文档文本内容
第20 讲 等差数列及其前n 项和
知识清单
知识点01.等差数列的有关概念
知识点02.等差数列的有关公式
知识点03.等差数列的常用性质
知识点04.等差数列前n 项和的常用性质
知识点05 等差数列的常用结论
题型讲解
【题型一】等差数列及其通项公式
【题型二】等差数列的性质
【题型三】 等差数列的函数特性
【题型四】 等差数列的前n 项和
【题型五】 等差数列中 an 与Sn 的关系
【题型六】等差数列前n 项和的性质
【题型七】 等差数列前n 项和的函数特
性
好题必刷
知识点01.等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*).
(2)等差中项
由三个数a，A，b 组成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有2A＝a＋b.
知识点02.等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n 项和公式：Sn＝na1＋n(n−1)
2
d 或Sn＝n(a1＋an)
2
.
知识点03.等差数列的常用性质
(1)若{an}为等差数列，且p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at(p，q，s，t∈N*).
内容预览
知识清单
(2)等差数列{an}的单调性：当d>0 时，{an}是递增数列；当d<0 时，{an}是递减数列；当d＝0 时，{an}是常数列.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md 的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n 项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n 项和，则数列{
Sn
n }也为等差数列.
(6)若两个等差数列{an}，{bn}的前n 项和分别为Sn，Tn，则an
bn
＝S2n−1
T 2n−1
.
(7)数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数).
知识点04.等差数列前n 项和的常用性质
(1)当d≠0 时，等差数列{an}的前n 项和Sn＝d
2 n2＋(a1−d
2)n 是关于n 的二次函数.
(2)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值.
知识点05 等差数列的常用结论
若等差数列{an}的项数为偶数2n，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；(2)S 偶－S 奇＝nd，S奇
S偶
＝an
an＋1
.
若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则(1)S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；(2)S奇
S偶
＝n＋1
n
.
【题型一】 等差数列及其通项公式
【例1】（2025·广东惠州·模拟预测）已知等差数列
的首项
，公差
，在
中每相邻两项之间都插入
3 个数，组成一个新的等差数列
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据等差数列的定义求解即可.
题型方法
【详解】设
的公差为
，则
，
，
故
.
故选：B.
【变式1】（多选）（2025·内蒙古包头·模拟预测）将所有正整数按照如下规律形成如下数阵M：
第1 行 1 2 3 …… 7 8 9
第2 行 10 11 12 …… 97 98 99
第3 行 100 101 102 …… 997 998 999
第4 行 1000 1001 1002 …… 9997 9998 9999
…………
将上述M 数阵中的数进行如下操作，如果该正整数中相邻两位数字（从左到右）出现12，则将该正整数去掉，其余
数保持原有顺序不变，得到一个新数阵Q，记新数阵Q 第
行正整数的个数为
，则以下说法正确的有（ ）
A．
B．
C．
是等差数列
D．将数列
与数列
的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列
，则
位于数阵M 中的第2 行第7
个位置（从左向右数）
【答案】ABD
【分析】对于A，根据数阵M 的排列规律，易得
；对于B，根据排列规律，分成个位数字不等于2 和个位数字
等于2 两类情况，利用分类加法计数原理，推理即得；对于C，利用
分别计算数列
的前
三项检验即可排除；对于D，求出
，易于判断.
【详解】对于A，因第2 行的正整数有
个，依题意去掉
，即得
，故A 正确；
对于B，当
时，显然
．当
时，第2 行2 位数有90 个，其中只有12 去掉，故
当
时，第3 行3 位数有900 个，其中有两种情况去掉：百位和十位分别为12，
此时有10 个符合，十位和个位分别为12 个符合，此时有9 个，故
．
当
时，将第
行
个符合条件的
位正整数分为两类：
①个位数字不等于2 时，个位数字有9 种取法，前面
位数有
种取法，这时
位正整数中有
个；
②个位数字等于2 时，前面
位数有
种取法，但这
个
位正整数中十位数字等于1 的
个正整数要去掉．
故个位数字等于2 且十位数字不等于1 的
位正整数有
个．
综上，由分类加法计数原理知
．B 正确；
对于C，由前面分析，可得
，
，
，
，
记
，
则
，
，
，
则
，
故
不是等差数列，即C 错误；
对于D，因数列
展开为：
，而数列
展开为：
，
依题意可知则
，位于数阵M 中的第2 行第7 个位置（从左向右数），故D 正确.
