文档文本内容
第14 讲 圆周运动
目录
01
考情解码·命题预警2
02 体系构建·思维可视.........................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚.........................................................................................................................4
考点一 圆周运动的基本知识.........................................................................................................4
知识点 圆周运动的物理量......................................................................................................................... 4
考向1 圆周运动的传动问题......................................................................................................................5
【解题技巧】传动问题
考向2 圆周运动的周期性问题..................................................................................................................8
【解题技巧】圆周运动的周期性和多解问题
考点二 圆周运动的向心力...........................................................................................................11
知识点1 向心力................................................................................................................................11
知识点2 向心加速度........................................................................................................................11
知识点3 生活中的圆周运动...........................................................................................................12
考向1 水平圆盘的向心力问题..............................................................................................................13
【归纳总结】水平面内的圆周运动常见的临界问题
考向2 圆锥摆问题..................................................................................................................................17
考向3 和绳（外轨）有关的向心力问题..............................................................................................10
【归纳总结】轻绳模型情况讨论
考向4 和杆（管道）有关的向心力问题..............................................................................................24
【归纳总结】轻杆模型情况讨论
考向5 向心力中的转弯问题..................................................................................................................27
考向6 和桥有关的向心力问题..............................................................................................................30
考向7 倾斜圆盘中的向心力问题..........................................................................................................32
04 真题溯源·考向感知........................................................................................................................36
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
圆周运动的基本
知识
选择题
非选择题
江苏卷T4，4 分
辽宁卷T2，4 分
圆周运动的向心
力
选择题
非选择题
重庆卷T3，4 分
福建卷T5，6 分
广东卷T5，4 分
福建卷T13，9 分
考情分析：
1．高考对这部分内容的考查，以多种题型的形式出现，整体难度一般，个别题目有些难度，往往会以实
际生活中的例子或者设定一定的具体问题模型作为试题背景考查知识。
2．从命题思路上看，试题情景为
情景探究类：绳或杆有关的圆周运动问题。
生活实践类：齿轮类的传动问题，射击类的周期性问题，桥或者车拐弯有关问题。
