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4.数 列
1.牢记概念与公式
等差数列、等比数列(其中n∈N*)
等差数列
等比数列
通项
公式
an=
a1+(
n -1)
d
an=
a1q n -1 ( q ≠
0)
前n 项
和公式
Sn=n(a1+an)
2
=na1+n(n-1)
2
d
①q≠1，
Sn=a1(1-q
n)
1-q
=a1-anq
1-q
；
②q=1，Sn=na1
2.活用定理与结论
(1)等差数列的常用性质
①若{an}为等差数列，且m+n=p+q(m，n，p，q∈N*)，则am+ a n= a p+ a q；
②若{an}为等差数列，且2m=p+q(m，p，q∈N*)，则2am=ap+aq，称am为ap和aq的等差中项；
③若{an}为等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)仍是等差数列，公差为md；
④若{an}为等差数列，公差为d，前n 项和为Sn，则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为
m 2 d；
⑤若{an}，{bn}均为等差数列，其前n 项和分别为Sn，Tn，则an
bn
= S2n-1
T 2n-1
；
⑥若{an}，{bn}均为等差数列，公差分别为d1，d2，且{an}的前n 项和为Sn，则{c +an}，{c an}，{man+t bn}，
{
Sn
n }仍为等差数列，其公差分别为d1，cd1，md1+td2，d1
2 (c，m，t 是非零常数)；
⑦若{an}是等差数列，其项数为偶数2n，公差为d，则S 偶-S 奇=nd，S奇
S偶
= an
an+1
；
⑧若{an}是等差数列，其项数为奇数2n+1，则S 偶-S 奇=- a n+1，S奇
S偶
=n+1
n
；
⑨等差数列的函数特性：若{an}是等差数列，公差为d.
(Ⅰ)已知数列的通项an和前n 项和Sn的表达式，则可通过an和Sn对应的函数图象判断Sn的最值；
(Ⅱ)若数列的通项an和前n 项和Sn的表达式未知，则可通过以下方法判断Sn的最值：
(ⅰ)当a1>0，d<0 时，{an}为递减数列，Sn先增后减，Sn有最大值，
若{
ak ≥0,
ak +1≤0,则Sk最大；
若{
Sk ≥0,
Sk +1<0,则使Sn<0 成立的最小正整数n 的值为k +1
，若{
Sk>0,
Sk +1≤0,则使Sn>0 成立的最大正整数n 的值为
k；
(ⅱ)当a1<0，d>0 时，{an}为递增数列，Sn先减后增，Sn有最小值，
若{
ak ≤0,
ak +1≥0,则Sk最小；
若{
Sk ≤0,
Sk +1>0,则使Sn>0 成立的最小正整数n 的值为k +1
，若{
Sk<0,
Sk +1≥0,则使Sn<0 成立的最大正整数n 的值为
k；
⑩若{an}是等差数列，数列{an}，{|an|}的前n 项和分别为Sn，Tn，
当{
ak ≥0,
ak +1<0时，Tn={
Sn,n≤k ,
2Sk - Sn,n>k ;
当{
ak ≤0,
ak +1>0时，Tn={
- Sn,n≤k ,
Sn-2Sk ,n>k .
(2)等比数列的常用性质
①若{an}为等比数列，且m+n=s+t(m，n，s，t∈N*)，则aman= a sat；
②若{an}为等比数列，且2m=s+t(m，s，t∈N*)，则am
2 =asat，称am为as和at的等比中项，且am=±√asat；
③若{an}为等比数列，公比为q，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)仍是等比数列，公比为q m ；
④若{an}为等比数列，公比为q，前n 项和为Sn，则当q≠-1 或q=-1 且k 为奇数时，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…
(k∈N*)也是等比数列，其公比为q k ；
⑤若{an}为等比数列，a1·a2·…·an=Tn，则Tn，T 2n
T n
，T 3n
T 2n
，…成等比数列；
⑥若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，其公比分别为q1，q2，则数列{can}，{man·tbn}和{
man
t bn }
(c，m，t 是非零常数)也是等比数列，其公比分别为q1，q1q2，q1
q2
；
⑦若等比数列{an}的项数为偶数2n，公比为q，则S奇
S偶
=1
q ；
⑧若等比数列{an}的项数为奇数2n+1，公比为q(q≠-1)，则S奇-a1
S偶
=q.