故选：ABD.
【变式2】（2025·江西新余·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，
，
．
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)求
的通项；
(3)求
的最大值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)3.
【分析】（1）利用
的关系，将
转化
，整理即可得证；
（2）根据（1）中结论，求出
的通项，结合已知可得所求；
（3）根据通项公式即可得解.
【详解】（1）因为
，所以
，故
，
又
，所以
是以3 为首项，3 为公差的等差数列．
（2）由（1）知
，
当
时，
，
而
时，
不满足上式，
所以
.
（3）由（2）知，当
时，
，
又
，所以
的最大值为
.
【变式3】（2025·重庆九龙坡·三模）已知数列
的前
项和为
.
(1)求数列
的通项公式;
(2)若无穷的非常数数列
同时满足两个性质: ①对于
中任意两项
，在
中都存在一项
，使
得
; ②对于
中任意一项
，在
中都存在两项
，使得
. 则称数
列
为
数列.
(i)判断数列
是否为
数列，并说明理由；
(ii)若数列
是
数列且为单调递增数列，证明:数列
是等差数列.
【答案】(1)
；
(2)（i）是
数列；（ii）证明见解析.
【分析】（1）变形得
，再利用累乘法得
，最后降次作差即可；
（2）（i）计算得
，则其满足性质①，再分析其满足性质②即可；
（ii）首先利用性质②：取
，则得到即
成等差数列，再利用性质①，取
，得到数列中必然存在
一项的值为
．最后证明
即可.
【详解】（1）由
得
，
即
，
，
累乘得：
，
，又
符合式子，
所以
，
当
时，
，
又
符合上式，所以
．
（2）（i）因为
，
，所以
具有性质①，
因为
，
具有性质②．
数列
是
数列．
（ii）
是单调递增数列．
首先利用性质②：取
，此时
，
由数列的单调性可知
，
，故
，
此时必有
，即
，
即
成等差数列，不妨设
．
利用性质①：取
，
则
，
即数列中必然存在一项的值为
．
下面证明
，
若
，则由数列的单调性可知
．
在性质②中，取
，则
，从而
，则
．
若
，则
，与假设矛盾；
若
，则
，与假设矛盾；
若
，则
，与数列的单调性矛盾．
故不存在满足题意的正整数
，，可见
不成立，从而
，
同理可得
为等差数列．
【题型二】 等差数列的性质
【例2】（2025·安徽·模拟预测）已知等差数列
的前
项和为
，且
，
，则
（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出公差及
，进而求出
.
【详解】在等差数列
中，由
，得公差
，
又
，即
，解得
，
所以
.
故选：A
【变式1】（2025·江西·模拟预测）中国剩余定理又称“孙子剩余定理”，它是中国古代史上最有创造性的成就之一，
其中“韩信点兵”“物不知数”等问题的解法在数论中有相应的推广，数论中的
形式表示
和
除以
的
余数相同．已知集合
满足
，
，
．对于集合
中的任意一个元素，下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据同余的定义式，分别求出集合
中元素满足的式子，进而得到集合
，再利用同余的定义式检验
ABD 选项，最后取特殊值
，检验C 选项.
【详解】因
，则
，
因
，则
，
又
，
，
则
又
，则
，故A 正确；
，则
，故B 正确；
，则
，故D 正确；
不妨取
，不满足
，故C 错误.
故选：C.
【变式2】（2025·广东·模拟预测）方程
有四个可以排列成等差数列的实根，则
的值为 .
【答案】4
【分析】解法一：根据等式求解出方程的根，再根据等差数列性质列式求解即可；解法二：根据等差数列性质及绝对
值等式的对称性设出四个解，再代入等式求解即可.
【详解】解法一：直接解方程
解得这四个解分别是：
，
，
，
由等差关系，可知：
，解得
.
