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第四章 曲线运动
第17 课时 曲线运动 运动的合成与分解
【考情分析·探规律】
曲线运动
运动的合成与分
解
2024·安徽卷·T9、2023·江苏卷·T10、2023·全国乙卷·T15、
2023·辽宁卷·T1、2022 全国甲卷T14、2022 河北卷T10、
2022 辽宁卷T13、2022 北京卷T8
试
题
情
境
生活实践类
生活中的抛体运动，自行车、汽车、火车转弯等动力学及临
界问题，水流星，体育运动中的圆周运动问题
学习探究类
小船渡河模型，绳、杆速度分解模型，与斜面或圆弧面有关
的平抛运动，圆周运动的传动问题，圆锥摆模型，水平面
内、竖直面内圆周运动的临界问题，圆周运动中的轻绳、轻
杆模型
【知识梳理】
考点一 曲线运动的条件和特征
1.速度的方向：
质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
2.曲线运动的性质：
做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。
(1)a 恒定：匀变速曲线运动；
(2)a 变化：非匀变速曲线运动。
3.做曲线运动的条件：
1
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4.速率变化的判断
【小试牛刀】
【典例】1.(来自教材改编)在演示“做曲线运动的条件”的实验中，有一个在水平桌
面上向右做直线运动的小钢球，第一次在其运动路线的正前方放置条形磁铁，第二
次在其运动路线的旁边放置条形磁铁，如图所示，虚线表示小钢球的运动轨迹。观
察实验现象，以下叙述正确的是( )
A.第一次实验中，小钢球的运动是匀速直线运动
B.第二次实验中，小钢球的运动类似平抛运动，其运动轨迹是一条抛物线
C.该实验说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向
D.该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力的方向与速度方向不在同一
直线上
【答案】D
【解析】第一次实验中，小钢球受到沿初速度方向的磁铁的吸引力作用，做直线运动，
并且随着距离的减小，吸引力变大，加速度变大，故小钢球做非匀变速直线运动，选
项A 错误；第二次实验中，小钢球所受的磁铁的吸引力方向总是指向磁铁，是变力，
故小钢球的运动不是类平抛运动，其轨迹也不是一条抛物线，选项B 错误；该实验说
明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力的方向与速度方向不在同一直线上，但是
不能说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向，选项C 错误，D 正确。
【典例】2.(2023·全国乙卷·15)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增
加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能
正确的是( )
【答案】D
2
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【解析】小车做曲线运动，所受合力指向曲线的凹侧，故A、B 错误；小车沿轨道从
左向右运动，动能一直增加，故合力方向与运动方向的夹角始终为锐角，C 错误，D
正确。
【解题技巧】 曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
1.速度方向与运动轨迹相切；
2.合力方向指向曲线的“凹”侧；
3.运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。
考点二 运动的合成与分解
1.基本概念
(1)运动的合成：已知分运动求合运动。
(2)运动的分解：已知合运动求分运动。
2.遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。
3.运动分解的原则
根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解法。
4.合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影
响。
