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第四章 曲线运动
第18 课时 抛体运动
【考情分析·探规律】
平抛运动
2024 湖北卷T3、2024 北京卷T19、2024 浙江1 月选考T8
2024 海南卷T3、2024 广西卷T8、2024 新课标卷T15
2023 全国甲卷T14、2023 浙江6 月选考T3
2022 广东卷T6、2022 北京卷T17
抛体运动
2024·江西卷·T8、2024·山东卷·T12、2024·江苏卷·T15、
2023·山东卷·T15、2023 湖南卷T2、2023 江苏卷T15、
2022 山东卷T11
试
题
情
境
生活实践类
生活中的抛体运动，自行车、汽车、火车转弯等动力学及临
界问题，水流星，体育运动中的圆周运动问题
学习探究类
小船渡河模型，绳、杆速度分解模型，与斜面或圆弧面有关
的平抛运动，圆周运动的传动问题，圆锥摆模型，水平面
内、竖直面内圆周运动的临界问题，圆周运动中的轻绳、轻
杆模型
【知识梳理】
考点一 平抛运动基本规律的应用
1.定义：
将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动。
2.性质：
平抛运动是加速度为g 的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
3.研究方法：
化曲为直
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：自由落体运动。
1
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4.规律
(1)基本规律
如图，以抛出点O 为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x 轴正方向，竖直向下为
y 轴正方向，建立平面直角坐标系xOy。
(2)平抛运动物体的速度变化量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间
间隔Δt 内的速度变化量Δv＝gΔt 是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示。
(3)两个推论
①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中
点。
②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，速度方向与水平方向的夹角θ 和位移方
向与水平方向的夹角α 的关系为：tan θ＝2tan α。
【小试牛刀】
【典例】1.(2024·浙江1 月选考·8)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平
地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到
桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，重力加速度为g，则水离开出水口的速度大
小为( )
2
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A. D
4 √
g
h
B. D
4 √
g
2h
C.(√2＋1)D
2
√
g
2h
D.(√2＋1)D√
g
2h
【答案】C
【解析】设出水口到桶口中心的水平距离为x，则x＝v0√
2h
g ，水落到桶底A 点时x＋
D
2 ＝v0√
2×2h
g
，解得v0＝(√2＋1)D
2
√
g
2h，故C 正确。
【典例】2.(2024·山东省一模)如图所示是运动员将网球在边界A 处正上方B 点正对
球网水平向右击出，恰好过网的上边沿C 点落在D 点的示意图，不计空气阻力，已
知AB=h1，网高h2=5
9h1，A、C 两点间的水平距离为x，重力加速度为g，下列说法
中正确的是( )
A.落点D 距离网的水平距离为1
4 x
B.网球的初速度大小为x√
2 g
h1
C.若击球高度低于h1，应减小击球速度，才能让球落在对方界内
D.若击球高度低于20
27 h1，无论球的初速度多大，球都不可能落在对方界内
【答案】D
【解析】网球做平抛运动，则h1=1
2gt1
2，h1-h2=1
2gt2
2，x+xCD=v0t1，x=v0t2，解得xCD=1
2
3
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x，v0=x√
9 g
8h1
，t1=
√
2h1
g
，t2=
√
8h1
9 g
，故A、B 错误；任意降低击球高度(仍高于h2)，会
有一临界情况，此时球刚好接触网又刚好压界，设击球临界高度为h1'，由平抛运动规
律有h1'=1
2gt1'2，h1'-h2=1
2gt2'2，2x=v0't1'，x=v0't2'，联立解得h1'=20
27 h1，若小于该临界高
度，速度大会出界，速度小会触网，D 正确；若击球高度低于h1(仍高于h2)，则球从被
击出到恰好接触网的时间减小，则由x=v0t 可知击球速度增加，故C 错误。
【解题技巧】求解平抛运动临界问题的一般思路
(1)确定临界状态，若有必要，画出临界轨迹。
(2)找出临界状态对应的临界条件。
(3)根据平抛运动的规律列方程求解。
考点二 斜抛运动
1.定义：
将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
2.性质：
斜抛运动是加速度为g 的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
3.研究方法：
运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：匀变速直线运动。
4.基本规律
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x 轴的正方向，竖直向上为y 轴的正方
向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。
4
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(1)初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ
在水平方向，物体的位移和速度分别为
x＝v0xt＝(v0cos θ)t，vx＝v0x＝v0cos θ
在竖直方向，物体的位移和速度分别为
y＝v0yt－1
2gt2＝(v0sin θ)t－1
2gt2
vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt
(2)当斜抛物体落点位置与抛出点等高时
①射高：h＝v0 y
2
2g ＝v0
2sin
2θ
2 g
。
②斜抛运动的飞行时间：t＝2v0 y
g
＝2v0sinθ
g
。
③射程：s＝v0cos θ·t＝2v0
2sinθcosθ
g
＝v0
2sin 2θ
g
，
对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝v0
2
g
。
【小试牛刀】
【典例】1.在2023 年杭州亚运会女子铅球决赛中，我国运动员巩立姣以19.58 m 的
成绩成功卫冕。运动员为了寻求最佳效果，训练时会尝试用不同质量的铅球分别以
不同夹角抛球的感觉。如图，在某次训练中运动员将质量m＝6 kg 的铅球斜向上抛
出，铅球离开手的瞬间速度大小v0＝10 m/s，方向与水平方向夹角θ＝37°，铅球离
开手时离水平地面的高度h＝2.25 m。重力加速度g 取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos
37°＝0.8，不计空气阻力。求：
(1)铅球离开手瞬间的水平分速度大小v0x和竖直分速度大小v0y；
(2)铅球上升到最高点的时间t 和离地面的最大高度H；
(3)运动员抛出的铅球飞出的水平距离。
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【小试牛刀】
【典例】2.(多选)(2022·山东卷·11)如图所示，某同学将离地1.25 m 的网球以13 m/s
的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离为4.8 m。当网球竖直分速度为零时，
击中墙壁上离地高度为8.45 m 的P 点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小
变为碰前的0.75 倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g 取10 m/s2，网球碰墙
后的速度大小v 和着地点到墙壁的距离d 分别为( )
A.v＝5 m/s
B.v＝3√2 m/s
C.d＝3.6 m
D.d＝3.9 m
考点三 与斜面或圆弧面有关的抛体运动
【小试牛刀】
【典例】1.如图所示，一小球从一半圆轨道左端A 点正上方某处开始做平抛运动(小
球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B 点，O 为半圆轨道圆心，半圆
轨道半径为R，OB 与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，不计空气阻力，则
小球抛出时的初速度为( )
A.√
3√3 gR
2
B.√
3 gR
2
C.√
√3 gR
2
D.√
√3 gR
3
【典例】2.(来自教材改编)跳台滑雪是一项勇敢者的滑雪运动，运动员在滑雪道上获
得一定速度后从跳台飞出，在空中飞一段距离后落地。如图所示，运动员从跳台A
处沿水平方向以大小为20 m/s 的速度飞出，落在斜坡上的B 处，斜坡与水平方向的
夹角θ 为37°，不计空气阻力(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g 取10 m/s2)，求：
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(1)运动员在空中飞行的时间；
(2)运动员落在B 处时的速度大小；
(3)运动员在空中离坡面的最大距离。
【变式训练】
1.(2025·山东枣庄市联考)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，抛出点P 和
落点Q 的连线与水平方向夹角为53°，两点的高度差为20 m。重力加速度大小取10
m/s2，忽略空气阻力。sin 53°=0.8，cos 53°=0.6。求：
(1)在点P 以水平方向的初速度抛出的重物，离PQ 连线的距离最远时的速度大小；
(2)在点P 以垂直于PQ 连线方向的初速度抛出的重物，刚要落到Q 点的速度大小。
【解题技巧】
1.与斜面结合的抛体运动分解方法
(1)水平方向：匀速直线运动
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竖直方向：匀变速直线运动。
(2)沿斜面方向：加速度为gsin θ 的匀变速直线运动。(θ 为斜面与水平方向的夹角)
垂直斜面方向：加速度为gcos θ 的类竖直上抛运动。
(3)斜抛运动：沿初速度方向的匀速直线运动，沿竖直方向的自由落体运动。
2.几种常见情形
已知条件
情景示例
解题策略
已知速度方
向
已知速
度
方向垂
直
从斜面外平抛，垂直落在斜面上，
如图所示。
分解速度tan θ＝
v0
v y
＝v0
gt
从斜面外斜抛，垂直落在斜面上，
如图所示。
分解速度
tan θ＝
v x
v y
＝
v0cosα
−v0 sinα ＋gt
从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形
轨道，如图所示。
已知速度方向沿该点圆弧的切线方向
分解速度
tan θ＝
v y
v0
＝gt
v0
已知位移方
向
已知位
移
方向沿
斜
面向下
从斜面上平抛又落到斜面上，如图所
示。
分解位移
tan θ＝
y
x ＝
1
2 gt
2
v0t ＝gt
2v0
从斜面上斜抛又落到斜面上，如图所
示。
分解位移
tan θ＝
y
x ＝
−v0sin α·t ＋1
2 g
v0cosα·t
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在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所
示。
已知位移方向垂直斜面
分解位移
tan θ＝
x
y ＝v0t
1
2 gt
2 ＝2v0
gt
利用位移关
系
从圆心处水平抛出，落到半径为R 的圆弧上，如
图所示。
已知位移大小等于半径R
{
x＝v0t
y ＝1
2 gt
2
x
2＋y
2＝R
2
从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R
的圆弧上，如图所示。
已知水平位移x 与半径R 的差的平方与竖直位移
的平方之和等于半径R 的平方
{
x＝R＋R cosθ
x＝v0t
y ＝R sinθ＝1
2 gt
2
( x−R)
2＋y
2＝R
2
【限时训练】（限时：60 分钟）