解法二：利用对称性
可知，这四个解分别是：
，
，
，
，计算可得
，解得
即：
.
故答案为：
.
【变式3】（2025·江西南昌·二模）对于共
项的等差数列
（公差不为0）各项重新排列得到新数列
，若
中的任意两项的等差中项都不在这两项所在位置之间，则称数列
是等差数列
的“无均数列”.
(1)若
，写出等差数列
（公差不为0）的4 个不同的“无均数列”；
(2)若
，写出等差数列
（公差不为0）的一个“无均数列”；
(3)若
，判断等差数列
（公差不为0）的“无均数列”是否存在，并证明你的结论.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)存在，证明见解析
【分析】（1）根据“无均数列”的定义，列举得出满足“无均数列”的数列个数，即可得到答案；
（2）根据“无均数列”的定义，列举法的其中的一个“无均数列”，即可得到答案；
（3）利用数学归纳法，先证明对
时，数列
，都存在“无均数列”，再将将
项去掉，即可得到
时，等差数列
存在“无均数列”.结合每一组是一共8 项的等差数列，令
，把其分为4 组
这样排列就能构成“无均”数列，反复执行上述
操作，即可得到答案.
【详解】（1）解：根据“无均数列”的定义得：
当
时，存在以下“无均数列”：
；
；
；
；
；
；
；
；
；
，
总共10 种（写出其中的4 个即可）.
（2）解：当
时，存在“无均数列”：
.
（3）解：存在，
先证明对
时，存在，
①当
时，由①知存在“无均数列”，
②假设
时，
存在“无均数列”，
则
时，数列
分成2 组
，两组分别有
次项，
且从这两组中各任取一项，得到的两项的等差中项不是
的项，由假设，
数列
存在“无均数列”，设为
，
数列
存在“无均数列”，设为
，
构造数列：
，
观察
，每组之间的任意两个数的平均数均不在两数位置之间，故只需要考虑每组内部重
新排成“无均数列”，
因此数列：
，中任意两项的等差中项均不在这两项中间，
即
时，数列
存在“无均数列”，
由①②可知，
时，都存在“无均数列”，
所以令
，即
时，存在“无均数列”，
接下来我们只需要将
项去掉，
便可得到
时，等差数列
存在“无均数列”.
同样注意到此时每一组是一共8 项的等差数列，
令
，故由第二问知道，
此时只需要把其分为4 组
这样排列就能构成“无均”数列，
因此反复执行上述操作能把2048 项的等差数列
重新排列成一个“无均”数列，
所以当
时也能重新排列成一个“无均”数列.
【题型三】 等差数列的函数特性
【例3】（多选）（2023·安徽芜湖·模拟预测）下面是关于公差
的等差数列
的四个命题，其中正确的有
（ ）
A．数列
是等差数列
B．数列
是等差数列
C．数列
是递增数列
D．数列
是递增数列
【答案】ABD
【分析】由题意写出等差数列的通项公式，根据公差
，逐一写出四个选项的通项公式，利用等差数列的定义以
及函数单调性加以判断即可.
【详解】设等差数列的首项为
，所以
，
对于A，由
，则
，所以
，即数列
是等差数
列为公差为
的等差数列，故A 正确；
对于B，由
，所以
，则
，所以数列
是以公差为
的等差数列，
故B 正确；
对于C，由
，可得
，当
时，数列
不是递增数列，故C 不正确；
对于D，由
，可得
，所以
，所以数列
是递增数列，故D 正确；
故选：ABD
【变式1】（2024·山西吕梁·二模）已知函数
的图象关于点
中心对称，也关于点
中心对称，则
的中位数为 .
【答案】
/
【分析】根据题意整理出
，求出
，
；由此判断出
为
递增的等差数列，进而求解即可.
【详解】由
的图象关于点
中心对称，也关于点
中心对称，
得
，
两式相减得
，所以
，
由
时，由
，得
；
由
时，由
，得
；
又由
，结合
，
，
所以
成首项为
，公差为的等差数列，
所以
，且此等差数列为递增数列，
所以
的中位数为：
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是判断出
为递增的等差数列，从而得解.