复习目标：
目标一：理解圆周运动的概念，知道什么是圆周运动、匀速圆周运动。
目标二：掌握描述圆周运动的物理量，如线速度、角速度、周期、频率、转速等，并能理解它们之间的关
系。
目标三：会运用圆周运动的规律解决一些实际问题，如计算线速度、角速度、向心力等。
考点一 圆周运动的基本知识
知识点 圆周运动的物理量
1.圆周运动的认识
（1）圆周运动：轨迹为圆周或一段圆弧的机械运动。
（2）线速度：弧长 Δs 与时间 Δt 之比反映了物体在 A 点附近运动的快慢，如果 Δt 非常非常小，
就可以表示物体在 A 点时运动的快慢。公式：
。线速度的方向为物体做圆周运动时该点的切线方
向。
（3）匀速圆周运动：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等。
（4）角速度：物体转过的角 Δθ 与所用时间 Δt 之比。公式：
。角速度的单位是弧度每秒，符
号是 rad/s
。匀速圆周运动是线速度大小不变的运动，物体在相等时间内通过的弧长相等，所以物体在相
等时间内转过的角度也相等。
（5）周期：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间，用 T 表示。
（6）转速：物体转动的圈数与所用时间之比，常用符号 n 表示，转速的单位为转每秒（r/s），或转每分
（r/min）。
2.线速度与角速度的关系
（1）v ＝ ωr
，在圆周运动中，线速度的大小等于角速度的大小与半径的乘积。
3.传动模型
（1）皮带传动
特点：两轮边缘线速度大小相等（若皮带不打滑）。
物理量关系：线速度关系
；角速度关系
；齿数比与半径成正比
。
（2）同轴转动
特点：绕同一转轴转动的物体角速度相同。
物理量关系：角速度关系
；线速度与半径成正比
。
得分速记
对匀速圆周运动的理解
(1)匀速圆周运动是曲线运动，其速度方向沿着圆周上各点的切线方向，所以速度的方向时刻在变化。
(2)“匀速”的含义：速度的大小不变，即速率不变。
(3)运动性质：匀速圆周运动是一种变速运动，做匀速圆周运动的物体所受合外力不为零。
考向1 圆周运动的传动问题
例1 如图，自行车传动装置中，Ⅰ是半径为
的主动齿轮，Ⅱ是半径为
的被动齿轮，Ⅲ是半径为
且与
Ⅱ共轴的后轮，A、B、C 分别为边缘上的一个点，自行车前进时，传动装置不打滑。则（ ）
A．A、B 两点的线速度之比
B．A、B 两点的角速度之比
C．B、C 两点的线速度之比
D．B、C 两点的角速度之比
【答案】C
【详解】A． A、B 两点链条传动，线速度之比
故A 错误；
B．由
，可得
A、B 两点的角速度之比
故B 错误；
D． B、C 两点同轴转动，角速度之比
故D 错误；
C．由
，可得B、C 两点的线速度之比
故C 正确。
故选C。
解题技巧 传动问题
在处理传动装置中各物理量间的关系时，关键是确定其相同的量(线速度或角速度)，再由描述圆周运动的
各物理量间的关系，确定其他各量间的关系。
【变式训练1】如图，某同学用圆规匀速画了一个圆，用时
，并测得这个圆的半径为
。关于该同学
画圆，下列说法正确的是（ ）
A．笔尖运动的角速度为
B．笔尖运动的线速度大小为
C．笔尖运动的转速为
D．笔尖做匀变速运动
【答案】B
【详解】A．根据题意，由公式
可得，笔尖运动的角速度为
故A 错误；
B．笔尖运动的线速度大小为
故B 正确；
C．笔尖运动的转速为
故C 错误；
D．转动过程中加速度方向改变，笔尖做非匀变速运动，故D 错误。
故选B。
【变式训练2】（多选）如图是一种新概念自行车， 它没有链条， 共有三个转轮， A、B、C 转轮半径
依次减小。轮C 与轮A 啮合在一起， 骑行者踩踏板使轮C 动， 轮C 驱动轮A 转动， 从而使得整个自行
车沿路面前行， 轮胎不打滑。下列说法正确的是（ ）
A．转轮A、C 转动方向相同， 转轮A、B 转动方向不相同
B．转轮A、B、C 角速度之间的关系是
C．转轮 A、B、C 边缘线速度之间的关系是
D．转轮A、B、C 边缘向心加速度之间的关系是
【答案】BD
【详解】A．由于A、C 啮合在一起，转动方向相同，转轮A、B 向着同一方向运动，故转动方向相同，故
A 错误；
BC．自行车运动过程中，前后轮A、B 的线速度相等，由于A、C 啮合在一起，A、C 线速度也相等，故
转轮A、B、C 线速度大小相同，由线速度、角速度与半径关系可得
可知在线速度大小相等的情况下，半径越小角速度越大，结合题图可知，A 轮半径最大，C 轮半径最小，
故
故B 正确，C 错误；
D．由向心加速度
由于转轮A、B、C 线速度大小相同，所以半径越大，向心加速度越小，结合以上分析可知
故D 正确。
故选BD。
【变式训练3】（2025·福建·模拟预测）如图所示，是带有一白点的黑色圆盘，可绕过其中心，垂直于盘面
的轴匀速转动，每秒沿顺时针方向旋转
圈。在暗室中用每秒闪光
次的频闪光源照射圆盘。当
时，
观察到白点每秒沿 （选填“顺”或“逆”）时针方向旋转；当
时，白点转动一圈的时间为
s。
【答案】 逆
【详解】[1]由于光源的闪光周期小于白点做圆周运动的周期，光源每次闪光时，白点都没有来得及回到前
一次闪光时的位置，即都在前一次闪光时位置的左侧，光源连续闪光，白点的位置就连续向左逆时针移到，
所以白点逆时针旋转；
[2]白点的频率为
，白点的角速度为
光源的频率为
，光源的角速度为
设白点转动一圈的时间为t，则
解得
考向2 圆周运动的周期性问题
例2（多选）如图所示，直径为
的薄圆筒绕竖直中心轴线匀速转动。一颗子弹以水平速度
靠近薄圆筒
沿截面的直径方向从左侧水平射入，若子弹击穿薄圆筒前后水平速度不变，从右侧射出薄圆筒后，发现两
弹孔在同一竖直线上，高度差为，重力加速度为
，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．
C．圆筒转动的角速度可能为
D．圆筒转动的角速度可能为
【答案】AC
【详解】A B．子弹在圆筒中做平抛运动，在竖直方向有
在水平方向上有
解得
故A 正确，B 错误；
CD．因为两弹孔在同一竖直线上，所以有
又
联立解得
当n=1 时
当n=2 时
故C 正确，D 错误。
故选AC。
解题技巧 圆周运动的周期性和多解问题
(1)研究对象：匀速圆周运动的多解问题含有两个做不同运动的物体。
