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第五章 万有引力与宇宙航行
第24 课时 人造卫星 宇宙速度
【考情分析·探规律】
人造卫星
字宙速度
2024 湖北卷T4、2024 湖南卷T7、2024 甘肃卷T3、
2024 江西卷T4、2024 河北卷T8、2024 浙江1 月选考T9
2023 浙江1 月选考T10、2023 天津卷T1、2023 广东卷T7、
2023 湖北卷T2、2023 海南卷T9、2023 江苏卷T4、2023 湖南卷
T4
2022 山东卷T6、2022 湖北卷T2
试
题
情
境
生活实践类
地球不同纬度重力加速度的比较。
学习探究类
开普勒第三定律的应用，利用“重力加速度法”、“环绕法”计
算天体的质量和密度，卫星运动参量的分析与计算，人造卫星，
宇宙速度，天体的“追及”问题，卫星的变轨和对接问题，双星
或多星模型。
【知识梳理】
考点一 卫星运行参量的分析
1.基本公式
(1)线速度大小：由G Mm
r
2 ＝mv
2
r 得v＝√
GM
r
。
(2)角速度：由G Mm
r
2 ＝mω2r 得ω＝√
GM
r
3 。
(3)周期：由G Mm
r
2 ＝m(2π
T )2r 得T＝2π√
r
3
GM
。
(4)向心加速度：由G Mm
r
2 ＝man得an＝GM
r
2 。
结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r 越大，v、ω、an越小，T 越大，即越高越
慢。
1
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2.“黄金代换式”的应用
忽略中心天体自转影响，则有mg＝G Mm
R
2 ，整理可得GM
＝
gR
2 。在引力常量G 和中心
天体质量M 未知时，可用gR2替换GM。
3.人造卫星
卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步
卫星中的静止卫星的轨道是赤道轨道。
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(2)同步卫星
①静止卫星的轨道平面与赤道平面共面，且与地球自转的方向相同。
②周期与地球自转周期相等，T＝24 h。
③高度固定不变，h＝3.6×107 m。
④运行速率约为v＝3.1 km/s。
(3)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等
于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星做匀速圆周运动的最大运行速度)。
注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星。
【小试牛刀】
典例1.(2023·天津卷·1)运行周期为24 h 的北斗卫星比运行周期为12 h 的( )
A.加速度大
B.角速度大
C.周期小
D.线速度小
【答案】D
2
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【解析】根据万有引力提供向心力有F＝G Mm
r
2 ＝mv
2
r ＝mrω2＝m4 π
2
T
2 r＝ma，可得T＝
2π√
r
3
GM
，v＝√
GM
r
，ω＝√
GM
r
3 ，a＝GM
r
2 。因为运行周期为24 h 的北斗卫星周期大，
故运行轨道半径大，则线速度小，角速度小，加速度小，故选D。
典例2.(2023·广东卷·7)如图(a)所示，太阳系外的一颗行星P 绕恒星Q 做匀速圆周运
动。由于P 的遮挡，探测器探测到Q 的亮度随时间做如图(b)所示的周期性变化，该
周期与P 的公转周期相同。已知Q 的质量为M，引力常量为G。关于P 的公转，下
列说法正确的是( )
A.周期为2t1－t0
B.半径为
3√
GM (t1−t0)
2
4 π
2
C.角速度的大小为
π
t1−t0
D.加速度的大小为
3√
2π GM
t1−t0
【答案】B
【解析】由题图(b)可知探测器探测到Q 的亮度随时间变化的周期为T＝t1－t0，则P 的
公转周期为t1－t0，故A 错误；P 绕Q 做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得
GMm
r
2
＝m4 π
2
T
2 r，解得半径为r＝3√
GM T
2
4 π
2 ＝
3√
GM (t1−t0)
2
4 π
2
，故B 正确；P 的角速度
为ω＝2π
T ＝2π
t1−t0
，故C 错误；P 的加速度大小为a＝ω2r＝( 2π
t1−t0
)2·
3√
GM (t1−t0)
2
4 π
2
＝2π
t1−t0
·
3√
2π GM
t1−t0
，故D 错误。
典例3.(多选)(2024·山东青岛市校考)如图所示，赤道面内的同步卫星与地心的距离
