第六周
[周一]
1.将5 名志愿者随机分配到3 个项目(卫生、宣传、审计)服务，卫生项目与宣传项目各分配2 名志愿者，审
计项目只需1 名志愿者，则不同的分配方案共有( )
A.30 种
B.60 种
C.90 种
D.180 种
答案 A
解析 先从5 名志愿者中选2 名参加卫生项目，有C5
2=5×4
2
=10(种)分配方案，
再在剩下的3 人中选2 人参加宣传项目，有C3
2=3×2
2
=3(种)分配方案，
剩下的1 名志愿者参加审计项目，有1 种分配方案，
所以共有10×3×1=30(种)分配方案.
2.(2025·广州模拟)已知函数f(x)={
e
x , x ≤0,
x - a
x , x>0,若函数g(x)=f(x)-a 恰有2 个零点，则实数a 的取值范围是(
)
A.(-∞，0)
B.(0，1]
C.(0，4]
D.(4，+∞)
答案 B
解析 易知当x≤0 时，函数y=ex单调递增，且y=ex∈(0，1].
当x>0 时，函数y=x-a
x .
显然当a>0 时，y=x-a
x 在(0，+∞)上单调递增；
当x→0 时，y→-∞；当x→+∞时，y→+∞，
此时函数f(x)的大致图象如图所示，
若函数g(x)=f(x)-a 恰有2 个零点，即函数f(x)的图象与直线y=a 有2 个交点，
由图可知a∈(0，1]；
当a=0 时，y=x 在(0，+∞)上单调递增，且恒大于0，显然函数f(x)的图象与直线y=a 没有交点，不符合题
意；
当a<0 时，根据对勾函数性质可知y=x-a
x =x+-a
x ≥2√-a>0，
当且仅当x=√-a时，等号成立，显然函数f(x)的图象与直线y=a 没有交点，不符合题意.
综上可知，实数a 的取值范围是(0，1].
3.(多选)(2025·景德镇模拟)已知F 为抛物线C：y2=4x 的焦点，P 是C 上位于第一象限的一点，|PF|=4，过点
M(0，1)的直线与C 交于A，B 两点(A 在线段BM 上)，且PF⊥AB，则( )
A.直线PF 的倾斜角为60°
B.直线PA，PB 的斜率之和为0
C.|MB|=2|MA|
D.⃗MA·⃗MB=4
答案 ABD
解析 设点P(x0，y0)，|PF|=x0+1=4，
解得x0=3，代入y2=4x 中，又y0>0，则y0=2√3，所以点P(3，2√3)，
又F(1，0)，故直线PF 的斜率为2√3-0
3-1
=√3，直线PF 的倾斜角为60°，A 正确；
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为PF⊥AB，则直线AB 的斜率为-√3
3 ，
直线AB 的方程为x=-√3(y-1)，
联立{
y
2= 4 x ,
x =-√3( y -1),
消去x 可得y2+4√3y-4√3=0.
则y1+y2=-4√3，y1y2=-4√3，
所以直线PA，PB 的斜率之和为y1-2√3
x1-3
+ y2-2√3
x2-3
=
4
y1+2√3+
4
y2+2√3=
4( y1+ y2)+16√3
y1 y2+2√3( y1+ y2)+12=0，B
正确；
若|MB|=2|MA|，则x2=2x1，即y2
2=2y1
2，
所以y2=-√2y1，经验证不符合题意，C 错误；⃗
MA·⃗MB=(
y1
2
4 , y1-1)·(
y2
2
4 , y2-1)= y1
2 y2
2
16
+y1y2-(y1+y2)+1=4，D 正确.
4.(2025·合肥模拟)如图所示，两直角三角形共斜边MN，且MN=1，MB-MA=1
2，NA-NB=1
3，设∠AMN=β，
∠BMN=α，则cos(β-α)= .