(2)运动特点：一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动(如平抛运动、匀速直线运动等)。
(3)运动的关系：根据两物体运动的时间相等建立等式，求解待求物理量。
【变式训练1】（多选）如图所示，半径为R 的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。子弹（可视
为质点）以大小为v0的水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖
直线上，不计空气阻力及圆筒对子弹运动的影响，重力加速度大小为g，圆筒足够长，下列说法正确的是
（ ）
A．子弹在圆筒中的运动时间为
B．圆筒转动的周期为
C．两弹孔的高度差为
D．若仅改变圆筒的转速，则子弹不可能在圆筒上只打出一个弹孔
【答案】CD
【详解】A．子弹在圆筒中的运动时间为
，A 错误；
B．根据题意
解得
，B 错误；
C．两弹孔的高度差为
，
解得
，C 正确；
D．因为子弹在竖直方向做自由落体运动，若仅改变圆筒的转速，则子弹在圆筒上一定打出两个弹孔，而
且两个弹孔不在同一个水平面上，D 正确。
故选CD。
【变式训练2】（23-24 高一下·福建福州·期末）如图所示，直径
的纸筒以转速
绕轴O 逆
时针匀速转动，从玩具枪枪口发射的子弹（可视为质点）沿直径穿过圆筒。若子弹在圆筒上只留下一个弹
孔，则圆桶转动的角速度为 rad/s；子弹穿过纸筒的最大平均速度为 m/s。（
）
【答案】 62.8 10
【详解】[1] 匀速圆周运动的角速度为
[2]在子弹飞行的时间内，圆筒转动的角度为
时间
可得
时子弹的平均速度最大
考点二 圆周运动的向心力
知识点1 向心力
1.向心力
（1）定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心。这个指向圆心的力就叫作向心力。
（2）特点：向心力是由某个力或者几个力的合力提供的，是根据力的作用效果命名的。向心力只改变速
度的方向。
（3）公式：
。
2.匀速圆周运动和变速圆周运动的区别和联系
（1）匀速圆周运动所受的合力等于向心力，指向圆心；变速圆周运动所受的合力不等于向心力，不指向
圆心。
（2）匀速圆周运动所受的合力只改变速度的方向；变速圆周运动所受的合力既改变速度的方向又改变速
度的大小。
知识点2 向心加速度
（1）定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，我们把它叫作向心加速度。
（2）公式：
。
知识点3 生活中的圆周运动
1.火车拐弯
火车车轮有突出的轮缘 果两轨高度相同， 重力 G 与支持力 FN
外轨作用在轮缘上的力 F 提供了向心力 的合力 F 提供了向心力
在弯道处使外轨略高于内轨，火车转弯时铁轨对火车的支持力 FN 的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的
内侧，它与重力 G 的合力指向圆心，为火车转弯提供了一部分向心力。这就减轻了轮缘与外轨间的挤压。
2.汽车过桥
汽车通过拱形桥
汽车在竖直方向受到重
力 G 和桥的支持力
FN，它们的合力就是使
汽车做圆周运动的向心
力 F
F ＝ G － FN
汽车通过凹形路面
汽车在竖直方向受到重
力 G 和桥的支持力
FN，它们的合力就是使
汽车做圆周运动的向心
力 F
F ＝ FN －G
3.航天器中的失重现象
航天器中的航天员除了地球引力外，还可能受到飞船座舱对他的支持力 FN。引力与支持力的合力为他提
供了绕地球做匀速圆周运动所需的向心力。
。
4.离心运动
（1）做圆周运动的物体，由于惯性，总有沿着切线方向飞出去的倾向。但是物体没有飞出去，这是因为
向心力在拉着它，使它与圆心的距离保持不变。一旦向心力突然消失，物体就会沿切线方向飞出去。
物体的离心运动与受力情况
（2）在水平公路上行驶的汽车，如果转弯时速度过大，所需向心力 F 很大，大于最大静摩擦力 Fmax，汽
车将做离心运动而造成事故。因此，在公路弯道，车辆不允许超过规定的速度。
考向1 水平圆盘的向心力问题
例1（多选）如图，水平圆盘的圆心О 处开一小孔，沿径向固定一长度为L 的细玻璃管PQ，Р 端与圆盘边
缘重合，Q 端与圆心О 重合，管内有一半径略小、质量为m 的小球，系在小球上的轻绳穿过小孔，下端悬
挂重物，圆盘在电机驱动下可绕竖直轴OO匀速转动，转速为n 时重物处于悬停状态，不计一切摩擦，重
力加速度大小为 g。下列说法正确的是（ ）
A．小球越靠近Q 端，悬停的重物质量越大
B．小球越靠近Р 端，悬停的重物质量越大
C．若小球处于玻璃管正中间，悬停的重物质量为
D．若略微增大圆盘转速，重物将上升一定高度后再悬停
【答案】BC
【详解】AB．重物重力等于小球的向心力，根据
小球越靠近Q 端，悬停的重物质量越小；小球越靠近Р 端，悬停的重物质量越大，A 错误，B 正确；
C．若小球处于玻璃管正中间，则
得
C 正确；
D．若略微增大圆盘转速，小球所需向心力变大，小球做离心运动，由于重物的重力不变，则重物持续上
升，D 错误。
故选BC。
归纳总结 水平面内的圆周运动常见的临界问题
(1)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到最大值。
(2)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0。
(3)绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。
(4)物体所受支持力为0 或绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为0。
【变式训练1】（多选）如图甲所示，将质量为m 的物块A 和质量为M 的物块B 放在水平转盘上，两者用
长为L 的水平轻绳连接，物块与转盘间的最大静摩擦力均为各自重力的k 倍，物块A 与转轴的距离等于轻
绳长度，整个装置能绕通过转盘中心的竖直轴转动。开始时，轻绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止
开始转动，使角速度缓慢增大，绳中张力
与转动角速度的平方