为r，运行速率为v1，向心加速度大小为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心
3
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加速度大小为a2，第一宇宙速度大小为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是(
)
A.a1
a2
＝r
R
B.a1
a2
＝( R
r )2
C.v1
v2
＝r
R
D.v1
v2
＝√
R
r
【答案】AD
【解析】根据万有引力提供向心力，有G Mm
r
2 ＝mv1
2
r
，G Mm'
R
2 ＝m'v2
2
R
，故v1
v2
＝√
R
r ；
对于同步卫星和地球赤道上的物体，其共同点是角速度相等，有a1＝ω2r，a2＝ω2R，故
a1
a2
＝r
R ，故选A、D。
【解题技巧】同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较
如图所示，a 为近地卫星，轨道半径为r1；b 为赤道面内的地球同步卫星，轨道半径
为r2；c 为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3。
比较项目
近地卫星(r1、ω1、v1、
a1)
同步卫星(r2、ω2、
v2、a2)
赤道上随地球自转的
物体(r3、ω3、v3、a3)
向心力来源
万有引力
万有引力
万有引力的一个分力
轨道半径
r2>r1＝r3
角速度
ω1>ω2＝ω3
线速度
v1>v2>v3
向心加速度
a1>a2>a3
4
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考点二 宇宙速度
三个宇宙速度
第一宇宙速度
(环绕速度)
v1＝7.9 km/s，是人造地球卫星的最小发射速度，这也是地球卫
星的最大环绕速度
第二宇宙速度
v2＝11.2 km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度
第三宇宙速度
v3＝16.7 km/s，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度
【小试牛刀】
典例1.中国火星探测器“天问一号”成功发射后，沿地火转移轨道飞行七个多月到
达火星附近，要通过制动减速被火星引力俘获，才能进入环绕火星的轨道飞行。已
知地球的质量约为火星质量的10 倍，地球半径约为火星半径的2 倍，下列说法正确
的是( )
A.若在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要7.9 km/s
B.“天问一号”探测器的发射速度一定大于7.9 km/s，小于11.2 km/s
C.火星与地球的第一宇宙速度之比为1∶√5
D.火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
【答案】C
【解析】卫星在行星表面附近绕行的速度为该行星的第一宇宙速度，由G Mm
R
2 ＝mv
2
R
，可得v＝√
GM
R ，故v 火∶v 地＝1∶√5，所以在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫
星，其速度至少需要v 火＝7.9
√5 km/s，故A 错误，C 正确；“天问一号”探测器挣脱了
地球引力束缚，则它的发射速度大于等于11.2 km/s，故B 错误；g 地＝G
M 地
R地
2，g 火＝G
M 火
R火
2，联立可得g 地>g 火，故D 错误。
【解题技巧】宇宙速度与运动轨迹的关系
1.v 发＝7.9 km/s 时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。
5
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2.7.9 km/s<v 发<11.2 km/s 时，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。
3.11.2 km/s≤v 发<16.7 km/s 时，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。
4.v 发≥16.7 km/s 时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
考点三 天体的“追及”共线问题
【小试牛刀】
典例1.(2023·湖北卷·2)2022 年12 月8 日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三
者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内
沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所
示。根据以上信息可以得出( )
A.火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8
B.当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C.火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4
D.下一次“火星冲日”出现在2023 年12 月8 日之前
【答案】B
【解析】火星和地球均绕太阳运动，由于火星与地球的轨道半径之比约为3∶2，根据
开普勒第三定律有
r 火
3
r地
3 ＝T 火
2
T 地
2，可得T 火
T 地
＝√
r 火
3
r地
3 ＝3√3
2√2
，故A 错误；火星和地球绕
太阳做匀速圆周运动，速度大小均不变，当火星与地球相距最远时，由于两者的速度
方向相反，故此时两者相对速度最大，故B 正确；在星球表面根据万有引力定律有G
Mm
R
2 ＝mg，由于不知道火星和地球的质量比以及火星和地球的半径比，故无法得出火
星和地球表面的自由落体加速度大小之比，故C 错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周
运动，有ω 火＝2π
T 火
，ω 地＝2π
T 地
，要发生下一次“火星冲日”，则有( 2π
T 地
－2π
T 火
)t＝
2π，得t＝
T 火T 地
T 火−T 地
>T 地，可知下一次“火星冲日”出现在2023 年12 月8 日之后，故
D 错误。
典例2.地球的两颗卫星绕地球在同一平面内做匀速圆周运动，环绕方向如图所示。
已知卫星一运行的周期为T0，地球的半径为R0，卫星一和卫星二到地球中心的距离
6
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分别为R1＝2R0，R2＝8R0，引力常量为G，某时刻两卫星与地心连线之间的夹角为2
3
π，下列说法正确的是( )
A.卫星二的机械能一定大于卫星一的机械能
B.地球的质量M＝30 π
2 R0
3
GT 0
2
C.卫星二围绕地球做圆周运动的周期T2＝4T0
D.从图示时刻开始，经过t＝16
21T0时间两卫星第一次相距最近
【答案】D
【解析】因为两卫星的质量未知，所以无法比较它们机械能的大小，A 错误；对卫星
一，由牛顿第二定律得G Mm
4 R0
2＝m(2π
T 0
)2×2R0，解得地球质量为M＝
32π
2 R0
3
GT 0
2
，故B
错误；由开普勒第三定律
T 2
2
T 0
2＝(
8 R0
2 R0
)3可得卫星二围绕地球做圆周运动的周期为T2＝
8T0，故C 错误；两卫星共线且在地球同一侧时相距最近，设从图示时刻开始经过t 时
间，两卫星第一次相距最近，则2π
T 0
t－2π
8T 0
t＝2π－2π
3 ，解得t＝16
21T0，故D 正确。
【解题技巧】天体“追及”问题的处理方法
1.相距最近：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的同侧时，
相距最近。从相距最近到再次相距最近，两卫星的运动关系满足：(ωA－ωB)t＝2π 或
t
T A
－t
T B
＝1。
2.相距最远：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的异侧时，
相距最远。从相距最近到第一次相距最远，两卫星的运动关系满足：(ωA－ωB)t'＝π 或
t '
T A
－t '
T B
＝1
2。
3.若两同心转动的卫星初始位置不在同一直径上时，找两卫星的运动关系时需注意初始
时刻两卫星与地心连线之间的夹角。
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【限时训练】（限时：60 分钟）
【基础必刷题】1~7 题每小题4 分，共28 分
1.(多选)(2024·山东德州市期中)关于地球同步卫星，下列说法正确的是( )
A.它的周期与地球自转周期相同
B.它的周期、高度、速度大小都是一定的
C.它的速度大小随高度的变化而变化，但周期都是一定的
D.我国发射的同步通信卫星可以定点在北京上空
【答案】AB
【解析】地球同步卫星的周期与地球自转周期相同，A 正确；根据G Mm
r
2 ＝mv
2
r ＝m
4 π
2
T
2 r 可知，因地球同步卫星的周期一定，则高度、速度大小都是一定的，B 正确，C
错误；静止卫星只能定点在赤道正上方，我国发射的同步通信卫星不可以定点在北京
上空， D 错误。
2.2023 年10 月26 日11 时14 分，“神舟十七号”载人飞船发射成功，10 月26 日17 时
46 分，“神舟十七号”载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接，我国空间站
在离地球表面高约400 km 的轨道上运行，已知同步卫星距离地球表面的高度约为36
