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专题 8.1 排列与组合
一、单选题
1、(2020届山东省烟台市高三上期末)为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开
设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若课程“乐”不排在
第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为( )
A．216 B．480 C．504 D．624
【答案】C
【解析】当课程“御”排在第一周时,则共有 种；
当课程“御”“乐”均不排在第一周时,则共有 种；
则 ,
故选：C
2、(2020·浙江温州中学3月高考模拟)本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、
生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法
共有( )
A．72种 B．144种 C．288种 D．360种
【答案】B
A2 12
【解析】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有 4 种排法；第二步将数
A2 12
学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有 4 种排法，所以不同的排表方法共有
1212144
种.
选B.
3、(2020年新高考全国Ⅰ卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安
排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
【答案】C【解析】首先从 名同学中选 名去甲场馆，方法数有 ；
然后从其余 名同学中选 名去乙场馆，方法数有 ；
最后剩下的 名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有 种.
故选：C．
4、(2020届山东省九校高三上学期联考)汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎的五个螺栓，记
为 、 、 、 、 (在正五边形的顶点上)，紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，但不能连续固
定相邻的两个，则不同固定螺栓顺序的种数为( )
A．20 B．15
C．10 D．5
【答案】C
【解析】此题相当于在正五边形 中，对五个字母排序，要求五边形的任意相邻两个字母不能排在
相邻位置，
考虑 放第一个位置，第二步只能 或 ，依次ACEBD或ADBEC两种；
同理分别让B、C、D、E放第一个位置，分别各有两种，一共十种不同的顺序.
故选：C
5、(2020届浙江省嘉兴市3月模拟)用2与0两个数字排成7位的数码，其中“20”和“02”各至少出现两次
(如0020020、2020200、0220220等)，则这样的数码的个数是( )
A．54 B．44 C．32 D．22
【答案】B
【解析】两个2五个0时，显然两个2不能相邻，也不能放在首尾，先将5个0排成一排，其之间有4个空
位，从这4个空位中选2个安排2，,以有 种情况；
三个2四个0时，可分为三个2不相邻有，即4个0考虑首尾空位有5个，从中选3个放2，有 种；和22与2不相邻，即4个0考虑首尾空位不安排有3个空位，从中选2个排成一排有 种，所以有
种情况；
故共有 种情况．
故选：B
6、(2020·全国高三专题练习(理))已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾
客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲.乙结账方式不同，丁用哪种结账方式
都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有( )
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】D
【解析】当乙用现金结算时，此时甲和乙都用现金结算，所以丙有3种方法，丁有4种方法，
共有 种方法；当乙用银联卡结算时，此时甲用现金结算，丙有2种方法，丁有4种方法，共有
种方法，
综上，共有 种方法.
故选：D
7、(2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末)若用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字且奇数
数字互不相邻的六位数，则这样的六位数共有( )个
A．120 B．132 C．144 D．156
【答案】B
【解析】先排0，2，4，再让1，3，5插空.
A3A3 144
总的排法共 3 4 ，
A2A3 12
其中0在排头，将1，3，5插在后三个空的排法共 2 3 ，此时构不成六位数，
14412132
故总的六位数的个数为 .
8、(2020·山东省淄博实验中学高三上期末)“总把新桃换旧符”(王安石)、“灯前小草写桃符”(陆游)，春节
是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春
联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们
中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，
有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n＝34＝81，
他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数m 36，
则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是p ．
故选：B．
9、(2020届山东省潍坊市高三上学期统考) 本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放
在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有( )种
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】第一步：甲、乙两本书必须摆放在两端，有 种排法；
第二步：丙、丁两本书必须相邻视为整体与其它两本共三本，有 种排法；
∴
故选：A.