的关系如图乙所示，当角速度的平方
超过
时，物块A、B 开始滑动。若图乙中的
、
及重力加速度g 均为已知，下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】由题图乙可知，当转盘角速度的二次方为
时，A、B 间的细绳开始出现拉力，可知此时B 达
到最大静摩擦力，根据牛顿第二定律有
当转盘角速度的二次方为
时，A 达到最大静摩擦力，对A 分析，根据牛顿第二定律有
对B 分析有
联立解得
，
，
故选AC。
【变式训练2】（多选）如图所示，有一个很大的圆形餐桌，水平桌面中间嵌着一可绕中心轴О 转动的圆
盘，圆盘上A 处放一质量为m 的菜盘，B 处放一质量为
的菜盘，
，圆盘匀速转动，两菜盘
均视为质点且不打滑。下列说法正确的是（ ）
A．A、B 两处菜盘的周期之比为
B．A、B 两处菜盘的线速度大小之比为
C．A、B 两处菜盘的向心加速度大小之比为
D．A、B 两处菜盘受到的静摩擦力大小之比为
【答案】BD
【详解】A．两菜盘均视为质点且不打滑，圆盘上A、B 两个点，属于同轴转动，则
根据角速度与周期关系式知
可知A、B 两处菜盘的周期之比为
，A 错误；
B．根据公式知
由题可知
可知A、B 两处菜盘的线速度大小之比为
，B 正确；
C．根据公式知
可知A、B 两处菜盘的向心加速度大小之比为
，C 错误；
D．根据公式知
由题可知
A、B 两处菜盘受到的静摩擦力提供菜盘做圆周运动向心力，则受到的静摩擦力大小之比为
，
D 正确；
故选BD。
【变式训练3】如图，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台缓慢加速转动，当转速达到某一数值时，物
块恰好滑离转台开始做平抛运动。现测得转台半径
，离水平地面的高度
，物块与转台间
的动摩擦因数
。设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度
，求：
(1)物块离开转台边缘时转台的角速度
；
(2)物块落地时速度与水平方向夹角的正切值；
(3)物块落地点到转台中心O 点的水平距离。
【答案】(1)
(2)2
(3)1m
【详解】（1）物块恰好滑离转台时物块与转台之间为滑动摩擦力，即
解得
（2）物块竖直方向做自由落体运动，则
解得
物块做平抛运动时，水平方向的速度为
物块落地时的速度与水平方向夹角的正切值为
（3）物块做平抛运动时竖直方向有
解得
t=0.4s
物块做平抛运动的水平位移为
由几何关系得：物块落地点到转台中心O 点的水平距离为
解得
L=1m
考向2 圆锥摆问题
例2 如图所示，半球形陶罐固定在可绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O 的对称轴
OO'重合。转台以一定角速度匀速转动，一小物块落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且
相对陶罐壁静止，此时小物块受到的摩擦力恰好为0，且它和O 点的高度差为h，重力加速度为g，则转台
的角速度大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设半球形陶罐的半径为R，物体到球心O 的连线跟竖直方向成θ 角，则对小物块，由牛顿第二定
律有mgtanθ=mω2Rsinθ
由几何关系有h=Rcosθ
联立两式解得
故选B。
【变式训练1】（2025·福建漳州·模拟预测）如图所示，竖直转轴
垂直于光滑水平桌面，A 是距水平桌
面高h 的轴上的一点，A 点固定有两铰链。两轻质细杆的一端接到铰链上，并可绕铰链上的光滑轴在竖直
面内转动，细杆的另一端分别固定质量均为m 的小球B 和C，杆长
，重力加速度为g。当
轴转动时，B、C 两小球以O 为圆心在桌面上做圆周运动。在
轴的角速度
由零缓慢增大的过程中，
下列说法正确的是（ ）
A．两小球的线速度大小相等
B．小球B 先离开桌面
C．两小球的向心加速度大小相等
D．当
时，两小球对桌面均无压力
【答案】D
【详解】A．由题知，两球同轴转动，故两球的角速度相同，但半径不同，根据
可知线速度大小不相等，故A 错误；
BD．设杆与竖直方向的夹角为
，要离开桌面需满足
可得
解得
此时对桌面无压力，与角度无关，则两球同时离开桌面，故D 正确，B 错误；
C．向心加速度
因半径不同，则加速度大小不相等，故C 错误。
故选D。
【变式训练2】（24-25 高三上·福建泉州·期末）（多选）如图，某同学用玻璃杯扣住乒乓球快速摇晃，使
球在杯壁内侧转动而不掉下来。若乒乓球近似在水平面上做匀速圆周运动，杯子侧壁与竖直方向的夹角约
为
，忽略摩擦力和空气阻力，则乒乓球（ ）
A．所需的向心力方向不变
B．所需的向心力大小不变
C．所需的向心力小于弹力
D．所需的向心力大于弹力
【答案】BC
【详解】AB．对小球进行受力分析，如图所示
则小球的向心力为
可知向心力的大小不变，方向时刻变化，故A 错误，B 正确；
CD．由受力分析，可得小球受到的弹力为
因
，所以所需的向心力小于弹力，故C 正确，D 错误。
故选BC。
【变式训练3】（24-25 高三上·福建厦门·期中）如图所示，一根原长为L 的轻弹簧套在光滑直杆AB 上，
其下端固定在杆的A 端，质量为m 的小球也套在杆上且与弹簧的上端相连。小球和杆一起绕经过杆A 端的
竖直轴OO′匀速转动，且杆与水平面间始终保持θ＝37°角。已知杆处于静止状态时弹簧长度为0.5L，重力
加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
(1)求弹簧的劲度系数k；
(2)求弹簧为原长时，小球对杆的压力；
(3)求弹簧为原长时，小球角速度ω0。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）对球受力分析，由平衡条件
解得弹簧的劲度系数为
（2）当弹簧弹力为零时，小球在水平方向做圆周运动，竖直方向受力平衡，则
（3）当弹簧弹力为零时，小球只受到重力和杆的支持力，它们的合力提供向心力，则有
解得
考向3 和绳（外轨）有关的向心力问题
例3（多选）长为L 的轻质细绳一端固定，另一端拴一小球在竖直面内做圆周运动，如图所示，重力加速
度大小为g，则下列说法正确的是（ ）