答案 59
72
解析 由题意可得MB=cos α，NB=sin α，MA=cos β，NA=sin β，
因为{
MB - MA = 1
2 ,
NA - NB = 1
3 ,
则{
cosα -cos β = 1
2 ,
sin β -sin α = 1
3 ,
两式平方相加可得2-2cos αcos β-2sin αsin β=13
36 ，
即2-2cos(β-α)=13
36 ，所以cos(β-α)=59
72.
5.(2025·大连模拟)已知函数f(x)=(ln x-2)x2-mx(x>0)，g(x)为f(x)的导函数.
(1)当m=0 时，求曲线g(x)在(1，g(1))处的切线方程；
(2)若f(x)的两个极值点分别为x1和x2，且x1<x2.
①求实数m 的取值范围；
②证明：x2-x1<m+2e.
(1)解 当m=0 时，f(x)=(ln x-2)x2，则g(x)=f'(x)=x+2x(ln x-2)=2xln x-3x，
g(1)=-3，求导得g'(x)=2ln x+2-3=2ln x-1，
则g'(1)=-1，
所以曲线g(x)在(1，g(1))处的切线方程为y-(-3)=-(x-1)，即x+y+2=0.
(2)①解 g(x)=f'(x)=2xln x-3x-m，且定义域为(0，+∞).
因为f(x)有两个极值点x1，x2，所以x1，x2是方程2xln x-3x-m=0 的两个正根，
即2xln x-3x=m，x(2ln x-3)=m，
令h(x)=x(2ln x-3)，x>0，则h'(x)=2ln x-1，
所以当h'(x)>0 时，x>√e；
当h'(x)<0 时，0<x<√e，
因此当x∈(0，√e)时，h(x)单调递减；
当x∈(√e，+∞)时，h(x)单调递增，
所以当x=√e时，h(x)有最小值h(√e)=-2√e，
当2ln x-3=0 时，x=e
3
2，
又因为当0<x<e
3
2时，2ln x-3<0，
当x>e
3
2时，2ln x-3>0，
所以当0<x<e
3
2时，h(x)<0，
当x>e
3
2时，h(x)>0，
所以当-2√e<m<0 时，h(x)=x(2ln x-3)的图象与直线y=m 有两个不同的交点，
所以实数m 的取值范围是(-2√e，0).
②证明 由①可知m=h(x2)，且当h(x)=0 时，x=e√e，
又x1<x2，所以√e<x2<e√e，
令p(x2)=h(x2)+2e-x2，
p'(x2)=2ln x2-2，p'(x2)单调递增，
且p'(e)=0，所以当x2∈(√e，e)时，p'(x2)<0，当x2∈(e，e√e)时，p'(x2)>0，
所以p(x2)在(√e，e)上单调递减，在(e，e√e)上单调递增，
所以p(x2)≥p(e)=-e+2e-e=0，
即h(x2)+2e-x2≥0，h(x2)+2e≥x2 ，
又因为0<x1<√e，所以x2>x2-x1，
所以h(x2)+2e>x2-x1，即x2-x1<m+2e.
[周二]
1.(2025·滁州模拟)已知A，B，C 三点在单位圆上运动，且|AB|=√3，则⃗AC·⃗BC的取值范围为( )
A.[- 1
2 , 3
2]
B.[- 3
2 , 1
2]
C.[
1
2 , 3
2]
D.[- 3
2 ,- 1
2]
答案 A
解析 设AB 的中点为E，因为|OA|=|OB|=1，|AB|=√3，
所以|OE|=1
2，∠AOB=120°，⃗
AC·⃗BC=⃗CA·⃗CB
=(⃗OA-⃗OC)·(⃗OB-⃗OC)
=⃗OA·⃗OB-⃗OC·(⃗OA+⃗OB)+|⃗OC|2
=1×1×(- 1
2)-⃗OC·2⃗OE+1
=-1
2+1-2×1×1
2cos∠COE=1
2-cos∠COE，
因为0≤∠COE≤π，则-1≤cos∠COE≤1，
所以-1
2≤⃗AC·⃗BC≤3
2，
故⃗AC·⃗BC的取值范围为[- 1
2 , 3
2].
