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5.1 等差数列（精练试卷版）
题组一 等差数列基本量的计算
1.（2025·全国二卷·高考真题）记
为等差数列
的前n 项和，若
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）已知
是等差数列
的前
项和，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2025·北京海淀·三模）等差数列
的首项为1，公差不为0，若
成等比数列，则
的前6 项和
为（ ）
A．51
B．66
C．
D．6
4（2025·甘肃白银·模拟预测）在正项等差数列
中，
且
，
，
成等比数列，则
（ ）
A．7
B．11
C．18
D．1
5.（2025·山东泰安·模拟预测）已知等差数列
的公差为2，
，
，
成等比数列，则
的前
项和为
（ ）
A．
B．
C．
D．
6.（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知
是等差数列，公差
，且
，
，
成等比数列，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·湖北·模拟预测）若数列
满足
，其前
项和为
，若
，则
（ ）
A．0
B．1
C．5
D．11
8．（2025·安徽·模拟预测）已知等差数列
的前
项和为
，且
，
，则
（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
9．（2025·海南·模拟预测）设等差数列
的前
项和为
，数列
的前
项积为
，若
，
，则
．
题组二 等差中项及应用
1．（2025·北京怀柔·一模）在等差数列
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 北京·期中）等差数列
中，设前
项和为
，
，则
等于（ ）
A．80
B．85
C．90
D．95
3．（2024·辽宁·二模）记等差数列
的前n 项和为
，
，则
（ ）．
A．13
B．26
C．39
D．78
4．（2024·全国·模拟预测）在等差数列
中，已知
与
是方程
的两根，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·山东·模拟预测）记
为等差数列
的前
项和，
，
，则
（ ）
A．58
B．63
C．75
D．84
6．（2025·山西晋中·模拟预测）已知
，
为
和2 的等差中项，则
的最小值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
7．（24-25 高三上·河南焦作·开学考试）已知
的内角A，B，C 的对边a，b，c 成等差数列，且
，
，则
（ ）
A．5
B．
C．4
D．3
8．（2025·陕西安康·模拟预测）已知
中，角A，B，C 与
，
，
分别成等差数列，若
外接圆的面积为
，则
的周长为（ ）
A．
B．6
C．
D．
题组三 等差数列前n 项和最值
1．（2025 河北·期中）（多选）数列
的前
项和为
，已知
，则（ ）
A．
是递增数列 B．
C．当
时，
D．当
或4 时，
取得最大值
2．（24-25 河南 ）（多选）已知
是等差数列
的前
项和，
，且
，则（ ）
A．公差
B．
C．
D．当
时，
最大
3．（24-25 高三上·江苏扬州·阶段练习）（多选）设等差数列
的前
项和为
，公差为
，
，
，
，下列结论正确的是（ ）
A．
，
B．
C．
D．当
时，
最大
4．（24-2 湖北·期末）（多选）已知等差数列
的前
项和为
，若
，则下列结论正确的是
（ ）
A．数列
是递增数列
B．
C．
D．当
取得最大值时，
5．（24-25 高三上·福建福州·期末）（多选）已知
为等差数列
的前
项和，若
，则
（ ）
A．
为递增数列 B．
为递减数列
C．当
或
时，
的值最大 D．使得
成立的
的最大值是4038
6．（2025·山西临汾·二模）记
为等差数列
的前
项和，公差
，且
，则
取得最小值
时
为（ ）
A．2021
B．4039
C．2020
D．4040
7．（24-25 山西 ）（多选）设等差数列
的公差为
，前
项和为
，若
，则下列结
论正确的是（ ）
A．数列
是递增数列
B．
C．
D．
中最大的是
8．（2024·河北石家庄·模拟预测）若数列
为等差数列，
为数列
的前
项和，
，
，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2024·四川泸州·一模）
为等差数列，若
，
，那么
取得最小正值时，
的值
（ ）
A．
B．
C．
D．
题组四 等差数列片段和的性质
1．（24-25 高三上·江苏南京·开学考试）已知数列
为等差数列，前
项和为
.若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．9
D．18
2．（23-24 海南·期末）记
为等差数列
的前
项和，若
，则
（ ）
A．144
B．120
C．108
D．96
3．（23-24 高三上·河北·期末）设
是等差数列
的前
项和，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025 陕西西安·阶段练习）等差数列
的前n 项和
，若
，则
（ ）
A．10
B．20
C．30
D．15
5．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知
是等差数列
的前
项和，若
，则
．
6．（24-25 湖北·期中）已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
.