A．小球在最高点时所需向心力一定等于重力
B．小球在最高点时细绳的拉力不可能为零
C．小球在最低点时细绳的拉力不可能为零
D．小球在最高点的速度不小于
【答案】CD
【详解】ABD．小球在最高点时，根据牛顿第二定律有
可知小球在最高点时细绳的拉力为零时，小球在最高点的速度最小，为
可知小球在最高点时所需向心力不一定等于重力，小球在最高点时细绳的拉力可能为零，小球在最高点的
速度不小于
，故AB 错误，D 正确；
C．小球在最低点时，根据牛顿第二定律有
小球在最低点时，速度最大，不为零，故小球在最低点时细绳的拉力不可能为零，故C 正确。
故选CD。
【变式训练1】（多选）杂技表演水流星如图所示，一根绳系着盛水的杯子，随着演员的抡动，杯子就在
竖直平面做圆周运动，已知轨迹半径为
，水的质量200g，杯子的质量50g，绳子质量不计，重力
加速度为
，则下列说法正确的是（ ）
A．杯子运动到最高点时，水刚好不落下，则最高点速度为
B．当杯子到最高点速度为
时，则水对杯子的弹力大小为16N，方向竖直向下
C．杯子在运动过程中做的是变速圆周运动，沿圆周下降过程速度增加是因为合力沿切线方向的分力与
速度同向
D．杯子在最低点时处于超重状态
【答案】CD
【详解】A．杯子运动到最高点时，水刚好不落下，对水则有
所以杯子在最高点时的速度为
故A 错误；
B．当杯子到最高点速度为6m/s 时，对水根据牛顿第二定律有
解得
即杯子对水的弹力为16N，方向竖直向下，根据牛顿第三定律可得水对杯子的弹力大小为16N，方向竖直
向上，故B 错误；
C．杯子在运动过程中做的是变速圆周运动，沿圆周下降过程速度增加是因为其受到的合力沿切线方向的
分力与速度同向，故C 正确；
D．杯子在最低点时加速度方向竖直向上，此时杯子处于超重状态，故D 正确。
故选 CD。
归纳总结 轻绳模型情况讨论
（1）
，即重力恰好提供小球所需要的向心力，小球所受绳的拉力(或轨道的压
力)为零。
（2）
，即重力大于小球所需要的向心力，小球脱离轨道，不能达到最高点。
（3）
，即重力小于小球所需要的向心力，小球还受到向下的力，重力和向下的力
的合力提供向心力。
【变式训练2】秋千是一项很刺激的娱乐项目， 人们可以尽情享受失重所带来的快感。秋千荡的越高，摆
幅越大， 就越刺激。
荡秋千是孩子们非常喜欢的游戏运动， 如图所示。若小孩可看做质点， 不计一切阻力， 则小孩在最高
点A 所受的合力方向是图中的 （选填a、b、c 或d） ，小孩从最高点A 摆至最低点B 的过程中，
绳子所受的拉力 （选填“变大”、“变小”或“不变”），若小孩摆至A 点时，所有的外力消
失，小孩将 （选填“竖直下落”、“静止”或“匀速直线运动”）。
【答案】
变大 静止
【详解】[1] 小孩在最高点A 受重力与绳子拉力作用，将重力分解，沿绳方向平衡，则合力方向是图中的
b；
[2] 小孩从最高点A 摆至最低点B 的过程中，速度逐渐增大，根据
可知
拉力不断增大；
[3] 小孩摆至A 点时，速度为0，若所有的外力消失，根据牛顿第一定律可知，小孩将静止。
【变式训练3】如图,一不可伸长的轻绳上端悬挂于O 点，下端系一质量m=1.0kg 的小球，轻绳所能承受的
最大拉力大小T=26N。现将小球拉到A 点（保持绳绷直）由静止释放，当它经过B 点时绳恰好被拉断，小
球平抛后落在水平地面上的C 点。地面上的D 点与OB 在同一竖直线上，已知绳长L=1.0m，B 点离地高度
H=5.0m，重力加速度g 取10m/s2，不计空气影响，求：
(1)小球运动到B 点的速度大小vB；
(2)地面上DC 两点间的距离s。
【答案】(1)4m/s
(2)4m
【详解】（1）小球下摆到B，绳子的拉力和小球重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律可得
由题意可知
，解得小球运动到B 点的速度大小为
（2）小球从B 到C 做平抛运动，水平方向有
竖直方向有
联立解得地面上DC 两点间的距离
考向4 和杆（管道）有关的向心力问题
例4（2025·福建厦门·三模）（多选）如图甲所示，轻杆的一端固定一小球（可视为质点），另一端套在
光滑的水平轴O 上，水平轴的正上方有一速度传感器（图中未画出），可以测量小球通过最高点时的速度
大小v，水平轴O 处有一力传感器（图中未画出），可以测量小球通过最高点时水平轴受到的杆的作用力
F，若取竖直向下为F 的正方向，在最低点时给小球不同的初速度，得到的F﹣v2（v 为小球在最高点时的
速度）图像如图乙所示，取重力加速度大小g＝10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．小球的质量为10kg
B．轻杆的长度为1.8m
C．若小球通过最高点时的速度大小为3.6m/s，则轻杆对小球的作用力大小为6.4N
D．若小球通过最高点时的速度大小为6m/s，则小球受到的合力为10N
【答案】CD
【详解】AB．设杆的长度为L，水平轴受到的杆的作用力F 与杆对小球的作用力大小相等、方向相反，因
此对小球受力分析则有
整理可得
对比题图乙可知m＝1kg，L＝3.6m
AB 错误；
CD．当v＝3.6m/s 时，代入上式得F＝6.4N，即杆对小球的作用力大小为6.4N，若小球通过最高点时的速
度大小为6m/s，则小球受到的合力
CD 正确。
故选CD。
归纳总结 轻杆模型情况讨论
（1）
，即重力恰好提供小球所需要的向心力，轻杆（或管道）与小球之间无作
用力。
（2）
，即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力，重力和向上的
支持力的合力提供向心力。
（3）
，即重力小于小球所需要的向心力，小球还受到向下的力，重力和向下的力
的合力提供向心力。
【变式训练1】（2023 高三·福建莆田·专题练习）如图所示，长为
的轻杆一端与小球相连，另一
端可绕光滑转轴在竖直面内自由转动。现在最低点使小球获得
的水平速度，使小球开始绕轴圆
周运动，重力加速度g 取
，小球质量为0.1kg，则当小球运动到最高点时，杆对小球的作用力大小为
（ ）
A．0
B．2N
C．0.5N
D．
【答案】B
【详解】小球从最低点到达最高点，由动能定理有
在最高点对小球受力分析，有
解得
故选B。
