文档文本内容
2026 年高考数学临考冲刺卷01（全国二卷通用）
（考试时间：120 分钟，分值：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．集合
的子集个数为（ ）
A. 3
B. 4
C. 7
D. 8
1.【答案】D
【解析】解不等式
得
，则集合
，有3 个元素，
则集合
的子集个数为
.
故选：D.
2. 已知复数
的共轭复数为
，若
，则
可能为（ ）
A.
B.
C.
D.
2.【答案】A
【解析】设
，则
，
由
，得
，解得
，
结合选项可知
可能为
．
故选：A.
3．为了研究物理成绩
与数学成绩
之间的关系，随机抽取
名学生的成绩，用最小二乘法得到
关于
的线性回归方程为
，则样本点
的残差为（ ）
A.
B.
C.
D.
3.【答案】A
【解析】
时的预测值
，
时的真实为值
，
样本点
的残差为
.
故选：A.
4.在下列四个正方体中，
为正方体的顶点，
为所在棱的中点，则满足直线
平面
的是（ ）
A
B.
C.
D.
4.【答案】D
【解析】如图1 所示，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为，
则
，所以
设平面
的一个法向量为
，
则
，取
，则
，所以
，
又易知
，则
，
又
，即
与
不垂直，所以
与平面
不平行，故A 错误，
对于B，如图2，由选项A 知平面
的一个法向量为
，
，则
，
又
，即
与
不垂直，所以
与平面
不平行，故B 错误，
对于C，如图3，由选项A 知平面
的一个法向量为
，
，则
，
又
，即
与
不垂直，所以
与平面
不平行，故C 错误，
对于D，如图4，记
为正方体所在棱的中点，连接
，易得
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
，
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
，
又
平面
，则直线
平面
，所以D 正确，
5.【创新题】 已知函数
（
）的图象过函数
图象的
定点，则
的最小值为（ ）
A. 4
B. 6
C. 8
D. 9
5.【答案】D
【解析】由函数
，令
，可得
，所以
图象的定点
，
又由函数
的图象过函数
图象的定点
，
可得
，即
，且
，
则
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，所以
的最小值为
.
故选：D.
6．【新情景】已知数列
是各项均为正数的等差数列，且公差
；数列
是各项均为正数的等
比数列，且公比
，若项数均为
项
，下列说法正确的个数是（ ）
①数据
，
，
，…，
的平均数是
；
②数据
，
，
，…，
的平均数是
；
③若
，
，则数据
，
，
，…，
的中位数大于数据
，
，
，…，
的
中位数；
④若
，
，则数据
，
，
，…，
的平均数大于数据
，
，
，…，
的
平均数．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6.【答案】C
【解析】对于①选项，设
的前
项和为
，
，
所以数据
，
，
，…，
的平均数是
，故①选项正确：
对于②选项，当
时，取
为2，4，8，平均数为
，故②选项错误；
对于③选项，
，
，
，…，
的中位数是
，
，
，
，…，
的中位数是
，
，故③选项正确；
对于④选项，易知点
直线
上，点
在曲线
上，
因为
，所以如下图所示：
由图可知，当
时，
，
所以数列
的前
项和大于数列
的前
项和，
所以数列
的前
项的平均数比
的前
项的平均数大，④选项正确．
故选：C.
7. 已知F 是抛物线
的焦点，A，B 是抛物线C 上不同的两点，且满足
，设
A，B 到抛物线C 的准线的距离分别为
，则
的最大值为（ ）
A.
B.
C.
D.
7.【答案】A
【解析】由抛物线的定义知，
，
所以在
中，由余弦定理得
，
所以
，
又因为
，所以
，当且仅当
时等号成立，
所以
，故
，
所以
的最大值为
故选：A.
