文档文本内容
2026 年高考数学三轮临考冲刺卷03（全国一卷通用）
（考试时间：120 分钟，分值：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1. 已知集合
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
1.【答案】B
【解析】因为
，
，
所以
.
故选：B
2．【新考法预测】已知为虚数单位，复数
，则
（ ）
A. 1
B.
C. 2
D.
2.【答案】A
【解析】因
，
则
.
故选：A
3．在等差数列
中，
为其前
项和．若
，则
（ ）
A. 420
B. 210
C. 198
D. 105
3.【答案】B
【解析】设等差数列
的公差为
，则
，
整理得
，解得
.
所以
.
故选：B
4. 【跨学科】某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量
（单位：
）与时
间（单位：h）间的关系为
，其中
是正的常数．如果在前7h 消除了
的污染物，那么
14h 后所剩污染物为（ ）
A.
B.
C.
D.
4.【答案】A
【解析】由题意得
，
是正的常数，
故
，两边取对数得
，故
，
所以14h 后所剩污染物为
.
故选：A.
5. 已知向量
，
，向量
满足
，则
的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.【答案】A
【解析】设
.
已知
，
，所以
.
则
，即
.
因
表示点
到原点的距离，而点
是直线
上的点，
故
的最小值即为原点到直线
的距离
，
因为点
在直线
上，所以
可无限大，
所以
的取值范围是
.
故选：A.
6. 若定义在
上的偶函数
满足
，且当
时，
，则
（ ）
A.
B. 0
C.
D.
6.【答案】C
【解析】因为
是偶函数，所以
，
由
，得
，
所以
，得
，
所以
是以4 为周期的函数，
所以
．
故选：C.
7. 已知
，且
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
7.【答案】D
【解析】因为
，
化简得
，
即
，又
，
，
所以
.
故答案为：D．
8. 定义在
的函数
满足
，其中常数
、
、
均为正数，
是
的导函数，则
的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
8.【答案】D
【解析】因为定义在
的函数
满足
，其中常数
、
、
均为正数，
所以
，令
可得
，
结合四个选项可知，对任意的
，
，
当
时，
，此时函数
单调递增，
当
时，
，此时函数
单调递减，
对于A 选项，如下图所示：
由图可知，当
时，
，即函数
在
上单调递增，
当
时，
，即函数
在
上单调递增，
即
是函数
的极大值点，事实上，
不是函数
的极大值点，A 选项不符合要求；
对于B 选项，如下图所示：
设直线
与函数
图象交点的横坐标为
，
由图可知，当
时，
，
，即函数
在
上单调递增，
当
时，
，
，即函数
在
上单调递减，
事实上，函数
在
上单调递增，矛盾，B 选项不符合要求；
对于C 选项，由图可知，对任意的
，
，则
，
即函数
在
上单调递增，
由
可知，当
在
上单调递增，
在
上单调递减，
由图可知，函数
在
上单调递增，且函数
的增长速度先越来越快，后越来越慢，
则其导函数
先递增再递减，矛盾，C 选项不符合要求；
对于D 选项，由图可知，对任意的
，
，则
，
所以函数
在
上单调递增，且
的增长速度越来越慢，
由
可知，当
在
上单调递增时，
在
上单调递减，D 选
项符合要求.
故答案为：D．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9. 【新考法预测】在直三棱柱
中，
，点
是棱
上一
点，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 四棱锥
体积为6
C. 直三棱柱
外接球的表面积为
D.
的最小值为
9.【答案】ACD
【解析】对于A，直三棱柱
中，
平面
,
平面
,故
，
由于
，故
，即
，
因为
，
平面
,
平面
,
所以
平面
，
因为
棱
上一点，
平面
，
所以
，故A 选项正确；
对于B，在直三棱柱
中，
，
平面
，
平面
，故
平面
，
所以
，
过
作
，垂足为
，由等面积法得
，
在直三棱柱
中，
平面
,
平面
,故
，
因为
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
所以
，即四棱锥
的体积为
，故B 选项错误；
对于C，由题知
两两垂直，
所以直三棱柱
外接球与以
为邻边的长方体的外接球相同，
所以直三棱柱
外接球的直径为
，
所以直三棱柱
外接球的表面积为
，故C 选项正确；
对于D，将平面
展开，与平面
共面，得到如下图的矩形
，
所以
，
所以
最小值为
，故D 选项正确；
故选：ACD
10.将函数
的图象向左平移
后得到函数
的图象，若
是
偶函数，则（ ）
A.