【变式训练2】（23-24 高一下·福建福州·期末）电动打夯机可以用来平整地面。如图为某小型电动打夯机
的结构示意图，质量为m 的摆锤通过轻杆与总质量为M 的底座（含电动机）上的转轴相连，电动机通过皮
带传动，使摆锤绕转轴O 在竖直面内以角速度
匀速转动，转动半径为R。已知打夯机底座始终没有离开
地面。求：
（1）摆锤在最低点和最高点时打夯机对地面的压力差；
（2）要使第（1）问压力差达到最大，求：打夯机角速度
的值和压力差的最大值。
【答案】（1）
；（2）
，
【详解】（1）当摆锤转到顶端时，轻杆对摆锤的作用力大小为
，有
对打夯机有
当摆锤转到底端时，轻杆对摆锤的作用力大小为
，有
对打夯机有
故
联立解得
（2）当底座刚好对地面无压力，打夯机转动的角速度达到最大，有
解得角速度为
代入
得
考向5 向心力中的转弯问题
例5 （23-24 高一下·福建福州·期末）（多选）鼓岭是位于福州晋安区宦溪镇的避暑胜地，山高800 多米，
吸引了游客来参观。盘山公路转弯处路面造得外高内低，例如当车向右转弯时，司机左侧的路面比右侧的
要高一些。设路面与水平面的夹角为
，某质量为m 的汽车，转弯时速度大小为v，转弯轨迹均可视为半
径为R 的圆弧。下列表达式正确的是（ ）
A．汽车此时所需向心力F 的大小
B．汽车此时所需向心力F 的大小
C．若汽车超过某速度而向外滑动时，一定受到沿转弯轨迹半径方向向外的作用力
D．若车轮与路面的横向（即垂直于前进方向）摩擦力为零，则车速为
【答案】BD
【详解】AB．根据向心力公式可知汽车此时所需向心力F 的大小
故B 正确，A 错误；
C．汽车在路面上行驶，最多可能受到的力为重力、路面的摩擦力和路面的支持力三个力，不可能受到沿
转弯轨迹半径方向向外的作用力，故C 错误；
D．若车轮与路面的横向（即垂直于前进方向）摩擦力为零，此时车的受力分析如图所示
根据
可得车速
故D 正确。
故选BD。
【变式训练1】（2024·福建泉州·二模）2023 年9 月28 日中国首条时速350 公里跨海高铁——福厦高铁正
式开通运营，福州至厦门两地间形成“一小时生活圈”。如图甲，一满载旅客的复兴号列车以大小为v 的
速度通过斜面内的一段圆弧形铁轨时，车轮对铁轨恰好都没有侧向挤压。图乙为该段铁轨内、外轨道的截
面图。下列说法正确的是（ ）
A．列车受到重力、轨道的支持力和向心力
B．若列车以大于v 的速度通过该圆弧轨道，车轮将侧向挤压外轨
C．若列车空载时仍以v 的速度通过该圆弧轨道，车轮将侧向挤压内轨
D．若列车以不同的速度通过该圆弧轨道，列车对轨道的压力大小不变
【答案】B
【详解】A．根据题意可知，列车受重力、轨道的支持力，由这两个力的合力提供列车做圆周运动的向心
力，故A 错误；
B．设轨道的倾角为
，圆弧轨道半径为
，则可知，当列车以速度v 通过圆弧轨道时，由牛顿第二定律有
当速度大于v 时，重力与轨道的支持力不足以提供火车转弯时的向心力，此时火车车轮将侧向挤压外轨，
使外轨产生弹力，以补足火车转弯所需的向心力，则有
（
）
故B 正确；
C．若列车以v 的速度通过该圆弧轨道，由
可得
即只要满足转弯时的速度为，列车就不会对内外轨产生挤压，与列车是否空载无关，故C 错误；
D．根据以上分析可知，若列车速度大于v，列车车轮将挤压外轨，根据
（
）
可知，速度越大，外轨对火车的弹力越大，即火车对外轨的弹力越大，则根据平行四边形定则可知，火车
在垂直轨道方向的压力与对侧向轨道的压力的合力将随着速度的增加而增加；同理，当火车速度小于v 时，
重力与支持力的合力将大于其转弯所需的向心力，此时火车车轮将挤压内轨，有
（
）
显然速度越小对内侧轨道的压力越大，根据平行四边形定则可知，火车对整个轨道的压力越大，故D 错误。
故选B。
【变式训练2】（23-24 高一下·福建福州·期末）如图为小明同学拍摄的高速公路某弯道处的照片，通过请
教施工人员得知，该段公路宽度为16m，内外侧的高度差为2m，某车道设计安全时速为25m/s（无侧滑趋
势）。已知角度较小时，角的正切值可近似等于正弦值，若g 取
。根据所学圆周运动得知识，可计
算出该车道的转弯半径为 m；若汽车在该处的行驶速度大于25m/s，则汽车有向弯道
（填“内侧”或“外侧”）滑动的趋势。
【答案】 500 外侧
【详解】[1]汽车受力如图
由牛顿第二定律可知
由几何关系知
联立解得
[2]若汽车在该处的行驶速度大于25m/s，因为速度变大，汽车需要的向心力增大，而由重力和支持力的合
力提的向心力不足，则汽车将要有做离心运动的趋势，所以有向外滑动的趋势。
考向6 和桥有关的向心力问题
例6 城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥。如图所示，桥面是半径为R 的圆弧形的立交桥AB 横
跨在水平路面上，一辆质量为m 的小汽车，从A 端以不变的速率驶过该立交桥，小汽车速度大小为
，则
（ ）
A．小汽车通过桥顶时处于超重状态
B．小汽车通过桥顶时处于平衡状态
C．小汽车在桥上最高点受到桥面的支持力大小为
D．小汽车到达桥顶时的速度必须大于
【答案】C
【详解】ABC．由圆周运动知识知，小汽车通过桥顶时，其加速度方向向下，由牛顿第二定律得
解得小汽车在桥上最高点受到桥面的支持力大小为
物体处于失重状态，故AB 错误，C 正确；
D．由
解得
故D 错误。
故选C。
【变式训练1】（2025·福建漳州·模拟预测）如图所示，质量
的汽车以不变的速率先后驶过
凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为60m，如果桥面承受的压力不得超过
，则：
(1)汽车允许的最大速率
(2)若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力F= N。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）汽车在最低点受到的支持力最大，即
，此时速度最大，根据牛顿第二定律得
代入数据解得
（2）当汽车运动到最高点时，支持力
最小，根据牛顿第二定律得
联立以上，代入数据解得
根据牛顿第三定律，最小压力为
【变式训练2】（23-24 高三上·福建泉州·期中）如图所示，质量
的汽车以一定的速率驶过凸
形桥面的顶部，桥面的圆弧半径为10m，桥面顶部与水平路面的高度差为
。g 取
。
