第一周
[周一]
1.(2025·安徽皖南八校模拟)已知集合A={x∈N*|x2-5x-14<0}，B={x|log2(x-2)<2}.则图中阴影部分表示的集合
为( )
A.{3，4，5}
B.{1，2}
C.{3，4，5，6}
D.{1，2，6}
答案 D
解析 由题意知，A={x∈N*|x2-5x-14<0}={x∈N*|-2<x<7}={1，2，3，4，5，6}，
因为函数y=log2x 在(0，+∞)上单调递增，
所以B={x|log2(x-2)<2}={x|0<x-2<22}={x|2<x<6}，
所以A∩B={3，4，5}，
所以图中阴影部分表示的集合为{1，2，6}.
2.(2025·深圳模拟)已知sin(α + β)
sin(α - β)=3，则tan α
tan β 等于( )
A.1
3
B.1
2
C.2
D.3
答案 C
解析 由于sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，sin(α + β)
sin(α - β)=3，
所以sin αcos β+cos αsin β=3sin αcos β-3cos αsin β，
即4cos αsin β=2sin αcos β，则tan α
tan β =2.
3.(多选)(2025·郴州模拟)某市为丰富市民的业余生活，春节前举办“迎春杯”歌手大奖赛，比赛分青年组、
中年组和老年组.每组由6 位专业评委对演唱评分(满分10 分)，老年组的甲和乙参加比赛得分的折线统计图
如图所示，则下列结论正确的是( )
A.甲得分的中位数大于乙得分的中位数
B.甲得分的极差大于乙得分的极差
C.甲得分的上四分位数小于乙得分的上四分位数
D.甲得分的方差大于乙得分的方差
答案 ABD
解析 将甲的得分从小到大排列为7.0，8.3，8.9，8.9，9.2，9.3，
所以甲得分的中位数为8.9+8.9
2
=8.9.
将乙的得分从小到大排列为8.1，8.5，8.6，8.6，8.7，9.1，
所以乙得分的中位数为8.6+8.6
2
=8.6.
由于8.9>8.6，所以甲得分的中位数大于乙得分的中位数，A 选项正确；
甲得分的最大值是9.3，最小值是7.0，则甲得分的极差为9.3-7.0=2.3.
乙得分的最大值是9.1，最小值是8.1，则乙得分的极差为9.1-8.1=1.
因为2.3>1，所以甲得分的极差大于乙得分的极差，B 选项正确；
6×75%=4.5，所以甲得分的上四分位数是第5 个数据9.2，乙得分的上四分位数是第5 个数据8.7，
由于9.2>8.7，所以甲得分的上四分位数大于乙得分的上四分位数，C 选项错误；
甲得分的平均数
x甲=7.0+9.3+8.3+9.2+8.9+8.9
6
=8.6，
则甲得分的方差
s甲
2 =1
6×[(7.0-8.6)2+(9.3-8.6)2+(8.3-8.6)2+(9.2-8.6)2+(8.9-8.6)2+(8.9-8.6)2]
=3.68
6
≈0.61.
乙得分的平均数
x乙=8.1+9.1+8.5+8.6+8.7+8.6
6
=8.6，
则乙得分的方差
s乙
2 =1
6×[(8.1-8.6)2+(9.1-8.6)2+(8.5-8.6)2+(8.6-8.6)2+(8.7-8.6)2+(8.6-8.6)2]
=0.52
6
≈0.09.
因为0.61>0.09，所以甲得分的方差大于乙得分的方差，D 选项正确.
4.(2025·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)=2x-sin 2x，则不等式f(x2)+f(2x-3)<0 的解集为 .
答案 (-3，1)
解析 f(x)=2x-sin 2x 的定义域为R，
∵f'(x)=2-2cos 2x=2(1-cos 2x)≥0，
∴函数f(x)是R 上的增函数，
∵f(-x)=-2x-sin(-2x)=-(2x-sin 2x)=-f(x)，
∴函数f(x)是奇函数，
∴由f(x2)+f(2x-3)<0，得f(x2)<-f(2x-3)=f(3-2x)，
∴x2<3-2x，即(x-1)(x+3)<0，解得-3<x<1，
∴不等式f(x2)+f(2x-3)<0 的解集为(-3，1).
5.(2025·南昌模拟)如图，四边形ABDC 为圆台O1O2的轴截面，AC=2BD，圆台的母线与底面所成的角为
45°，母线长为√2，E 是´BD的中点.