B. 函数
的图象关于点
对称
C. 函数
在
上单调递增
D. 函数
在
上的所有零点之和为
，则
的取值范围是
10.【答案】BC
【解析】因为函数
的图象向左平移
后得到函数
的图象，
所以
，又因为
是偶函数，
所以
，得
，即
，
再由
，所以
，所以A 错误；
对于B，因为
，所以
，
所以函数
的图象关于点
对称，B 正确；
对于C，因为
，
所以
，
因为
，所以
，函数
在
单调递增，C 正确；
对于D，因为
，
所以函数
在
上的零点，转化为函数
与
图象在
上
的交点的横坐标，
令
，所以函数
在
有两条对称轴
和
，
如图：
当
时，函数
与
有两个交点，且关于
对称，
即
，所以
，得
.
当
时，函数
与
有3 个交点，
，
，所以
，得
.
所以函数
在
上的所有零点之和为
，则
，D 错误.
故选：BC.
11. 在平面直角坐标系
中，已知
，
，动圆
：
，过
点
，
分别作斜率为
，
的两条直线与动圆
相切，两切线交于第一象限的点
，
设点
到直线
的距离为
，则下列说法中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
11.【答案】ABD
【解析】设圆
与线段
交于点
，圆
与线段
交于点
，圆
与线段
交于点
，
动圆
：
，圆心为
，半径为
，
，
，
，
，
为圆
的切线，
为圆
的切线，
，
，
，
，
点
是以
，
为焦点的双曲线，且
，
，
，
点
的轨迹方程为
，
选项A，
在
上，
为焦点，
，故选项A 正确；
选项B，
渐近线方程为
，
，故选项B 正确；
选项C， 直线
的倾斜角可以是钝角，故
错误，故选项C 错误；
选项D，设过点
的切线方程为
，即
，
，
点
到直线
的距离为
，
，
，
，
，
，
，
，
，故选项D 正确.
故选：ABD.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．设位于第一象限的点P 在抛物线
上，若P 到抛物线C 焦点的距离为6，则点P 的坐标是
________．
12.【答案】
【解析】
抛物线
，
焦点
，准线方程
，
又
P 在抛物线C 上且到焦点的距离为6，
P 到准线
的距离为6，即
，
，
，
又
P 位于第一象限，
，故点
．
13. 已知向量
，
，
，若向量
满足
，则
的最大值为________.
13.【答案】
##
【解析】由题可知
，设
夹角为
，
则
，
，
设
，
，代入坐标化简得：
故
的最大值为原点到圆上的点
最大距离，如下图所示，
又圆心
，半径
，
，
故
.
14. 【新考法预测】已知
盒中装有大小相同的3 个红球和3 个黑球，
盒中装有大小相同的3 个红球，
从
盒中随机取一个球，若是红球，则放回
盒；若是黑球，则从
盒中取一红球与其替换，这样称为1
次操作，重复以上操作，直到
盒中6 个球全是红球为止.记
次重复操作后，
盒中6 个球恰好全是红球
的概率为
，则
________.
14.【答案】
【解析】若4 次重复操作后，
盒中6 个球全是红球，则1 次抽到红球，3 次抽到黑球，包含第一次、第
二次和第三次抽到红球三种情况，
所以
，
若5 次重复操作后，
盒中6 个球全是红球，则2 次抽到红球，3 次抽到黑球，包含第一次和第二次、第
一次和第三次、第一次和第四次、第二次和第三次、第二次和第四次、第三次和第四次抽到红球六种情况，
所以
，
所以
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
已知
的角
，
，
所对的边分别为
，
，
，且
，
.
（1）求
；
（2）若
的面积为2，求
和
.
15．（13 分）
【解析】（1）由正弦定理可得
，因为
，
所以
， （3 分）
所以
. （5 分）
（2）因为
，所以
，
又
所以
，
. （7 分）
所以
，即
，所以
， （9 分）
所以
，解得
，
所以
. （12 分）
因此
，
. （13 分）
16．（15 分）
【新情景】鄂尔多斯市装备制造基地的某企业生产一种零部件，其质量指标
介于
的为优
品．技术改造前，其质量指标
；技术改造后，其质量指标
．如果生
产该零部件的控制系统中有超过一半的元件正常工作，则系统就能正常工作．系统正常工作的概率称为系
统的可靠性．已知该系统中每个元件正常工作的概率都是
，且各个元件能否正常工作相互独
立．
若
，则
，
．
（1）求该企业生产的这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差；
（2）若控制系统原有3 个元件，计算该系统的可靠性；若该系统增加一个元件，判断其可靠性有何变化．
16．（15 分）
【解析】(1)由题意知，技术改造前
，
，
优品率为
. （2 分）
技术改造后
，
，
优品率为
.