【变式2】（2023·安徽·二模）中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三
数之剩二（除以3 余2），五五数之剩三（除以5 余3），问物几何？”现将1 到200 共200 个整数中，同时满足“三
三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列
，则该数列最大项和最小项之和为
．
【答案】196
【分析】被3 除余2 且被5 除余3 的数构成首项为8，公差为15 的等差数列，再通过等差数列求数列最大项和最小项
之和即可.
【详解】被3 除余2 且被5 除余3 的数构成首项为8，公差为15 的等差数列，
则
，
令
，解得
，
则数列
的最大项为
，
所以该数列最大项和最小项之和为
．
故答案为：196.
【变式3】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知数列
的各项均为正整数，设集合
，
，记
的元素个数为
.
1．若数列A:1，3，5，7，求集合
，并写出
的值;
2．若
是递减数列，求证:“
”的充要条件是“
为等差数列”;
3．已知数列
，求证:
.
【答案】1．
. 2．证明见解析； 3．证明见解析
【分析】（1）根据题意，结合集合的新定义，即可求解；
（2）若
为等差数列，且
是递减数列，得到
，结合
，证得充分性成立；再由
是递减数列，
得到
，结合互不相等，得到
，得到必要性成立，即
可得证；
（3）根据题意，得到
，得出
，
得到
，不妨设
，则
，推得
为奇数，矛盾，进而得证.
1．解：由题意，数列
，
可得
，
所以集合
，所以
.
2．证明：充分性：若
为等差数列，且
是递减数列，则
的公差为
，
当
时，
，所以
，
则
，故充分性成立.
必要性:若
是递减数列，
，则
为等差数列，
因为
是递减数列，所以
，
所以
，且互不相等，
所以
，
又因为
，
所以
且互不相等，
所以
，
所以
，
所以
为等差数列，必要性成立.
所以若
是递减数列，“
”的充要条件是“
为等差数列”.
3．证明：由题意集合
中的元素个数最多为
个，
即
，
对于数列
，此时
，
若存在
，则
，其中
，
故
，
若
，不妨设
，则
，而
，
故
为偶数，
为奇数，矛盾，
故
，故
，故由
得到的
彼此相异，所以
.
【题型四】 等差数列的前n 项和
【例4】（2025·山东德州·三模）已知
为等差数列
的前
项和，
，则
（ ）
A．2
B．8
C．16
D．32
【答案】C
【分析】设等差数列
的公差为
，依题意得到
、
的方程组并求解，再由等差数列通项公式计算可得.
【详解】设等差数列
的公差为
，
由题意得
，解得
，
所以
.
故选：C
【变式1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知数列
是公差为2 的等差数列，且
，则数列
的前20 项之
和为（ ）
A．80
B．208
C．680
D．780
【答案】B
【分析】根据题意求出等差数列
的首项，可得到通项公式以及前
项和，再根据通项公式判断出前20 项中，前8
项为负数，后12 项为正数，故所求数列的前20 项之和为
，代入计算即可得到答案.
【详解】因为
，即
，解得
，
所以
，前
项和
，
所以数列
的前20 项中，前8 项为负数，后12 项为正数，
所以
.
故选：B．
【变式2】（2025·河北邢台·二模）已知数列
的前n 项和为
，且
，
，则
．
【答案】
【分析】因式分解后可得
，则可得数列
为等差数列，再利用等差数列的性质计算即可得解.
【详解】因为
，
化简可得
，
则
，即
，
所以数列
为等差数列，所以
，
所以
，所以
．
故答案为：
.
【变式3】数列
中，
，前n 项和
满足
．
（1）证明：
为等差数列；
（2）求
．
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【分析】（1）根据题中递推关系推出
，然后推出
，结合等差
数列的定义，即可证明结果．
（2）由（1）可知
是以1 首项，2 为公差的等差数列，可得
是以
为首项，2 为公差的等差数列，然后通
过求解前101 项的偶数项和，前101 项的奇数项和，再将两者和相加，即可得到结果．
【详解】解：（1）∵
①，
∴
②，
①
②：
③，
∴
④，
④
③：
，
∴
，
∴
是以1 首项，2 为公差的等差数列.
