文档文本内容
培优点04 切（割）线放缩
题型方法
题型一 单切线放缩
题型二 双切线放缩
导数方法证明不等式中，最常见的是ex和ln x 与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对ex和ln x
进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式如下：(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0 时取等号；
(2)ln x≤x－1，当且仅当x＝1 时取等号．
【题型一】单切线放缩
【例1】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，证明：
恒成立；
(2)若对任意的
，
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
题型梳理
知识清单
题型方法
【分析】（1）利用不等式
对原函数放缩可证结化成立；
（2）令
，
，
. 分
，
，
三种情况讨论，求得实数
的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，
.
令
，
，则
.
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增.
.
.
当
时，
在
上恒成立.
（2）令
，
，
则
.
若对任意
，
恒成立，则
.
令
，
，
.
①当
时，
.
由（1）知
.
在
上恒成立，且
不恒为0.
在
上单调递增.
，
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增.
，符合题意.
②当
时，
.当
时，
，
，
；当
时，
，
，
；
在
上单调递增.
，
.∴存在
，使得
.
当
时，
，则
在
上单调递减；
，则
在
上单调递减；
，则
在
上单调递减；
故当
时，
，不合题意.
③当
时，
.
若
，由②知
在
上单调递增.
则存在
，使得
，且当
时，
，
在
上单调递增；
若
，由②知
在
上单调递增.
当
时，
，
单调递增.
当
时，函数
在
上单调递增.
当
时，
，
在
上单调递减，
，
在
上单调递增.
故
时，
，不合题意.
综上所述，存在
，使得任意
，都有
恒成立.
实数
的取值范围为
.
解题技巧
该方法适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反的问题(拆成两个函数)，两函数有斜率相同的切线，这
是切线放缩的基础，引入一个中间量，分别证明两个不等式成立，然后利用不等式的传递性即可，难点在
合理拆分函数，寻找它们斜率相等的切线隔板．
【举一反三】【变式1】（2025·四川资阳·模拟预测）已知正项数列
满足
，
，记
…
，
(1)证明
是等差数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)证明
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）将条件式化简后结合等差中项公式即可证明；
（2）设等差数列
的公差为d，可得
，由裂项相消法结合
求得d，从而即可求得；
（3）借助
放缩后求和即可证明．
【详解】（1）证明：因为
，
所以
，即
，即
，
所以数列
为等差数列；
（2）设等差数列
的公差为d，
因为
，所以
，则
，
所以
，
所以
，
则
，解得
，所以
；
（3）证明：设
，
则当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
故
，故
当且仅当
时取等号，
因此
，
所以
，
又因为
,
故
【变式2】（2025·河北邯郸·二模）已知函数
，
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)证明：
.
【答案】(1)当
时，函数
在
上单调递减；当
时，函数
在
上单调递减，在
上单
调递增
(2)证明见解析
【分析】（1）由函数
的解析式可知函数
的定义域为
及导函数
，对
分
和
两类
讨论即可求解；
（2）由（1）知当
时，
，即
，进而可得
.令
，对函数
求导可知
在
上单调递增，可得
，故
，原不等式得证.
【详解】（1）由题知：
，其定义域为
，
.
当
时，则
，
在
上单调递减；
当
时，令
，解得
；令
，解得
，
∴函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上所述，当
时，函数
在
上单调递减；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）要证
，即证
.
由（1）知：当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
∴
，即
，
，
.
令
，
，
∴
在
上单调递增，
∴当
时，
，即
，
∴
，即
，
∴原不等式成立.
【点睛】本题考查利用导数讨论含参函数的单调性，证明函数不等式恒成立问题，属于难题.
研究含参函数的单调性常用分类讨论的数学思想；
对于函数不等式的证明，常采用放缩法，如本题中，证明不等式恒成立的问题关键在于不等式
的等价转化.
【变式3】（2025·河北·模拟预测）设
，
，
，若各项均为正数的数列
满足
，则称数列
具有性质“
”．
(1)已知数列
的前n 项和为
，且
，试判断数列
是否具有性质“
”，并说明理由；
(2)若数列
满足
，且
．
（i）证明：数列
具有性质“
”；
（ii）记数列
的前n 项和为
，证明：
．
【答案】(1)具有，理由见解析；
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用数列前n 项和与第n 项的关系求出通项公式，再利用否具有性质“
”的定义
推理判断.