2.(2025·萍乡模拟)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=π
2 ，AA1=AB=BC，则直线A1C 与AB1所成角的大小为
( )
A.π
4
B.π
3
C.π
2
D.π
6
答案 C
解析 由题意建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1=AB=BC=1，
则A(0，1，0)，C(1，0，0)，A1(0，1，1)，B1(0，0，1)，
则⃗A1C=(1，-1，-1)，⃗A B1=(0，-1，1)，
设直线A1C 与AB1所成的角为θ，则θ∈(0, π
2]，
所以cos θ=|cos〈⃗A1C，⃗A B1〉|=|⃗A1C ·⃗A B1|
|⃗A1C ||⃗A B1|
=
0
√3×√2=0，所以θ=π
2 .
3.(多选)(2025·娄底模拟)化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，测量酸
碱度pH 值时会造成一定的误差，甲小组进行的实验数据的误差X 和乙小组进行的实验数据的误差Y 均符
合正态分布，其中X~N(0.3，0.000 1)，Y~N(0.28，0.000 4)，已知正态分布密度函数f(x)=
1
σ √2π e
- ( x - μ)
2
2σ
2 ，
记X 和Y 所对应的正态分布密度函数分别为f1(x)，f2(x)，则( )
A.f1(0.3)>f2(0.28)
B.乙小组的实验误差数据相对于甲组更集中
C.P(X<0.28)+P(X≤0.32)=1
D.P(Y<0.31)<P(X<0.31)
答案 AC
解析 由正态分布密度函数曲线可知，数据的标准差越小，数据越集中在均值附近，峰值越大，反之，标
准差越大，数据越分散，峰值越小.
对于两个小组的误差，甲组的标准差σ1=√0.000 1=0.01，乙组的标准差σ2=√0.000 4=0.02，
显然甲组的标准差更小，故峰值更大，数据相对乙组更集中，即f1(0.3)>f2(0.28)，故A 正确，B 错误；
P(X<0.28)=P(X<μ-2σ1)=P(X>μ+2σ1)，P(X≤0.32)=P(X≤μ+2σ1)，
P(X<0.28)+P(X≤0.32)=P(X>μ+2σ1)+P(X≤μ+2σ1)=1，故C 正确；
P(Y<0.31)=P(Y < μ+ 3
2 σ 2)>P(Y<μ+σ2)=1
2+1
2P(μ-σ2<Y<μ+σ2)，
P(X<0.31)=P(X<μ+σ1)=1
2+1
2P(μ-σ1<X<μ+σ1)，
而对于任何正态分布都有P(μ-σ1<X<μ+σ1)=P(μ-σ2<Y<μ+σ2)，
故P(Y<0.31)>P(X<0.31)，故D 错误.
4.已知函数f(x)是奇函数，且当x>0 时，f(x)=aex+e-x，若f (ln 1
2)=-5
2，则a= .
答案 1
解析 因为f(x)是奇函数，所以f (ln 1
2)=f(-ln 2)=-f(ln 2)=-5
2，即f(ln 2)=5
2，
因为当x>0 时，f(x)=aex+e-x，
所以f(ln 2)=2a+1
2=5
2，解得a=1.
5.已知数列{an}中，a2=1，设Sn为{an}的前n 项和，2Sn=nan.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn=
sin1
cos(an+1)cos(an+1+1)，求数列{bn}的前n 项和Tn.
解 (1)2Sn=nan，
当n=1 时，2S1=a1⇒2a1=a1，所以a1=0，
当n≥2 时，2Sn=nan，①
2Sn+1=(n+1)an+1，
②
由②-①得，2Sn+1-2Sn=(n+1)an+1-nan，
2an+1=(n+1)an+1-nan，
即nan=(n-1)an+1，
当n≥2 时，an+1
an
= n
n-1，
递推可得
an
an-1
=n-1
n-2，…，
a4
a3
=3
2，
a3
a2
=2
1，
由累乘法可得
an+1
an
×
an
an-1
×…×
a4
a3
×
a3
a2
= n
n-1×n-1
n-2×…×3
2×2
1，即
an+1
a2
=n，
又因为a2=1，所以an+1=n，
即an=n-1，经检验，当n=1 时，a1=0 符合上式，
所以an=n-1.