7．（2025 高三·全国·专题练习）设等差数列
的前
项和为
，若
，则
.
8．（24-25 湖南）已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
．
题组五 等差数列和与n 的比值
1．（23-24 山东德州·期中）已知等差数列
，
的前n 项和分别为
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 甘肃）若两个等差数列
，
的前
项和分别为
和
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 重庆 ）等差数列
的前
项和分别是
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 山东）数列
，
均为等差数列，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
5．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设等差数列
，
的前
项和分别为
，
，
，则
．
6．（2025·陕西咸阳·模拟预测）等差数列
，
的前n 项和分别为
，
，已知
，则
的值为
．
7．（24-25 高二下·江西·阶段练习）设两个等差数列
的前
项和分别为
，若对任意正整数
都有
，则
的值为 .
8．（2026 高三·全国·专题练习）两个等差数列
和
的前n 项和分别为
，且
，则
的值
等于 ．
9．（24-2 辽宁丹东·期中）设等差数列
的前
项和分别为
，若
，则
.
10．（2025 黑龙江）设等差数列
，
的前
项和分别为
，
，若对任意自然数都
有
，则
的值为 .
11．（24-25 江苏）在等差数列
中，
，其前n 项和为
，若
，则
．
12．（2025 江苏）在等差数列
中,
,其前
项和为
,则
.
13．（2025 河南）等差数列
中，
，前
项和为
，若
，则
.
14．（2025 山东）设等差数列
的前
项和为
，若
，则数列
公差为 .
15（2024 河北）已知
是等差数列
的前
项和，若
，
，则
.
题组六 等差数列的奇数项（偶数项）之和
1．（2025 四川）一个等差数列共有2n 项，奇数项的和与偶数项的和分别为24 和30，且末项比首项大10.5，
则该数列的项数是（ ）
A．4
B．8
C．12
D．20
2．（2025 四川·阶段练习）已知等差数列
共有
项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则
的值为（ ）．
A．30
B．29
C．28
D．27
3．（2024·山东）已知等差数列
的项数为奇数，其中所有奇数项之和为
，所有偶数项之和为
，则
该数列的中间项为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025 江苏）等差数列共有
项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则
等于（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
5．（2024 广东深圳·期末）等差数列
共有
项，其中奇数项之和为
，偶数项之和为，则
的值是
A．
B．
C．
D．
6．（2025 江西）已知等差数列
共有
项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则
．
7．（2025 湖北）等差数列
共有
项，所有的奇数项之和为
，所有的偶数项之和为
，则
等于
．
8．（2025 河南·阶段练习）在等差数列
中，已知公差
，且
，则
.
9．（2024 山东）在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10 项中，
＝
，则公差d＝ .
10．（2025 甘肃 ）项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则该数列的中间项和项数分
别为 ．
题组七 等差数列的证明与判断
1．（2025·广东广州·三模）已知数列
满足
，
，且对任意的
，
，都有
.
(1)设
，求证：数列
是等差数列，并求出其的通项公式；
(2)求数列
的通项公式；
2．（24-25 贵州·期中）在数列
中，
，
，证明：数列
是等差数列并求数列
的通项公式．
3.（2025 高三·全国·专题练习）已知数列
满足
，
，
，证明：
为
等差数列；
3．（2025·湖南长沙·二模）已知数列
的首项
，
的前
项和为
且满足
，
证明：数列
是等差数列；
4.（24-25 河北·期中）数列
满足
，证明：数列
是等差数列；
5．（2025·广西北海·模拟预测）已知数列
满足
，且
．
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)求
的通项公式；
6.（24-25 甘肃）已知数列
中，
，
，证明数列
是等差数列，并
求
的通项公式；
7.（24-25 广东）已知数列
的前n 项和为
，且
.
(1)求
；
(2)求
的通项公式，并证明
为等差数列；
题组八 含绝对值的等差数列的前n 项和
1．（2025·天津·高考真题）
，则数列
的前
项和为（ ）
A．112
B．48
C．80
D．64
2．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知数列
是公差为2 的等差数列，且
，则数列
的前20 项之和
为（ ）
A．80
B．208
C．680
D．780
3．（2024·内蒙古包头·一模）已知等差数列
中，
，
，设
，则
（ ）
A．245
B．263
C．281
D．290
4．（2024·辽宁·模拟预测）等差数列
的前
项和为
，已知
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
.
