文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
第四章 曲线运动
第21 课时 专题强化：圆周运动的临界问题
【考情分析·探规律】
圆周运动的临界
问题
2024·广东卷·T5、2024·甘肃卷·T8、2024·黑吉辽卷·T2、
2023·江苏卷·T13、2023·全国甲卷·T17、2023·北京卷·T10、
2022 全国甲卷T14、2022 河北卷T10、2022 辽宁卷T13、
2022 北京卷T8
试
题
情
境
生活实践
类
生活中的抛体运动，自行车、汽车、火车转弯等动力学及临
界问题，水流星，体育运动中的圆周运动问题
学习探究
类
小船渡河模型，绳、杆速度分解模型，与斜面或圆弧面有关
的平抛运动，圆周运动的传动问题，圆锥摆模型，水平面
内、竖直面内圆周运动的临界问题，圆周运动中的轻绳、轻
杆模型
【知识梳理】
考点一 水平面内圆周运动的临界问题
1.与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。
(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm＝mv
2
r
，静摩擦力的方向一定指向
圆心。
(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存
在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达
到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。
2.与弹力有关的临界极值问题
(1)两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。
(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【小试牛刀】
【典例】1.(2024·江苏卷·8)生产陶瓷的工作台匀速转动，台面上掉有陶屑，陶屑与
台面间的动摩擦因数处处相同(台面足够大)，则( )
A.越靠近台面边缘的陶屑质量越大
B.越靠近台面边缘的陶屑质量越小
C.陶屑只能分布在圆台边缘
D.陶屑只能分布在某一半径的圆内
【答案】D
【解析】与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力
为最大静摩擦力时，半径最大，设为r，根据牛顿第二定律可得μmg＝mω2r，解得r＝
μg
ω
2，μ 与ω 均一定，故r 与陶屑质量无关且为定值，即陶屑只能分布在某一半径的圆
内，故A、B、C 错误，D 正确。
【典例】2.(多选)如图所示，两个质量均为m 的小木块a 和b(可视为质点)放在水平
圆盘上，a 与转轴OO'的距离为l，b 与转轴的距离为2l。木块与圆盘间的最大静摩
擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢
地加速转动，用ω 表示圆盘转动的角速度，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列
说法正确的是( )
A.b 一定比a 先开始滑动
B.a、b 所受的摩擦力始终相等
C.ω＝√
kg
2l 是b 开始滑动的临界角速度
D.当ω＝√
2kg
3l 时，a 所受摩擦力的大小为kmg
【答案】AC
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【解析】小木块a、b 做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即Ff＝mω2R。当角速度
增大时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a 有Ffa＝
mωa
2l，当Ffa＝kmg 时，kmg＝mωa
2l，ωa＝√
kg
l ；对木块b 有Ffb＝mωb
2·2l，当Ffb＝
kmg 时，kmg＝mωb
2·2l，ωb＝√
kg
2l ，则ω＝√
kg
2l 是b 开始滑动的临界角速度，即b 比a
先开始滑动，选项A、C 正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则Ffa＝mω2l，Ffb＝
mω2·2l，Ffa<Ffb，选项B 错误；ω＝√
2kg
3l <ωa＝√
kg