(2)由(1)可知an=n-1，an+1=n，
所以bn=
sin1
cos(an+1)cos(an+1+1)
=
sin1
cosncos(n+1)
= sin[(n+1)-n]
cosncos(n+1)
=sin(n+1)cosn-cos(n+1)sin n
cosncos(n+1)
= sin(n+1)cosn
cosncos(n+1)- cos(n+1)sin n
cosncos(n+1)
=tan(n+1)-tan n，
所以Tn=b1+b2+b3+…+bn-1+bn
=(tan 2-tan 1)+(tan 3-tan 2)+(tan 4-tan 3)+…+[tan n-tan(n-1)]+[tan(n+1)-tan n]
=tan(n+1)-tan 1，
所以数列{bn}的前n 项和Tn=tan(n+1)-tan 1.
[周三]
1.(2025·岳阳模拟)某校食堂为打造菜品，特举办菜品评选活动.已知评委团由家长代表，学生代表和教工代
表组成，人数比为1∶2∶2，现由评委团对1 号菜品和2 号菜品进行投票(每人只能投一票且必须投一票).
若投票结果显示，家长代表和学生代表中均有2
3的人投票给1 号菜品，教工代表中有1
4 的人投票给2 号菜
品，那么从1 号菜品的投票人中任选1 人，他是学生代表的概率为( )
A. 8
21
B.13
21
C. 4
21
D.3
7
答案 A
解析 根据人数比例设家长代表、学生代表和教工代表人数分别是m，2m，2m(m>0)，
由题意知，家长代表中有2
3的人投给1 号，人数为2
3×m=2m
3 ；
学生代表中有2
3的人投给1 号，人数为2
3×2m=4 m
3 ；
教工代表中有1
4 的人投给2 号，那么教工代表中有3
4 的人投给1 号，人数为3
4 ×2m=3m
2 .
所以投给1 号的总人数为2m
3 +4 m
3 +3m
2 =7m
2 ，学生代表中投给1 号的人数为4 m
3 ，
因此所求概率为
4 m
3
7m
2
= 8
21.
2.(2025·湛江模拟)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x>0 时，f(x)=x2+2x-3，则不等式f(2x-1)>0 的
解集为( )
A.(-∞，0)∪(1，+∞)
B.(0, 1
2)∪(1，+∞)
C.(0, 1
2)∪(
1
2 ,1)
D.(-∞，0)∪(
1
2 ,1)
答案 B
解析 因为当x>0 时，f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4，
所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(1)=0.
因为f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(x)在(-∞，0)上单调递增，且f(-1)=0.
由f(2x-1)>0，可得2x-1>1 或-1<2x-1<0，解得x>1 或0<x<1
2.
即f(2x-1)>0 的解集为(0, 1
2)∪(1，+∞).
3.(多选)(2025·马鞍山模拟)已知二项式(
√x
2 - 1
x)
n
的展开式中各项系数之和为1
64 ，则( )
A.展开式中共有6 项
B.展开式中二项式系数的和为64
C.展开式中常数项为15
16
D.展开式中系数最大的项是第2 项
答案 BC
解析 由题意可得展开式的通项为Tk+1=Cn
k(
1
2)
n-k
x
n-k
2 (-1)kx-k=Cn
k(
1
2)
n-k
(-1)kx
n-3k
2 .
对于A，令x=1，可得展开式中各项系数之和为(- 1
2)
n
= 1
64 ⇒n=6，则展开式中共有7 项，故A 错误；
对于B，展开式中二项式系数的和为
6
Σ
k =0
C6
k=(1+1)6=64，故B 正确；
对于C，对于通项，令6-3k
2
=0⇒k=2，则常数项为T3=C6
2(
1
2)
6-2
(-1)2=15
16，故C 正确；
对于D，由通项，可得各项系数依次为C6
0(
1
2)
6-0
(-1)0= 1
64 ，C6
1(
1
2)
6-1
(-1)1=- 3
16，C6
2(
1
2)
6-2
(-1)2=15
16，
C6
3(
1
2)
6-3
(-1)3=-5
2，C6
4(
1
2)
6- 4
(-1)4=15
4 ，C6
5(
1
2)
6-5
(-1)5=-3，
C6
6(
1
2)
6-6
(-1)6=1，则系数最大的项为第5 项，故D 错误.