(1)已知圆O2内存在点G，使得DE⊥平面BEG，作出点G 的轨迹(写出解题过程)；
(2)若点K 是圆O2上一点(不同于A，C)，且2CK=AC，求平面ABK 与平面CDK 夹角的正弦值.
解 (1)∵BD 是圆O1的直径，E 是´BD的中点，∴DE⊥BE.
要使得DE⊥平面BEG，则需满足DE⊥BG，
又∵DE⊂平面BDE，∴平面BEG⊥平面BDE，
如图，过点B 作下底面的垂线交下底面于点G，
过点G 作BE 的平行线，交圆O2于点G1，G2，则线段G1G2即为点G 的轨迹.
(2)以O2为坐标原点，O2C，O2O1所在直线分别为y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵母线长为√2，母线与底面所成的角为45°，AC=2BD，
∴O2A=2，O1B=1，
O1O2=1，连接O2K，
∵2CK=AC，∴∠CO2K=60°，
即∠xO2K=30°，
则K(√3，1，0)，A(0，-2，0)，B(0，-1，1)，C(0，2，0)，D(0，1，1)，
∴⃗AK=(√3，3，0)，⃗BK=(√3，2，-1)，⃗CK=(√3，-1，0)，⃗DK=(√3，0，-1).
设平面ABK 的法向量为n=(x1，y1，z1)，
则{
n·⃗AK =√3 x1+3 y1=0,
n·⃗BK =√3 x1+2 y1- z1=0,
令x1=√3，则y1=-1，z1=1，
∴n=(√3，-1，1).
设平面CDK 的法向量为m=(x2，y2，z2)，
则{
m·⃗CK =√3 x2- y2=0,
m·⃗DK =√3 x2- z2=0,
令x2=√3，则y2=3，z2=3，
∴m=(√3，3，3).
设平面ABK 与平面CDK 的夹角为θ，则
cos θ=|n·m|
|n||m| =|√3×√3+(-1)×3+1×3|
√5×√21
=√105
35 ，
∴sin θ=√1-co s
2θ=4√70
35
，
即平面ABK 与平面CDK 夹角的正弦值为4√70
35
.
[周二]
1.(2025·上饶模拟)(√x - 2
x)
2 025
的展开式中的常数项是( )
A.第673 项
B.第674 项
C.第675 项
D.第676 项
答案 D
解析 二项式(√x - 2
x)
2 025
展开式的通项为
Tk+1=C2 025
k
(√x)2 025-k(- 2
x)
k
=(-2)k·C2 025
k
x
2 025-3k
2
，0≤k≤2 025，k∈N，
令2 025-3k=0，解得k=675，
此时T676=(-2)675·C2 025
675
，
所以二项式(√x - 2
x)
2 025
的展开式中的常数项为第676 项.
2.(2025·辽阳模拟)函数f(x)=1
2ln x 图象上一点P 到直线y= x
2的最短距离为( )
A.√2
B.√2
2
C.√5
5
D.√5(2-2ln 2)
5
答案 C
解析 设与直线y= x
2平行且与曲线f(x)=1
2ln x 相切的直线的切点坐标为(x0, 1
2 ln x0)，
因为f'(x)= 1
2 x ，所以f'(x0)= 1
2 x0
=1
2，解得x0=1，则切点坐标为(1，0).
则最短距离为点(1，0)到直线y= x
2的距离，
即为
|
1
2|
√1+(
1
2)
2=√5
5 .
