f
处的切线在y 轴上的截距；
（2）若函数
f
x 在
,
上单调递增，求a 的值；
（3）若函数
f
x 在x
s
处取得极小值，求
s
f s 的取值范围.
11. （2026·河北唐山·一模）函数
，
.
（1）若
在
上单调递减，求a 的取值范围；
（2）若曲线
与
在
处有相同的切线，
（i）求a 的值；
（ⅱ）若
，证明：
.
1
( )
ln
f x
a
x
x
x
( )
ln
1
g x
x
x
x
( )
f x
(0,
)
( )
y
f x
( )
y
g x
1
x
1
2
( )
(
)
f x
g x
1
2
1
x x
题型02 导数与函数的极值、最值问题
抓关键
· 破难点
一、利用导数求解函数最值的解题技法
函数
最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数
最小值为极小值与靠近极
大值的端点之间的最小者．
一般地，设
是定义在
上的函数，
在
内有导数，求函数
在
上的最大值与最小值可分为两步进行：
第①步 求
在
内的极值（极大值或极小值）；
第②步 将
的各极值与
和
比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
二、求解可导函数
极值相关问题的解题技法
第①步 先确定函数
的定义域；第②步 求导数
；第③步 求方程
的根；
第④步 检验
在方程
的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，
那么函数
在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数
在这个根处取得极小值.
第⑤步 通过函数的极值点个数问题求参数的取值范围.
刷经典
· 通方法
🎯命题方向一 利用导数研究函数最值
1.（2026·山东济宁·阶段检测）已知函数
在
上单调递增.
（1）求a 的值；
（2）解不等式
（
为函数的
导函数）.
2.（2026·高三上辽宁·开学考试）已知函数
在
上单调递增.
（1）求的值；
（2）设
，证明：
存在最小值且最小值小于1.
🎯命题方向二 利用导数研究函数极值点、极值问题
3．（2024·新课标Ⅱ卷）已知函数
．
（1）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
（2）若
有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．
4．（2025·全国高考·二卷）已知函数
，其中
．
（1）证明：
在区间
存在唯一的极值点和唯一的零点；
（2）设
分别为
在区间
的极值点和零点.
（i）设函数
.证明：
在区间
单调递减；
（ii）比较
与的大小，并证明你的结论．
5. （2026·江苏扬州适应性·调研）已知函数
（1）若
时，求函数
的切线斜率的最小值；
（2）若
，求证：函数
在其定义域内存在极小值；
（3）如果存在，使得
解集为
，试求出的取值范围．
6.（2026·江苏南京、盐城·一模） 已知函数
，直线
与曲线
相切．
2
ln
f x
x
bx x
1
b
y
f x
l
0
b
f x
u
1
f x
0
x
x
u
b
（1）求实数的值；
（2）若
是函数
的极大值点，求实数的取值范围．
7．（2026·湖南雅礼3 月·检测）已知函数
．
（1）当
时，求函数
的极值；
（2）若在其定义域内有两个不同的极值点，求实数的取值范围．
题型03 导数与函数的零点、隐零点、极值点偏移相关问题
抓关键
· 破难点
一、函数
在区间
上零点个数的速判策略
◎一判符号 查看函数
是否在区间
的某个子区间上恒为正或恒为负，若存在，将其排除.
◎二研性质 研究
在剩余区间上的单调性(通过导函数值的正负判断，有时也会利用极限思想判断).
◎三验证 在每一个单调区间上验证零点是否存在.
二、“找一设一代”三步法速破函数隐零点问题
◎一找 （找零点） 据题意，把问题转化为关于函数零点的问题，由函数的单调性、函数零点存在定理等
确定零点所在区间，解题难点是取点，常见取点技巧如下。
（1）不含参函数：常取，
，
等特殊值，若函数解析式中含有“指、对结构”,还可取
或
这样的数.
（2）含参函数：可先根据具体函数解析式的结构猜对应方程的根，若猜不出来，则找易于计算函数值且
能判断函数值符号的自变量代入，若还是找不到，则考虑利用极限思想求解
◎二设 （设零点） 将零点设为，由导数值等于得出零点所满足的关系式，无须求出具体的零点数值.
◎三代 （巧代换） 根据零点满足的关系式，整体代入待求式化简即可.