4.(2025·杭州模拟)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，a1=2，a10=20，则S10= .
答案 110
解析 S10=10×(a1+a10)
2
=5×(2+20)=110.
5.(2025·宁波模拟)已知椭圆E：x
2
m+2+y2=1(m>0)，点P(0，-1)到椭圆E 上点的距离的最大值为4√3
3
.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)若过定点(0，2)的直线l 交椭圆E 于点A，B，设点Q(0, 1
2)，直线AP 与直线BQ 交于直线y=5
4 上一点，
求直线AB 的方程.
解 (1)设椭圆上的点C(x，y)满足椭圆的方程x
2
m+2+y2=1，m>0，则x2=(m+2)(1-y2)，
可得|CP|2=x2+(y+1)2=-(1+m)y2+2y+(3+m)，设f(y)=-(1+m)y2+2y+(3+m)，其中y∈[-1，1]，
由-1-m<0，可得f(y)对应的抛物线开口向下，对称轴为y=
1
m+1，且0<
1
m+1<1，
所以f(y)max=f (
1
m+1)=m
2+ 4 m+ 4
m+1
=16
3 ，解得m=2 或m=-2
3(舍去)，
所以椭圆E 的方程为x
2
4 +y2=1.
(2)由题意知直线l 的斜率存在且不为0，设直线AB：y=kx+2，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图，
由对称性，不妨设k<0，此时x1>x2，直线AP 和BQ 的斜率分别为k1，k2，
联立方程组{
y =kx +2,
x
2
4 + y
2=1,
整理得(4k2+1)x2+16kx+12=0，
则Δ=256k2-48(4k2+1)=64k2-48>0，解得k2>3
4 ，
且x1+x2=- 16k
4 k
2+1，x1x2=
12
4 k
2+1，
又由直线AP：y=k1x-1 和直线BQ：y=k2x+1
2，
联立方程组{
y =k1 x -1,
y =k2 x + 1
2 ,
整理得(k1-k2)y=k1
2 +k2，
因为直线AP 与直线BQ 交于直线y=5
4 上一点，
所以5
4 (k1-k2)=k1
2 +k2，
化简得k1=3k2，即y1+1
x1
=3× y2- 1
2
x2
，
化简得
k x1+3
x1
=
6k x2+9
2 x2
，
所以4kx1x2+9x1-6x2=0，
又由求根公式可得x1=-8k +2√4 k
2-3
4 k
2+1
，
x2=-8k -2√4 k
2-3
4 k
2+1
，
代入得48k
4 k
2+1+9×-8k +2√4 k
2-3
4 k
2+1
-6×-8k -2√4 k
2-3
4 k
2+1
=0，
整理得-4k=5√4 k
2-3，平方得16k2=25(4k2-3)，
解得k2=25
28，所以k=-5√7
14 或k=5√7
14 (舍去)，
当k=-5√7
14 时，直线AB 的方程为y=-5√7
14 x+2，
由对称性知，当k=5√7
14 时，也满足题意，此时直线AB 的方程为y=5√7
14 x+2，
综上可得，直线AB 的方程为y=5√7
14 x+2 或y=-5√7
14 x+2.
[周四]
1.(2025·茂名模拟)已知向量e1，e2不共线，且(2e1+λe2)∥(3e1-2e2)，则实数λ 等于( )
A.3
B.-3
C.4
3
D.-4
3
答案 D
解析 因为向量e1，e2不共线，且(2e1+λe2)∥(3e1-2e2)，
设2e1+λe2=k(3e1-2e2)，
即2e1+λe2=3ke1-2ke2，
所以{
2=3k ,
λ =-2k ,解得{
k = 2
3 ,
λ =- 4
3 .