，
所以该企业生产的这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差为
. （5
分）
(2)设
为原有3 个元件正常工作的个数，
， （6 分）
则系统正常工作的概率
， （9 分）
所以该系统的可靠性为
. （11 分）
设
为增加一个元件后，元件正常工作的个数，
，
则系统正常工作的概率
， （13 分）
因为
，
所以该系统增加一个元件，可靠性降低. （15 分）
17．（15 分）
如图所示，在四棱锥
中，底面
为等腰梯形，
，
，
，
为
中点，且
，平面
平面
．
（1）求证；平面
平面
；
（2）设直线
与平面
所成的角为
，求直线
与平面
所成角的余弦值．
17．（15 分）
【解析】（1）在等腰梯形
中，
，
，
，
是
的中点，
，
所以四边形
菱形，
， （3 分）
因为平面
平面
，平面
平面
，
又
，
为
的中点，所以
，
平面
，
平面
，
平面
，
，
平面
，
平面
，
， （5 分）
平面
，
平面
，
所以平面
平面
． （6 分）
（2）
由底面
为等腰梯形，如图，取
的中点
，连接
，可得
，以
为坐标原点，
，
，
所在直线分别为
，
，
轴，建立空间直角坐标系，
因为
，
，所以
，设
， （8 分）
则
， （10 分）
则
，
，
设平面
的一个法向量
，
则
，令
，得
， （12 分）
因为直线
与平面
所成的角为
，所以
，所以
，即
，
设平面
的一个法向量
，
，
，
则
，令
，得
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
． （14 分）
所以直线
与平面
所成角的余弦值为
． （15 分）
18．（17 分）
【新定义】已知定义在
上的函数
．
（1）求曲线
在点
处的切线方程；
（2）设
为函数
的图象上不同于原点
的三个不
同的点，其中
．
①证明：
；
②定义
两点间的距离如下：
，
证明：
．
18．（17 分）
【解析】（1）因为
，则
， （2 分）
又
，所以曲线
在点
处的切线方程为
. （4 分）
（2）①令
，
则
， （6 分）
令
，
则
， （7 分）
当
时，
恒成立，所以
在区间
上单调递增，
则
，又
，所以
在区间
恒成立，
所以
在区间
上单调递增，又
，则
，即
. （9 分）
②当
时，
，当且仅当
时取等号，
所以
，
要证
，即证明
，
也即证明
， （10 分）
令
，易知
，
则
， （12 分）
令
，则
，
易知当
时，
恒成立，所以
在区间
上单调递增， （13 分）
又当
时，
，所以
，则
，
所以
在区间
上单调递增， （15 分）
又
，则
，
即
，命题得证. （17 分）
19．（17 分）
已知双曲线
的焦点
到一条渐近线的距离为，且点
在双曲线
上．
（1）求双曲线
的方程；
（2）斜率为
的直线与双曲线
的右支交于
、
两点（异于点
）．
①求直线
、
的斜率之和；
②若
的外接圆圆心为
，试问在
轴上是否存在定点
使
为定值，若存在，求出
点坐标，若不存在，请说明理由．
19．（17 分）
【解析】（1）双曲线
的右焦点为
，双曲线
的渐近线方程为
，即
，
所以焦点
到一条渐近线的距离为
， （2 分）
因为点
在双曲线
上，所以
，解得
，
故双曲线
的标准方程为
. （4 分）
（2）①设点
、
，设直线
的方程为
，
因为点
不在直线
上，则
，可得
，
联立
可得
， （5 分）
则
，解得
或
，
由题意可得
，所以
且
，
所以
，
即直线
、
的斜率之和为
. （7 分）
②设
的外接圆方程为
，
则
，
由
代入
，
可得
，
可得
，
同理可得
， （9 分）
所以
、
为关于
的方程
的两根，
又因为
、
为关于
的方程
的两根，
所以方程
与方程
为同解方程，
所以
，解得
， （11 分）
易知点
，即点
，
， （13 分）
所以直线
的方程为
，即
，
当
时，直线
的方程为
，即
，
直线
与
轴的交点为
，不妨取点
，此时
， （15 分）
则
，
故在
轴上存在定点
，使得
为定值
. （17 分）