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果。
【小试牛刀】
【典例】1.(多选)(2024·安徽卷·9)一倾角为30°足够大的光滑斜面固定于水平地面上，
在斜面上建立Oxy 直角坐标系，如图甲所示。从t＝0 开始，将一可视为质点的物块
从O 点由静止释放，同时对物块施加沿x 轴正方向的力F1和F2，其大小与时间t 的
3
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关系如图乙所示。已知物块的质量为1.2 kg，重力加速度g 取10 m/s2，不计空气阻
力。则( )
A.物块始终做匀变速曲线运动
B.t＝1 s 时，物块的y 坐标值为2.5 m
C.t＝1 s 时，物块的加速度大小为5√3 m/s2
D.t＝2 s 时，物块的速度大小为10√2 m/s
【答案】BD
【解析】根据题图乙可得F1＝4－t(N)，F2＝3t(N)，故两力的合力为Fx＝4＋2t(N)
物块在y 轴方向受到的力不变，为mgsin 30°，x 轴方向受到的力Fx在改变，合力在改
变，故物块做的不是匀变速曲线运动，故A 错误；
沿y 轴方向物块做匀加速直线运动，加速度为
ay＝mgsin30°
m
＝gsin 30°＝5 m/s2
故t＝1 s 时，物块的y 坐标值为
y＝1
2ayt2＝2.5 m，故B 正确；
t＝1 s 时，Fx＝6 N，故ax＝F x
m ＝5 m/s2
则a＝√ax
2＋a y
2＝5√2 m/s2
故C 错误；
沿x 轴正方向，对物块根据动量定理得
Fxt＝mvx－0
由于Fx与时间t 成线性关系，故可得
(4＋2×0)＋(4＋2×2)
2
×2＝1.2vx
解得vx＝10 m/s
此时y 轴方向速度大小为
vy＝gsin 30°·t＝5×2 m/s＝10 m/s
故此时物块的速度大小为
4
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v＝√v x
2＋v y
2＝10√2 m/s
故D 正确。
【解题技巧】判断两个直线运动的合运动性质的方法
1.分别把两个直线运动的初速度和加速度合成，然后根据合加速度特点以及合加速度与
合初速度的方向关系判断合运动的性质。
2.常见的情况：
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v 合与a 合共线，为匀变速直线运动
如果v 合与a 合不共线，为匀变速曲线运动
考点三 小船渡河模型
【小试牛刀】
【典例】1.(多选)(2025·山东威海市检测)如图，小船以大小为5 m/s、船头与上游河
岸成θ＝60°角的速度v1(在静水中的速度)从A 处渡河，经过一段时间正好到达正对
岸B 处。已知河宽d＝180 m，则下列说法中正确的是( )
A.河中水流速度为2.5√3 m/s
B.小船以最短位移渡河的时间为24√3 s
C.小船渡河的最短时间为24 s
D.小船以最短时间渡河时到达对岸的位移大小是90√5 m
【答案】BD
5
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【解析】河中水流速度为v2＝v1cos 60°＝2.5 m/s，选项A 错误；小船以最短位移渡河
的时间为t＝
d
v1sin 60° ＝
180
5× √3
2
s＝24√3 s，选项B 正确；当船头方向指向正对岸时
渡河时间最短，则小船渡河的最短时间为tmin＝d
v1
＝180
5 s＝36 s，选项C 错误；小船
以最短时间渡河时到达对岸沿水流方向的位移大小是x＝v2tmin＝2.5×36 m＝90 m，则
总位移大小s＝√d
2＋x
2＝90√5 m，选项D 正确。
【解题技巧】 小船渡河的两类情况
最短时间
最短航程
v 船>v 水
v 船<v 水
tmin＝d
v 船
lmin＝d，
cos θ＝v水
v 船
lmin＝d·v水
v 船
，
cos θ＝v 船
v水
考点四 绳(杆)连接物的关联速度
【小试牛刀】
【典例】1.质量为m 的物体P 置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定
滑轮分别连接着P 与小车，P 与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v 水平向右
做匀速直线运动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向所成夹角为θ2时(如图)，下列