2.(2025·南充模拟)如图是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若AD=BD=3，∠ABC=120°，则该圆台的
内切球的表面积为( )
A.π
B.2π
C.4π
D.8π
答案 D
解析 ∠ABC=120°=2π
3 ，AB=AD+BD=6，
故´AC=2π
3 AB=4π，
´DE=2π
3 BD=2π，
故圆台上底面半径r1=
´DE
2π =1，
下底面半径r2=
´AC
2π =2，
如图，取圆台的轴截面，则圆台的高h=√A D
2-(r2-r1)
2=2√2，
则该圆台的内切球的半径r=h
2=√2，
故内切球表面积S=4πr2=8π.
3.(多选)(2025·广州模拟)已知三角形ABC 三个内角分别为A，B，C，且满足sin2 A
2 +sin2B
2 +sin2C
2 =cos2B
2 ，
则下列说法正确的是( )(参考公式：x = x + y
2
+ x - y
2
, y = x + y
2
- x - y
2 )
A.cos A -C
2
=2cos A +C
2
B.sin A+sin C=3sin B
C.tan A
2 tanC
2 =1
3
D.B≥π
3
答案 AC
解析 因为sin2 A
2 +sin2B
2 +sin2C
2 =cos2B
2 ，
所以1
2(1-cos A)+1
2(1-cos B)+1
2(1-cos C)=1
2(1+cos B)，
整理可得2-cos A-cos C=2cos B=-2cos(A+C)，
即2-cos(
A +C
2
+ A -C
2 )-cos(
A +C
2
- A -C
2 )
=-2cos 2(
A +C
2 )，
化简可得cos A +C
2
cos A -C
2
=2cos2 A +C
2
，
又cos A +C
2
≠0，所以cos A -C
2
=2cos A +C
2
，A 正确；
sin A+sin C=sin(
A +C
2
+ A -C
2 )+sin(
A +C
2
- A -C
2 )=2sin A +C
2
cos A -C
2
=4sin A +C
2
cos A +C
2
=2sin(A+C)=2sin B≠3sin B，B 错误；
由cos A -C
2
=2cos A +C
2
可得cos A
2 cosC
2 =3sin A
2 sinC
2 ，
因为cos A
2 cosC
2 ≠0，所以tan A
2 tanC
2 =1
3，C 正确；
由B 选项可得sin A+sin C=2sin B，由正弦定理得a+c=2b，
所以cos B=a
2+c
2-b
2
2ac
=a
2+c
2- (a+c)
4
2
2ac
=3(a
2+c
2)
8ac
-1
4 ≥6ac
8ac -1
4 =1
2，
当且仅当a=b=c 时，等号成立，
又因为0<B<π，所以0<B≤π
3 ，D 错误.
4.(2025·金华模拟)已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n 项和，满足S3=5，S12=32，则a8的值为 .
答案 3
解析 设等差数列{an}的公差为d，
则{
S3=3a1+ 3×2
2
d =5,
S12=12a1+ 12×11
2
d =32,
化简可得{
3a1+3d =5,
6a1+33d =16,解得{
a1= 13
9 ,
d = 2
9 ,
所以a8=a1+7d=13
9 +7×2
9=3.
5.(2025·台州模拟)已知抛物线Γ：y2=2px(p>0)的焦点为F(1，0)，直线l 与抛物线Γ 交于A，B 两点，且M
(
5
2 ,1)为线段AB 的中点.
(1)求抛物线Γ 的标准方程；
(2)求直线l 的方程；
(3)过点Q(m，1)(m<0)作抛物线Γ 的两条切线，分别交l 于C，D 两点，求△QCD 面积的最小值.
解 (1)因为抛物线Γ：y2=2px(p>0)的焦点为F(1，0)，所以p
2 =1，得p=2，
所以抛物线Γ 的标准方程为y2=4x.
(2)由题易知直线l 的斜率存在，设为k.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则{
y1
2= 4 x1,
y2
2= 4 x2,
两式相减可得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)，即y1- y2
x1- x2
=
4
y1+ y2
.
