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周三
1 1
1.(2024·南通调研)设x>0，y>0， +2y=2，则x+ 的最小值为( )
x y
3
A. B.2√2
2
3
C. +√2 D.3
2
答案 C
1 1
解析 因为 +2y=2，所以 +y=1，
x 2x
因为x>0，y>0，
1 ( 1)( 1 )
所以x+ = x+ + y
y y 2x
1 1
= +xy+ +1
2 2xy
3 1 3 √ 1
= +xy+ ≥ +2 xy·
2 2xy 2 2xy
3 √2 3
= +2× = +√2，
2 2 2
1
{xy= ,
2xy
当且仅当
1
+ y=1,
2x
{ 1+√2
x= ,
即 2 时取等号.
y=2-√2
x
2.(2024·安阳模拟)已知函数f(x)= ，其中A，B是锐角△ABC的两个内角，则下列结论一定正确的是(
sinx
)
A.f(sin A)>f(sin B)
B.f(cos A)>f(cos B)
C.f(cos A)>f(sin B)
D.f(sin A)>f(cos B)
答案 D
x
解析 由函数f(x)= ，
sinxsinx-xcosx
所以f'(x)= ，
(sinx) 2
令g(x)=sin x-xcos x，
( π)
则当x∈ 0， 时，g'(x)=xsin x>0，
2
所以g(x)单调递增，可得g(x)>g(0)=0，即f'(x)>0，
x ( π)
所以f(x)= 在 0， 上单调递增.
sinx 2
因为A，B的大小不确定，故sin A与sin B，cos A与cos B的大小关系均不确定，
所以f(sin A)与f(sin B)，f(cos A)与f(cos B)的大小关系也均不确定，
所以A，B不能判断.
π
因为A，B是锐角△ABC的两个内角，所以A+B> ，
2
π π
则 >A> -B>0，
2 2
( π)
因为y=cos x在 0， 上单调递减，
2
(π ) π
所以0<cos A<cos -B =sin B<1< ，
2 2
所以f(cos A)<f(sin B)，所以C错误；
π π π
因为A，B是锐角△ABC的两个内角，所以A+B> ，则 >B> -A>0，
2 2 2
( π)
因为y=cos x在 0， 上单调递减，
2
(π ) π
所以0<cos B<cos -A =sin A<1< ，
2 2
故f(cos B)<f(sin A)，所以D正确.
3.(多选)(2024·葫芦岛模拟)在正四棱台ABCD-A B C D 中，AB=3A B =6，AA =4，点P为棱BB 上的动点(含
1 1 1 1 1 1 1 1
端点)，则下列结论正确的是( )
A.四棱台ABCD-A B C D 的表面积是40+32√3
1 1 1 1
104√2
B.四棱台ABCD-A B C D 的体积是
1 1 1 1 3
C.AP+PC 的最小值为2√13
1
D.AP+PC的最小值为6√3
答案 ABD
解析 对于A，由题可知，四边形ABCD，A B C D 为正方形，
1 1 1 1所以S =36，
四边形ABCD
S =4，
四边形A B C D
1 1 1 1
分别取BC，B C 的中点E，M，则ME为侧面高，
1 1
1
因为侧面BCC B 为等腰梯形，侧面高ME=√42-22=2√3，所以一个侧面的面积为(2+6)×2√3× =8√3，
1 1 2
故正四棱台的表面积为36+4+8√3×4=40+32√3，故A正确；
对于B，连接AC，A C ，取AC，A C 的中点O，O ，连接OO ，过点A 作A H⊥AC，则正四棱台的高为
1 1 1 1 1 1 1 1
OO ，A O =√2，AO=3√2，则AH=2√2，
1 1 1
在梯形A O OA中，
1 1
OO =A H=√16-8=2√2，
1 1
2√2 104√2
所以四棱台ABCD-A B C D 的体积V= ×(4+36+√4×36)= ，故B正确；
1 1 1 1 3 3
对于C，将侧面ABB A ，BCC B 展开且处于同一平面，连接AC 与A B 交于点Q，如图所示，则
1 1 1 1 1 1 1
2 4 2π
△AA Q∽△C B Q，所以A Q= A B = ，由上述结论可知，A = ，
1 1 1 1 3 1 1 3 1 3
42+
(4) 2
-AQ2
3
由余弦定理得cos A = ，
1
4
2×4×
3
4√13 1 2√13
解得AQ= ，则C Q= AQ= ，
3 1 2 3
所以AC =AQ+QC =2√13，
1 1
因为P为棱BB 上的动点(含端点)，所以点A，P，C 不能共线，
1 1
所以AP+PC >AC =2√13，故C错误；
1 1
对于D，当点A，P，C共线时，AP+PC最短，
36+36-AC2
由余弦定理得cos∠ABC= ，解得AC=6√3，
2×6×6
所以AP+PC的最小值为6√3，故D正确.4.(2024·焦作模拟)大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作注时介绍了“勾股圆方图”，即“赵爽
弦图”.如图是某同学绘制的赵爽弦图，其中四边形ABCD，EFGH均为正方形，AD=AE=2，则⃗FB·⃗AH=
.
答案 16
解析 以D为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，因为AD=AE=2，
所以F(-2，0)，B(2，2)，A(0，2)，H(4，2)，
所以⃗FB=(4，2)，⃗AH=(4，0)，
所以⃗FB·⃗AH=16.
5.(2024·丽水模拟)设等差数列{a }的公差为d，记S 是数列{a }的前n项和，若S =a +20，S =a a a .
n n n 5 3 15 2 3 8
(1)求数列{a }的通项公式；
n
4S 1
(2)若d>0，b = n (n∈N*)，数列{b }的前n项和为T ，求证：T <n+ .
n a a n n n 2
n n+1
5(a +a )
(1)解 由S =a +20，S = 1 5 =5a ，
5 3 5 2 3
得5a =a +20，解得a =5，
3 3 3
15(a +a )
由S =a a a ，S = 1 15 =15a ，
15 2 3 8 15 2 8
所以15a =5a a ，所以a =0或a =3，
8 2 8 8 2
a -a
当a =0时，d= 8 3=-1，
8 8-3
此时a =a +(n-3)d=8-n；
n 3
当a =3时，d=a -a =2，此时a =a +(n-3)d=2n-1，
2 3 2 n 3
综上可得数列{a }的通项公式为a =8-n或a =2n-1.
n n n
(2)证明 因为d>0，所以a =2n-1，
n
(1+2n-1)n
则S = =n2，
n 24S 4n2
n
则b = =
n a a (2n-1)(2n+1)
n n+1
4n2-1+1
=
(2n-1)(2n+1)
1
=1+
(2n-1)(2n+1)
1( 1 1 )
=1+ - ，
2 2n-1 2n+1
1( 1) 1(1 1) 1(1 1) 1( 1 1 )
所以T =1+ 1- +1+ - +1+ - +…+1+ -
n 2 3 2 3 5 2 5 7 2 2n-1 2n+1
1( 1 1 1 1 1 1 1 )
=n+ 1- + - + - +…+ -
2 3 3 5 5 7 2n-1 2n+1
1( 1 )
=n+ 1-
2 2n+1
1 1 1
=n+ - <n+ .
2 2(2n+1) 2