判断正确的是( )
A.P 的速率为v
B.P 的速率为vsin θ2
C.P 处于超重状态
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D.P 处于失重状态
【答案】C
【解析】将小车的速度v 进行分解，如图所示，则有vP＝vcos θ2，选项A、B 错误；
小车向右运动，θ2减小，v 不变，则vP逐渐增大，说明物体P 沿斜面向上做加速运动，
处于超重状态，选项C 正确，D 错误。
【典例】2.甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用铰链与轻直杆连接，乙球处于光滑水
平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。无初速度释
放，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m 时，甲球的速度为v1，乙
球的速度为v2，如图所示，下列说法正确的是( )
A.v1∶v2＝√7∶3
B.v1∶v2＝3√7∶7
C.甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D.甲球即将落地时，乙球的速度达到最大
【答案】B
【解析】设当乙球距离起点3 m 时，轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿杆方向的
分量为v1 杆＝v1cos θ，v2在沿杆方向的分量为v2 杆＝v2sin θ，而v1 杆＝v2 杆，由题意有
cos θ＝√7
4 ，sin θ＝3
4 ，解得
v1
v2
＝3√7
7
，选项A 错误，B 正确；甲球即将落地时，有
θ＝90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，选项C、D 错误。
【解题技巧】
1.题型特点
与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上。
2.明确合速度与分速度
合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线
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3.解题原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分速度，根据沿绳(杆)方向
的分速度大小相等求解，常见的模型如图所示。
【限时训练】（限时：60 分钟）
【基础必刷题】1~7 题每小题8 分，共56 分
1. (2024·山东聊城市期中)关于曲线运动，下列说法正确的是( )
A.曲线运动一定是匀变速运动
B.物体做曲线运动时，加速度一定不为零
C.物体做曲线运动时，不可能受恒力的作用
D.物体做曲线运动时，加速度方向与速度方向可能在同一直线上
【答案】B
【解析】曲线运动加速度可以恒定，也可以不恒定，A 错误；物体做曲线运动时，速
度方向时刻改变，速度的变化量一定不为零，则加速度一定不为零，B 正确；物体做
曲线运动时，可能受恒力的作用，【典例】如平抛运动，C 错误；物体做曲线运动的
条件是加速度方向与速度方向不在同一直线上，D 错误。
2.(2023·辽宁卷·1)某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所
受合力F 的示意图可能正确的是( )
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【答案】A
【解析】篮球做曲线运动，所受合力指向运动轨迹的凹侧，故选A。
3.跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静止
跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是( )
A.风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成的动作越多
B.风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害
C.运动员下落时间与风力无关
D.运动员着地速度与风力无关
【答案】C
【解析】运动员同时参与了两个分运动，竖直方向向下落的运动和水平方向随风飘的
运动，两个分运动同时发生，相互独立，水平方向的风力大小不影响竖直方向的运动，