（2）（i）根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性再证明不等式；
（ii）由（i）的结论，利用放缩法，结合等比数列前n 项和公式推理得证.
【详解】（1）数列
中，
，当
时，
，则
，
而
，解得
，因此数列
是首项和公比都为
的等比数列，
则
，
，
，
正项数列
满足
，所以数列
具有性质“
”.
（2）（i）函数
，令函数
，求导得
，
函数
在
上单调递减，则
，即
，
，
任意
，
，而
，
，则
，
，
于是
，
令
，求导得
，
函数
在
上单调递增，
，
当
时，
，
，而
，
则
，因此
；
依题意，
，
令
，
令函数
，求导得
，
令函数
，求导得
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，即当
时，
，
，
因此当
时，
，又
，则
，
于是
，
，则
，
所以数列
具有性质“
”.
（ii）由（i）知，
，则
，
当
，
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
.
【题型二】双切线放缩
【例2】已知函数
．
(1)求函数
在
处的切线方程；
(2)若不等式
有且只有两个整数解，求实数
的取值范围；
(3)若方程
有两个实数根
，且
，求证：
．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）导数几何意义即可求得曲线
在
处的切线方程；
（2）问题转化为
在
上有且只有两个整数解，令
，利用导数研究函数单调性，求实数
的取值范围；
（3）不等式左边是割线放缩，这两条割线为函数的最低点
与
及
的连线，即
与
，设两割线与直线
交点的横坐标分别为
，可证明
，
，有
，根据单调性，可得
，有
；不等式
右侧是切线放缩，这两条切线分别是
和
时的两条切线，同理可证.
【详解】（1）函数
，
时，
，
，
，
曲线
在
处的切线斜率为-2，切点坐标为
，
所以切线方程为
，即
.
（2）函数
，定义域为
，
若不等式
有且只有两个整数解，即
在
上有且只有两个整数解，
令
，则
，
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增，
，
，
，
，
在
上有且只有的两个整数解为
和
，
则有
，所以实数
的取值范围为
.
（3）函数
，定义域为
，
，
解得
，
解得
.
函数
在
上递减，在
上递增，
，
所要证的不等式左边是割线放缩，这两条割线为函数的最低点
与
及
的连线，即
与
.
设两割线与直线
交点的横坐标分别为
.
解方程可得
，
，
当
时，
，
；
当
时，
，
令
，
，
解得
，
解得
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
而
，所以
，
．
，根据单调性，
可得
，
所以，
，不等式左侧证明完毕.
不等式右侧是切线放缩，这两条切线分别是
和
时的两条切线，
由（1）可知，曲线
在
处的切线方程为
，
时
，
，
曲线
在
处的切线斜率为1，切点坐标为
，切线方程为
，
切线
和
与
的交点分别为
．
同理可得
，
综上可知，
．
【点睛】方法点睛：
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨
论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．利用导数解决
含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.证
明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，
往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
解题技巧
含有两个零点的f(x)的解析式(可能含有参数x1，x2)，告知方程f(x)＝b 有两个实根，要证明两个实根之
差小于(或大于)某个表达式．求解策略是画出f(x)的图象，并求出f(x)在两个零点处(有时候不一定是零
点处)的切线方程(有时候不是找切线，而是找过曲线上某两点的直线)，然后严格证明曲线f(x)在切线(或
所找直线)的上方或下方，进而对x1，x2作出放大或者缩小，从而实现证明
【举一反三】【变式1】（23-24 高三上·黑龙江哈尔滨）已知函数
(1)求函数
的单调区间；
(2)若
，证明:
在
上恒成立；
(3)若方程
有两个实数根
，且
，
求证:
.
【答案】(1)
的递减区间为
，递增区间为
.
(2)证明见解析.
(3)证明见解析.
【分析】（1）对
求导即可求出结果；
（2）即证
，构造
，即可证明
；
（3）分别利用切线放缩进行证明.
【详解】（1）由
，则
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，
所以
的递减区间为
，递增区间为
.