（2）由（1）得
是以1 首项，2 为公差的等差数列，
同理可得
是以
为首项，2 为公差的等差数列，
又
，故
，
∴前101 项的偶数项和为
，
前101 项的奇数项和为
，
∴
．
【点睛】关键点点睛：在解决第二问时，由（1）得
是以
首项，2 为公差的等差数列，同理得到
是以
为首项，2 为公差的等差数列，为后面求求解前101 项的偶数项和，前101 项的奇数项和奠定了重要的基础，是解决
这个问题的关键点和突破点.
【变式4】（2025·福建漳州·模拟预测）已知数列
为等差数列，
．
(1)求数列
的通项公式．
(2)若
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合已知条件，由等差数列通项公式求得公差即可求解；
（2）结合（1）得到
，再分
和
两种情况即可．
【详解】（1）设等差数列
的公差为d，
因为
，所以
．
又因为
，则
，
所以数列
的通项公式
．
（2）由（1）知，
．
当
时，
，
；
当
时，
，
．
综上，
.
【题型五】 等差数列中 an 与Sn 的关系
【例5】已知数列
的前
项和
，则
是（ ）
A．公差为2 的等差数列
B．公差为3 的等差数列
C．公比为2 的等比数列
D．公比为3 的等比数列
【答案】A
【分析】根据数列的第
项与前
项和的关系，结合等差数列的定义进行求解即可.
【详解】因为
，
所以当
时，有
，
，得
，
当
时，
适合上式，
因为
，
所以该数列是以2 为公差的等差数列，
故选：A
【变式1】（2025·河北唐山·三模）已知等差数列
的前
项和为
，
，
，若
，则
（ ）
A．27
B．28
C．54
D．55
【答案】A
【分析】利用等差数列的通项公式及性质求出
和
，再将
转化为
，即可求解.
【详解】设数列
的公差为
，
数列
是等差数列，
，
解得
，即
，①
，
，解得
，
代入①中得，
，
，
，即
，
，即
，解得
.
故选：A.
【变式2】设
为数列
的前
项和，
.
(1)求
；
(2)证明
是等差数列.
【答案】(1)
；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据
和
的关系即可解答.
（2）根据等差数列的定义即可判断.
【详解】（1）数列
的前n 项和
，
则当
时，
；
当
时，
，
满足上式，
所以
.
（2）由（1）知
，当
时，
，
因此
（常数），
所以数列
是等差数列.
【变式3】设数列
的各项均为正数，前n 项和为
，满足
（
，
，
，
，
，
，c
为常数）.
(1)若
，
，求
的通项公式；
(2)若
，证明
为等差数列.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由
与
的关系，结合题设条件得出
的通项公式；
（2）对
两边平方，由等差中项的性质，取
，整理得出
，
，再由
证明
为等差数列.
【详解】（1）由
，得
，
，
两式相减得
，整理得
.
因为
，所以
，即数列
是公差为2 的等差数列，
由
，解得
，所以
的通项公式为
.
（2）由条件知
，
，
成等差数列，设它们的公差为d，
由
，得
，
所以
，①
，②
，③
②
①得
，即
，④
③
②得
，即
，⑤
⑤
④得
，由于
显然不合题意，
所以
，代入④解得
，
所以
，
，
上述两式相减得
，
因为
，∴
，所以当
时，数列
为等差数列.
【题型六】 等差数列前n 项和的性质
【例6】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）各项均为正数的等差数列
的前n 项和为
，若
，则
的最大
值为（ ）
A．20
B．64
C．45
D．50
【答案】B
【分析】由等差数列的性质可得
，再利用基本不等式可求
的最大值.
【详解】因为
，故
，故
，
故
，而
，故
，
故
，当且仅当
时等号成立，
故
的最大值为
，
故选：B.
【变式1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）设等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．8
B．7
C．6
D．5
【答案】C
【分析】方法一：先利用
关系式，求出公差，进而用等差数列求和公式即可求出答案.