10、(2020·浙江高三)从集合{A，B，C，D，E，F}和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一
排(字母和数字均不能重复)．则每排中字母C和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为( )
A．85 B．95 C．2040 D．2280
【答案】C
【解析】根据题意，分2步进行分析：
①，先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，
若字母C和数字4，7都出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，有5种选法，若字母C和数字4出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1
个数字，有5×7＝35种选法，
若字母C和数字7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1
个数字，有5×7＝35种选法，
若数字4、7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出2个字母，有C 2＝10种选法，
5
则有5+35+35+10＝85种选法，
②，将选出的4个元素全排列，有A 4＝24种情况，
4
则一共有85×24＝2040种不同排法；
故选：C．
11、(2020届山东省九校高三上学期联考)吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒
子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟
时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，
假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题：“口香糖吃完时还剩2支香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖
一次香烟，记香烟为 ，口香糖为 ，进行四次取物，
基本事件总数为： 种
事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况：
烟、糖、糖、糖： 种
糖、烟、糖、糖： 种
糖、糖、烟、糖： 种
包含的基本事件个数为：54，
所以，其概率为故选：D
12、(2018年高考全国Ⅱ卷理数)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德
巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如 ．在不超过30的素数中，
随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，
共有 种方法，其和等于30的有3种方法，分别是7和23，11和19，13和17，所以随机选取两个
不同的数，其和等于30的概率为 ，选C．
13、(2020·山西省大同一中高三月考)某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形
(边长为2个单位)的顶点 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，
如果掷出的点数为 ，则棋子就按逆时针方向行走 个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次
骰子后棋子恰好又回到点 处的所有不同走法共有( )
A．22种 B．24种 C．25种 D．27种
【答案】D
【解析】由题意知正方形 (边长为 个单位)的周长是 ，
抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点 处的表示三次骰子的点数之和是 ，列举出在点数中三个数字能够使得和为 的有 ，
共有 种组合，
前 种组合 ，每种情况可以排列出 种结果，
共有 种结果；
各有 种结果，共有 种结果，
根据分类计数原理知共有 种结果，故选D.
14、(2020·天津南开中学高三月考)定义“规范01数列”{a}如下：{a}共有2m项，其中m项为0，m项为
n n
1，且对任意 ， 中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有
A．18个 B．16个
C．14个 D．12个
【答案】C
【解析】由题意，得必有 ， ，则具体的排法列表如下：
,01010011;010101011,共14个
二、多选题
15、满足方程 的 的值可能为( )A．1 B．3 C．5 D．
【答案】AB
【解析】因为
所以 或
，或 ，或 ，或
时， ，故舍去；
时， ，故舍去；
时， ；
时， ；
故选: AB
16、名女生、4名男生排成一排，则2名女生不相邻的排法有( )种.
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由题意，可先排男生 ，再插入女生 ，可得两名女生不相邻的排法共有 ，故B正确；
也可先进行全排列 ，则2名女生相邻情况为 ，则2名女生不相邻的排法有 ，故C正确；
故选：BC.
17、(2020·江苏省徐州一中高三月考)下列关系中，能成立的是( )
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对A，令 ，可得等式 不成立，故A错误；对B，利用组合数的计算公式知正确，故B正确；
对C，利用排列数与组合数的定义，故C正确；
对D，∵ ，故D正确；
故选：BCD.
18、某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车4辆工程车，将它们全部派往3个工地进行作业，每
个工地至少派一辆工程车，共有多少种方式？下列结论正确的有( )
A．18 B． C． D．
【答案】CD
【解析】
根据捆绑法得到共有 ，
先选择一个工地有两辆工程车，再剩余的两辆车派给两个工地，共有 .
.
故选： .
19、有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有( )
A．如果四名男生必须连排在一起，那么有 种不同排法
B．如果三名女生必须连排在一起，那么有 种不同排法
C．如果女生不能站在两端，那么有 种不同排法
D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有 种不同排法
【答案】CD
【解析】A中，如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个“大元素”，此时，共有
种不同的排法，A选项错误；
B中，如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个“大元素”，此时，共有种不同的排法种数，B选项错误；
C中，如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制，此时，共有
种不同的排法种数，C选项正确；
D中，如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的 个空中，此时，共有
种不同的排法种数，D选项正确.
故选：CD.
20、 ， ， ， ， 五人并排站成一排，下列说法正确的是( )
A．如果 ， 必须相邻且 在 的右边，那么不同的排法有24种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C．甲乙不相邻的排法种数为72种
D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
【答案】ACD
【解析】A.如果 ， 必须相邻且 在 的右边，可将 捆绑看成一个元素，则不同的排法有
种，故 正确.
B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 种，故 不正确.
C.甲乙不相邻的排法种数为 种，故 正确.
D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有 种,故 正确.
故选：ACD.
21、有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是( )
A．分给甲､乙､丙三人，每人各2本，有90种分法；
B．分给甲､乙､丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有180种分法；
D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法；
【答案】ABC
【解析】对 ，先从6本书中分给甲2本，有 种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有 种方法；
最后的2本书给丙，有 种方法.所以不同的分配方法有 种，故 正确；
对 ，先把6本书分成3堆:4本、1本、1本，有 种方法；再分给甲､乙､丙三人，所以不同的分配方法
有 种，故 正确；
对 ，6本不同的书先分给甲乙每人各2本，有 种方法；其余2本分给丙丁，有 种方法.所以不同
的分配方法有 种，故 正确；
对 ，先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本，有 种方法；
再分给甲乙丙丁四人， 所以不同的分配方法有 种，故 错误.