（2）因为
，
，令
所以
，
下证
，
令
，
则
，
当
时,
，当
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
所以
在
上恒成立；
（3）证明：先证右半部分不等式：
；
因为
，
，
所以
；
可求曲线
在
和
处的切线分别为
和
；
设直线
与直线，函数
的图象和直线
交点的横坐标分别为
则
则
；
因此
.
再证左半部分不等式：
.
设取曲线上两点
，
用割线
，
来限制
，
设直线
与直线
的交点的横坐标分别为
，
则
，且
，
所以
.
综上可得
成立.
【点睛】方法点睛：导数证明不等式的方法常有：
（1）最值法：移项构造函数，通过求解最值来证明；
（2）放缩法：通过构造切线或割线，利用切线放缩或者割线放缩来证明.
【变式2】（2021·广东茂名·二模）已知函数
，
.
（1）当
时，若不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
（2）若存在两个不相等的正数
，
，使得
，证明：
.
【答案】（1）
；（2）证明过程见详解.
【分析】（1）化简不等式，构造新函数
，问题转化为
在
时恒成立，利用导数分类讨论进行求解即可；
（2）对已知等式进行化简，得到
，构造函数
，求导，得到
不等式
，进而利用放缩法，结合换元法、构造新函数，利用导数进行证明即可.
【详解】（1）
，设
，
因此原问题转化为当
时，不等式
恒成立，
，
当
时，
，函数
在
时，单调递减，
所以当
时，
，所以不等式
恒成立；
当
时，
，设
，
，当
时，
，所以函数
此时是单调递增函数，且
因此函数
与函数
有唯一交点，设
，显然
，
因此当
时，
，函数
单调递增，当
时，
，函数
单调递减，因此
，显然不等式
不恒成立，不符合题意，
综上所述：实数
的取值范围是
；
（2）
，
即
，
设
，
，所以函数
是增函数，
因为
，
是两个不相等的正数，所以不妨设
，
因此有
，即
，
因此
，
即
，
，要想证明
成立，只需证明
，
因为
，所以令
，因此只需证明
在
时成立，即
在
时成立，设函数
，
，
，所以当
时，函数
单调递减，因此当
时，
，即
，因此
成立，所以
.
【点睛】关键点睛：本题的关键在于由
，联想构造函数
，进
而可以运用放缩法、换元法，通过导数的性质进行证明.
【变式3】（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知函数
，
，
(1)当
，
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)若
且
恒成立，求
的取值范围：
(3)当
时，记
，
（其中
）为
在
上的两个零点，证明：
.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)详见解析.
【分析】（1）利用导数的几何意义即求；
（2）利用参变分离法可得当
时，
，当
时，
，通过导函数研究函数
的性质可得函
数的大致图象，即得；
（3）利用放缩法可得
，即证
，再通过分析问题转化为证
在
上恒成立，
然后利用导数即证.
【详解】（1）当
，
时，
，
，
∴
，
，
∴函数
在
处的切线方程为
；
（2）由题意可知
，当
时，不等式
显然成立，故
；
当
时，
，当
时，
，
记
，则
，
∴函数
的减区间为
，函数
的增区间为
，
∴当
时，
，当
时，
∴可得
；
综上，
的取值范围为
；
（3）由上可知，
，
，
对于函数
，
∴函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，即
，
∴
，
又
，
∴
，即
，
由
，可得
，
要证
，即证
，
，
也即
，
设
，即证
在
上恒成立，
∵
，
∴
在
上单调递增，
∴
，成立
∴
，
综上，
.
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若
在区间D 上有最值，则
（1）恒成立：
；
；
（2）能成立：
；
.
若能分离常数，即将问题转化为：
（或
），则
（1）恒成立：
；
；
（2）能成立：
；
.
一、解答题
1．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）设函数
，其中
．
(1)当
时，求函数
的最小正周期及单调递增区间；
(2)记函数
在
上的最大值为
．
（i）求
关于
的表达式；
（ⅱ）证明：当
时，
在
上恒成立．
【答案】(1)
，
(2)（i）
；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）代入
，辅助角公式化简，根据三角函数的性质判断单调区间和最小正周期.（2）（i）令
，
可得
可得到关于的二次函数，讨论
的取值，求出函数的最大
值表达式；（ⅱ）由
求
，利用放缩法即可得出结论.