方法二：利用等差数列的性质即
为等差数列求解.
【详解】方法一：由题意得：
，
，
则等差数列的公差
，
则
，
，
所以
.
方法二：因为等差数列的性质即
为等差数列，
则
，得
，解得
.
故选：C
【变式2】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设等差数列
，
的前
项和分别为
，
，
，则
．
【答案】
【分析】利用等差数列的性质以及等差数列的前项和公式，将
转化为
，求解即可.
【详解】因为等差数列
，
的前
项和分别为
，
且
，
所以
．
故答案为：
.
【变式3】（2025·新疆喀什·模拟预测）已知
是等差数列
的前
项和，若
，则
．
【答案】84
【分析】分析可知
为等差数列，结合等差中项运算求解即可.
【详解】因为数列
为等差数列，则
也为等差数列，
可得
，即
，解得
.
故答案为：84.
【变式4】（2024·四川乐山·三模）已知
是等差数列
的前
项和.
(1)证明：
是等差数列；
(2)设
为数列
的前
项和，若
，求
.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）设等差数列
的公差为
，然后由等差数列的定义证明即可；
（2）由（1）可知数列
是等差数列，由
求出其首项和第四项，然后求出公差，利用等差数列的前
项和公式求解即可.
【详解】（1）证明：设等差数列
的公差为
，
，
．
．
是等差数列．
（2）
，
数列
的首项为2，第四项为
．
数列
的公差
．
．
【题型七】 等差数列前n 项和的函数特性
【例7】（24-25 高三上·广东东莞·阶段练习）设等差数列
的前n 项和为
，若
> 0，
，则
时，n
的最大值为（ ）
A．14
B．13
C．11
D．7
【答案】B
【分析】根据等差数列前n 项和
为过原点的二次函数，利用对称性求解.
【详解】∵等差数列
的前n 项和
是二次函数，且
得，
∴
，即
,
所以n 的最大值为13，
故选：B
【变式1】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知数列
是公差为d 的等差数列，其前n 项和为
且
，若
对任意的
恒成立，则公差d 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，求得
，再由恒成立的不等式建立不等式组求解.
【详解】数列
是公差为d 的等差数列，设
，
由
，得
，解得
，则
，
由
对任意的
恒成立，得
.
所以公差d 的取值范围为
．
故答案为：
【变式2】（2024·全国·模拟预测）设等差数列
的前
项和为
，已知
．
(1)若
，求
的通项公式；
(2)若对于任意
，都有
，求公差
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列性质计算可得
，可求通项公式；
（2）依题意可得
，
，再由
得出不等式可求得公差
的取值范围．
【详解】（1）易知
，所以
．
因为
，所以公差
．
得
．
（2）因为对任意
，都有
，
所以
，
，得
，
．
由（1）知
，所以
，
，
解得
；
即公差
的取值范围为
.
【变式3】（2024·贵州六盘水·三模）已知
为等差数列，且
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)若
恒成立，求实数λ 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意建立方程求出等差数列的首项与公差，从而可求解；
（2）先求出等差数列的前n 项和，再将恒成立问题参变分离，接着利用数列的单调性求出最值，从而得解．
【详解】（1）设数列
的公差为d，则根据题意可得
，
解得
，则
．
（2）由（1）可知运用等差数列求和公式，得到
，
又
恒成立，则
恒成立，
设
，则
，
当
时，
，即
；
当
时，
，则
，则
；
则
，故
，
故实数λ 的取值范围为
．
一、单选题
1．（2025·广西柳州·模拟预测）设等差数列
的前
项和为
，若
，则
的公差为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】由等差数列的性质结合
可得
，然后再求得
后可得公差．
【详解】因为
，所以
，解得
，
又
，所以
，
所以公差为
.
故选：A．
2．（2025·四川成都·一模）在等差数列
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质若
，则
，求解即可.
【详解】在等差数列
中，
，
.