000 km。下列说法正确的是( )
A.我国空间站的运行周期为24 h
B.我国空间站运行的角速度小于地球自转的角速度
C.我国空间站运行的线速度比地球同步卫星的线速度大
D.我国空间站的发射速度大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度
【答案】C
【解析】卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得GMm
r
2
＝m4 π
2
T
2 r＝
mω2r＝mv
2
r
可知T＝√
4 π
2r
3
GM
，ω＝√
GM
r
3 ，v＝√
GM
r
由于空间站的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，则空间站的运行周期小于24 h；空
间站的角速度大于同步卫星的角速度，即大于地球自转的角速度；空间站的线速度大
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于地球同步卫星的线速度，故A、B 错误，C 正确；我国空间站的发射速度大于第一宇
宙速度，小于第二宇宙速度，故D 错误。
3.2023 年12 月15 日，我国在文昌航天发射场使用长征五号遥六运载火箭成功将遥感四
十一号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。某遥感卫星
沿地球同步轨道运行，关于该遥感卫星，下列说法正确的是( )
A.其运行速度等于7.9 km/s
B.其向心加速度大于放在赤道上的物体的向心加速度
C.其向心加速度大于地球表面的重力加速度
D.已知该卫星的轨道半径和地球自转的周期，不能求出该卫星的线速度大小
【答案】B
【解析】卫星所受的万有引力提供做匀速圆周运动的向心力，即G Mm
r
2 ＝mv
2
r ，解得v
＝√
GM
r
，因为7.9 km/s 是近地卫星的环绕速度，且近地卫星的环绕半径比地球同步
卫星小，则该遥感卫星的线速度小于近地卫星的线速度，即其运行速度小于7.9
km/s，故A 错误；因为该卫星与赤道上的物体环绕周期和角速度相等，该卫星的环绕
半径大于赤道上的物体随地球做匀速圆周运动的半径，根据a＝ω2r 可知，其向心加速
度大于放在赤道上的物体的向心加速度，故B 正确；根据G Mm
r
2 ＝ma，解得该卫星的
向心加速度a＝GM
r
2 ，设地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，有G Mm
R
2 ＝mg，
解得g＝GM
R
2 ，因为r>R，则a<g，故C 错误；地球自转的周期与该卫星做匀速圆周运
动的周期相等，该卫星的轨道半径和环绕周期都已知，根据v＝2π r
T
可知，能求出该
卫星的线速度大小，故D 错误。
4.如图所示，a 为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b 为
沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c 为地球的静
止轨道卫星。下列关于a、b、c 的说法中正确的是( )
A.地球同步卫星都与c 在同一个轨道上，并且它们受到的万有引力大小相等
B.a、b、c 做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为aa>ab>ac
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C.a 与地球的万有引力全部提供a 随地球自转的向心力
D.a、b、c 做匀速圆周运动的周期大小关系为Ta＝Tc>Tb
【答案】D
【解析】地球同步卫星不一定与c 在同一个轨道上，但轨道半径相等，卫星的质量不
一定相等，由万有引力定律F＝GMm
r
2
可知，它们受到的万有引力大小不一定相等，A
错误；对于b、c，由万有引力提供向心力有G Mm
r
2 ＝ma，解得 a＝GM
r
2 ，rc>rb，所以
ab>ac，由于a、c 做匀速圆周运动的周期相等，又a＝rω2，ω＝2π
T ，rc>ra，可得
ac>aa，所以a、b、c 做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为 ab>ac>aa，B 错误；a 与
地球的万有引力一部分提供a 随地球自转的向心力，C 错误；对于a、c，其周期相等，
所以 Ta＝Tc，对于b、c，由万有引力提供向心力有G Mm
r
2 ＝mr4 π
2
T
2 ，解得T＝2π√
r
3
GM
，rc>rb，所以Tc>Tb，即a、b、c 做匀速圆周运动的周期大小关系为 Ta＝Tc>Tb，D 正确。
5.(2024·江西卷·4)“嫦娥六号”探测器于2024 年5 月8 日进入环月轨道，后续经调整
环月轨道高度和倾角，实施月球背面软着陆。当探测器的轨道半径从r1调整到r2时(两
