2024年高考数学一轮复习（新高考版）第6章　§6.4　数列中的构造问题[培优课]_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习讲义（新高考版）

§6.4 数列中的构造问题 数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新 的数列求数列的通项公式． 题型一 形如a ＝pa＋f(n)型 n＋1 n 命题点1 a ＝pa＋q(p≠0,1，q≠0) n＋1 n 例1 (1)数列{a}满足a＝4a ＋3(n≥2)且a＝0，则a 等于( ) n n n－1 1 2 024 A．22 023－1 B．42 023－1 C．22 023＋1 D．42 023＋1 答案 B 解析 ∵a＝4a ＋3(n≥2)， n n－1 ∴a＋1＝4(a ＋1)(n≥2)， n n－1 ∴{a＋1}是以1为首项，4为公比的等比数列， n 则a＋1＝4n－1. n ∴a＝4n－1－1， n ∴a ＝42 023－1. 2 024 (2)已知数列{a}的首项a＝1，且＝＋2，则数列{a}的通项公式为__________． n 1 n 答案 a＝ n 解析 ∵＝＋2，等式两边同时加1整理得＋1＝3， 又∵a＝1，∴＋1＝2， 1 ∴是首项为2，公比为3的等比数列． ∴＋1＝2·3n－1，∴a＝. n 命题点2 a ＝pa＋qn＋c(p≠0,1，q≠0) n＋1 n 例2 已知数列{a}满足a ＝2a－n＋1(n∈N*)，a＝3，求数列{a}的通项公式． n n＋1 n 1 n 解 ∵a ＝2a－n＋1， n＋1 n ∴a －(n＋1)＝2(a－n)， n＋1 n ∴＝2， ∴数列{a－n}是以a－1＝2为首项，2为公比的等比数列， n 1 ∴a－n＝2·2n－1＝2n， n ∴a＝2n＋n. n 命题点3 a ＝pa＋qn(p≠0,1，q≠0,1) n＋1 n例3 (1)已知数列{a}中，a＝3，a ＝3a＋2·3n＋1，n∈N*.则数列{a}的通项公式为( ) n 1 n＋1 n n A．a＝(2n＋1)·3n B．a＝(n－1)·2n n n C．a＝(2n－1)·3n D．a＝(n＋1)·2n n n 答案 C 解析 由a ＝3a＋2·3n＋1得＝＋， n＋1 n ∴－＝2，即数列是首项为1，公差为2的等差数列， ∴＝2n－1，故a＝(2n－1)·3n. n (2)在数列{a}中，a＝1，且满足a ＝6a＋3n，则a＝________. n 1 n＋1 n n 答案 －3n－1 解析 将已知a ＝6a＋3n的两边同乘，得＝2·＋， n＋1 n 令b＝，则b ＝2b＋，利用命题点1的方法知b＝－，则a＝－3n－1. n n＋1 n n n 思维升华 形式 构造方法 a ＝pa＋q 引入参数c，构造新的等比数列{a－c} n＋1 n n a ＝pa＋qn＋c 引入参数x，y，构造新的等比数列{a＋xn＋y} n＋1 n n a ＝pa＋qn 两边同除以qn＋1，构造新的数列 n＋1 n 跟踪训练1 (1)在数列{a}中，a＝1，a ＝2a＋2n.则数列{a}的通项公式a 等于( ) n 1 n＋1 n n n A．n·2n－1 B．n·2n C．(n－1)·2n D．(n＋1)·2n 答案 A 解析 由a ＝2a＋2n得＝＋1，设b＝，则b ＝b＋1， n＋1 n n n＋1 n 又b＝1，∴{b}是首项为1，公差为1的等差数列． 1 n ∴b＝n， n ∴a＝n·2n－1. n (2)(2023·黄山模拟)已知数列{a}满足a＝1，(2＋a)·(1－a )＝2，设的前n项和为S，则a n 1 n n＋1 n 2 (S ＋2 023)的值为( ) 023 2 023 A．22 023－2 B．22 023－1 C．2 D．1 答案 C 解析 (2＋a)(1－a )＝2，则a ＝， n n＋1 n＋1 即＝＋1， 得＋1＝2，故是以2为首项，2为公比的等比数列，＋1＝2n，＝2n－1，a＝， n S ＋2 023＝2＋22＋…＋22 023＝22 024－2， 2 023 ∴a (S ＋2 023)＝2. 