l ，a 没有滑动，则Ffa'＝mω2l＝2
3
kmg，选项D 错误。
【典例】3.(多选)(2024·山东临沂市质检)质量为m 的小球(视为质点)由轻绳a 和b 分
别系于一轻质细杆的A 点和B 点，如图所示，当轻杆绕轴以角速度ω 匀速转动时，
a 绳与水平方向成θ 角，b 绳在水平方向上且长为l。重力加速度为g，下列说法正确
的是( )
A.a 绳的弹力随角速度的增大而增大
B.当角速度ω>√
g
l tanθ 时，b 绳中产生弹力
C.当b 绳中产生弹力后，角速度再增大时a 绳的弹力不变
D.当b 绳突然被剪断时，a 绳的弹力一定发生变化
【答案】BC
【解析】当b 绳的弹力刚好为零时，小球受重力和a 绳的弹力，合力提供向心力，有
mg
tanθ ＝mlω2，解得ω＝√
g
l tanθ ，可知当角速度ω>√
g
l tanθ 时，b 绳出现弹力，故B 正
确；根据竖直方向上受力平衡得Fasin θ＝mg，解得Fa＝mg
sinθ ，可知θ 不变时，a 绳的
弹力不变，故A 错误，C 正确；
由于b 绳可能没有弹力，故b 绳突然被剪断时，a 绳的弹力可能不变，故D 错误。
【解题技巧】
物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支
持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态，
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各物理量的变
化，找出临界状态。
考点二 竖直面内圆周运动的临界问题
1.竖直面内圆周运动一般为变速圆周运动，故除最高点和最低点(或等效最高点和等效
最低点)合外力指向圆心，其他位置合外力不指向圆心。
2.在变速圆周运动中，只需要把合外力沿圆心方向和速度方向正交分解，指向圆心的分
力提供向心力，只改变速度的方向，沿切线方向的合力改变速度的大小。
3.只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒，有其他力参与做功的可用动能
定理或能量守恒解题。
4.竖直面内圆周运动的两类模型
轻绳模型
轻杆模型
常见类型
小球最高点没有支撑
小球最高点有支撑
最高点受力特征
除重力外，物体受到的弹力
方向：向下或等于零
除重力外，物体受到的弹力方
向：向下、等于零或向上
最高点受力示意图
动力学方程
mg＋F 弹＝mv
2
R
mg±F 弹＝mv
2
R
临界特征
F 弹＝0
mg＝mvmin
2
R
即vmin＝√gR
①恰好过最高点，v＝0，F 弹＝
mg
②恰好无弹力，F 弹＝0，v＝
√gR
过最高点的条件
在最高点的速度
v≥√gR
v≥0
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【小试牛刀】
【典例】1.(多选)(2025·山东德州市校考)如图所示，一质量为m＝0.5 kg 的小球(可视
为质点)，用长为0.4 m 的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动，重力加速度g 取10
m/s2，下列说法正确的是( )
A.小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s
B.当小球在最高点的速度为4 m/s 时，轻绳拉力大小为15 N
C.若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4√2 m/s
D.若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4 m/s
【答案】ABC
【解析】设小球通过最高点时的最小速度为v0，则根据牛顿第二定律有mg＝mv0
2
R
，解
得v0＝2 m/s，故A 正确；当小球在最高点的速度为v1＝4 m/s 时，设轻绳拉力大小为
FT，根据牛顿第二定律有FT＋mg＝mv1
2
R
，解得FT＝15 N，故B 正确；小球在轨迹最
低点处速度最大，此时轻绳的拉力最大，根据牛顿第二定律有FTm－mg＝mvm
2
R
，解得
vm＝4√2 m/s，故C 正确，D 错误。
【典例】2.(多选)(2025·山东烟台市校考)如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道
内做圆周运动，小球直径略小于管道的尺寸，内侧壁半径为R，小球半径为r，重力