【详解】（1）当
时，
好题必刷
可得：
的单调递增区间为
（2）（i）令
，则
可得
．
令
当
时，
，故
．
当
时，
，对称轴
①当
时，
②当
时，
，故
在
上单调递减
③当
时，
，故
在
上单调递减
④当
时，
，故
在
上单调递减，在
上单调递增．
综上，
（ⅱ）
当
时，
而
．
2．（2024·贵州六盘水·三模）若函数
在
上有定义，且对于任意不同的
，都有
，则称
为
上的“k 类函数”
(1)若
，判断
是否为
上的“4 类函数”；
(2)若
为
上的“2 类函数”，求实数a 的取值范围；
(3)若
为
上的“2 类函数”且
，证明：
，
，
.
【答案】(1)是
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由新定义可知，利用作差及不等式的性质证明
即可；
（2）由已知条件转化为对于任意
，都有
，对函数求导后进行分离参数，利用导函数研究函数的
单调性和最值即可；
（3）分
和
两种情况进行证明，
，用放缩法
进行证明即可.
【详解】（1）函数
是
上的“4 类函数”，理由如下：
不妨设
，所以
，
，
所以
是
上的“4 类函数”；
（2）
，
，
由题意知，对于任意不同的
都有
，
不妨设
，则
，
故
且
，
所以
为
上的增函数，
为
上的减函数，
所以对任意的
，即
，
由
，令
，则
，
，
令
得
在
上单调递增，
，
由
，令
，
只需
，
，
令
得
在
单调递增，
所以
，
综上所述，实数a 的取值范围为
；
（3）证明：因为
为
上的“2 类函数”，所以
，
不妨设
，当
时，
；
当
时，因为
，
所以
，
综上所述，
，
，
.
【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数
恒成立
或
恒成立
；②数形结合（
的图象在
上方即可）；③讨论最值
或
恒成立；
④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
3．（2024·四川·模拟预测）已知函数
，且
恒成立．
(1)求实数
的取值集合；
(2)证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题可知只需证明
，利用导数研究函数的最小值即可；
（2）先利用（1）
进行放缩，再构造函数证明即可.
【详解】（1）
．
①当
时，
在
上单调递减，
当
时，
，这与
矛盾，不合题意.
②当
时，
由
得
；由
得
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
时，函数
取得唯一极小值即最小值．
又
且
，解得
，故实数
的取值集合是
．
（2）由（1）可知：
时，
，即
对任意
恒成立．
要证明：
，
则只需要证明
，
即
．
令
,
，
令
，
令
，解得
．
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增．
即函数
在
内单调递减，在
上单调递增．
而
所以存在
，使得
，
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减．
当
时，
单调递增．
又
，
对
恒成立，即
．
综上可得
4．（2025·甘肃平凉·模拟预测）定义函数
.
(1)求曲线
在
处的切线斜率；
(2)若
对任意的
恒成立，求
的取值范围；
(3)讨论函数
的零点个数，并判断
是否有最小值.若
有最小值
，证明：
；若
没有最
小值，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)有，证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）通过参变分离以及求解函数的最值得出结果；
（3）分成
为奇数，
为偶数两种情况，并借助导数和不等式放缩，分别讨论函数
的零点个数及最值.
【详解】（1）由
，
可得
，
所以曲线
在
处的切线斜率为
.
（2）由题意知
，易得
在
上单调递增，
当
，即
时，
，所以
在
上单调递增，
所以
，符合题意；
当
，即
时，令
，解得
，所以当
时，
，当
时，
，所以
在
上单调递减，在
上单调递增，所以当0
时，
，
不符合题意.
综上，
的取值范围是
.
（3）证明：由
，所以
，
当
时，
，
因此当
时，
，
此时
所以
，所以
单调递减.
此时
显然有唯一零点，无最小值.
当
时，
，
且当
时，
，
由此可知此时
不存在最小值.