轨道均可视为圆形轨道)，其动能和周期从Ek1、T1分别变为Ek2、T2。下列选项正确的
是( )
A. Ek 1
Ek 2
＝r2
r1
，T 1
T 2
＝√r1
3
√r2
3
B. Ek 1
Ek 2
＝r1
r2
，T 1
T 2
＝√r1
3
√r2
3
C. Ek 1
Ek 2
＝r2
r1
，T 1
T 2
＝√r2
3
√r1
3
D. Ek 1
Ek 2
＝r1
r2
，T 1
T 2
＝√r2
3
√r1
3
【答案】A
【解析】探测器在环月轨道做匀速圆周运动，则月球对探测器的万有引力提供向心力，
设月球的质量为M，探测器的质量为m，则半径为r1时有G Mm
r1
2 ＝mv1
2
r1
＝m4 π
2
T 1
2 r1，半
10
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径为r2时有G
Mm
r2
2 ＝mv2
2
r2
＝m4 π
2
T 2
2 r2，再根据动能Ek＝1
2mv2，可得调整前后动能和周
期的比值分别为
Ek 1
Ek 2
＝r2
r1
，
T 1
T 2
＝√r1
3
√r2
3，故选A。
6.迷你系绳卫星在地球赤道正上方大气层外，沿圆形轨道绕地球飞行。如图所示，某系
绳卫星由两个质量相等的子卫星a、b 组成，子卫星间的绳沿地球半径方向，已知子卫
星a、b 绕地球做圆周运动的轨道半径分别为r1、r2，地球半径为R，地球表面处的重力
加速度大小为g，系绳质量不计，则系绳卫星做圆周运动的角速度大小为( )
A. R
r1r2√
g(r1
2+r2
2)
r1+r2
B. R
r1r2√
g(r1
2+r2
2)
r1−r2
C. R
r1r2√
g(r1
3+r2
3)
r1
2+r2
2
D. R
r1r2√
g(r1
3+r2
3)
r1
2−r2
2
【答案】A
【解析】对地球表面附近的物体，有G Mm
R
2 =mg。设系绳卫星做圆周运动的角速度大小
为ω，子卫星质量均为m0，由万有引力提供向心力有GM m0
r1
2
+GM m0
r2
2
=m0ω2r1+m0ω2r2，
化简得ω= R
r1r2√
g(r1
2+r2
2)
r1+r2
，A 正确。
7.火星是近些年来发现的最适宜人类居住生活的星球，我国成功发射“天问一号”标志
着我国成功地迈出了探测火星的第一步。已知火星直径约为地球直径的一半，火星质
量约为地球质量的十分之一，航天器贴近地球表面飞行一周所用时间为T，地球表面的
重力加速度为g，若未来在火星表面发射一颗人造卫星，最小发射速度约为( )
A.gT
2π
B.√5gT
10 π
C.√5gT
5 π
D.2√5gT
5 π
11
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【答案】B
【解析】由G Mm
R
2 ＝mv
2
R ，得到星球的第一宇宙速度v＝√
GM
R ，设地球的第一宇宙速
度为v1，由g＝ωv1＝2π
T v1，得v1＝gT
2π ，设火星的第一宇宙速度为v2，则v2
v1
＝√
M 2
M 1
·
√
R1
R2
，代入数据解得v2＝√5
5 v1＝√5gT
10 π ，故选B。
【巩固必刷题】8~11 题每小题6 分，共24 分
8.(多选)(2024·湖南卷·7)2024 年5 月3 日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，
正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登陆月
球背面进行月壤采集并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返
回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。已知月
球表面重力加速度约为地球表面的1
6，月球半径约为地球半径的1
4 。关于返回舱在该绕
月轨道上的运动，下列说法正确的是( )
A.其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度
B.其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度
C.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的√
2
3倍
D.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的√
3
2倍
【答案】BD
【解析】返回舱在该绕月轨道上运动时万有引力提供向心力，且返回舱绕月运行的轨
道为圆轨道，半径近似为月球半径，则有
mg 月＝mv月
2
R月
得v 月＝√g月R月
①
由于地球第一宇宙速度为近地卫星的环绕速度，
同理可得v 地＝√g地R地②
由①②可得v 月＝√6
12 v 地
故A 错误，B 正确；
再根据线速度和周期的关系有