三、极值点偏移问题的解题策略
若已知函数f ( x )满足f ( x1)=f ( x2)，x0 为函数f ( x )的极值点，求证：x1+x2<2x0 .
（1）讨论函数f ( x )的单调性并求出f ( x )的极值点x0 ；
假设此处f ( x )在(−∞,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增.
（2）构造F(x)=f (x0+x)−f (x0−x)；
注：此处根据题意需要还可以构造成F(x)=f (x)−f (2x0−x)的形式.
（3）通过求导F '( x)讨论F( x)的单调性，判断出F( x)在某段区间上的正负，并得出f (x0+x)与
f (x0−x)的大小关系；
假设此处F( x)在(0,+∞)上单调递增，那么我们便可得出F(x)>F(x0)=f (x0)−f (x0)=0 ，从而得到：
x>x0 时，f (x0+x)>f (x0−x).
（4）不妨设x1<x0<x2 ，通过f ( x )的单调性，f ( x1)=f ( x2)，f (x0+x)与f (x0−x)的大小关系得
出结论；
接上述情况，由于x>x0时，f (x0+x)>f (x0−x)且x1<x0<x2 ，f ( x1)=f ( x2)，
故f (x1)=f (x2)=f [ x0+(x2−x0)]>f [ x0−(x2−x0)]=f (2x0−x2)，
又因为x1<x0 ，2x0−x2<x0 且f ( x )在(−∞,x0)上单调递减，
从而得到x1<2x0−x2，从而x1+x2<2x0 得证.
（5）若要证明
f '( x1+x2
2
)<0
，还需进一步讨论
x1+x2
2
与x0 的大小，得出
x1+x2
2
所在的单调区间，从
而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为x1+x2<2x0 ，故
x1+x2
2
<x0 ，
由于f ( x )在(−∞,x0)上单调递减，故
f '( x1+x2
2
)<0
.
刷经典
· 通方法
🎯命题方向一 确定零点个数的判断问题
1.（2026·河北石家庄3 月·检测）已知函数
，记
的导函数为
.
（1）当
时，求
的零点个数；
（2）若
是定义域上的增函数，求的最小值；
（3）若
使
，求的取值范围.
🎯命题方向二 由函数零点或极值点求参数问题
2. （2026·山东临沂·一模）已知函数
ln
1
f
x
x
ax
．
（1）求
f
x 的单调区间；
（2）已知
f
x 在
0,e 上有且仅有两个零点，求a 的取值范围.
3. （2026·山东青岛·一模）设函数
3
2
.
f
x
x
ax
bx
c
（1）求曲线
y
f x
在点
0,
0
f
处的切线方程；
（2）设
4
a
b
，若函数
f
x 有三个不同零点，求c 的取值范围；
（3）求证：
2
3
0
a
b
＞是
f
x 有三个不同零点的必要而不充分条件.
4.（2026·广东东莞3 月质量·检测）已知函数
ln
2
2
f x
a
x
x
a a
R .
（1）当
1
a
时，求函数
f x 的图象在点
1,
1
f
处的切线方程；
（2）若
f x 有两个零点，求实数a 的取值范围；
（3）设
2e
2
x
g x
ax
a
，若函数
y
f x
与
y
g x
共有4 个不同的零点，是否存在实数a ，使
得这4 个零点在调整顺序后成等差数列，若存在，求出
a
的值；若不存在，请说明理由.
5. （2026·广东深圳市第一次·调研）已知函数
( )
ln
1
4
f x
x
a x
.
（1）当
3
a
时，求
( )
f x 的单调区间；
（2）若
( )
f x
有两个零点.
（i）求a 的取值范围；
（ii）证明：
2
2
( )
1 1
f x
a
.
🎯命题方向二 极值点偏移问题
6 .（2026·广东普宁市第二中学3 月·检测）已知函数
ln
x
f x
x
a
x
x
e
．
（1）若
0
f x
，求a 的取值范围；
（2）证明：若
f
x 有两个零点
1
2
,
x x ，则
1
2
1
x x ．
7.（2026·河北承德3 月·检测）已知函数
，其中
．
（1）求
的单调区间；
（2）若函数
有两个不相等的零点
．
（i）求实数a 的取值范围；
（ii）证明：
8.（2026·重庆高三上·开学考试）已知函数
有两个极值点
且
.