（Ⅰ）若汽车以5m/s 的速率驶过凸形桥面的顶部。求汽车对桥面的压力大小；
（2）若汽车通过拱桥最高点时刚好腾空飞起，求汽车此时的速率；
（3）若汽车以（2）的速率驶过凸形桥面的顶部，汽车到达水平路面时，离开桥顶的水平距离为多少？
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）汽车以5m/s 的速率驶过凸形桥面的顶部时，设桥面的支持力为FN，则有
代入数据得
根据牛顿第三定律，汽车对桥面的压力大小为
；
（2）汽车驶过凸形桥面的顶部，刚脱离桥面的速度为
，则有
解得
（3）若汽车以10m/s 的速率驶过凸形桥面的顶部，汽车将离开桥面做平抛运动，由
汽车在空中运动时间
离桥顶的水平距离
考向7 倾斜圆盘中的向心力问题
例7 如图所示，倾角θ=30°的斜面固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，斜面最低点在转轴O1O2上。将
质量为m 的小物块（可视为质点）放置于斜面的顶端，斜面底面长为L，小物块始终和斜面相对静止；已
知小物块与斜面之间动摩擦因数为
，重力加速度为g，最大静摩擦等于滑动摩擦力；求：
（1）当小物块不受摩擦力时，水平转台的角速度ω0为多少？
（2）要使小物块始终和斜面相对静止，水平转台的角速度取值范围是多少？
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）当小物块不受摩擦力时
解得
（2）当小物块刚要沿斜面下滑时，受力分析如图
水平方向
竖直方向
解得
当小物块刚要沿斜面上滑时，受力分析如图
水平方向
竖直方向
解得
则要使小物块不下滑，水平转台的角速度取值范围
【变式训练1】如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω 转动，盘面上离
转轴2.5m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为
，设最大静摩擦力等
于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为30°，g 取10m/s2，则以下说法中不正确的是（ ）
A．小物体随圆盘做匀速圆周运动时，一定始终受到三个力的作用
B．小物体随圆盘以不同的角速度ω 做匀速圆周运动时，ω 越大，小物体在最高点处受到的摩擦力一定
越大
C．小物体受到的摩擦力可能背离圆心
D．ω 的最大值是1.0rad/s
【答案】B
【详解】AD．当物体转到圆盘的最低点且恰好不滑动时，圆盘的角速度最大，此时小物体受竖直向下的
重力、垂直于圆盘向上的支持力、沿圆盘指向圆心的摩擦力，则沿圆盘的合力提供向心力有
代入题中数据，解得
当物体在最高点时，若只受到重力与支持力2 个力的作用，合力提供向心力，此时有
解得ω=
此时物体不能随圆盘一直保持静止，故假设不成立，物体一定受摩擦力作用，故AD 正确，不符合题意；
BC．由以上分析可知小物体在最高点时若
，摩擦力的方向沿半径向上（背离圆心），ω 越大，
小物体在最高点处受到的摩擦力越小，故B 错误，符合题意，C 正确，不符合题意。
故选B。
【变式训练2】如图（a）所示，倾斜圆盘与水平面的夹角为
，它可绕过圆心且垂直于圆盘的转轴匀速转
动，在圆盘平面内以圆心O 为原点建立平面直角坐标系，x 轴沿水平方向，y 轴沿盘面向上。圆盘上一小
滑块始终与圆盘保持相对静止，其所受摩擦力沿x、y 轴的投影
、
的关系如图（b）所示。则滑块与圆
盘之间的动摩擦因数至少为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设图（b）圆与
轴正方向的交点的纵坐标为
，则
解得
结合图（b）知，滑块运动至最高点时，所受的静摩擦力最小，方向指向圆心，大小为
。
由牛顿第二定律得
滑块运动至最低点时，所受的静摩擦力最大，方向指向圆心，大小为
由牛顿第二定律得
且满足
联立知，滑块与圆盘之间的动摩擦因数
。
故选A。
1．（2025·福建·高考真题）（多选）春晚上转手绢的机器人，手绢上有P、Q 两点，圆心为O，
，手绢做匀速圆周运动，则（ ）
A．P、Q 线速度之比为
B．P、Q 角速度之比为
C．P、Q 向心加速度之比为
D．P 点所受合外力总是指向O
【答案】AD
【详解】B．手绢做匀速圆周运动，由图可知
、
属于同轴传动模型，故角速度相等，即角速度之比为
，B 错误；
A．由
可知，
、
线速度之比
得A 正确；
C．由
可知，
、
向心加速度之比
得C 错误；
D．做匀速圆周运动的物体，其合外力等于向心力，故合力总是指向圆心
，D 正确。
故选AD。
2．（2025·山东·高考真题）（多选）如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地
面上以O 点为圆心，半径R1=5m 的圆形区域，OO′垂直地面，无人机在离地面高度H=20m 的空中绕O′点、
平行地面做半径R2=3m 的匀速圆周运动，A、B 为圆周上的两点，∠AO′B=90°。若物品相对无人机无初速
度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周
运动经过A 点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地
后即静止，重力加速度大小g=10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．无人机运动到B 点时，在A 点释放的物品已经落地
D．无人机运动到B 点时，在A 点释放的物品尚未落地
【答案】BC
【详解】AB．物品从无人机上释放后，做平抛运动，竖直方向
可得
要使得物品落点在目标区域内，水平方向满足
最大角速度等于
联立可得
故A 错误，B 正确；
CD．无人机从A 到B 的时间
由于t′>t
可知无人机运动到B 点时，在A 点释放的物品已经落地，故C 正确，D 错误。
故选BC。
3.（2025·江苏·高考真题）游乐设施“旋转杯”的底盘和转杯分别以
、
为转轴，在水平面内沿顺时针
方向匀速转动。
固定在底盘上。某时刻转杯转到如图所示位置，杯上A 点与
、
恰好在同一条直线
上。则（ ）