因为线段AB 的中点为M(
5
2 ,1)，
所以y1+y2=2，x1+x2=5，
所以k= y1- y2
x1- x2
=
4
y1+ y2
=2，
则直线l 的方程为y-1=2(x - 5
2)，即2x-y-4=0.
(3)由题意知过点Q(m，1)(m<0)的抛物线的切线斜率不为0，设其方程为x-m=t(y-1)，
联立{
x -m=t( y -1),
y
2= 4 x ,
得y2-4ty+4t-4m=0，由Δ=16t2-4(4t-4m)=0，可得t2-t+m=0，
设QC 的方程为x-m=t1(y-1)，QD 的方程为x-m=t2(y-1)，则t1+t2=1，t1t2=m，显然t1≠t2≠1
2，
联立{
x -m=t1( y -1),
2 x - y - 4 =0,
可得xC=5t1-m
2t1-1 ，同理xD=5t2-m
2t2-1 ，
|CD|=√5|xC-xD|=√5|
5t1-m
2t1-1 - 5t2-m
2t2-1|=√5|
(2m-5)(t1-t2)
(2t1-1)(2t2-1)|=√5|2m-5|√1- 4 m
|1- 4 m|
，
点Q(m，1)到直线2x-y-4=0 的距离d=|2m-5|
√5
，
所以S△QCD=1
2|CD|·d=1
2×(2m-5)
2
√1- 4 m
，
令h(m)=(2m-5)
2
√1- 4 m
，m<0，
h'(m)=6(5-2m)(2m+1)
(1- 4 m)√1- 4 m ，
当m<-1
2时，h'(m)<0，h(m)单调递减，
当-1
2<m<0 时，h'(m)>0，h(m)单调递增，
所以h(m)min=h(- 1
2)=12√3，
故△QCD 面积的最小值为1
2×12√3=6√3.
[周五]
1.(2025·沈阳模拟)若z=i(1+i)
1-i
，则( )
A.z+z=0
B.z-z=0
C.z·z=-1
D. z
z =i
答案 B
解析 因为z=i(1+i)
1-i
=
i(1+i)
2
(1-i)(1+i)=i·2i
2 =-1，则z=-1，
所以z+z=-2，z-z=0，z·z=1，z
z =1，B 正确，A，C，D 错误.
2.(2025·黄山模拟)已知双曲线x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)渐近线的斜率小于√5
5 ，则离心率e 的取值范围为( )
A.(1，√6)
B.(1, √30
5 )
C.(1, 3√5
5 )
D.(√6，+∞)
答案 B
解析 依题意，0<b
a<√5
5 ，
而e2=c
2
a
2=a
2+b
2
a
2
=1+(
b
a)
2
<6
5，
因为e>1，故得1<e<√30
5 ，
故离心率e 的取值范围为(1, √30
5 ).
3.(多选)(2025·杭州模拟)设函数f(x)=(x3-x)ln x，则( )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)≥0
C.f(x)在区间(0，1)上单调递增
D.x=1 为f(x)的极小值点
答案 BD
解析 f(x)的定义域为(0，+∞)，故f(x)为非奇非偶函数，故A 错误；
由于f(x)=(x3-x)ln x=x(x+1)(x-1)ln x，且x>0，故x(x+1)>0，
当x>1 时，x-1>0，ln x>0，此时f(x)>0，
当0<x<1 时，x-1<0，ln x<0，此时f(x)>0，
当x=1 时，f(x)=0，因此f(x)≥0，故B 正确；
对于C，f'(x)=(3x2-1)ln x+x2-1，
当x∈(
√3
3 ,1)时，3x2-1>0，ln x<0，x2-1<0，此时f'(x)<0，因此f(x)在(
√3
3 ,1)上单调递减，故C 错误；
对于D，f'(x)=(3x2-1)ln x+x2-1，
当x>1 时，3x2-1>0，ln x>0，x2-1>0，
故f'(x)>0，因此f(x)在(1，+∞)上单调递增，结合C 选项可知x=1 为f(x)的极小值点，故D 正确.