加速度为g，则下列说法正确的是( )
A.小球通过最高点时的最小速度vmin＝√g( R＋r )
B.小球通过最高点时的最小速度vmin＝0
C.小球在水平线ab 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力
D.小球在水平线ab 以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
【答案】BC
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【解析】小球沿管道上升到最高点的速度可以为零，故A 错误，B 正确；小球在水平
线ab 以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力FN与小球重力在背离圆心方向
的分力Fmg的合力提供向心力，即FN－Fmg＝m
v
2
R＋r ，因此，外侧管壁一定对小球有作
用力，而内侧管壁无作用力，C 正确；小球在水平线ab 以上的管道中运动时，小球受
管壁的作用力与小球速度大小有关，小球做圆周运动所需的向心力可能由内侧壁对小
球的作用力和重力的合力提供，D 错误。
【解题技巧】分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路
考点三 斜面上圆周运动的临界问题
物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到
的支持力大小相等。
物体在转动过程中，最容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时：μmgcos θ－mgsin
θ＝mω2R。
【小试牛刀】
【典例】1.(2024·山东青岛市期中)如图所示，一倾斜圆盘可绕通过圆心、垂直于盘
面的固定轴以不同的角速度匀速转动，盘面上距离转轴l＝5 cm 处有一可视为质点
的物块在圆盘上且始终与圆盘保持相对静止。已知物块与盘面间的动摩擦因数为√3
2 ，
盘面与水平面间的夹角θ＝30°，重力加速度大小g 取10 m/s2，设最大静摩擦力等于
滑动摩擦力，下列说法正确的是( )
A.若圆盘角速度逐渐增大，物块会在最高点发生相对滑动
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
B.圆盘转动时角速度可能为5√3 rad/s
C.物块运动到最高点时所受摩擦力方向一定背离圆心
D.物块运动到与圆盘圆心等高点时，摩擦力的方向垂直于物体和圆盘圆心的连线
【答案】C
【解析】物块在最低点即将滑动时，此时圆盘角速度最大，由牛顿第二定律有μmgcos
30°－mgsin 30°＝mω1
2l，解得ω1＝5√2 rad/s，故B 错误；物块在最高点恰好不受摩擦
力时，根据牛顿第二定律有mgsin 30°＝mω2
2l，解得ω2＝10 rad/s>5√2 rad/s，物块运
动到最高点摩擦力一定背离圆心，但不会发生相对滑动，故A 错误，C 正确；由于物
块做匀速圆周运动，合力方向指向圆盘中心，重力沿盘面的下滑分力与摩擦力的合力
提供向心力，则与圆盘圆心等高点处摩擦力的方向不垂直于物块和圆盘圆心的连线，
故D 错误。
【限时训练】（限时：60 分钟）
【基础必刷题】1~7 题每小题5 分，共35 分
1.(2024·山东临沂市质检)如图甲，滚筒洗衣机脱水时，滚筒上有很多漏水孔，滚筒转动
时，附着在潮湿衣服上的水从漏水孔中被甩出，达到脱水的目的，衣服紧贴着滚筒壁
在竖直平面内做顺时针的匀速圆周运动。如图乙，一件可视为质点的小衣服，a、b 分
别为小衣服经过的最高位置和最低位置。下列说法正确的是( )
A.衣服紧贴着滚筒做匀变速曲线运动
B.衣服转到b 位置时衣服上水珠的脱水效果比a 位置好
C.不论滚筒转速多大，衣服都不会离开滚筒壁
D.衣服在a 位置受到滚筒壁的支持力比在b 位置的大
【答案】B
【解析】衣服紧贴着滚筒壁在竖直平面内做顺时针的匀速圆周运动，加速度方向变化，
是变加速曲线运动，A 错误；在a、b 位置有F Na＋mg＝mω2R，F Nb－mg＝mω2R，可
知F Nb>F Na，衣服转到b 位置时衣服上水珠的脱水效果比a 位置好，B 正确，D 错误；
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
在a 位置可得F Na＋mg＝mω2R，当F Na＝0 时，临界角速度ω0＝√
g