3.(多选)(2025·临汾模拟)已知数列{an}满足a1=3，且3nan=(n+1)an+1，则下列说法正确的是( )
A.a3=9
B.数列{an}是递增数列
C.若Tn为数列{
an
(n+1)3
n}的前n 项和，则Tn<1
D.若对任意n∈N*，都有(-1)nλan≤an+1，则-3≤λ≤1
答案 ABC
解析 由3nan=(n+1)an+1，得an+1
an
= 3n
n+1，
故an= an
an-1
·an-1
an-2
·…·a2
a1
·a1=3(n-1)
n
×3(n-2)
n-1
×…×3×2
3
×3×1
2
×3=3
n
n ，n≥2，又a1=3 符合该式，
故an=3
n
n ，n∈N*，a3=3
3
3 =9，故A 正确；
由于
an+1
an
= 3n
n+1=1+2n-1
n+1 >1，故an+1>an，因此数列{an}是递增数列，故B 正确；
an
(n+1)3
n=
3
n
n
(n+1)3
n
=
1
n(n+1)=1
n- 1
n+1，
故Tn=(1- 1
2)+(
1
2 - 1
3)+…+(
1
n -
1
n+1)=1- 1
n+1<1，故C 正确；
由(-1)nλan≤an+1对∀n∈N*恒成立，得(-1)nλ≤an+1
an
=3× n
n+1=3(1-
1
n+1)对∀n∈N*恒成立，
当n 为偶数时，λ≤3(1-
1
n+1)恒成立，由于f(n)=1- 1
n+1在(1，+∞)上单调递增，故λ≤3×(1-
1
2+1)=2，
当n 为奇数时，-λ≤3(1-
1
n+1)恒成立，由于f(n)=1- 1
n+1在(1，+∞)上单调递增，故-λ≤3×(1-
1
1+1)=3
2
，即λ≥-3
2，故若对任意n∈N*，都有(-1)nλan≤an+1，则-3
2≤λ≤2，故D 错误.
4.(2025·南昌模拟)已知向量a=(1，-2)，a·b=5，则|b|的最小值是 .
答案 √5
解析 设b=(x，y)，则a·b=x-2y=5，可得x=2y+5，
故|b|=√x
2+ y
2=√(2 y +5)
2+ y
2=√5 y
2+20 y +25=√5( y +2)
2+5≥√5，当且仅当y=-2 时，等号成立，故|b|
的最小值为√5.
5.(2025·太原模拟)已知a，b，c 分别是△ABC 的内角A，B，C 的对边，且(a+b)(a-b)=c(a-c).
(1)求B；
(2)若D 是边AC 上一点，且AD=2DC，cos C=3
5，求tan∠CBD 的值.
解 (1)由(a+b)(a-b)=c(a-c)，得a2+c2-b2=ac，
由余弦定理得cos B=a
2+c
2-b
2
2ac
= ac
2ac =1
2，
∵0°<B<180°，∴B=60°.
(2)设∠CBD=α，0°<α<60°，
∵cos C=3
5，0°<C<180°，
∴sin C=4
5 ，
∴sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=√3
2 ×3
5+1
2×4
5 =3√3+ 4
10
，
在△ABD 中，由正弦定理得
AD
sin(60° -α )= BD
sin A ，
在△BCD 中，由正弦定理得DC
sin α = BD
sinC ，
∵AD=2DC，∴
2sin α
sin(60° -α )=sinC
sin A =
8
3√3+ 4 ，
∴(3√3+4)sin α=4sin(60°-α)=2√3cos α-2sin α，
即(3√3+6)sin α=2√3cos α，
∴tan∠CBD=tan α=4√3-6
3
.
[周三]
1.(2025·昆明质检)复数z= 5i
1+2i，则|z|等于( )
A.5
B.5√5
C.2√5
D.√5
答案 D
解析 由已知z= 5i
1+2i=
5i(1-2i)
(1+2i)(1-2i)=5i+10
5
=2+i，则|z|=√2
2+1
2=√5.
2.(2025·浙江Z20 名校联盟联考)某校教工食堂为更好地服务教师，在教师中发起“是否喜欢菜品A”的点
赞活动，参与活动的男、女教师总人数的比例为2∶3，男教师点赞人数占(参与活动的)男教师总人数的4
5 ，
女教师点赞人数占(参与活动的)女教师总人数的3
5，若从点赞教师中选择一人，则该教师为女教师的概率
为( )
A. 9
25
B.17
25
C. 9
17
D. 8
17
答案 C
解析 设事件A=“该教师为男教师”，事件B=“该教师为女教师”，事件C=“该教师为点赞教师”，
则P(BC)=P(B)P(C|B)=3
5×3
5= 9
25，
P(AC)=P(A)P(C|A)=2
5×4
5 = 8
25，
又∵P(C)=P(AC)+P(BC)=17
25，
∴P(B|C)= P(BC )
P(C ) = 9
17.
3.(多选)(2025·安庆模拟)设函数f(x)=x3-x2+ax-1，则下列说法正确的是( )
A.当a=-1 时，f(x)有三个零点
B.当a≥1
3时，f(x)无极值点
C.∃a∈R，使f(x)在R 上是减函数
D.∀a∈R，f(x)图象的对称中心的横坐标不变
答案 BD
解析 对于A，当a=-1 时，f(x)=x3-x2-x-1.