故选： .
三、填空题
22、(2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟)将 六个字母排成一排，若 均互不相邻且
在 的同一侧，则不同的排法有________种．(用数字作答)
【答案】96
【解析】
先排D、E、F，有 种排法；再利用插空法排A，B，C且C只能插在A、B的同侧，有 种排法；
所以有 96种排法．故答案为：96.
23、(2020年高考全国II卷理数)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个
小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．
【答案】
【解析】 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名
同学，
先取2名同学看作一组，选法有： .
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有： ，
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 种，
故答案为： .
24、(2018年高考浙江卷)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组
成__________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)
【答案】1260
【解析】若不取0，则排列数为 ；若取0，则排列数为 ，因此一共可以组成
个没有重复数字的四位数．故答案为：1260．
25、(2020届浙江省绍兴市高三4月一模)某地区有3个不同值班地点，每个值班地点需配一名医务人员和
两名警察，现将3名医务人员(1男2女)和6名警察(4男2女)分配到这3个地点去值班，要求每个值班地点
至少有一名女性，则共有______种不同分配方案.(用具体数字作答)
【答案】324
【解析】根据题意，分2步进行分析：
①，将9人分成3组，每组一名医务人员和两名警察，要求每一组至少有1名女性，
将9人分成3组，有 种情况，其中存在某组没有女性即全部为男性的情况有 种，
则有 种分组方法，②将分好的三组全排列，对应三个值班地点，有 种情况，
则有 种不同的分配方案；
故答案为：324.
26、(2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考)如图所示，在排成4×4方阵的16个点中，中心位置4个
点在某圆内，其余12个点在圆外．从16个点中任选3点，作为三角形的顶点，其中至少有一个顶点在圆
内的三角形共有_____个．
【答案】312
【解析】根据题意，分3种情况讨论：
①、取出的3个点都在圆内,有 种取法，即有4种取法，
②、在圆内取2点,圆外12点中取1点,有 种，即有60种取法，
③、在圆内取1点,圆外12点中取2点,有 种，即有248种取法，
则至少有一个顶点在圆内的三角形有4+60+248=312个，
故答案为312.
27、(2020届浙江省温州市高三4月二模)将2个相同的红球和2个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四
个盒子里，其中甲、乙盒子均最多可放入2个球，丙、丁盒子均最多可放入1个球，且不同颜色的球不能
放入同一个盒子里，共有________种不同的放法.
【答案】
【解析】当四个盒子有球时： 种；
当三个盒子有球时： 种；
当两个盒子有球时： 种.
故共有 种，故答案为： .
28、(2020·浙江学军中学高三3月月考)某公司有9个连在一起的停车位，现有5辆不同型号的轿车需停放，
若停放后恰有3个空车位连在一起，则不同的停放方法有____种.
【答案】3600
【解析】分两步：第一步，先将5辆不同型号的轿车停放好有 种不同停法，第二步，再将3个空
车位打包和剩下的1个空车位插入5辆车产生的6个空位中有 种不同的插法，根据分步
乘法原理得不同的停放方法 种.
故答案为：3600.
29、(2020届浙江省杭州市高三3月模拟)从0，1，2，3，4，5这6个数中随机抽取5个数构成一个五位数
，则满足条件“ ”的五位数的个数有____.
【答案】
【解析】由题意可知 最大， 不能为零，
当 时，则从剩下 个不为零的数中选 个，放在 的左边，再从剩下的 个数中取两个，放在右边，
故方法数有 .
当 时， 不能选取，则从身下 个不为零的数中选两个，，放在 的左边，再从剩下的 个数中取两
个，放在右边，故方法数有 .
所以总的方法数有 .
故答案为：
四、解答题
30、(2020·湖北省江夏一中高二月考)江夏一中高二年级计划假期开展历史类班级研学活动，共有6个名额，
分配到历史类5个班级(每个班至少0个名额，所有名额全部分完).
(1)共有多少种分配方案？
(2)6名学生确定后，分成A、B、C、D四个小组，每小组至少一人，共有多少种方法？
(3)6名学生来到武汉火车站.火车站共设有3个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客，求6人进站的不同方案种数.
