文档文本内容
2026 年高考数学三轮临考冲刺卷（全国二卷）
（考试时间：120 分钟，分值：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，
，
所以
.
2．设复数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
.
3．已知函数
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【详解】由
，即
，则
，
所以
或
，
解得
，
则“
”是“
”的充分不必要条件．
4．已知一组数据从小到大排列为4，6，7，8，
，m，
，
，
，
，若该组数据的
分位数是
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为这组数据共
个，所以
，因此
分位数为第6 个数据和第7 个数据的平均数，
因为该组数据的
分位数为
，所以
，解得
.
5．在
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，且
，所以
.
又因为
中，
，由正弦定理得
，
所以
.
6．已知抛物线
的焦点为
，点
在抛物线
上，若点
到焦点
的距离是点
到
轴距离的5 倍，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【详解】点
在抛物线
上，
代入得
，即
，,所以
.
根据抛物线的定义，
，
点
到
轴的距离为
，
由题意得
，所以
，
把
代入，得：
，即
，
又
，则
.
故选：C
7．记
为等差数列
的前
项和，若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
，
，可得
.
又
，所以
.
令
，则
，代入
，得
，
由
，解得
，
故
的最大值为
.
8．已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】令
，
，则
，
，由余弦的和差公式可得：
，
，
展开得：
，
两式相减得：
，则：
，
即：
.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知等比数列
的公比为
，前
项和为
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．数列
是公差为1 的等差数列
【答案】ABD
【详解】因为
，
所以
，解得
，故A 正确；
所以
，解得
，
所以
，
，故B 选项正确；
因为
，
所以
，故C 选项错误；
因为
，
，
所以
，
即数列
是公差为1 的等差数列，故D 选项正确．
10．已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
为偶函数
B．
为
的导函数
的极大值点
C．
是函数
的极值点
D．函数
的零点个数为1
【答案】BD
【详解】由函数
的定义域为
关于原点对称，
且
，
所以函数
不是偶函数，故A 选项不正确；
由
，
令
，
则
，
令
，
因为
，所以
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
当
时，
，所以
在
上单调递减，
所以
为
的极大值点，
即
为
的导函数
的极大值点，故B 选项正确；
由B 选项可知当
时，
，
即当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，
所以
不是函数
的极值点，故C 选项不正确；
由函数
在
上单调递减，
且
，
，
所以函数
在
上只有1 个零点，
故D 选项正确；
故选：BD.
11．记双曲线
的左、右焦点分别为
，右顶点为
，以
为圆心，
为半
径的圆
与
的右支交于
两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若原点
在圆
上，则
B．若原点
在圆
上，则
C．若
的左顶点在圆
上，则
D．若
的左顶点在圆
上，则
【答案】ABD
【详解】
对于A，记
的半焦距为
，若原点
在圆
上，则
，
由对称性，不妨设
在第一象限，
在第四象限，则
，
而
，
同理
，而
，
所以
，而
，所以
，
于是
，而
，
于是
，可得
，故A 正确；
对于B，此时圆
，而
，
联立得
可得
，
由
，得
，
而
，故
，故B 正确；
对于C、D，
，
圆
，联立得
消元后可得
，
可得
，所以
，
又
，所以由余弦定理得
，故C 错误，D 正确．
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知向量
，
为单位向量，且
，若
，则
________．
【答案】
【详解】由题意得
，
且
，
故
.
13．已知函数
为奇函数，当
时，
（
），若
在
上单调递增，则
的取值范围是______．
【答案】
【详解】因为函数
为奇函数，所以
关于点
中心对称，
又
在
上单调递增，则
在区间
上也单调递增，
又当
时，
（
），对称轴为
，
当
时，
的图象开口向下，且
，此时
在区间
上单调递减，不
合题意，
所以
，解得
，所以实数
的取值范围是
.
14．已知在底面边长为
，高为
的正三棱柱
内有一个半径为的小球，该小球可以在正三
棱柱内自由活动，当任意旋转、晃动正三棱柱过程中小球至少与正三棱柱的一个面相切时，小球球心的轨
迹在正三棱柱的内部又会形成一个新的几何体，则该几何体的体积为________.
【答案】
【详解】由题意，正三棱柱
的高为
，小球的半径为，
当小球与上底面相切时，球心到上底面的距离为，当小球与下底面相切时，球心到下底面的距离为，
所以在上下方向上，球心的轨迹在距离上下底面各为的位置，即在高为
的范围内.
正三棱柱底面是边长为
的正三角形，当小球与侧面相切时，球心到侧面的距离为，
相当于在正三角形的内切圆基础上，向正三角形的中心方向移动了个单位，如图，
而
，
，在正三角形
中，可得
，
又
为正三角形
的中心，所以
，所以
，
又
，所以
，所以
，
所以
，
这样，球心的轨迹在底面形成的图形是一个边长为
的正三角形，
综合以上分析，球心的轨迹在正三棱柱的内部形成的新几何体是一个底面边长为
，高为
的正三棱柱.
因此，该几何体的体积为
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）函数
（
，
，
）的部分图像如图所示.
(1)当
时，求
的单调递增区间；
(2)已知
，且
，求
的值.