求导得f'(x)=3x2-2x-1，
令f'(x)=0，得x=-1
3或x=1，
由f'(x)>0，得x<-1
3或x>1，
由f'(x)<0，得-1
3<x<1，
于是f(x)在(-∞,- 1
3)，(1+∞)上单调递增，在(- 1
3 ,1)上单调递减，
所以f(x)在x=-1
3处取得极大值f(- 1
3)=- 1
27 -1
9+1
3-1<0，又f(1)=-2<0，f(2)=1>0，
故f(x)只有一个零点，A 错误；
对于B，f'(x)=3x2-2x+a，
当a≥1
3时，Δ=4-12a≤0，
即f'(x)≥0 恒成立，所以函数f(x)在R 上单调递增，f(x)无极值点，B 正确；
对于C，要使f(x)在R 上是减函数，则f'(x)=3x2-2x+a≤0 恒成立，
而关于x 的不等式3x2-2x+a≤0 的解集不可能为R，C 错误；
对于D，由f(
2
3 - x)+f(x)=(
2
3 - x)
3
-(
2
3 - x)
2
+a(
2
3 - x)-1+x3-x2+ax-1=2
3a-58
27，得f(x)图象的对称中心的坐标
为(
1
3 , a
3 - 29
27)，D 正确.
4.已知等边△ABC 的边长为4√3，AD 是BC 边上的高，以AD 为折痕将△ACD 折起，使∠BDC=60°，则三
棱锥A-BCD 外接球的表面积为 .
答案 52π
解析 由题意知，折叠后可得AD⊥DB，AD⊥DC，又DB∩DC=D，DB，DC⊂平面BDC，
则AD⊥平面BDC.
设O1为△BDC 的外接圆圆心，过O1作平面BDC 的垂线，
如图，在垂线上取O1O2=AD，易得四边形AO2O1D 为矩形.
取O1O2的中点O，则OD=OA，从而O 为三棱锥A-BCD 外接球的球心.
易得AD=O1O2=6，则OO1=3，
由正弦定理可得2DO1=
BC
sin π
3
=
2√3
√3
2
=4，即DO1=2，
则外接球的半径OD 满足OD=√DO1
2+OO1
2=√13.
则外接球的表面积为4π×(√13)2=52π.
5.(2025·台州模拟)已知数列{an}和{bn}满足a1(b1+1)+a2(b2+1)+…+an(bn+1)=(2n-3)·2n+1+6，n∈N*.且a1=b1=1，
bn+1=2bn+1.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求[
50
Σ
n=1
1
√an]
的值.(其中[x]表示不大于x 的最大整数，如[3.2]=3)
解 (1)由bn+1=2bn+1，可得bn+1+1=2(bn+1)，又b1+1=2，
所以数列{bn+1}是首项和公比都为2 的等比数列，
所以bn+1=2·2n-1=2n，故bn=2n-1，
由a1(b1+1)+a2(b2+1)+…+an(bn+1)=(2n-3)·2n+1+6，
可得2a1+22a2+23a3+…+2nan=(2n-3)·2n+1+6，
①
当n≥2 时，2a1+22a2+23a3+…+2n-1an-1=(2n-5)·2n+6，
②
①-②得2nan=(2n-1)·2n，则an=2n-1，n≥2，
又a1=1 也满足an=2n-1，
故an=2n-1，n∈N*.
(2)因为1
√an
=
1
√2n-1=
2
2√2n-1>
2
√2n-1+√2n+1
=
2(√2n+1-√2n-1)
(√2n+1-√2n-1)(√2n+1+√2n-1)
=-√2n-1+√2n+1，
所以
50
Σ
n=1
1
√an
>(-1+√3)+(-√3+√5)+(-√5+√7)+…+(-√99+√101)=√101-1，
另一方面，当n≥2 时，1
√an
=
1
√2n-1=
2
2√2n-1<
2
√2n-1+√2n-3
=
2(√2n-1-√2n-3)
(√2n-1+√2n-3)(√2n-1-√2n-3)
=-√2n-3+√2n-1，
所以
50
Σ
n=1
1
√an
<1+(-1+√3)+(-√3+√5)+…+(-√97+√99)=√99，
所以√101-1<
50
Σ
n=1
1
√an
<√99<10，
又因为√101-1>√100-1=9，因此[
50
Σ
n=1
1
√an]
=9.
