文档文本内容
专题6.2 数列之求通项公式
6.2.1 公式法求数列的通项公式
知识点梳理
1.若{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则其通项公式为an=a1+(n−1)d，推广
形式：an=am+(n−m)d.
2.若{an}是等比数列，首项为a1
，公比为q，则其通项公式为an=a1q
n−1( q≠0)，推广
形式：an=amq
n−m.
典型例题
例1.已知公比大于1 的等比数列{an}满足a2+a4=20，a3=8，则{an}的通项公式为
.
例2.记Sn是公差不为0 的等差数列{an}的前n 项和，若a3=S5，a2a4=S4，则{an}的通项公
式为 .
例3.已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1=b1=1，a5=5(a4−a3)，b5=4(b4−b3)
．则{an}的通项公式为 ，{bn}的通项公式为 .
随堂演练
1.记Sn为等差数列{an}的前n 项和，已知a1= 7
−，S3= 15
−
，则{an}的通项公式为
.
2.设{an}是公比不为1 的等比数列，a1=−2，且a1为a2，a3的等差中项，则{an}的通项公
式为 .
3.已知等差数列{an}的公差为2，前n 项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列，则数列{an}的
通项公式 .
4.等差数列{an}的前n 项和为Sn，已知a1=10，a2为整数，且Sn≤S4，则{an}的通项公式
为 .
5.已知{an}为等差数列，前n 项和为Sn，{bn}是首项为2 的等比数列，且公比大于0，且
b2+ b3=12，b3=a4
2
−a1，S11=11b4.则{an}的通项公式为 ，{bn}的通项公式为
.
6.设等差数列{an}的公差为d，前n 项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q．已知b1=a1，b2=2
，q=d，S10=100．则数列{an}的通项公式为 ，{bn}的通项公式为 .
6.2.2 同除以积的题型求数列的通项公式
知识点
梳理
常见题型：出现两项和、差与两项乘积时的模型时，等式左右两边同时除以数列两项
的乘积，然后转变为常规数列来进行求解.
典型例题
例1.已知数列{an}满足：a1=2，nan+1+(n+1)=(n+2)an+(n+1)
3，则数列{an}的通项公
式为 .
例2.已知数列{an}的前n 项和为Sn，a1=1，2nSn+1
2(
−
n+1)Sn=n(n+1)，则数列{an}的
通项公式为 .
随堂演练
1.已知数列{an}满足a1=1，2an+1−an+anan+1=0，则数列{an}的通项公式为 .
2.已知数列{an}满足：a1=1，nan+1
(
−n+1)an=n(n+1)，则数列{an}的通项公式为
.
3.已知数列{an}中，a1=2，2n(n+1)anan+1+(n+1)an+1−nan=0，则数列{an}的通项公
式为 .
4.已知数列{an}满足a1=1，an−an+1=2
nanan+1，则an=
．
5.设Sn是数列{an}的前n 项和，且a1=−1，an+1=SnSn+1，则Sn= ．
6.已知首项都是1 的两个数列{an}，{bn}(bn≠0)满足anbn+1−an+1bn+2bnbn+1=0，则数列
{
an
bn}的通项公式为 .
7.已知各项均为正数的数列{an}的前n 项和为Sn,2Sn=n(an+1)且 a2=3
2 a1，则{an}的通
项公式为 .
6.2.3 迭代法求数列的通项公式
知识点梳理
1. 累加法求通项公式：形如an+1=an+f(n)，已知a1= b，求通项an. 可以构造
{
an−an
1
−=f(n
1)
−
an
1
−−an
2
−=f(n
2)
−
⋮
a2−a1=f(1)
，将这n
1
−个式子两边分别相加，可得：
an=(an−an
1
−)+(an
1
−−an
2
−)+⋯+(a2−a1)+a1.
注意：①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
② 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和.
2. 累乘法求通项公式：形如an+1=an⋅f(n)，已知a1= b，求通项an. 可以构造
{
an
an
1
−
=f(n
1)
−
an
1
−
an
2
−
=f(n
2)
−
⋮
a2
a1
=f(1)
，
将这n
1
−个式子两边分别相乘，可得：an=an
an
1
−
×an
1
−
an
2
−
×⋯×a2
a1
×a1（an≠0）.
典型例题
例1.在数列{an}中，已知a1=1，an+1−an=2n，则数列{an}的通项公式为 .
例2.已知Sn是数列{an}的前n 项和，a1=1，nan+1=(n+2)Sn，则an=
.
例3.已知数列{an}中，a1=2，an+1−an
n+1
=2，则{an}的通项公式为 .
例4.已知数列{an}中，a1=1，前n 项和Sn=n+2
3
an，则{an}的通项公式为 ．
随堂演练
1.设数列{an}满足a1=1，且an+1−an=n+1，则数列{an}的通项公式为
.