A．A 点做匀速圆周运动
B．
点做匀速圆周运动
C．此时A 点的速度小于
点
D．此时A 点的速度等于
点
【答案】B
【详解】A．A 点运动为A 点绕
的圆周运动和
相对于O 的圆周运动的合运动，故轨迹不是圆周，故不
做匀速圆周运动，故A 错误；
B．根据题意
固定在底盘上，故可知
围绕O 点做匀速圆周运动，故B 正确；
CD．杯上A 点与
、
恰好在同一条直线上时且
在
延长线上，
点和
点运动运动方向相同，又
A 点相对
点做圆周运动，故此时A 的速度大于
的速度，故CD 错误。
故选B。
4．（2025·山东·高考真题）某同学用不可伸长的细线系一个质量为
的发光小球，让小球在竖直面内
绕一固定点做半径为
的圆周运动。在小球经过最低点附近时拍摄了一张照片，曝光时间为
。由于
小球运动，在照片上留下了一条长度约为半径
的圆弧形径迹。根据以上数据估算小球在最低点时细线的
拉力大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】根据题意可知在曝光时间内小球运动的长度为
近似认为在曝光时间内小球做匀速直线运动，故有
在最低点根据牛顿第二定律有
代入数据解得T=7N
故选C。
5．（2024·江苏·高考真题）制作陶瓷时，在水平面内匀速转动的台面上有一些陶屑。假设陶屑与台面间的
动摩擦因数均相同，最大静摩擦力等于滑动摩檫力。将陶屑视为质点，则（ ）
A．离转轴越近的陶屑质量越大
B．离转轴越远的陶屑质量越大
C．陶屑只能分布在台面的边缘处
D．陶屑只能分布在一定半径的圆内
【答案】D
【详解】与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力为最大静摩擦力时，
根据牛顿第二定律可得
解得
因与台面相对静止的这些陶屑的角速度相同，由此可知能与台面相对静止的陶屑离转轴的距离与陶屑质量
无关，只要在台面上不发生相对滑动的位置都有陶屑。μ 与ω 均一定，故
为定值，即陶屑离转轴最远
的陶屑距离不超过
，即陶屑只能分布在半径为
的圆内。故ABC 错误，故D 正确。
故选D。
6．（2024·广东·高考真题）如图所示，在细绳的拉动下，半径为r 的卷轴可绕其固定的中心点O 在水平面
内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l 的细管，管底在O 点。细管内有一根原长为
、劲度系数为k
的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v 匀速拉动细绳时，
插销做匀速圆周运动。若v 过大，插销会卡进固定的端盖。使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限
度内。要使卷轴转动不停止，v 的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】有题意可知当插销刚卡紧固定端盖时弹簧的伸长量为
，根据胡克定律有
插销与卷轴同轴转动，角速度相同，对插销有弹力提供向心力
对卷轴有
联立解得
故选A。
6．（2023·浙江·高考真题）如图所示，在考虑空气阻力的情况下，一小石子从O 点抛出沿轨迹
运动，
其中P 是最高点。若空气阻力大小与瞬时速度大小成正比，则小石子竖直方向分运动的加速度大小
（ ）
A．O 点最大
B．P 点最大
C．Q 点最大
D．整个运动过程保持不变
【答案】A
【详解】由于空气阻力大小与瞬时速度大小成正比，小石子在O 点时速度斜向上方，此时速度最大，空气
阻力斜向下方最大，上升过程与竖直方向夹角最小，故此时空气阻力分解在竖直方向最大，根据牛顿第二
定律可知此时竖直方向分运动的加速度最大。
故选A。
7．（2023·福建·高考真题）一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴
上
的O 点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O 点，另一端与套在杆上的圆环相连。
当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆
长度
，杆与竖直转轴的夹角a 始终为
，弹簧原长
，弹簧劲度系数
，圆环
质量
；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取
，摩擦力可忽略不计
（1）若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O 点的距离；
（2）求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小；
（3）求圆环处于细杆末端P 时，细杆匀速转动的角速度大小。
【答案】（1）0.05m；（2）
；（3）
【详解】（1）当细杆和圆环处于平衡状态，对圆环受力分析得
根据胡克定律
得
弹簧弹力沿杆向上，故弹簧处于压缩状态，弹簧此时的长度即为圆环到O 点的距离
（2）若弹簧处于原长，则圆环仅受重力和支持力，其合力使得圆环沿水平方向做匀速圆周运动。根据牛
顿第二定律得
由几何关系得圆环此时转动的半径为
联立解得
（3）圆环处于细杆末端P 时，圆环受力分析重力，弹簧伸长，弹力沿杆向下。根据胡克定律得
对圆环受力分析并正交分解，竖直方向受力平衡，水平方向合力提供向心力，则有
，
由几何关系得
联立解得
8.（2022·辽宁·高考真题）2022 年北京冬奥会短道速滑混合团体2000 米接力决赛中，我国短道速滑队夺得
中国队在本届冬奥会的首金。
（1）如果把运动员起跑后进入弯道前的过程看作初速度为零的匀加速直线运动，若运动员加速到速度
时，滑过的距离
，求加速度的大小；
（2）如果把运动员在弯道滑行的过程看作轨道为半圆的匀速圆周运动，如图所示，若甲、乙两名运动员
同时进入弯道，滑行半径分别为
，滑行速率分别为
，求甲、乙
过弯道时的向心加速度大小之比，并通过计算判断哪位运动员先出弯道。
【答案】（1）
；（2）
，甲
【详解】（1）根据速度位移公式有
代入数据可得
（2）根据向心加速度的表达式
可得甲、乙的向心加速度之比为
甲、乙两物体做匀速圆周运动，则运动的时间为
代入数据可得甲、乙运动的时间为
，
因
，所以甲先出弯道。