（1）求实数
的取值范围；
（2）证明:
.
🎯命题方向三 隐零点问题
9．（2026·江西九江·模拟）已知函数
．
（1）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
（2）若
的极小值小于
，求m 的取值范围；
（3）当
时，证明：
有2 个零点．
10.（2026·黑龙江哈尔滨·模拟）已知函数
．
（1）若
，求
在
上的最值．
（2）若
且
，关于的方程
在
上仅有一个实根．
（ⅰ）证明：
；
（ⅱ）求
的最大值．
11.（2026·辽宁沈阳·模拟）已知函数
．
（1）若
，求
在
上的最值．
（2）若
且
，关于的方程
在
上仅有一个实根．
（ⅰ）证明：
；
（ⅱ）求
的最大值．
题型04 导数与不等式恒（能）成立问题
抓关键
· 破难点
一、利用导数证明或判定不等式问题
1.不含参数不等式问题的解题技法（证明：
）
技法（1）移项：构造函数
，转化为证明
的最小值大于.
技法（2）放缩：证明
（注意两个等号不能同时取到），一般情况下，
的图象为
公切线.
技法（3）转化：适当对不等式变形，转化为
（这个是原不等式成立的充分条件，但不
是必要条件）.
2.含参不等式证明问题的求解技法
（1）单参分类讨论：含单一参数的不等式证明问题往往直接移项构造函数，分类讨论含参数的最值；或
将参数归类处理，结合放缩求解.
（2）多参注意消元：多参问题往往需先消参，转化为单参问题求解.
二、不等式恒成立与能成立求参问题速破策略
变形换元：对不能直接分参或分类讨论的不等式变形，常见变形方法有“同乘除”“指对互化”等.
分析新元的取值范围：若新元的结构较复杂,则需构造函数，利用导数研究新元的取值范围.
构造函数找最值：根据换元后代数式的结构特征，分离参数或直接分类讨论求函数最值或极值，进而求参
数的取值范围.分离参数后不等式恒(能)成立的类型:若
恒(能)成立，则
;若
恒(能)成立，则
.
三、双变量恒（能）成立的解题模型
模型一：任意—任意型：
，
，
成立
.
模型二：任意—存在型：
，
，
成立
.
模型三：存在—存在型：
，
，
成立
.
四、利用导数研究端点效应问题
第①步：利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数的取值范围，这个范围是不等式恒成立的
必要条件.
第②步：利用所得出的参数范围判断函数在定义域内是否单调.
第③步：若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决.若不单调，则需进一步讨
论，直至得到使不等式恒成立的充要条件.
刷经典
· 通方法
🎯命题方向一 利用导数证明不等式
1. （2026·云南民族大学附属中学·适应性训练））已知函数
（
），
.
（1）若
，证明：
，
；
（2）求函数
的零点个数.
2. （2026·湖北十一校第二次·联考）已知
，其中
．
（1）求证：当
时，
；
（2）讨论取不同值的时候，函数
的零点个数；
（3）证明：
，其中
．
🎯命题方向二 利用导数研究不等式恒成立问题
3. （2026·山东聊城·一模）已知函数
( )
e (
)
ax
f x
x
a
R ．
（1）讨论
( )
f x
的单调性；
（2）当
0
x
时，
( )
e
1
x
f x
恒成立，求a 的取值范围；
（3）若
( )
f x 有最大值
1
e ，记曲线
( )
y
f x
在点
0
0
,
x
f
x
处的切线方程为
( )
y
g x
，证明：当
0
2
x
时，存在
使
，且
1
0
x
x
．
4. （2026·甘肃陇南·二诊）已知函数
．
（1）讨论函数
的单调区间；
（2）若曲线
在
处的切线垂直于直线
，对任意
恒成立，
求实数b 的最大值；
（3）若
为函数
的极值点，求证：
．
🎯命题方向三 利用导数研究不等式能成立问题
5. （2026·江苏扬州市第一次·调研）已知函数
2
ex
x
ax
b
f x
的一个极值点是
2
x
．
（1）求a 与b 的关系式；
（2）求出
f
x 的单调区间；
（3）设
0
a
，
2
2
ex
g x
a
，若存在
1
2
,
0,3
x x
，使得
1
2
2
2
e
f x
g x
成立，求实数a 的取值
范围．
6.（2026·陕西汉中阶段·检测）已知函数
，其中
．
（1）求
在
处的切线方程；