R ，如果转速小于临
界角速度对应的转速，则衣服就会离开滚筒壁，C 错误。
2.港珠澳大桥总长约55 km，是世界上总体跨度最长、钢结构桥体最长、海底沉管隧道
最长的路海大桥，设计时速100 km/h。如图所示，该路段是港珠澳大桥的一段半径r＝
150 m 的圆弧形弯道，总质量m＝1 800 kg 的汽车通过该圆弧形弯道时以速度v 大小为
90 km/h 做匀速圆周运动(汽车可视为质点，路面视为水平且不考虑车道的宽度)。已知
路面与汽车轮胎间的径向最大静摩擦力为汽车所受重力的3
4 ，重力加速度g 取10
m/s2，则( )
A.汽车过该弯道时受到重力、支持力、摩擦力、牵引力和向心力
B.汽车过该弯道时所受径向静摩擦力大小为4 000 N
C.汽车过该弯道时的向心加速度大小为4 m/s2
D.汽车能安全通过该弯道的最大速度为15√5 m/s
【答案】D
【解析】汽车过该弯道时受到重力、牵引力、支持力和摩擦力作用，摩擦力提供做圆
周运动的向心力，故A 错误；汽车过该弯道时所受径向静摩擦力大小为Ff＝mv
2
r ＝7
500 N，故B 错误；汽车过该弯道时的向心加速度大小为a＝v
2
r ＝25
6 m/s2，故C 错误；
汽车能安全通过该弯道速度最大时满足3
4 mg＝mvm
2
r
，解得vm＝15√5 m/s，故D 正确。
3.如图所示，当汽车通过拱桥顶点的速度为10 m/s 时，汽车对桥顶的压力为车重力的3
4 ，
如果要使汽车在粗糙的桥面经过桥顶时，恰好不受摩擦力作用，则汽车通过桥顶的速
度应为( )
A.15 m/s
B.20 m/s
C.25 m/s
D.30 m/s
【答案】B
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【解析】如果要使汽车在粗糙的桥面经过桥顶时，不受摩擦力作用，即汽车只受重力
作用，则有mg＝mv
'2
R ；当汽车通过拱桥顶点的速度为10 m/s 时，汽车对桥顶的压力
为车重力的3
4 ，即支持力为3
4 mg，则有mg－3
4 mg＝mv
2
R ，联立解得v'＝20 m/s，所以
B 正确，A、C、D 错误。
4.(来自教材改编)如图所示，半径为R 的半球形陶罐，固定在水平转台上，转台竖直转
轴与过陶罐球心O 的对称轴OO'重合。当转台匀速转动时，观察到陶罐内壁上质量为
m 的小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O 点的连线与OO'的夹角θ＝60°。
重力加速度大小为g。下列判断正确的是( )
A.转台的角速度一定等于√
2 g
R
B.物块的线速度大小可能等于√
3 gR
2
C.物块所受合力的大小一定等于√3mg
D.陶罐壁对物块弹力的大小一定等于2mg
【答案】B
【解析】小物块绕OO'轴做匀速圆周运动，一定受重力、支持力，可能受摩擦力，若
摩擦力为0，由牛顿第二定律得mgtan 60°＝mω2Rsin 60°，解得ω＝√
2 g
R ，线速度大小
为v＝ωRsin 60°＝√
2 g
R ·√3
2 R＝√
3 gR
2
，当小物块所受摩擦力不为0 时，角速度不等于
√
2 g
R ，小物块的线速度也不等于√
3 gR
2
，A 错误，B 正确；当小物块所受摩擦力为0 时，
其所受合力的大小为√3mg，所受弹力大小等于2mg，当所受摩擦力不为0 时不成立，
C、D 错误。
5.(2025·山东青岛市校考)如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m 的球A
和B(均可视为质点)，光滑水平转轴穿过杆上距球A 为L 处的O 点，外界给系统一定能
量后，杆和球在竖直平面内转动，球B 运动到最高点时，杆对球B 恰好无作用力。忽
略空气阻力，重力加速度为g，则球B 在最高点时( )
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A.球B 的速度为零
B.球A 的速度大小为√2 gL
C.水平转轴对杆的作用力为1.5mg
D.水平转轴对杆的作用力为2.5mg
【答案】C
【解析】球B 运动到最高点时，杆对球B 恰好无作用力，即仅重力提供向心力，则有
mg＝mvB
2
2 L
，解得vB＝√2 gL，故A 错误；由于A、B 两球的角速度相等，则球A 的速
度大小vA＝1
2 √2 gL，故B 错误；B 球在最高点时，对杆无弹力，此时A 球受到的重力
和杆的弹力的合力提供向心力，有F－mg＝mv A
2
L