即下落时间和着地时竖直方向的速度不受风力影响，故A、B 错误，C 正确；水平风力
越大，水平方向的速度越大，则落地时的合速度越大，故D 错误。
4. 大型的货运站中少不了旋臂式起重机，如图所示，该起重机的旋臂保持不动，可沿
旋臂“行走”的天车有两个功能，一是吊着货物沿竖直方向运动，二是吊着货物沿旋
臂水平运动。现天车吊着货物正在沿水平方向向右匀速行驶，同时又启动天车上的起
吊电动机，使货物竖直向上做匀加速运动，此时，我们站在地面上观察到货物运动的
轨迹可能是下图中的( )
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【答案】B
【解析】货物在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做匀加速直线运动，根据
平行四边形定则，知合速度的方向与合加速度的方向不在同一条直线上，轨迹为曲线，
货物的加速度竖直向上，因为加速度的方向指向轨迹的凹侧，可知B 图可能是货物的
运动轨迹。
5.如图所示，一条小船从码头A 过河，小船在静水中的速度为v，船头指向始终与河岸
垂直(沿AA'方向)。当水流速度为v1时，小船运动到河对岸的码头B 靠岸，AB 与河岸
的夹角为α＝60°。当水流速度为v2时，小船运动到河对岸的码头C 靠岸，AC 与河岸
的夹角为β＝30°。下列说法正确的是( )
A.小船沿AB、AC 过河的时间相等
B.小船沿AC 过河的时间更长
C.v1∶v2＝1∶2
D.当水流速度为v1时，要使小船到达码头A'，船头应指向河的上游且与河岸夹角为60°
【答案】A
【解析】因船头始终垂直于河岸，所以小船过河的时间为t＝d
v ，即小船沿AB、AC 过
河的时间相等，选项A 正确，B 错误；由题意可知tan 60°＝v
v1
，tan 30°＝v
v2
，解得
v1∶v2＝1∶3，选项C 错误；当水流速度为v1时，要使小船到达码头A'，则合速度应
该垂直于河岸，船头应指向河的上游且与河岸夹角满足cos θ＝v1
v ＝√3
3 ，则θ≠60°，
选项D 错误。
6.有一个质量为4 kg 的质点在xOy 平面内运动，在x 方向的速度时间图像和y 方向的位
移时间图像分别如图甲、乙所示。下列说法正确的是( )
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A.质点做匀变速直线运动
B.质点所受的合外力为22 N
C.t＝2 s 时质点的速度大小为6 m/s
D.零时刻质点的速度大小为5 m/s
【答案】D
【解析】由题图可知，质点在x 轴方向上做匀加速直线运动，在y 轴方向上做匀速直线
运动，合力的方向沿x 轴方向，在x 轴方向上的初速度大小为3 m/s，在y 轴方向上的
速度大小为4 m/s，则初速度大小v0＝√3
2＋4
2 m/s＝5 m/s，初速度方向不沿x 轴方向，
所以质点做匀变速曲线运动，故A 错误，D 正确；质点在x 轴方向上的加速度为ax＝
1.5 m/s2，y 轴方向上的加速度为零，则合加速度为a＝1.5 m/s2，所以合外力为F＝ma
＝4×1.5 N＝6 N，故B 错误；t＝2 s 时质点在x 轴方向上的速度大小为vx＝6 m/s，
在y 轴方向上的速度大小为vy＝4 m/s，则合速度大小为v＝√6
2＋4
2 m/s>6 m/s，故C
错误。
7.(多选)如图所示，不可伸长的轻绳平行于斜面，一端与质量为m 的物块B 相连，B 在
光滑斜面上。轻绳另一端跨过滑轮与质量为M 的物块A 连接。A 在外力作用下沿竖直
杆以速度v1向下匀速运动，物块B 始终沿斜面运动且斜面始终静止，当轻绳与杆的夹
角为β 时，物块B 的速度大小为v2。斜面倾角为α，重力加速度为g，下列说法正确的
是( )
A.v1
v2
＝
1
cos β
B.v1
v2
＝cos β
C.轻绳拉力一定大于mgsin α
D.斜面受到地面水平向左的摩擦力
【答案】ACD
【解析】根据A、B 沿绳方向的速度相等，有v1cos β＝v2，解得v1
v2
＝
1
cos β ，故A 正
确，B 错误；由于A 在外力作用下沿竖直杆以速度v1向下匀速运动，轻绳与杆的夹角
逐渐减小，则B 的速度大小v2逐渐增大，即B 沿斜面向上做加速运动，B 的加速度沿
斜面向上，对B 进行受力分析可知轻绳拉力一定大于mgsin α，故C 正确；B 对斜面有
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斜向右下方的压力，斜面在该压力作用下有向右运动的趋势，则斜面受到地面水平向