8. 已知函数
的定义域为
为
的导函数，
，
．若
，则
（ ）
A. 2026
B. 1013
C. 1
D. -1
8.【答案】D
【解析】因为
且
，所以
，
因为
，所以
关于直线
对称，
则原函数
关于点
对称，所以
所以
，
令
，则
，即
，
所以
，
所以
的周期为
，
又
，即
，所以
的周期也为
，
由
得
，
由
得
，所以
，
由
得
，所以
，
又
，所以
，
所以
，
所以
，
又
，
所以
.
故选：D.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．【新考法预测】英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件
存在
如下关系：
．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．
张同学第一天选择室内健身的概率为
，选择户外运动的概率为
．如果第一天选择室内健身，那么第二
天继续选择室内健身的概率为
；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为
．则张
同学（ ）
A. 第二天去室内健身的概率为
B. 第二天去户外运动的概率为
C. 若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为
D. 若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为
9.【答案】ACD
【解析】设
表示张同学第一天选择室内健身，
表示张同学第二天选择室内健身，
表示张同学第一天选择户外运动，
表示张同学第二天选择户外运动.
则
，
，
，
，
因为
，所以
，
因为
，所以
，
对于A，
，故A 正确；
对于B，因为
，故B 错误；
对于C，因为
，故C 正确；
对于D，因为
，故D 正确.
故选：ACD.
10．在平面直角坐标系
中，直线
，直线
，曲线
上的动点
到直线
与
的距离之积为定值1，
为曲线
的左、右焦点，则下列结论正确的
是（ ）
A. 曲线
的方程为
B.
C. 点
到点
的距离最小值为4
D. 若为曲线
在点
处的切线，则直线平分
10.【答案】ACD
【解析】对于A，点
到直线
的距离为
，到直线
的距离为
，
由题可得
，所以
，
又
，故
，所以曲线
的方程为
，故A 正确；
对于B，由A 知曲线
的方程为
，所以
，
，
所以
，即
，故B 错误；
对于C，要使得点
到点
的距离最小，则点
要在双曲线
的右支上，
所以
，且
，
所以
，
当且仅当
时，取等号，
所以点
到点
的距离最小值为4，故C 正确；
对于D，设点
在双曲线上，满足
，
则双曲线
在点
处的切线的方程为
，即
，
点
到切线的距离
，
点
到切线的距离
，
又
，
，
所以
，
所以直线平分
，故D 正确.
11. 【新情景】如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第
行的第
个数可以
表示为
时）.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的.我国南宋数学家杨辉
1261 年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们
开展了数学探究，则下列命题正确的有（ ）
A. 第2026 行共有2026 个数
B. 从第4 行起到第19 行，每一行
第4 个数字之和为
C. 第48 行的所有数字之和被7 除的余数为1
D. 去除所有为1 的项，依次构成数列
，则此数列前135 项的和为
11.【答案】BCD
【解析】对于A，第2026 行共有2027 个数，故A 错误，
对于B,由题意可得
,B 正确，
对于C, 第48 行的所有数字之和为
,由于
能被7 整除，
故第48 行的所有数字之和被7 除的余数为1，C 正确，
对于D,第
行的和为
，
当
时，第
行中去除为1 的项的和为
， 第0 行为1，
故前
行中去除为1 的项的和为
，
故前17 行中去除为1 的项的和为
，
去除所有为1 的项后，则从第一行开始，则剩下的每一行的个数为0，1，2，3，4，……，
可以看成一个首项为0，公差为1 的等差数列，前
行共有
个数，
当
时，
，
因此前17 行中，去掉为1 的项，共有136 项，且第17 行中，去掉为1 的项后，最后一项为
则此数列前135 项的和为
.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知函数
为奇函数，当
时，
（
），若
在
上单调递增，
则
的取值范围是______．
12.【答案】
【解析】因为函数
为奇函数，所以
关于点
中心对称，
又
在
上单调递增，则
在区间
上也单调递增，
又当
时，
（
），对称轴为
，
当
时，
的图象开口向下，且
，此时
在区间
上单调递
减，不合题意，
所以
，解得
，所以实数
的取值范围是
.