(3)判断等差数列的常用方法
①定义法
an+1-an=d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列；
②通项公式法
an=pn+q(p，q 为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；
③中项公式法
2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；
④前n 项和公式法
Sn=An2+Bn(A，B 为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列.
(4)判断等比数列的常用方法
①定义法
an+1
an
=q(q 是不为0 的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列；
②通项公式法
an=cqn(c，q 均是不为0 的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列；
③中项公式法
an+1
2
=an·an+2(an≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列.
3.求an的常用方法
(1)找规律法：已知数列的前几项求an.(仅限于猜想，猜想的结论需用数学归纳法证明)
(2)公式法：已知a1和d、已知a1和q、已知数列的某些项，求an.
(an=a1+(n-1)d，an=am+( n - m ) d 等等差数列的相关性质，an=a1qn-1，an=amqn-m等等比数列的相关性质).
(3)公式法：已知S1，或已知an与Sn的关系式，求an(an={
S1,n=1,
Sn- Sn-1,n≥2).
(4)累加法：已知递推公式an+1=an+f(n)，求an(当n≥2 时，an-a1=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)).
例：已知a1=1，an+1=an+4n，可推出an=2 n 2 -2
n +1
.
(5)累乘法：已知递推公式an+1=anf(n)，求an(当n≥2时，an
a1
= a2
a1
· a3
a2
·…· an
an-1).
例：已知a1=1，an+1=an·4n，可推出an=2
n
2-n.
(6)构造法：
①已知递推公式an+1=kan+b(k，b 为常数，kb(k-1)≠0)，求an(构造新等比数列，an+1+λ=k(an+λ)).
例：已知a1=1，an+1=2an+3，可推出an=2 n +1 -3
.
②已知递推公式an+1=kan+bcn，求an.
(ⅰ)构造新等比数列，an+1+λcn+1=k(an+λcn)
例：已知a1=1，an+1=2an+3×5n，可推出an=5 n -2
n +1 .
(ⅱ)构造新等差数列，c·an+1
c
n+1=k·an
c
n+b，当k=c 时优先选用此方法
例：已知a1=1，an+1=2an+2n可推出an=n ·2
n -1 .
③已知递推公式an+1=kan+bn+c，求an(构造新等比数列，an+1+λ1(n+1)+λ2=k(an+λ1n+λ2)).
例：已知a1=1，an+1=2an+3n+1，可推出an=2 n +2 -3
n -4
.
④已知递推公式an+1= c an
an+d (c，d 为非零常数)，求an(构造新等差数列，1
an+1
= d
c · 1
an
+ 1
c).
例：已知a1=1，an+1=
an
2an+1，可推出an=
1
2n-1.
4.数列求和的常用方法
(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和.
(2)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cn=an+bn形式的数列求和问题的方法，其中{an}与{bn}
是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列.
(3)通项公式形如an=
c
(an+b1)(an+b2)(其中a，b1，b2，c 为常数)的数列用裂项相消法求和.
裂项相消法常见形式：
1
n(n+1)=1
n- 1
n+1，
1
n(n+2)=1
2(
1
n -
1
n+2)，
1
(2n-1)(2n+1)=1
2(
1
2n-1 -
1
2n+1)，
2
n
(2
n+1-1)(2
n-1)
=
1
2
n-1-
1
2
n+1-1.
(4)形如{an·bn}(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)的数列，利用错位相减法求和.
(5)通项公式形如an=(-1)n·n，an=a·(-1)n或an=(-1)n(2n+1)(其中a 为常数，n∈N*)等正负项交叉的数列一般用
并项法求和.并项时应注意分n 为奇数、偶数两种情况讨论.
1.已知数列的前n 项和求an，易忽视n=1 的情形，直接用Sn-Sn-1表示.作答时，应验证a1是否满足an=Sn-
Sn-1，若满足，则an=Sn-Sn-1；否则，an={
S1,n=1,
Sn- Sn-1,n≥2.
2.易混淆几何平均数与等比中项，正数a，b 的等比中项是±√ab.
3.易忽视等比数列中公比q≠0 导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解.
4.运用等比数列的前n 项和公式时，易忘记分类讨论.一定分q=1 和q≠1 两种情况进行讨论.
5.利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项.