（2）求函数
的极值；
（3）若关于的不等式
在
上有解，求实数的取值范围．
7.（2026·辽宁盘锦3 月·检测）已知函数
（1）求出函数
在
上的最值
（2）若关于的不等式
存在唯一的整数解，求实数的取值范围．
2eax
f
x
x
0
a
f
x
0,
0
f
f
x
x
2
e
a
f x
,
a
a
2
ln
1
(
1)
x
f x
x
f
x
1,e
e
x
2
ln e
2
1
x
ax
a x
a
🎯命题方向四 利用导数研究端点效应问题
8.（2026·河北秦皇岛阶段·检测）设函数
．
（1）当
时，若函数
有2 个极值，求实数的取值范围；
（2）当
时，若函数
的最小值为4，求实数的值；
（3）当
时，求证：总存在实数，当
时，
．
9.（2026·浙江杭州阶段·检测）已知实数
，设
．
（1）若
，求函数
的图象在点
处的切线方程；
（2）若对于任意的
，总存在
，使得
，求的取值范围．
题型05 函数与导数的创新交汇问题
4
ln
,
f x
ax
b x a b
x
R
4
b
f
x
a
2
2
b
a
f
x
a
t
x
t
0
f
x
0
a
3
2
2
3
f x
ax
x
3
a
y
f
x
(
)
1, 1
-
1
2,
x
2
1,
x
1
2
1
f x
f x
a
抓关键
· 破难点
高考数学越来越注重在知识的交汇处命题，函数的创新交汇问题能有效体现函数的应用性，命题情况如下：
一、与三角函数交汇：与三角函数交汇的组合型函数问题，难点在于灵活运用三角函数的有界性分析转化
问题.
二、与数列交汇：函数与数列的交汇问题，难点在于函数与数列性质的相互转化.
刷经典
· 通方法
🎯命题方向一 导数与三角函数交汇的组合型函数问题
1. （2026·甘肃省一模）已知函数
π
sin
cos
f x
x
x
k
x k
R .
（1）若曲线
y
f x
在
π
2
x
处的切线平行于x 轴，求k 的值；
（2）当
1
k
时，求函数
y
f x
在
0,2π 内的极大值点和极小值点的个数；
（3）证明：对任意k R ，曲线
y
f x
上存在四个不同的点共圆.
2. （2026·广东东莞·模拟）已知函数
（1）判断
是否为周期函数，并说明理由；
（2）求
的最大值和最小值；
（3）设
证明：
3. （2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数
2sin
f
x
x
ax
.
（1）当
1
a
时，求函数
f
x 在
0,π 上的值域；
（2）若对任意
π
0, 2
x
，都有
cos
f
x
x
x
，求实数a 的取值范围；
（3）证明：
*
2
2
2
2
1
1
1
1
8
tan
tan
tan
tan
2
4
2
3
4
(
1)
3π
n
n
n
n
N
.
4.（2026·东北师大附中 哈尔滨师大附中 辽宁省实验中学第一次联合·模拟）
已知函数
e
R
x a
f
x
a
．
（1）若函数
f
x 过原点
0,0 的切线为
e
y
x
，求实数a 的值；
（2）若函数
f
x 的图象与
2
2
2
:
(
0)
O x
y
r
r
相交于两个不同点A ，B ，记直线AB 的斜率为k ．
（i）当
2
r
时，求实数a 取值范围；
（ii）当
2
3
r
时，证明：
3
3
k
．
5. （2026·江苏南京市栖霞区名校联盟·一模）已知函数
e cos
x
f x
x
，
sin
1
g x
x
．
（1）求
f x 在
π
0, 2
内的单调性；
（2）若存在
π ,0
6
x
，使得
0
f x
ag x
，求实数a 的取值范围；
（3）设方程
f x
g x
在区间
π
π
2 π
,2 π
1,2,
,2025,2026
3
2
n
n
n
内
根从小到大依次为
1
x ，
2x ，…，
2025
x
，
2026
x
，试比较
2026
x
与
2025
2π
x
的大小，并说明理由．
🎯命题方向三 导数与数列交汇的函数及不等式问题
6. （2026·山东临沂·一模）对于可导函数
，从初始值
出发，定义序列
．已知
，
．
（1）设
，求函数
的解析式，并求
的值；
（2）记
，
，并设
．
（ⅰ）求证：
；
（ⅱ）是否存在正整数m，n，
使得
，
，
成等比数列，若不存在，说明理由．若存在，
求出所有满足条件的
，
，
．
7. （2026·山东德州·一模）已知函数
.