故选：B
好题必刷
3．（2025·江苏泰州·模拟预测）设
是等差数列
的前n 项和，
是数列
的前n 项和.若
，则
等于（ ）
A．49
B．50
C．51
D．52
【答案】C
【分析】设等差数列
的公差为
，根据题意，列出方程组求得
的值，求得
，结合等差数列的求和
公式，即可求解.
【详解】设等差数列
的公差为
，
因为
，可得
，解得
，
所以
，所以
，
所以
.
故答案为：C.
4．（2025·江西·模拟预测）记
为等差数列
的前n 项和，且
，则满足
的n 的最大值为（ ）
A．40
B．41
C．42
D．43
【答案】B
【分析】由等差数列求和公式得
，根据题意列出不等式即可求解.
【详解】由已知可得
，
的公差为
，故
，
故
，
令
，又
，所以
，故n 的最大值为41，
验证
，
，
所以n 的最大值为41.
故选：B.
5．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知等差数列
中，
，则数列
的前2026 项
的和为（ ）
A．1013
B．1014
C．2026
D．2028
【答案】C
【分析】先根据等差数列的性质求出数列的通项公式，再分析数列
的规律，进而求出其前2026 项的和.
【详解】设等差数列的首项为
，公差为
，则由
，得
化简得
，解得
，
，
又
，故数列
的通项公式为
，
设数列
的前
项和为
，
则
，
，
从到
共
项，两两一组，可分为
组，
.
故选：
.
6．（2025·江苏·模拟预测）函数
满足：
，且
．设
，则
的前
项的和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先根据题设条件通过巧妙赋值依次求出
，接着赋值
得
结合累
加法求出
，进而得
，再结和列项相消法即可求解.
【详解】因为
，
所以
，
，
所以
，
所以
所以当
时
，
所以
，
所以
，
则
的前
项的和为
，
则
的前
项的和为
.
故选：C
二、多选题
7．（2025·安徽·模拟预测）已知等差数列
的首项为
，公差为
，前
项和为
，且
是以1 为
公差的等差数列，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】根据条件列出关于
和
的方程组，再结合选项，即可判断.
【详解】由条件
可知，
，得
①，
数列
是以1 为公差的等差数列，所以
，即
，
即
，即
②，
综合①②可知，
，
，
，所以ABC 正确，D 错误.
故选：ABC
8．（2025·山西·三模）已知数列
的通项公式为
，则下列说法正确的是（ ）
A．
是递增数列
B．在
的所有前
项和中，前五项和最小
C．在
的所有前
项积中，前五项积最小
D．在
的所有前
项积中，前四项积最大
【答案】ABD
【分析】利用等差数列的基本性质逐个选项分析判断即可.
【详解】对于A，
，即
是等差数列，且为递增数列，故A 正确；
对于B，由
均为负数，
时，
，故B 正确；
对于C，由
均为负数，
时，
，所以，当
时，
，
且
为递增数列，所以前
项积没有最小值，故C 错误；
对于D，由
，且此时
最大，由于
，
时，
，
所以，当
时，
，故D 正确.
故选：ABD．
9．（2025·四川成都·一模）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角
垛”.“三角垛”的最上层有1 个球，第二层有3 个球，第三层有6 个球，第四层有10 个球……设第
层有
个球，则
（ ）
A．
B．
是等差数列
C．
为偶数
D．
【答案】ABD
【分析】根据题意
，利用累加法得
即可判断ABC 选项，对于D，
，再根据裂项相消法可得
的和，接着简单放缩即可判断.
【详解】根据题意，当
时，
，
累加得
，
，易知
也满足，所以
，
，故A 正确；
，故B 正确；
为奇数，故C 错误；
，
，
，
，
即
，故D 正确；
故选：ABD.
三、填空题
10．（2024·上海·三模）设
是等差数列，其前
项和为
．若
，
，则
．
【答案】
【分析】根据等差数列的通项公式及前
项和公式列出关于首项
与公差
的方程组，求解出
与
的值，再利用通
项公式求出
.
【详解】根据等差数列的前
项和公式
已知
，
，代入可得：
由等差数列的通项公式
将
代入：
则
.
故答案为：10.