【详解】（1）由图可得
，
，
所以
，........................................................................................................................................................2 分
且
，
得
，
，
又因为
，所以
，所以
.................................................................................4 分
又因为
，
，
解得
，
，
所以
在
上的单调递增区间为
........................................................6 分
（2）因为
，所以
.............................................................7 分
因为
，所以
，
即
，所以
...........................................................................................10 分
所以
.....................................................13 分
16．（15 分）已知A，B 分别为椭圆C：
的左、右顶点，且
，C 的离心率为
．
(1)求C 的方程；
(2)若倾斜角为
的直线与C 交于D，E 两点，求DE 的中点的轨迹方程；
(3)若直线：
与
交于
，
两点，设直线
，
的斜率分别为
，且
，求t．
【详解】（1）由题意可得：
，即
，
由离心率
，......................................................................................................................2 分
所以
.
故椭圆方程为：
................................................................................................................................4 分
（2）倾斜角为
，可得斜率
.
设直线方程为：
，与椭圆联立：
代入得：
，
满足
，即
.
则
，
.......................................................................................................................6 分
设
，
，
则中点横坐标：
，纵坐标：
...................................................................8 分
消去参数
得：
，
所以中点轨迹方程为：
.......................................................................................9 分
（3）
由题意可知直线：
与椭圆交于
,
，
设
，
，
，
，
与椭圆联立方程：
，消去
可得
.
则
，
，..............................................................................................................11 分
根据
，可得
，即
，
整理得：
，即
，
可得：
，.....................................................................................................13 分
因为
，
为常数，则
不恒成立.，则
，得：
.......................15 分
17．（15 分）如图，在四棱锥
中，底面
是边长为2 的菱形，
，
平面
，点
是棱
的中点．
(1)求证：
；
(2)若点
到平面
的距离为
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
【详解】（1）取
的中点
，连接
，
因为点
是棱
的中点，所以
，
又因为
平面
，且
平面
，所以
，
因为
，所以
，......................................................................................................................2 分
由底面
为菱形，且
，可得
为等边三角形，
因为
是
的中点，所以
，..........................................................................................................4 分
又因为
，且
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
..............................................................................................................6 分
（2）取
的中点
，连接
，因为
是
的中点，可得
，
因为
，所以
，
又因为
平面
，且
平面
，所以
，
以
为坐标原点，以
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，
设
，可得
，.......................................................8 分
所以
，
设平面
的法向量为
，可得
，
令
，可得
，所以
，........................................................................................10 分
因为点
到平面
的距离为
，可得
，
则
，解得
，所以
，......................................................................................................13 分
所以
，且
.
又因为平面
与
轴所在直线垂直，所以平面
的一个法向量为
，
设平面
与平面
夹角为
，可得
，
所以平面
与平面
夹角的余弦值
................................................................................................15 分
18．（17 分）已知函数
.
(1)若
，求函数
在
处的切线方程；
(2)若
，
，讨论
的单调性；
(3)若对任意的
，
恒成立，求
的取值范围.
【详解】（1）因为
，所以
，
所以
定义域为
，
，...............................................................................2 分
当
时，
，而
，所以切线方程为
；....................................................................4 分
（2）当
，
时，
，
因为
，所以
，
若
，即
时，
，此时
在
上单调递增，.............................................6 分
若
，即
时，令
，得
或
，
令
，得
，所以
在
和
上单调递增，
在
上单调递减，..................................................................................................................8 分
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，增区间为
和
，减区间为
；..............................10 分
（3）因为
，对
，
恒成立，且
，
故
，即
，......................................................................................................................11 分
所以
，对
，
恒成立，当
时满足条件；
当
时，
，即
；
当
时，
，即
，所以
，...............................................................................13 分
，令
得
，
，所以
①当
时，
，
，
则
在
上单调递增，当
时，
，不满足题意；
②当
时，
，令
，则
，
所以
在
上单调递增，当
时，
，不满足题意；
③当
时，
，令
得
，
所以
在
上单调递减，当
时，
，不满足题意；
④当
时，
，令
得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
因为
，所以
，
令
，则
，
因此
，不满足题意；
⑤当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，故
，满足题意.
综上可知，
的取值范围为
.......................................................................................................................17 分
19．（17 分）（新情境）在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词
元
，
，且生成词元总数不超过
.若生成
，则过程立即结束；否则继续生成，直至总数达到
.每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为
，
的概率均为0.5，且各次预测相互独立.审核
规则如下：
①若预测中第一次出现词元
，则审核后生成
，
的概率均为0.5；
②若预测中第二次出现词元
，则审核后必生成
；
③若预测中出现词元
，则审核后必生成
.
设
表示过程结束时生成词元的总个数.
(1)求
，
；
(2)求
的分布列；
(3)求
.
【详解】（1）
表示第一次就生成
并结束过程，即第一次预测为
，且审核生成
，
...........................................................................................................................................2 分
表示第二次生成
并结束过程，情况有：第一次预测为
，且审核生成
，第二次预测为
；第一
次预测为
，审核必生成
，第二次预测为
，且审核生成
.
.............................................................................................................4 分
（2）
（
，
）时，第
个词元输出为
，
若前面
个词元都预测为
，其概率为
，
若前面
个词元有一个预测为
，其概率为
，
故
，............................................................................................7 分
当
时，
若前面
个词元都没有预测为
，其概率为
，
若前面
个词元有一个预测为
，其概率为
，
故
...................................................................................9 分
所以
的分布列为：
1
2
3
…
…
.............................................................................................................................................................................11 分
（3）由（1）得
，
由（2）得
，
，
，
，
，
所以
.....................................................................................................................15 分
所以
..............................................................17 分