2 023 2 023(3)已知数列{a}满足a ＝2a＋n，a＝2，则a＝________. n n＋1 n 1 n 答案 2n＋1－n－1 解析 令a ＋x(n＋1)＋y＝2(a＋xn＋y)，即a ＝2a＋xn＋y－x， n＋1 n n＋1 n 与原等式比较得，x＝y＝1，所以＝2，所以数列{a ＋n＋1}是以a ＋1＋1＝4为首项，2为 n 1 公比的等比数列，所以a＋n＋1＝4×2n－1，即a＝2n＋1－n－1. n n 题型二 相邻项的差为特殊数列(形如a ＝pa＋qa ) n＋1 n n－1 例4 (1)已知数列{a}满足：a＝a＝2，a＝3a ＋4a (n≥3)，则a＋a 等于( ) n 1 2 n n－1 n－2 9 10 A．47 B．48 C．49 D．410 答案 C 解析 由题意得a＋a＝4， 1 2 由a＝3a ＋4a (n≥3)， n n－1 n－2 得a＋a ＝4(a ＋a )， n n－1 n－1 n－2 即＝4(n≥3)， 所以数列{a＋a }是首项为4，公比为4的等比数列，所以a＋a ＝49. n n＋1 9 10 (2)已知数列{a}满足a＝1，a＝2，且a ＝2a＋3a (n≥2，n∈N*)．则数列{a}的通项公 n 1 2 n＋1 n n－1 n 式为a＝________. n 答案 解析 方法一 因为a ＝2a＋3a (n≥2，n∈N*)， n＋1 n n－1 设b＝a ＋a， n n＋1 n 所以＝＝＝3， 又因为b＝a＋a＝3， 1 2 1 所以{b}是以首项为3，公比为3的等比数列． n 所以b＝a ＋a＝3×3n－1＝3n， n n＋1 n 从而＋·＝， 不妨令c＝，即c ＋c＝， n n＋1 n 故c －＝－，即＝－， n＋1 又因为c－＝－＝， 1 所以数列是首项为，公比为－的等比数列， 故c－＝×n－1＝－， n 从而a＝. n 方法二 因为方程x2＝2x＋3的两根为－1,3， 可设a＝c·(－1)n－1＋c·3n－1， n 1 2 由a＝1，a＝2， 1 2解得c＝，c＝， 1 2 所以a＝. n 思维升华 可以化为a －xa ＝x(a －xa )，其中x ，x 是方程x2－px－q＝0的两个根， n＋1 1 n 2 n 1 n－1 1 2 若1是方程的根，则直接构造数列{a －a }，若1不是方程的根，则需要构造两个数列， n n－1 采取消元的方法求数列{a}． n 跟踪训练2 若x＝1是函数f(x)＝a x4－ax3－a x＋1(n∈N*)的极值点，数列{a}满足a＝ n＋1 n n＋2 n 1 1，a＝3，则数列{a}的通项公式a＝________. 2 n n 答案 3n－1 解析 f′(x)＝4a x3－3ax2－a ，∴f′(1)＝4a －3a－a ＝0， n＋1 n n＋2 n＋1 n n＋2 即a －a ＝3(a －a)，∴数列{a －a}是首项为2，公比为3的等比数列， n＋2 n＋1 n＋1 n n＋1 n ∴a －a＝2×3n－1， n＋1 n 则a＝a－a ＋a －a ＋…＋a－a＋a＝2×3n－2＋…＋2×30＋1＝3n－1. n n n－1 n－1 n－2 2 1 1 题型三 倒数为特殊数列 例5 (1)已知数列{a}满足a＝1，a ＝(n∈N*)，则满足a>的n的最大取值为( ) n 1 n＋1 n A．7 B．8 C．9 D．10 答案 C 解析 因为a ＝，所以＝4＋，所以－＝4，又＝1， n＋1 所以数列是以1为首项，4为公差的等差数列． 所以＝1＋4(n－1)＝4n－3，所以a ＝，由a>，即>，即0<4n－3<37，解得0，对a ＝a两边取以3为底的对数得， 1 n＋1 n n＋1 log a ＝2log a，则数列{log a}是以log a＝1为首项，2为公比的等比数列， 3 n＋1 3 n 3 n 3 1 则log a＝1·2n－1＝2n－1，即a＝ . 3 n n 6．设数列{a}满足a＝1，a＝－a ＋2n(n≥2)，则数列的通项公式a 等于( ) n 1 n n－1 n A.·2n＋ B.·2n＋·(－1)n C.＋ D.＋·(－1)n 答案 D 解析 ∵a ＋a＝2n， n－1 n 两边同时除以2n得，＋·＝1. 令c＝， n 则c＝－c ＋1. n n－1两边同时加上－得c－＝－·. n ∴数列是以c－为首项，－为公比的等比数列， 1 ∴c－＝·n－1＝·n， n ∴c＝＋·n， n ∴a＝2n·c＝＋·(－1)n. n n 7．(多选)已知数列{a}满足a＝1，a ＝(n∈N*)，则下列结论正确的是( ) n 1 n＋1 A.为等差数列 B．