T＝2π
v ·R，
T 月
T 地
＝R月
R地
·v地
v月
＝√
3
2
12
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得T 月＝√
3
2T 地，故C 错误、D 正确。
9.星球上的物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度。星球的第二宇宙速
度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝√2v1。已知某星球的半径为r，它表面的重力加
速度为地球表面重力加速度g 的1
6。不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为
( )
A.√
gr
3
B.√
gr
6
C.gr
3
D.√gr
【答案】A
【解析】该星球的第一宇宙速度满足G Mm
r
2 ＝mv1
2
r
，在该星球表面处万有引力等于重
力，有G Mm
r
2 ＝m·g
6 ，由以上两式得该星球的第一宇宙速度v1＝√
gr
6 ，则第二宇宙速
度v2＝√2×√
gr
6 ＝√
gr
3 ，故A 正确。
10.(2023·浙江1 月选考·10 改编)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆
周运动，当地球恰好运动到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，
天文学称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如表所示，
则相邻两次冲日的时间间隔最短的地外行星为( )
地球
火星
木星
土星
天王星海王星
轨道半径R/AU
1.0
1.5
5.2
9.5
19
30
A.火星
B.木星
C.天王星
D.海王星
【答案】D
【解析】设相邻两次冲日的时间间隔为t，根据t
T 地
－t
T 行
＝1，解得t＝
T 行T 地
T 行−T 地
＝
T 地
1−T 地
T 行
，则行星做圆周运动的周期T 越大，相邻两次冲日的时间间隔越
短；根据开普勒第三定律a
3
T
2＝k，海王星的轨道半径最大，则周期最大，故海王星相邻
两次冲日的时间间隔最短。故选D。
13
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11.“星下点”是指卫星和地心连线与地球表面的交点。图甲是人造地球卫星A 的运行
圆轨道及“星下点”示意图，卫星A 的绕行方向与地球自转方向一致，M 点是某时刻
的“星下点”，图乙是卫星A 的“星下点”在完整地球平面图上一段时间内的轨迹，
已知地球同步卫星B(图中未画出)的轨道半径为r，则卫星A 的轨道半径为( )
A.r
5
B.r
3
C. r
3√9
D. r
3√3
【答案】C
【解析】由题图乙可知，卫星绕地球转动一圈的过程，地球转过的角度为120°，设地
球自转周期为T，则卫星绕地球运行的周期为T
3 ，又同步卫星的运行周期与地球自转周
期相同，则开普勒第三定律有r
3
T
2=
r A
3
( T
3 )
2，则卫星A 的轨道半径rA= r
3√9，C 正确。
【尖子拔高题】 (7 分)
12.(多选) (2025·山东泰安市质检)水星是地球上较难观测的行星，因为它离太阳太近，
总是湮没在太阳的光辉里，只有水星和太阳的距角(地球和水星连线与地球和太阳连线
的夹角)达最大时(称为大距，如图所示)，公众才最有希望目睹水星。2023 年1 月30 日
凌晨，上演这年首次水星大距。已知水星公转周期约为地球公转周期的1
4 ，水星和地
球公转轨道均视为圆形。则下列说法正确的是( )
A.可以求出水星与地球质量之比
B.一年内至少可以看到6 次水星大距
C.大距时，水星和太阳距角的正弦值约为
3√4
4
D.太阳分别与水星和地球的连线在相同时间内扫过的面积相等
【答案】BC
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【解析】由万有引力提供向心力有GMm
r
2
＝mr4 π
2
T
2 ，可得r3＝GM T
2
4 π
2 ，其中M 代表太
阳的质量，可知可以求出水星与地球轨道半径之比，无法求得质量之比，故A 错误；
设地球公转周期为T，则T 地＝T，T 水＝1
4 T，两次东(或西)大距时间间隔为(
2π
1
4 T
－2π
T
)Δt＝2π，一年内能看到水星的次数为N＝2× T
Δt ，解得N＝6，故B 正确；由A 项分析
知水星与地球轨道半径之比为
3√4
4 ，根据几何关系可知大距时，水星和太阳距角的正弦
值约为
3√4
4 ，故C 正确；开普勒第二定律是针对同一环绕天体而言的，太阳分别与水星
和地球的连线在相同时间内扫过的面积不相等，故D 错误。
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