11．（2025·广东广州·三模）已知等差数列
的前n 项和为
，则
．
【答案】8
【分析】设公差为
，根据条件得到方程，求出公差，利用等差数列求和公式得到答案.
【详解】设公差为
，则
，
故
，
又
，故
，
.
故答案为：8.
12．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）数列
满足
，
，且
，令
，
则数列
的前
项和为 ．
【答案】
【分析】根据
可求证数列
是等差数列，再利用等差数列的前
项和公式计算即可.
【详解】由题意可知
，则
，故
，
由
得，
，即
，
故数列
是以
为首项，以为公差的等差数列，
故
，则
，
所以数列
的前
项和为
．
故答案为：
13．（2025·湖北荆州·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，
，且
为等差数列，若
，
则
.
【答案】
【分析】根据
可得公差，进而求出
的通项公式可得
，再利用
求出通项公
式，可得答案.
【详解】因为
即
，故
，
设
的公差为
，则
，解得
，又
，
所以
，
，
时，
，
所以
.
故答案为：
.
14．（2025·海南·模拟预测）已知首项为2 数列
的前
项和为
，且
．若
，则
的最
小值为 ．
【答案】6
【分析】根据给定条件，利用构造法求出
，作差构造新数列，探讨单调性求出
的最小值.
【详解】由
，得
，
所以数列
是首项为
，公差为1 的等差数列，
所以
，即
，故
，
令
，则
，
所以数列
是递增数列，
因为
，
，
所以当
时，
，即
，
当
时，
，即
，
所以
的最小值为6．
故答案为：6
15．（2025·甘肃白银·三模）若数列
是有穷数列，且各项之和为0，各项的绝对值之和为1，则称数列
是“
项优待数列”.若等差数列
是“
项优待数列”，
，则
.
【答案】
【分析】根据等差数列分
，
两种情况讨论，再结合等差数列求和公式计算求解通项.
【详解】设等差数列
的公差为
，
，则
①，
②，
所以
，所以
，所以
，所以
，
当
时，由①②，得
，所以
，即
，
由
，得
，即
，所以
，
，
，
当
时，同理可得
，即
，由
，得
，即
，
所以
，
，
.
综上，
.
故答案为：
四、解答题
16．（2025·广东佛山·三模）已知数列
满足
，且
是关于
的方程
的两个根．
(1)求
；
(2)设
，求数列
的前21 项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由韦达定理和等差数列的定义即可求解；
（2）由分组求和法、裂项相消即可求解.
【详解】（1）因为
是关于
的方程
的两个根，
所以
．
所以数列
是一个首项为1，公差为2 的等差数列．
因此
．
（2）由（1）知
，对于方程
，
由韦达定理得
，即
．
所以
．
所以
．
17．（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列
是等差数列，且
，数列
的前
项和为
，且
，
．
(1)求
和
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）利用
，可求数列
的通项公式，利用等差数列通项公式、可求得
，即可求得
的通项公式；
（2）应用错位相减法、等比数列前n 项和公式求和即可.
【详解】（1）由数列
的前
项和为
，可知
，
，
经检验当
时，
也满足上式，所以
．
在等差数列
中，因为
，
，
所以
，解得
，
所以
．
（2）由（1）知，
，
所以
．
则
，
两式相减，得
化简得：
．
18．（2025·贵州贵阳·模拟预测）在数列
中，
，其前n 项和为
．数列
是公差为d 的等差数列．
(1)求d；
(2)若
，
（i）求数列
的通项公式
；
（ii）若
，数列
满足
的前n 项和
，证明：
．
【答案】(1)
或
．
(2)（i）
；（ii）证明见解析
【分析】（1）应用等差数列基本量运算计算求解；
（2）（i）应用
计算结合累乘法得出通项公式；（ii）应用求和公式累加计算求和计算证明.
【详解】（1）因为
，且数列
是公差为d 的等差数列，
所以
或
，
于是
或
，且
，所以
或
．
（2）（i）解：当
时，
，即
，
所以
，
相减整理得
，即得
所以
，
所以
，累乘得
，
也满足上式，所以
．
（ii）证明：
，显然
．
，
所以
，
累加得
，得证．