[周四]
1.(2025·辽阳模拟)已知命题p：∀x∈R，√x
2+1>x，命题q：∃x>0，√x>x2，则( )
A.p 和q 都是真命题
B. 綈p 和q 都是真命题
C.p 和綈q 都是真命题
D. 綈p 和綈q 都是真命题
答案 A
解析 由√x
2+1>√x
2=|x|≥x，得p 是真命题，綈p 是假命题；当x=1
2时，√x=√2
2 >1
4 =x2，即∃x>0，√x
>x2，则q 是真命题，綈q 是假命题.
综上，p 和q 都是真命题.
2.(2025·蚌埠模拟)已知三棱锥P-ABC 的体积为1，△ABC 是边长为2 的正三角形，且PA=2，则直线PA 与
平面ABC 所成角的正弦值为( )
A.1
2
B.√2
2
C.√3
2
D.√3
4
答案 C
解析 由△ABC 是边长为2 的正三角形，则S△ABC=√3
4 ×22=√3.
设三棱锥P-ABC 底面ABC 上的高为h，则V 三棱锥P-ABC=1
3×S△ABC×h=1
3×√3×h=1，解得h= 3
√3=√3.
设直线PA 与平面ABC 所成的角为θ，所以sin θ= h
PA =√3
2 .
3.(多选)(2025·佛山质检)某市场监督管理局对9 家工厂生产的甲、乙产品进行抽查评分，且甲、乙产品得分
的平均数分别为77，60，其中A 工厂生产的产品得分如表所示：
分数
名次(按高分到低分排名)
甲产品
75
4
乙产品
66
6
则在此次抽查评分中( )
A.9 家工厂生产的甲产品得分的中位数一定小于平均数
B.9 家工厂生产的乙产品得分的中位数一定大于平均数
C.9 家工厂生产的甲产品得分中一定存在极端高分数(高于平均数10 分以上)
D.9 家工厂生产的乙产品得分中一定存在极端低分数(低于平均数10 分以上)
答案 ABD
解析 由题意得，甲、乙产品得分从低到高排列的第5 位是中位数，由75 分是甲产品按高分到低分的第4
位，即从低分到高分的第6 位，故甲产品的中位数小于等于75 分，由66 分是乙产品按高分到低分的第6
位，即从低分到高分的第4 位，故乙产品的中位数大于等于66 分，又甲、乙得分的平均数分别为77，
60，故A，B 正确；
甲产品的得分可以为75，75，75，75，75，75，80，81，82，此时不存在极端高分数，故C 错误；
对于乙产品，得分从高到低排，假设前六名所有得分都为66 分，则后三名总分为60×9-66×6=144(分)，
所以后三名的得分中必定有小于等于48 分的情况，故必存在极端低分数，D 正确.
4.(2025·北京丰台模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< π
2)的部分图象如图所示，其中M，N 是直线
y=1
2与曲线y=f(x)的两个相邻交点.若MN=π
3 ，则ω= ，f(
π
2)= .
答案 2 √3
2
解析 已知M，N 是直线y=1
2与曲线y=f(x)的两个相邻交点，且MN=π
3 .设M(x1, 1
2)，N(x2, 1
2)，则x2-x1=
π
3 ，
且f(x1)=sin(ωx1+φ)=1
2，则ωx1+φ=π
6 +2kπ，k∈Z，又ω>0，
则x1=
π
6 +2k π -φ
ω
，k∈Z，
同理可得x2=
5 π
6 +2k π -φ
ω
，k∈Z，
因此x2-x1=
5 π
6 +2k π -φ
ω
-
π
6 +2k π -φ
ω
=
2π
3
ω
=π
3 ，解得ω=2.
因为函数f(x)=sin(2x+φ)的图象过点(
π
6 ,0)，可得f(
π
6)=sin(2× π
6 +φ)=0，
所以π
3 +φ=nπ，n∈Z，则φ=nπ-π
3 ，n∈Z.
由于|φ|<π
2 ，则φ=-π
3 ，
所以f(x)=sin(2 x - π
3).
所以f (
π
2)=sin(2× π
2 - π
3)=sin2π
3 =√3
2 .