2.已知数列{an}的前n 项和为Sn，且a1=1，an+1−an=2
n，则{an}的通项公式为
.
3.已知数列{an}满足：a1=1且an
an−1
=
n
n−1 (n≥2)，则数列{an}的通项公式为
．
4.已知数列{an}中，a2＝1，设Sn 为{an}前n 项和，2Sn＝nan．则{an}的通项公式为
.
5.已知{an+12
n+1−an2
n)是公差为2 的等差数列，数列{an)的前n 项和为Sn，且a1= 3
2，a2＝
2．
则{an)的通项公式为 .
6.记Sn为数列{an)的前n 项和，已知a1=1，{
Sn
an)是公差为1
3的等差数列,则{an)的通项公式
为 .
7.数列{an)满足：a1=2
3 ,(2
n+2
1
−)an+1=(2
n+1
2
−)an，则{an)的通项公式为 .
8.在数列{an)中，已知a1=1.
（1）若nan+1−(n+1)an=1，求an.
（2）若nan+1−(n+2)an=1，求an.
6.2.4 已知数列前n 和Sn求数列的通项公式
知识点梳理
1.若已知数列的前n项和Sn与an之间的关系，求数列{an}的通项公式an可用公式
an={
S1，n=1
Sn−Sn
1
−，n≥2求解.
注意：一定要先分n=1和n≥2两种情况分别进行运算，最后验证能否统一.
2.若已知的是前n项积Sn与an之间的关系，则Sn与Sn-1相除即可.
3.有时候题目给的是把前n项罗列出来相加或相乘，也可以用此法.
典型例题
例1.已知数列{an}的前n 项和为Sn，且Sn＝n﹣an．则数列{an}的通项公式为 .
例2.记Sn为数列{an)的前n 项和，已知4Sn＝3an+4，则{an)的通项公式为 .
例3.记Sn为数列{an)的前n 项和，已知2Sn
n +n=2an+1，则{an)的通项公式为
.
随堂演练
1.已知数列{an}的前n 项和为Sn，且a1=1，2Sn=2nan−n
2+n，则数列{an}的通项公式
为 .
2.Sn 为数列{an}的前n 项和．已知an>0，an
2+2an=4Sn+3，则数列{an}的通项公式为
.
3.设数列{an}的前n 项和为Sn，已知2Sn=3
n+3，则数列{an}的通项公式为 .
4.已知数列{an}的前n 项和Sn=3n
2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+ bn+1.
则数列{bn}的通项公式为 .
5.已知数列{an}的前n 项和Sn=1+λan，其中λ≠0.求证：{an}是等比数列，并求其通项公
式.
6.已知各项均不为0 的数列{an}的前n 项和为Sn，且a1=1，Sn= anan+1+1
4
．求{an}的通
项公式.
6.2.5 构造法求数列的通项公式
知识点梳理
1.求形如an+1=pan+q（p≠1）的递推公式的通项，可采用如下两种方法.
①待定系数法：设an+1
λ
−
=p(an
λ
−
)，用待定系数法可求出λ=q
1−p
，进而构造
新的等比数列{an
λ
−
}.
②也可由an+1=pan+q及an=pan-1+q，两式相减得：an+1−an=p(an−an-1)，所以
{an+1−an}是首项为a2−a1，公比为p的等比数列，先求出an+1−an，再求an.
2. 形如an+1=pan+f(n)（p≠1）的递归式，等号两边同除以p
n+1，得：
an+1
p
n+1 =an
p
n +f(n)
p
n+1
，令bn=an
p
n ，得bn+1=bn+f(n)
p
n+1
，先求bn，再求an.
典型例题
例1.已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1.
证明：{an+ 1
2}是等比数列，并求{an}的通项公式；
例2.设数列{an}满足a1=3，an+1=3an−4 n，则数列{an}的通项公式为 .
例3.已知数列{an}满足an+1=2an+ 4⋅3
n−1，a1=−1，则数列{an}的通项公式为 .
随堂演练
1.在数列{an}中，已知a1=1，若an= 1
2 an−1−1 (n≥2)，求{an}的通项公式.
2.在数列{an}中，已知a1=1.
（1）若an= 1
2 an−1+2n−1 (n≥2)，求{an}的通项公式.
（2）若an+1=3an+2
n，求{an}的通项公式.
3.在数列{an}中，已知a1=5，若an=2an−1+2
n−1 (n≥2)，求{an}的通项公式.
4.设数列{an}的前n 项和为Sn=2an−2
n．
（1）求a3，a4.
（2）证明：{an+1−2an}是等比数列.
（3）求{an}的通项公式.
5.已知等差数列{an}与数列{bn}满足a1=3b1=3，a2=2b2
，且n bn+1+n bn=(an
2)
−
⋅3
n，
求数列{bn}的通项公式.
6.已知数列{an}满足an+1=2an+3n
2+ 4 n+5，a1=1，求数列{an}的通项公式．