从而当
时，
有唯一零点，无最小值；
当
时，即当
为偶数时，
，
此时
由
，解得
；由
，解得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
的最小值为
，
即
，所以当
时，
没有零点.
由（2）知当
时，
对任意的
恒成立，当且仅当
时等号成立，所以
，
令
，可得
，
当
时，
，
即
.
从而当
为偶数时，
没有零点，存在最小值
，且
.
综上所述，当
时，
有唯一零点，无最小值；
当
时，
没有零点，存在最小值
，且
.
5．（2025·浙江·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若存在
，使得
.证明：
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】(1)根据导函数几何意义，利用函数导数求切线方程.
(2)根据任意恒成立的解题思路，求构造函数最值，根据最值范围求参数范围.
(3)根据题干条件，列出两个函数之间的等式方程，化简求得两个参数之间的关系，列出不等式，对不等式进行放缩，
证明题目问题.
【详解】（1）当
时，
，所以
.
又因为
，所以切线方程为
.
（2）设
，只需
在
时恒成立即可，
又
，且
，所以
，即
.
下面证明
的充分性：
①当
时，由
，
令
，所以
，
记
，则
，
所以
在
上单调递增，则
，
所以
在
上单调递增，则
，所以
恒成立.
综上所述，实数
的取值范围是
.
（3）由函数
.可得
，
设
，由
，可得
，则
，
由（2）知，当
时，
，则
时，
，
所以
，则
，所以
，
代入可得：
，
则
，所以
.
6．（2023·河南·模拟预测）已知函数
．
(1)若
恒成立，求a 的取值范围；
(2)
有两个零点
，
，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分别讨论
与
，运用导数研究
的最小值与0 比较即可.
（2）运用导数研究函数的单调性进而可得函数的零点的范围，再结合（1）结论比较
与
大小即可.
【详解】（1）①当
时，
，
设
，则
，
设
，则
，
故
在
上为增函数，则
，
即
，则
在
上为增函数，
故
，故
，符合题意；
②当
时，
，
设
，则
，
因为
，且当
趋近于
时，
趋近于
，
所以
，使
，
则当
时，
，则
为减函数，
所以
，即
，
所以
为减函数，则
，不合题意．
综上所述，
．
（2）易知
的定义域为
，
，
易知
在
上为增函数，且
，
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
且当
趋近于
时，
趋近于
，当
趋近于
时，
趋近于
，
由题意可得：
，且
，解得
，
由（1）知，当
时，
，
又因为
，
所以当
时，
，
所以
，
又因为
的一个根为
，
所以
，
又因为
，
，
在
单调递增，所以
，
又因为
，则
，
所以
．
【点睛】方法点睛：运用导数证明不等式策略
（1）将不等式转化为函数的最值问题；
（2）将不等式转化为两个函数的最值进行比较；
（3）适当放缩证明不等式.
7．（2023·山东·二模）已知函数
在点
处的切线方程为
．
(1)求
，
；
(2)若函数
有两个零点
，
，且
，证明：
．
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意
，即可得到方程组，解得即可；
（2）设曲线
在
处的切线方程为
，构造函数
，利用导数说明
恒
成立，则
，设
的根为
，则
，即可得到
，同理可求出
在
处切线，
得出相同结论，求出
的范围，从而可求
的范围.
【详解】（1）因为
，所以
，
依题意
，所以
，解得
，
.
（2）由（1）可知
，令
，有
或
，
，
，
，
设曲线
在
处的切线方程为
，
则
，
令
，
则
，令
，则
，
所以当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时
，又
，
所以当
时
，
单调递减，当
时
，
单调递增，
所以
，所以
恒成立，则
，
设
的根为
，则
，又
单调递减，
且
，所以
，
已知曲线
在
处的切线为
，
令
，则
，
由前面说明
的单调性可知，
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时
，且
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
，
所以
恒成立，所以
，
设
的根为
，则
，又函数
单调递增，所以
，所以
，
所以
，
要证
，即证
，
即证
，即证
，
由于
，所以
，证毕.
【点睛】关键点睛：本题关键是利用切线进行放缩，通过
求出
的值，通过
得到
的范围，同理通过求出
处的切线
，求出
的值，通过
得到
的范围，从而求得
的范围.