（1）证明：
在
上单调递增；
（2）记
的最小值为
，数列
的前项积为
.
f x
0x
1
:
0
n
n
n
n
n
n
f
x
x
x
x
f
x
f
x
2
3
1
f x
x
x
0
2
x
1
n
n
x
g x
g x
2x
3
5
2
3
5
2
n
n
n
x
a
x
2
1
n
n
a
a
(
)
p m
n
p
m
a
na
p
a
m
a
na
p
a
2
2
*
π
π
sin
cos
,
4
4
n
n
nf
x
x
x
n
N
2
nf
x
n
π
0, 4
nf
x
2
1
,
2 log
1
n
n
n
a b
a
1
n
n
b
b
n
n
T
（i）求
的通项公式；
（ii）证明：对任意的
成立.
8.（2026·广东广州市天河区适应性训练·二模）已知函数
.
（1）直线过点
且与曲线
相切，求直线方程；
（2）已知
在导函数
的图象上，以点
为圆心的
与轴都相切，且
与
彼此外切.若
，且
，求数列
的前项之和
.
9. （2026·重庆第一中学3 月·测试）已知函数
.
（1）若
在定义域上恒成立，求实数
的取值范围；
（2）若关于的方程
的根为
，
①求证:
；
②判断数列
中是否存在连续三项按某种顺序构成等比数列，并证明你的判断.
na
*,
1
n
n
T
n
N
3
1
3
f
x
x
l
2
0, 3
y
f x
l
,
n
n
n
P x
y
y
f
x
nP
nP
x
nP
1
nP
1
1
x
*
1
0
n
n
x
x
n
N
1
n
n
x
x
n
nS
题型06 导数的新定义与创新问题
抓关键
· 破难点
函数新定义问题综合性较强，常与导数、不等式等知识相结合，需要学生具备良好的阅读理解能力和
知识迁移能力，能够快速理解新定义的本质并运用其解决问题。
一、基于数学家渊源的新定义问题：理解新定义，抓住定义本质，运用新定义解题.
二、与大学知识相关的新定义问题：将高考数学知识迁移到高中数学所学过的知识，运用所学过的知识解
题.
三、与其他模块融合的新定义问题：理解新定义，利用定义的性质帮助解决其他模块的综合问题.与不等
式融合考查函数性质与不等式证明；与三角函数结合，借助三角函数公式、图象性质探究其规律；定义数
列相关函数性质，考查数列通项、求和与函数特征.
刷经典
· 通方法
1. （2026·广东汕头3 月·调研）若存在有限个
，使得
，且
不是偶函数，则称
为“缺陷偶函数”，
称为
的偶点．
（1）证明：
为“缺陷偶函数”，且偶点唯一．
（2）对任意
，函数
都满足
．
①若
是“缺陷偶函数”，证明：函数
有2 个极值点．
0x
0
0
f
x
f x
f x
f x
0x
f x
5
h x
x
x
,
R
x y
,
f x
g x
2
2
f x
f y
g x
g y
x
y
g x
y
x
F x
xg x
②若
，证明：当
时，
．
参考数据：
．
2. （2026·辽宁大连第二次·质量调研）定义：若存在
，
，使得曲线
在点
和点
处有相同的切线l，则称切线l 为曲线
的“自公切线”.已知函数
．
（1）若函数
在区间
上单调递增，求实数a 的取值范围；
（2）证明：当
时，曲线
不存在“自公切线”；
（3）若曲线
有且只有两条“自公切线”，求实数a 的取值范围．
3
2
g
1
x
2
1 ln
1
2
g x
x
1
5
ln
0.481,
5
2.236
2