，解得F＝1.5mg，由牛顿第三定律可
知杆受到A 球的弹力大小为1.5mg，则水平转轴对杆的作用力为1.5mg，故C 正确，D
错误。
6.如图所示，叠放在水平转台上的物体A、B 及物体C 能随转台一起以角速度ω 匀速转
动，A、B、C 的质量分别为3m、2m、m，A 与B、B 和C 与转台间的动摩擦因数都为
μ，A 和B、C 离转台中心的距离分别为r 和1.5r。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物
体A、B、C 均可视为质点，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A.B 对A 的摩擦力一定为3μmg
B.B 对A 的摩擦力一定为3mω2r
C.转台的角速度需要满足ω≤√
μg
r
D.若转台的角速度逐渐增大，最先滑动的是A 物体
【答案】B
【解析】由于物体A、B 及物体C 能随转台一起匀速转动，则三个物体受到的均为静
摩擦力，由静摩擦力提供向心力，则B 对A 的摩擦力一定为FfA＝3mω2r，又有
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
0<FfA≤Ffmax＝3μmg，由于角速度大小不确定，B 对A 的摩擦力不一定达到最大静摩擦
力3μmg，A 错误，B 正确；若B 对A 的静摩擦力达到最大静摩擦力，则3μmg＝3mω1
2
r，解得ω1＝√
μg
r ，若转台对物体B 的静摩擦力达到最大静摩擦力时，对A、B 整体有
5μmg＝5mω2
2r，解得ω2＝√
μg
r ，若转台对物体C 的静摩擦力达到最大静摩擦力，则
μmg＝mω3
2×1.5r，解得ω3＝√
2 μg
3r ，可知ω1＝ω2>ω3，由于物体A、B 及物体C 均随
转台一起匀速转动，则转台的角速度需要满足ω≤ω3＝√
2 μg
3r ，该分析表明，当角速度
逐渐增大时，物体C 所受摩擦力先达到最大静摩擦力，即若转台的角速度逐渐增大，
最先滑动的是C 物体，C、D 错误。
7.(多选)如图甲所示，一长为l 的轻绳，一端穿在过O 点的水平转轴上，另一端固定一
质量未知的小球，整个装置绕O 点在竖直面内转动。小球通过最高点时，绳对小球的
拉力F 与其速度平方v2的关系如图乙所示，重力加速度为g，下列判断正确的是( )
A.图像函数表达式为F＝mv
2
l ＋mg
B.重力加速度g＝b
l
C.绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大
D.绳长不变，用质量较小的球做实验，b 值不变
【答案】BD
【解析】在最高点，对小球受力分析得F＝mv
2
l －mg，选项A 错误；由题图乙可知，
当F＝0 时，mg＝mv
2
l ，即v2＝gl，得g＝b
l ，选项B 正确；结合题图乙和F＝mv
2
l －
mg 可知，题图乙的斜率k＝m
l ，所以m 减小，斜率减小，选项C 错误；由上述讨论可
知b＝gl，当m 减小时，b 值不变，选项D 正确。
【巩固必刷题】8~10 题每小题6 分，共18 分
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
8.(2025·山东潍坊市模拟)如图所示，一倾斜的圆筒绕固定轴OO1以恒定的角速度ω 转
动，圆筒的半径r＝1.5 m。筒壁内有一小物体(可视为质点)与圆筒始终保持相对静止，
小物体与圆筒间的动摩擦因数为√3
2 (设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，转动轴与水平
面间的夹角为60°，重力加速度g 取10 m/s2，则ω 的最小值是( )
A.1 rad/s
B.√30
3 rad/s
C.√10 rad/s
D.5 rad/s
【答案】C
【解析】对小物体受力分析如图所示，
由牛顿第二定律有mgcos 60°＋FN＝mω2r，Ff＝mgsin 60°≤μFN，解得ω≥√10 rad/s，
故A、B、D 错误，C 正确。
9.如图所示，在水平圆盘上，沿半径方向放置物体A 和B，mA＝4 kg，mB＝1 kg，它们
分居在圆心两侧，与圆心距离为rA＝0.1 m，rB＝0.2 m，中间用水平细线相连，A、B
与圆盘间的动摩擦因数均为μ＝0.2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若圆盘从静止
开始绕中心转轴非常缓慢地加速转动，重力加速度g 取10 m/s2，以下说法正确的是(