5.(2025·安顺模拟)已知平面内一动点P(x，y)到点F(1，0)的距离与它到直线x=4 的距离之比为1
2，过点F 的
直线l 与动点P 的轨迹C 相交于A，B 两点.
(1)求动点P 的轨迹C 的方程；
(2)是否存在直线l，使得△AOB(O 为坐标原点)的面积为√3？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说
明理由.
解 (1)因为点P(x，y)到点F(1，0)的距离为√( x -1)
2+ y
2，
点P(x，y)到直线x=4 的距离为|x-4|，
所以√( x -1)
2+ y
2
|x - 4|
=1
2，
化简得4(x-1)2+4y2=x2-8x+16，
即3x2+4y2=12，即x
2
4 + y
2
3 =1，
所以动点P 的轨迹C 的方程为x
2
4 + y
2
3 =1.
(2)由题意可知直线l 的斜率不为0，
故设直线l 的方程为x=my+1，A(x1，y1)，B(x2，y2).
联立{
x =my +1,
x
2
4 + y
2
3 =1,得(3m2+4)y2+6my-9=0.
显然Δ>0，
则y1+y2=-
6m
3m
2+ 4 ，y1y2=-
9
3m
2+ 4 ，
所以△AOB 的面积S△AOB=1
2|OF|×|y1-y2|=1
2|OF|·√( y1+ y2)
2- 4 y1 y2
=1
2×1×√(-
6m
3m
2+ 4)
2
- 4(-
9
3m
2+ 4)=6√m
2+1
3m
2+ 4
=√3，化简得(3m2+2)2=0，该方程无解，
所以不存在直线l，使得△AOB 的面积为√3.
[周五]
1.(2025·佛山质检)已知向量a=(1，0)，b=(1，1)，若(ka+b)⊥b，则实数k 等于( )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
答案 A
解析 因为a=(1，0)，b=(1，1)，
所以ka+b=(k+1，1).
若(ka+b)⊥b，则(ka+b)·b=0，即(k+1)×1+1×1=k+2=0，解得k=-2.
2.(2025·北京丰台模拟)已知m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A.若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n
B.若m∥n，n⊂α，则m∥α
C.若α⊥β，m⊥β，n⊥m，则n⊥α
D.若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
答案 D
解析 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中分析选项A，B，C.
对于A，AB⊂平面ABCD，B1C1⊂平面A1B1C1D1，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，但AB⊥B1C1，A 错误；
对于B，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，B 错误；
对于C，平面ABCD⊥平面BCC1B1，AB⊥平面BCC1B1，AD⊥AB，但AD∥平面BCC1B1，C 错误；
对于D，取直线m 的方向向量m，直线n 的方向向量n，
因为m⊥α，n⊥β，所以m，n 分别为平面α，β 的法向量，
因为m⊥n，所以m⊥n，所以α⊥β，D 正确.
3.(多选)(2025·漳州质检)在△ABC 中，AC=2√5，tan A=2，向量⃗AC在向量⃗AB上的投影向量为1
3⃗AB，则(
)
A.边BC 上的高为3√2
B.sin C=3√10
10
C.⃗CA·⃗CB=-8
D.边AB 上的中线长为√17
答案 ABD
解析 如图，过点C 作CD⊥AB 于点D，
则向量⃗AC在向量⃗AB上的投影向量为⃗AD，
由已知可得⃗AD=1
3⃗AB，所以AD=1
3AB，
设AD=x，则BD=2x，又tan A=2，
所以CD=2x，所以B=π
4 ，
在Rt△ACD 中，AC=√5x，又AC=2√5，所以x=2，
所以AD=2，BD=4，CD=4，AB=6，
在Rt△BCD 中，BC=√B D
2+C D
2=4√2，
所以边BC 上的高为ABsin B=3√2，故A 正确；
在△ABC 中，由余弦定理得cos C= A C
2+ BC
2- A B
2
2 AC·BC
=√10
10 ，
又因为C∈(0，π)，
所以sin C=√1-co s
2C=3√10
10
，故B 正确；⃗
CA·⃗CB=|⃗CA||⃗CB|cos C=2√5×4√2×√10
10 =8，故C 错误；
设AB 的中点为M，连接CM，
则⃗CM=1
2 (⃗CA+⃗CB)，
所以⃗CM
2=1
4 (⃗CA
2+⃗CB
2+2⃗CA·⃗CB)=1
4 ×(20+32+2×8)=17，
则|⃗CM|=√17，故D 正确.