【解析】(1)由题意得：问题转化为不定方程 的非负整数解的个数，
∴方程又等价于不定方程 的正整数解的个数，
利用隔板原理得：方程正整数解的个数为 ，
∴共有多少 种分配方案.
(2)将问题转化为不定方程 的正整数解个数，分组后再进行排列，
∵不定方程 的正整数解个数为 ，
∴共有 种方法.
(3)设6名学生在3个安检的人数分别为 ，
∵方程 非负整数解的个数等价于方程 的正整数解的个数，
∴6人进站的不同方案种数为 .
31、用0,1,2,3,4五个数字组成无重复数字的四位数.
(1)有多少个四位偶数?
(2)若按从小到大排列,3 204是第几个数?
【解析】(1)方法一:先排个位数字,分两类:①0在个位时有 种;②2或4在个位时按个位、千位、十位和
百位的顺序排,有 种,故共有 =60个四位偶数.
方法二:间接法.若无限制条件,总排列数为 ,其中不符合条件的有两类:①0在千位,有 种;②1或3在个
位,有 种,则四位偶数有 =60个.
(2)方法一:(分类法)由高位到低位逐级分为:①千位是1或2时,有 个;②千位是3时,百位可排0,1或2.(i)当百位排0,1时,有 个,(ii)当百位排2时,比3 204小的仅有3 201一个,故比3 204小的四位数
共有 +1=61个,3 204是第62个数.
方法二:(间接法) -( )=62个.
32、由A,B,C,…等7人担任班级的7个班委.
(1)若正、副班长两职只能由A,B,C这三人中选两人担任,则有多少种分工方案?
(2)若正、副班长两职至少要选A,B,C这三人中的1人担任,有多少种分工方案?
【解析】(1)先安排正、副班长有 种方法,再安排其余职务有 种方法,依分步乘法计数原理,共有
=720种分工方案.
(2)7人的任意分工方案有 种，A,B,C三人中无一人任正、副班长的分工方案有 种,因此A,B,C三人
中至少有1人任正、副班长的方案有 =3600种.
33、(徐州高三月考)6个人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法?
[来源:学科网]
(1)甲不站两端;
(2)甲、乙必须相邻;
(3)甲、乙不相邻;
(4)甲、乙之间间隔两人;
(5)甲、乙站在两端;
(6)甲不站左端,乙不站右端.
【解析】(1)方法一:要使甲不站在两端,可先让甲在中间4个位置上任选1个,有 种站法,然后其余5人在
另外5个位置上作全排列,有 种站法.根据分步乘法计数原理,共有站法 × =480(种).
方法二:要使甲不站两端,那么这两个位置只能从其余5个人中选2个人站,有 种站法,然后中间4人有
种站法.根据分步乘法计数原理,共有站法 × =480(种).方法三:若对甲没有限制条件,共有 种站法,甲在两端共有2 种站法,从总数中减去这两种情况的排列数,
即得所求的站法种数,即为 -2 =480.
(2)方法一:先把甲、乙作为一个整体,有 种站法,再把甲、乙进行全排列,有 种站法.根据分步乘法计数
原理,共有 × =240(种)站法.
方法二:先把甲、乙以外的4个人作全排列,有 种站法,再在5个空当中选出1个供甲、乙站,有 种方法,
最后让甲、乙全排列,有 种方法,共有 × × =240(种)站法.
(3)方法一:第一步,先让甲、乙以外的4个人站队,有 种站法;第二步,再将甲、乙排在4人形成的5个空
当(含两端)中,有 种站法.故站法共有 × =480(种).
方法二:6个人全排列有 种站法,由(2)知甲、乙相邻有240种站法,所以不相邻的站法有 -240=480(种).
(4)先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上,有 种站法,然后把甲、乙及中间2
人看作一个整体与余下2人作全排列,有 种站法,最后对甲、乙进行排列,有 种站法.故共有 × ×
=144(种)站法.
(5)首先考虑特殊元素,甲、乙先站两端,有 种站法,再让其他4人在中间位置作全排列,有 种站法.根据
分步乘法计数原理,共有 × =48(种)站法.
(6)方法一:6个人全排列有 种站法,甲在左端的站法有 种,乙在右端的站法有 种,且甲在左端而乙在右
端的站法有 种,故共有 -2 + =504(种)站法.
方法二:以甲分类,可分为两类:①甲站右端有 种站法;②甲在中间4个位置之一,而乙不在右端,有 ×× 种.故共有 + × × =504(种)站法.