)
A.A 的摩擦力先达到最大
B.当ω1＝2√5 rad/s，细线开始出现张力
C.当ω1＝√30 rad/s，A、B 两物体出现相对圆盘滑动
D.当ω1＝5√2 rad/s，A、B 两物体出现相对圆盘滑动
【答案】D
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【解析】A 达到最大静摩擦力时的临界角速度满足μmAg＝mAω0 A
2rA，解得ω0A＝2√5
rad/s，同理可得，B 达到最大静摩擦力时的临界角速度为ω0B＝√10 rad/s，则当圆盘转
动的速度逐渐变大时，B 的摩擦力先达到最大，选项A 错误；当B 的摩擦力达到最大，
转速再增加时，细线出现张力，即当ω1＝√10 rad/s 时，细线开始出现张力，选项B 错
误；当A、B 两物体出现相对圆盘滑动时，B 受到的摩擦力方向背离圆心，A 受到的摩
擦力方向指向圆心，则对A 有FT＋μmAg＝mAω1
2rA，对B 有FT－μmBg＝mBω1
2rB，解得
ω1＝5√2 rad/s，选项C 错误，D 正确。
10.(多选)如图所示，半径R＝3l 的光滑圆筒竖直固定，长度为5l 的轻绳，一端固定在
圆筒轴线上一点，另一端悬挂可视为质点、质量为m 的小球。现使小球在水平面内做
匀速圆周运动，小球始终在圆筒内，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A.小球角速度越大，轻绳的拉力越大
B.小球角速度ω＝√
g
l 时，轻绳的拉力为5mg
C.小球角速度ω＝√
2 g
9l 时，小球受两个力的作用
D.小球角速度ω＝√
g
2l 时，筒壁与小球之间作用力大小为3
4 mg
【答案】CD
【解析】当小球角速度较小时，此时小球与圆筒未接触，对小球受力分析得绳子拉力
为FT＝mg
cosθ ，可知此时随着小球角速度越大θ 越大，绳子的拉力越大，当小球与圆筒
接触后，小球角速度再大时θ 不变，故此时绳子的拉力不变，故A 错误；当小球与圆
筒刚好接触时有mgtan θ＝mω2R，tan θ＝
3l
√(5l)
2−(3l)
2 ＝3
4 ，解得ω＝√
g
4l ，故可知
当ω>√
g
4l 时，小球此时与圆筒间有弹力，故当小球角速度ω＝√
g
l 时，此时小球与圆
筒间有弹力，绳子的拉力为FT＝
mg
cosθ ＝mg
4
5
＝5
4 mg，当小球角速度ω＝√
2 g
9l <√
g
4l 时，
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
小球未与圆筒接触，此时只受重力和绳子的拉力两个力的作用，故B 错误，C 正确；
当小球角速度ω＝√
g
2l 时，此时小球与圆筒间有弹力作用，对小球受力分析FTsin θ＋
FN＝mω2R，FTcos θ＝mg，解得筒壁与小球之间作用力大小为FN＝3
4 mg，故D 正确。
【尖子拔高题】 (7 分)
11.(多选)如图所示，竖直平面内有一半径为R＝0.35 m 且内壁光滑的圆形轨道，轨道底
端与光滑水平面相切，一小球(可视为质点)以大小为3.5 m/s 的初速度v0进入轨道，重
力加速度g 取10 m/s2，则( )
A.小球不会脱离圆轨道
B.小球会脱离圆轨道
C.小球脱离圆轨道时的速度大小为√7
2 m/s
D.小球脱离圆轨道的位置与圆心的连线和水平方向间的夹角为30°
【答案】BCD
【解析】若小球恰能到达最高点，由重力提供向心力，则有mg＝mv
2
R ，解得v＝
√gR＝√3.5 m/s，若小球从最低点恰好能到最高点，根据机械能守恒定律得1
2mv0'2＝
mg·2R＋1
2mv2，解得v0'＝√70
2 m/s>v0＝3.5 m/s，故小球不可能运动到最高点，若小球
恰好到达与圆心等高的点，则1
2mv0″2＝mgR，得v0″＝√7 m/s<v0＝3.5 m/s，则小球会
脱离圆轨道，故A 错误，B 正确；设当小球脱离圆轨道时，其位置与圆心的连线和水
平方向间的夹角为θ，小球此时只受重力作用，将重力分解如图所示。
在脱离点，支持力等于0，由牛顿第二定律得mgsin θ＝mv1
2
R
，从最低点到脱离点，由
机械能守恒定律得1
2mv0
2＝mgR(1＋sin θ)＋1
2mv1
2，联立解得sin θ＝1
2，即θ＝30°，
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
则v1＝√7
2 m/s，故C、D 正确。
15