【基础必刷题】1~5 题每小题7 分，6 题14 分，共49 分
1.(多选)如图，x 轴沿水平方向，y 轴沿竖直方向。图中画出了从y 轴上沿x 轴正方向抛
出的三个小球a、b 和c 的运动轨迹，其中b 和c 是从同一点抛出的。不计空气阻力，
则( )
A.a 的飞行时间比b 长
B.b 和c 的飞行时间相等
C.a 的水平速度比b 的小
D.b 的初速度比c 的大
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2.(2024·湖北卷·3)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低
处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d 和青蛙在同一竖直平面内，a、b 高度相同，c、d 高
度相同，a、b 分别在c、d 正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完
成跳跃，则它应跳到( )
A.荷叶a
B.荷叶b
C.荷叶c
D.荷叶d
3.(2025·山东临沂市调研)一小球从如图所示的坐标原点O 处开始做平抛运动，初速度
沿着x 轴正方向。在坐标原点O 处有束激光照射到小球上，随着小球的运动，激光束
绕O 点不停转动，总能保持激光束跟踪小球。设任意时刻激光束与x 轴正方向的夹角
为θ，小球做平抛运动的时间为t，不计空气阻力，则( )
A.tan θ∝1
t
B.tan θ∝1
t
2
C.tan θ∝t
D.tan θ∝t2
4.(2023·湖南卷·2)如图(a)，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛
出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图(b)所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为
O，且轨迹交于P 点，抛出时谷粒1 和谷粒2 的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，
v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是( )
A.谷粒1 的加速度小于谷粒2 的加速度
B.谷粒2 在最高点的速度小于v1
C.两谷粒从O 到P 的运动时间相等
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D.两谷粒从O 到P 的平均速度相等
5.如图所示，阳光垂直照射到斜面草坪上，在斜面顶端把一高尔夫球水平击出让其在与
斜面垂直的面内运动，小球刚好落在斜面底端。B 点是运动过程中距离斜面的最远处，
A 点是在阳光照射下小球经过B 点的投影点，不计空气阻力，则( )
A.小球在斜面上的投影做匀速运动
B.OA 与AC 长度之比为1∶3
C.若斜面内D 点在B 点的正下方，则OD 与DC 长度不等
D.小球在B 点的速度大小与整段运动过程的平均速度大小相等
6.(14 分)(2024·北京卷·19)如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为
S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在
空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h 远大于管口内径。求：
(1)(5 分)水从管口到水面的运动时间t；
(2)(5 分)水从管口排出时的速度大小v0；
(3)(4 分)管口单位时间内流出水的体积Q。
【巩固必刷题】7~10 题每小题9 分，共36 分
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7.如图所示，1、2 两个小球以相同的速度v0水平抛出。球1 从左侧斜面抛出，经过时
间t1落回斜面上，球2 从某处抛出，经过时间t2恰能垂直撞在右侧的斜面上。已知左、
右两侧斜面的倾角分别为α＝30°、β＝60°，则( )
A.t1∶t2＝1∶2
B.t1∶t2＝1∶3
C.t1∶t2＝2∶1
D.t1∶t2＝3∶1
8.某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示。模型放到0.8 m 高的水平桌
子上，最高点距离水平地面2 m，右端出口水平。现让小球在最高点由静止释放，忽略
阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为( )
A.0
B.0.1 m
C.0.2 m
D.0.3 m
9.固定的半圆形竖直轨道如图所示，AB 为水平直径，O 为圆心，质量不等的甲、乙两
个小球同时从A 点水平抛出，速度分别为v1、v2，经时间t1、t2分别落在等高的C、D
两点，OC、OD 与竖直方向的夹角均为53°(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)，不计空气阻力，
下列说法正确的是( )
A.v1∶v2＝1∶9
B.t1∶t2＝1∶4
C.甲球的速度变化量小于乙球的速度变化量
D.落在D 点的小球垂直打在圆弧上
10.(多选)(2024·山东卷·12)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小
为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P 和落点Q 的连线与水平方向夹角为
30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确
的是( )
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A.运动时间为2√3 s
B.落地速度与水平方向夹角为60°
C.重物离PQ 连线的最远距离为10 m
D.轨迹最高点与落点的高度差为45 m
【尖子拔高题】
11.(15 分)(2025·山东省模拟)如图，BD 为斜面顶端的水平边沿，子弹从斜面最低点A 处
以一定速度射出，经过一段时间恰好水平击中D 点，不计空气阻力，已知斜面的倾角
为30°，重力加速度为g，AB 长度xAB＝a，BD 长度xBD＝√13
2 a。(v0未知)
(1)(6 分)求子弹从射出到击中D 点经历的时间；
(2)(9 分)求枪口瞄准点C 距离D 点的高度(C 点在D 点的正上方)。
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