13.在
中，角
，
，
的对边分别是
，
，
，若
，
为锐角三角形，则
的取值范围是_______．
13.【答案】
【解析】在
中，由余弦定理，
，结合
，
可得
，即
（*），
方法一：由（*）得
，设
，则
，
为锐角三角形，则
，
即
，
而
，
代入
中，
得
恒成立，
同理可得
，
需满足
，即
，解得
，
结合
，可得
；
由
，
，
可得
，
即
，故
，
令
，则
，
即
在
上单调递增，则
，
故
的取值范围是
.
方法二：由（*）和正弦定理，可得
，
因
，
代入整理得，
，即
，
因
，则
或
（舍去），
即
，则
，则
，
则
，
于
，由正弦定理，
，
因
为锐角三角形，则有
，解得
，
设
，则
，且
，因该函数在
上单调递增，
故可得
，即
，
故
的取值范围是
.
14. 在平面中，
和
是互相垂直的单位向量，向量
满足
，向量
满足
，则
的最小值为_______．
14.【答案】
【解析】因
和
是互相垂直的单位向量，则可建立分别以
和
为
轴的单位方向向量的平面直角
坐标系.
则
，
，设
，
由
可得
，
此式表示动点
到两点
和
的距离之和为4，
又
，
所以
点轨迹是以
，
为焦点的椭圆，且
，
，
.
所以
点的轨迹方程为
.
设
，由
可得
，
表示动点
的轨迹是以
为圆心，以1 为半径的圆.
所以动点
的轨迹方程为
.
故可设
，
，
，
则
，其中
.
因为
，所以
.
又
,
因
，则当
时，
取得最大值4，
所以
，等号成立时，
，
，
由
可得
，故
.
所以
，
，即当
，
时取等号.
所以
的最小值为
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
已知数列
满足
，且对任意的正整数
，当
时，都有
．
（1）证明：数列
是等差数列；
（2）设
，求数列
的前
项和
．
15．（13 分）
【解析】
（1）根据题意，令
，
当
时，
，
， （3 分）
所以
，
且
，则
， （4 分）
所以数列
是首项为
，公差为
的等差数列； （6 分）
（2）根据（1）可得
，所以
， （7 分）
则
， （9 分）
所以
. （13 分）
16．（15 分）
某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为
；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为
．已知输入的问题表达不清晰的概率
为
．每次回答是否被采纳相互独立．
（1）求智能客服的回答被采纳的概率；
（2）在某次测试中输入了3 个问题，设
表示智能客服的回答被采纳的次数，求
的分布列及期望、方
差；
（3）公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10 个问题，智能客服的回答每被采纳1 次计10 分，
不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为
，若
，则推广该系统．试推断该系统是否会
得到推广，请说明理由，
16．（15 分）
【解析】
（1）设事件
表示回答被采纳，事件
表示问题表达清晰，
则
， （3 分）
则
. （6 分）
（2）由（1）知每个问题的回答被采纳的概率
，且每次回答是否被采纳相互独立，
因此随机变量
服从二项分布
， （8 分）
则
，
，
，
，
，
，
， （12 分）
的分布列为：
0
1
2
3
（3）随机抽取10 个问题，设被采纳的次数为
，则有
，总得分
，
则
，满足推广条件，因此该系统会得到推广. （15 分）
17．（15 分）
把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中
，
．
将
沿
翻折至
，使得二面角
为直二面角．
（1）证明：
平面
；
（2）若
在同一个球面上，求该球的半径；
（3）求平面
与平面
所成角的余弦值．
17．（15 分）
【解析】
（1）二面角
为直二面角，即平面
平面
，
又因为
平面
，平面
平面
，
所以
平面
． （3 分）
又因为
平面
，所以
．
由题意
平面
，
所以
平面
． （5 分）
（2）取
中点
中点
，连接
，
则
，
因为
平面
，
平面
，所以
，所以
，
在
中，
为
中点，所以
. （7 分）
以
为正交基底建立如图所示空间直角坐标系
，
则
．
设该球的球心坐标为
，则
解得
.