4.(2025·东三省三校联考)(1+x)(1+2x)5的展开式中x3的系数为 .(用数字作答)
答案 120
解析 (1+2x)5展开式的通项为Tk+1=C5
k·(2x)k=C5
k·2k·xk(0≤k≤5，k∈N)，
因为(1+x)(1+2x)5=(1+2x)5+x(1+2x)5，
因此，展开式中的x3的系数为C5
3·23+C5
2·22=80+40=120.
5.(2025·黄山模拟)已知函数f(x)=aex-2x-3cos x+1，其中e 为自然对数的底数.
(1)当a=2 时，判断函数f(x)在区间(- π
2 ,0)上的单调性；
(2)令g(x)=f'(x)，若函数g(x)在区间(0, π
2)上存在极值，求实数a 的取值范围；
(3)求证：当a≥2 时，f(x)≥0.
(1)解 当a=2 时，f(x)=2ex-2x-3cos x+1，
则f'(x)=2ex-2+3sin x，
当x∈(- π
2 ,0)时，2(ex-1)<0，3sin x<0，
则f'(x)<0，
所以f(x)在区间(- π
2 ,0)上单调递减.
(2)解 由题设g(x)=f'(x)=aex-2+3sin x，
则g'(x)=aex+3cos x，
所以∃x0∈(0, π
2)，g'(x0)=0，即a=-3cos x
e
x
在x∈(0, π
2)上有解，
令h(x)=-3cos x
e
x
，x∈(0, π
2)，则h'(x)=3(sin x +cos x)
e
x
=3√2sin(x + π
4)
e
x
>0，
所以h(x)在(0, π
2)上单调递增，故-3<h(x)<0，所以实数a 的取值范围为(-3，0).
(3)证明 当a≥2 时，f(x)=aex-2x-3cos x+1≥2ex-2x-3cos x+1，故只需证2ex-2x-3cos x-1≥0 恒成立.
令k(x)=2ex-2x+1，则k'(x)=2ex-2，
当x<0 时，k'(x)<0，k(x)在(-∞，0)上单调递减，
当x>0 时，k'(x)>0，k(x)在(0，+∞)上单调递增，
所以k(x)≥k(0)=2-0+1=3，
故2ex-2x-3cos x+1≥3-3cos x≥0，
所以当a≥2 时，f(x)≥0 恒成立.
[周六]
1.(2025·保定模拟)设a=50.4，b=(
1
5)
-0.6
，c=log32，则a，b，c 的大小关系为( )
A.a<b<c
B.c<a<b
C.b<c<a
D.b<a<c
答案 B
解析 b=(
1
5)
-0.6
=50.6，由指数函数y=5x的单调性可知，b=50.6>a=50.4>50=1，
又c=log32<log33=1，所以c<a<b.
2.如图，在曲面直三棱柱中，AB=AC=3，∠BAC=π
3 ，且直线AB，AC 分别与圆弧BC 相切于点B，C，若该
曲面直三棱柱存在内切球，则该曲面直三棱柱的体积为( )
A.6-2π
3
B.12-7 π
3
C.6-2√3 π
3
D.12-2√3π
答案 C
解析 如图，设该曲面直三棱柱的内切球与底面ABC 切于点O，半径为r，
弧BC 所在圆的圆心为O1，曲面直三棱柱的高为h，
因为AB=AC=3，∠BAC=π
3 ，
则O1C=O1B=√3，O1A=2√3，∠BO1C=2π
3 ，
作OM 垂直于AC 于点M，则OM=r，所以OA=2r，
设O1A 与弧BC 交于点N，
则ON=r，O1N=O1B=√3，
O1A=AN+O1N，即2√3=3r+√3，
则r=√3
3 ，该曲面直三棱柱的高h=2r=2√3
3
，
所以S四边形ABO1C-S扇形O1BC=2S△A O1C-S扇形O1BC =2×1
2AC·O1C-1
2×2π
3 O1C2=3√3-π，
所以V 曲面直三棱柱=(3√3-π)×2√3
3
=6-2√3 π
3
.