左的摩擦力，故D 正确。
【巩固必刷题】8~10 题每小题9 分，共27 分
8.(2023·江苏卷·10)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线
向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙
子排列的几何图形是( )
【答案】D
【解析】以罐子为参考系，沙子在水平方向向左做初速度为零的匀加速直线运动，在
竖直方向做自由落体运动，合加速度恒定，沙子在空中排列在一条斜向左下的直线上，
故选D。
9.汽车发动机的工作原理如图所示，轮轴与活塞通过连接杆连接，连接杆与轮轴的连接
点为M，与活塞的连接点为N，其中轮轴可绕圆心O 做圆周运动，活塞可在汽缸内做
上下的直线运动，则下列说法正确的是( )
A.当OM 与ON 垂直时，若M 点的速率为v0，则N 点的速率小于v0
B.当OM 与ON 垂直时，若N 点的速率为v0，则M 点的速率小于v0
C.当MN 与轮轴相切时，若M 点的速率为v0，则N 点的速率等于v0
D.当MN 与轮轴相切时，若N 点的速率为v0，则M 点的速率小于v0
【答案】D
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【解析】当OM 与ON 垂直时，设∠MNO＝α，若M 点的速率为v0，此时活塞的速度为
v，将M 的速度分解为沿杆方向和垂直杆方向的速度，将活塞的速度v 分解为沿杆方向
和垂直杆方向的速度，则此时v0cos α＝vcos α，即v＝v0，故A、B 错误；当MN 与轮
轴相切时，M 点的速度为N 点沿杆方向的分速度，设此时∠MNO＝β，则vM＝vNcos
β，故vM<vN，C 错误，D 正确。
10.(2025·山东泰安市期中)如图所示，一根长为L 的轻杆OA，O 端用铰链固定，另一端
固定着一个小球A，轻杆靠在一个质量为M、高为h 的物块上。若物块与地面摩擦不计，
则当物块以速度v 向右运动至杆与水平方向夹角为θ 时，小球A 的线速度大小为( )
A.vLsin
2θ
h
B.2vLcosθ
h
C.vLco s
2θ
h
D.v cosθ
h
【答案】A
【解析】当物块以速度v 向右运动至杆与水平方向夹角为θ 时，B 点的线速度等于物块
的速度在垂直于杆方向上的分速度vB＝vsin θ，则杆的角速度ω＝
vB
rOB
＝v sinθ
h
sinθ
＝v sin
2θ
h
，小球A 的线速度大小vA＝Lω＝vL sin
2θ
h
，故选A。
【尖子拔高训练】
11.(17 分)图(a)是我国传统农具——风鼓车，图(b)是其工作原理示意图，转动摇柄，联
动风箱内的风叶，向车斗内送风，入料仓漏口H 漏出的谷物经过车斗，质量大于
2.0×10－5 kg 的谷粒为饱粒，落入第一出料口A1B；质量为1.2×10－5~2.0×10－5 kg 的
谷粒为瘪粒，落入第二出料口A2B；质量小于1.2×10－5 kg 的草屑被吹出出风口。已知
A1、B、A2三点在同一水平线上，A1B 的宽度为0.12 m；A1在H 正下方，A1H 的高度为
0.4 m；质量为2.0×10－5 kg 的谷粒从H 漏出，恰好经B 点落入A2B，设谷物从H 漏出
时速度竖直向下，大小为1 m/s；谷粒在车斗内所受水平风力恒定且相等，只考虑其所
受重力和水平风力作用，重力加速度g 取10 m/s2。
(1)(5 分)求谷粒从H 落到出料口所经历的时间；
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(2)(6 分)求谷粒所受水平风力的大小；
(3)(6 分)若瘪粒恰好能全部落入A2B，求A2B 的宽度。
【答案】(1)0.2 s (2)1.2×10－4 N (3)0.08 m
【解析】(1)谷粒从H 落到出料口的过程，竖直方向是初速度为1 m/s 的匀加速直线运
动，
竖直方向上有h＝v0t＋1
2gt2，
将h＝0.4 m 代入可得t＝0.2 s
(2)对质量为2.0×10－5 kg 的谷粒，从H 漏出恰好经B 点落入A2B，
水平方向有x1＝1
2at2
设风力大小为F，由牛顿第二定律F＝ma
将x1＝0.12 m、t＝0.2 s、m＝2.0×10－5 kg 代入，联立可解得F＝1.2×10－4 N
(3)质量等于1.2×10－5 kg 的瘪粒，恰好落到A2点，设A2B 宽度为x2，
则有x1＋x2＝1
2a't2，F＝m'a'，
联立可得x2＝0.08 m。
14