{a}的通项公式为a＝ n n C．{a}为递减数列 n D.的前n项和T＝2n＋2－3n－4 n 答案 CD 解析 因为a ＝， n＋1 所以＝＝＋3， 所以＋3＝2， 且＋3＝4≠0， 所以是以4为首项，2为公比的等比数列，即＋3＝4×2n－1， 所以＝2n＋1－3， 可得a＝， n 故选项A，B错误； 因为＝2n＋1－3单调递增， 所以a＝单调递减， n 即{a}为递减数列，故选项C正确； n 的前n项和T＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n＋1－3)＝(22＋23＋…＋2n＋1)－3n n ＝22×－3n＝2n＋2－3n－4， 故选项D正确． 8．将一些数排成如图所示的倒三角形，其中第一行各数依次为1,2,3，…，2 023，从第二行 起，每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M，则M等于( ) A．2 023×22 020 B．2 024×22 021 C．2 023×22 021 D．2 024×22 022 答案 B解析 记第n行的第一个数为a， n 则a＝1，a＝3＝2a＋1，a＝8＝2a＋2，a＝20＝2a＋4，…，a＝2a ＋2n－2， 1 2 1 3 2 4 3 n n－1 ∴＝＋1，即是以＝2为首项，1为公差的等差数列． ∴＝2＋(n－1)×1＝n＋1，∴a＝(n＋1)×2n－2. n 又每行比上一行的数字少1个， ∴最后一行为第2 023行， ∴M＝a ＝2 024×22 021. 2 023 9．已知数列{a}满足a＝，a ＝，若c＝，则c＝____________. n 1 n＋1 n n 答案 (n＋1)3n－1 解析 因为a＝，a ＝， 1 n＋1 所以＝＝＋， 即－＝， 所以数列是首项为＝，公差为的等差数列， 所以＝＋(n－1)＝， 则c＝＝(n＋1)3n－1. n 10．已知数列{a}满足 a ＝3a －2a (n≥2，n∈N*)，且 a ＝0，a ＝124，则 a ＝ n n＋1 n n－1 1 6 2 ________. 答案 4 解析 由a ＝3a－2a (n≥2，n∈N*)可得a －a＝2(a－a )， n＋1 n n－1 n＋1 n n n－1 若a－a ＝0，则a＝a＝…＝a，与题中条件矛盾，故a－a ≠0， n n－1 6 5 1 n n－1 所以＝2，即数列{a －a}是以a－a 为首项，2为公比的等比数列， n＋1 n 2 1 所以a －a＝a·2n－1， n＋1 n 2 所以a－a＝a－a＋a－a＋a－a＋a－a＋a－a＝a·20＋a·21＋a·22＋a·23＋a·24＝31a 6 1 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 2 2 2 2 2 2 ＝124，所以a＝4. 2 11．在数列{a}中，a＝1，且满足a ＝3a＋2n，则a＝________. n 1 n＋1 n n 答案 ·3n－1－n－ 解析 ∵a ＝3a＋2n①，∴a＝3a ＋2(n－1)(n≥2)，两式相减得， n＋1 n n n－1 a －a ＝3(a －a )＋2，令b ＝a －a ，则b ＝3b ＋2(n≥2)，利用求a ＝pa ＋q的 n＋1 n n n－1 n n＋1 n n n－1 n＋1 n 方法知，b＝5·3n－1－1，即a －a＝5·3n－1－1②，再利用累加法知， n n＋1 n a＝·3n－1－n－. n 12．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空 航天中应用广泛，若数列{x}满足x ＝x －，则称数列{x}为牛顿数列．如果函数f(x)＝2x2 n n＋1 n n －8，数列{x}为牛顿数列，设a ＝ln ，且a ＝1，x>2.数列{a}的前n项和为S ，则S ＝ n n 1 n n n n ________.答案 2n－1 解析 ∵f(x)＝2x2－8，∴f′(x)＝4x， 又∵x ＝x－＝x－＝， n＋1 n n ∴x ＋2＝，x －2＝， n＋1 n＋1 ∴＝2， 又x>2， n ∴ln ＝ln2＝2ln ， 又a＝ln ，且a＝1， n 1 ∴a ＝2a， n＋1 n ∴数列{a}是首项为1，公比为2的等比数列， n ∴{a}的前n项和S＝＝2n－1. n n