3.(多选)(2025·贵阳模拟)已知函数f(x)=2sin2x+√3sin 2x+6，则下列说法正确的是( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的图象关于点(
π
12 ,7)对称
C.f(x)的图象关于直线x=-π
6 对称
D.f(x)在区间(0, 5 π
12)上单调递增
答案 ABC
解析 f(x)=2sin2x+√3sin 2x+6
=1-cos 2x+√3sin 2x+6
=2sin(2 x - π
6)+7，
所以T=2π
2 =π，故A 正确；
当x= π
12时，f(
π
12)=2sin(2× π
12 - π
6)+7=2sin 0+7=7，
所以f(x)的图象关于点(
π
12 ,7)对称，故B 正确；
当x=-π
6 时，f (- π
6)=2sin[2×(- π
6)- π
6]+7=2sin(- π
2)+7=-2+7=5，
因为f(x)=2sin(2 x - π
6)+7 的最大值为2+7=9，最小值为-2+7=5，
所以f(x)的图象关于直线x=-π
6 对称，故C 正确；
当x∈(0, 5 π
12)时，2x-π
6 ∈(- π
6 , 2π
3 )，所以f(x)在区间(0, 5 π
12)上不是单调递增的，故D 错误.
4.(2025·湖北高中协作体联考)若直线y=kx+b 是曲线y=ln x
x 的切线，也是曲线y=2
x 的切线，则k= .
答案 - 1
2e
3
解析 由y=ln x
x 可得y'=1- ln x
x
2
，
设直线y=kx+b 与曲线y=ln x
x 相切于点(m，n)，则有{
n=km+b,
n= ln m
m ,
k = 1- ln m
m
2
,
所以切线方程可表示为y-n=1- ln m
m
2
(x-m)，
即y=1- ln m
m
2
x-1-2ln m
m
.
由y=2
x 可得y'=- 2
x
2，
设直线y=kx+b 与曲线y=2
x 相切于点(s，t)，则有{
t =ks+b,
t = 2
s ,
k =- 2
s
2 ,
所以切线方程可表示为y-t=- 2
s
2(x-s)，
即y=- 2
s
2x+4
s .
所以{
1- ln m
m
2
=- 2
s
2 ,
2ln m-1
m
= 4
s ,
消去s，整理得4(ln m)2-12ln m+9=0，
解得ln m=3
2，所以m=e
3
2，
所以k=1- ln e
3
2
(e
3
2)
2
=- 1
2e
3.
5.(2025·南京模拟)甲、乙两人组队准备参加一项挑战比赛，该挑战比赛共分n(n∈N*，n≥2)关，规则如下：
首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由
第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者n 关都挑战成功，挑
战比赛结束，若甲每一关挑战成功的概率均为p(0<p<1)，乙每一关挑战成功的概率均为q(0<q<1)，且甲、
乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响.
(1)已知甲先上场，p=1
2，q=1
3，n=2，
①求没有一关挑战成功的概率；
②设X 为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求E(X)；
(2)如果n 关都挑战成功，那么比赛挑战成功.试判断甲先上场与乙先上场比赛挑战成功的概率是否相同，并
说明理由.
解 (1)①记甲先上场且没有一关挑战成功的概率为P，则P=(1-p)(1-q)=1
2×2
3=1
3.
②依题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，则P(X=0)=1
3，
P(X=1)=p(1-p)(1-q)+(1-p)q(1-q)=1
2×(1- 1
2)×(1- 1
3)+(1- 1
2)×1
3×(1- 1
3)= 5
18，
P(X=2)=1-1
3- 5
18= 7
18，
所以E(X)=0×1
3+1× 5
18+2× 7
18=19
18.
(2)设甲先上场且比赛挑战成功的概率为P1，乙先上场且比赛挑战成功的概率为P2，
则P1=pn+pn-1(1-p)q+pn-2(1-p)q2+…+(1-p)qn
=(pn+pn-1q+pn-2q2+…+qn)-(pnq+pn-1q2+pn-2q3+…+pqn)，
P2=qn+qn-1(1-q)p+qn-2(1-q)p2+…+(1-q)pn
=(qn+qn-1p+qn-2p2+…+pn)-(qnp+qn-1p2+qn-2p3+…+qpn).
由pn+pn-1q+pn-2q2+…+qn=qn+qn-1p+qn-2p2+…+pn，
pnq+pn-1q2+pn-2q3+…+pqn=qnp+qn-1p2+qn-2p3+…+qpn，
得P1=P2，因此，甲先上场与乙先上场比赛挑战成功的概率相同.