所以该球的半径为
. （10 分）
（3）法一：取
中点
，在
中，过
作
，垂足为
，连接
，
平面
平面
平面
，
平面
平面
，所以
平面
．
而
平面
，故
，
又因为
，
平面
，故
平面
，
而
平面
，所以
，
则
为平面
与平面
的所成角. （13 分）
直角三角形
中，
，
所以平面
与平面
所成角的余弦值为
. （15 分）
法二：平面
的一个法向量为
，
设平面
的法向量为
，则
即
取
，得平面
的一个法向量为
. （13 分）
所以平面
与平面
所成角的余弦值为
. （15 分）
18．（17 分）
已知函数
．
（1）若
，求
的单调区间；
（2）若
有且仅有1 个零点，求
的值；
（3）若存在
，使得
对任意
恒成立，证明：
．
18．（17 分）
【解析】
（1）当
时，
，定义域为
， （2 分）
求导得到
，
令
，则当
时
，
所以
在
内单调递减，且
，
即
在
内单调递减，且
， （3 分）
所以当
时，
，函数
单调递增；
当
时，
，函数
单调递减；
综上所述，
单调递增区间为
，单调递减区间为
. （5 分）
（2） 因为
有且仅有1 个零点，
所以方程
有且仅有1 个解，
即
有且仅有1 个解，
令
，
，
则
，
令
，则
， （7 分）
所以
在区间
上单调递增，
又因为
，
所以当
时，
，即
，
单调递减；
当
时，
，即
，
单调递增；
所以函数
在
处取得极小值也是最小值
， （8 分）
当
时，
，
时，
，
因为
有且仅有1 个解，
所以
. （9 分）
（3）因为
对任意
恒成立，
所以
，即
，
因此
，
要证
，只需证明
即可， （11 分）
对函数求导得到
，
令
，则
， （12 分）
所以
在区间
单调递减，
即
在区间
单调递减，
存在唯一极大值点
，满足
，即
，
在
内
函数
单调递增，
内
函数
单调递减，
所以当
时取得极大值也是最大值
. （13 分）
因此
，
令
，则
， （14 分）
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
故
在
时取得最大值
， （15 分）
因此
，
所以
，所以
，
故
得证. （17 分）
19．（17 分）
已知双曲线
的一条渐近线的倾斜角为
，点
在双曲线
上．点
为双曲线
右支上除右顶点外的任意点．
（1）求双曲线
的标准方程；
（2）证明：点
到
的两条渐近线的距离之积为定值；
（3）已知
的左顶点
和右焦点
，直线
与直线
相交于点
．试问是否存在常数
，使
得
？若存在，请求出
的值；若不存在，请说明理由．
19．（17 分）
【解析】
（1）由双曲线
的一条渐近线的倾斜角为
，有
，可得
，
又由点
在双曲线
上，有
， （2 分）
代入
，有
，可得
，
，
故双曲线的标准方程为
； （4 分）
（2）设点
的坐标为
，则
，即
． （5 分）
双曲线的两条渐近线
，
的方程分别为
，
，
则点
到两条渐近线的距离分别为
，
， （7 分）
则
．
所以点
到双曲线
的两条渐近线的距离之积为定值． （9 分）
（3）存在
．
①当
时，
，又
是
的中点，
所以
，所以
，此时
． （10 分）
②当
时．
ⅰ）当
在
轴上方时，由
，
，可得
，
所以直线
的方程为
， （11 分）
把
代入得
．
所以
，则
． （12 分）
由二倍角公式可得
． （13 分）
因为直线
的斜率
及
，
所以
，则
． （14 分）
因为
，
，
所以
． （15 分）
ⅱ）当
在
轴下方时，同理可得
．
故存在
，使得
． （17 分）