5．（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列
满足
是
与
的等差中项．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和．
题组九 等差数列的简单应用
1．（2025·北京海淀·三模）渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，
新方案将延迟法定退休年龄每4 个月延迟1 个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周
岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如表所示：
出生时间
1965 年1 月－4
月
1965 年5 月－8
月
1965 年9 月－12
月
1966 年1 月－4
月
…
新方案法
定退休年
龄
60 岁
1 个月
60 岁
2 个月
60 岁
3 个月
60 岁
4 个月
…
那么1970 年5 月出生的男职工退休年龄为（ ）
A．61 岁
4 个月
B．61 岁
5 个月
C．61 岁
6 个月
D．61 岁
7 个月
2．（2025·山东青岛·三模）《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有
分钱问题
：现有
“
”
5 个人分5 钱，
5 人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·河南·二模）某公司购置了一台价值为220 万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年
减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少
（
为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10 年，超过10
年，它的价值将开始低于购进价值的5%，设备将报废.则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·湖南·期中）为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，小张11 月1 日运动了2 分钟，从第二天开
始，每天运动的时长比前一天多2 分钟，则从11 月1 日到11 月15 日，小张运动的总时长为（ ）
A．3.5 小时
B．246 分钟
C．4 小时
D．250 分钟
5.（23-24 云南迪庆·期末）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，
，
和
求各项的问题，如九
儿问甲歌：
一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七
“
.借问长儿多少岁，各儿
岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3 岁，所有
儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子
的岁数为（ ）
A．27
B．31
C．35
D．39
6．（2024·辽宁·模拟预测）2024 年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次
购物送春联
的促销活动，活动
“
”
规则如下：将一天内购物不少于800 元的顾客按购物顺序从1 开始依次编号，编号能被3 除余1，也能被4 除
余1 的顾客可以获得春联1 对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000 人，则恰好获得1 对春联
的人数为（ ）
A．167
B．168
C．169
D．170
7．（23-24 高三下·上海·开学考试）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、
乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌，亥．天
干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由
甲
起，地支
“
”
由
子
起，例如，第一年为
甲子
，第二年为
乙丑
，第三年为
丙寅
，以此类推，排列到
癸
“
”
“
”
“
”
“
”…
“
酉
后，天干回到
甲
重新开始，即
甲戌
，
乙亥
，然后地支回到
子
重新开始，即
丙子
，
”
“
”
“
”
“
”
“
”
“
”…
以此类推．2024 年是甲辰年，高斯出生于1777 年，该年是（ ）
A．丁酉年
B．丁戌年
C．戊酉年
D．戊戌年
8．（2024·山西晋城·一模）生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼
品），第一天打卡得1 积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2 分．若某天未打卡，则当天
没有积分，且第二天打卡须从1 积分重新开始．某会员参与打卡活动，从3 月1 日开始，到3 月20 日他共得
193 积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（ ）
A．3 月5 日或3 月16 日
B．3 月6 日或3 月15 日
C．3 月7 日或3 月14 日
D．3 月8 日或3 月13 日
9．（23-24 高三上·江西南昌·阶段练习）某人为购房于2019 年12 月初向银行贷款360 万元，与银行约定按
等额本金还款法
分
“
”
10 年进行还款，从2020 年1 月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为0.5%，现
因资金充足准备向银行申请提前还款，计划于2024 年12 月初将剩余贷款全部一次性还清，则他按现计划的所
有还款数额比按原约定所有还款数额少（ ）
（注：
等额本金还款法
是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为
“
”
每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：1 年按12
个月计算）
A．183000 元
B．224500 元
C．274500 元
D．283000 元
10（23-24 高三上·辽宁·阶段练习）王先生今年初向银行申请个人住房贷款80 万元购买住房，按复利计算，并
从贷款后的次月初开始还贷，分10 年还清．银行给王先生提供了两种还贷方式：
等额本金：在还款期内把
①
本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；
等额本息：在还款期内，每月偿
②
还同等数额的贷款(包括本金和利息)．
(1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还10333 元，最后一个还贷月应还6667 元，试计
算王先生该笔贷款的总利息；
(2)若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为0.3％，银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，
已知王先生家庭月收入为 17000 元，试判断王先生该笔贷款能否获批(不考虑其他因素)．参考数据