4.(2025·衡阳模拟)已知点P 在圆x2+y2-10x-10y+49=0 上，点A(4，0)，B(0，3)，则当⃗BA·⃗BP最小时，点P
到原点的距离为 .
答案 7
解析 由题知，圆的标准方程为(x-5)2+(y-5)2=1，圆心为M(5，5)，半径r=1，
设P(x，y)，又A(4，0)，B(0，3)，
则⃗BA=(4，-3)，⃗BP=(x，y-3)，
所以⃗BA·⃗BP=4x-3y+9，
令4x-3y+9=t，则4x-3y+9-t=0，
又P(x，y)在圆上，由
|4×5-3×5+9- t|
√4
2+(-3)
2
≤r=1，解得9≤t≤19，
根据题意可知t=9 满足题意，即4x-3y+9-t=0 与圆相切时满足题意，
此时|OP|=√|OM |
2-r
2=√50-1=7，即点P 到原点的距离为7.
5.(2025·新乡模拟)△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且sin2A+sin2C+cos2B+sin(π-A)sin(π+C)=1.
(1)求B；
(2)若a=2，c=3，求△ABC 内切圆的半径；
(3)若M 为△ABC 的垂心，且点M 在△ABC 内，直线AM 与BC 交于点D，且BM=4，求AB+MD 的最大值.
解 (1)因为sin2A+sin2C+cos2B+sin(π-A)sin(π+C)=1，
所以sin2A+sin2C-sin Asin C=1-cos2B=sin2B.
由正弦定理得a2+c2-b2=ac，
所以cos B=a
2+c
2-b
2
2ac
=1
2，
因为0<B<π，所以B=π
3 .
(2)由(1)知a2+c2-b2=ac，代入数据得b=√7.
因为△ABC 的面积S=1
2acsin B=3√3
2 ，
所以△ABC 内切圆的半径r=
2S
a+b+c = 3√3
5+√7 =3√3(5-√7)
18
=5√3-√21
6
.
(3)如图，设∠DBM=α，0<α<π
3 ，
则∠BMA=π
2 +α，且MD=BMsin α=4sin α.
因为∠ABD=π
3 ，所以∠BAD=π
6 .
由正弦定理得
BM
sin π
6
=
AB
sin(
π
2 +α)
，
所以AB=8sin(
π
2 +α)=8cos α，
所以AB+MD=8cos α+4sin α=4√5sin(α+φ)，其中tan φ=2，
故AB+MD 的最大值为4√5.
[周六]
1.(2025·景德镇模拟)已知f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，且f'(x)不是常函数，则命题“f(x)是周期函
数”是“f'(x)是周期函数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若f(x)是周期函数，设周期为T，则f(x+T)=f(x)，
两边求导，有f'(x+T)=f'(x)，所以f'(x)也是周期为T 的周期函数；
若f'(x)为周期函数，但f(x)不一定为周期函数，
例如，f(x)=-cos x+x 不具有周期性，而f'(x)=sin x+1 的周期为2π，
所以“f(x)是周期函数”是“f'(x)是周期函数”的充分不必要条件.
2.(2025·泰安模拟)已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q 两点，且PQ⊥F1Q，
S△Q F1F2=2S△P F1F2，则椭圆的离心率为( )
A.1
3
B.√2
3
C.√3
3
D.√5
3
答案 D
解析 设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，
由S△Q F1 F2=2S△P F1 F2，可得|QF2|=2|PF2|，
设|PF2|=m(m>0)，则|QF2|=2m，|PQ|=3m，|PF1|=2a-m，|QF1|=2a-2m，
由PQ⊥F1Q，则|P F1|
2=|PQ|2+|Q F1|
2，
即(2a-m)2=9m2+(2a-2m)2，解得m=a
3，
所以|QF1|=2a-2×a
3=4 a
3 ，|QF2|=2a
3 ，
所以| F1 F2|
2=|Q F1|
2+|Q F2|
2，
即4c2=16a
2
9
+4 a
2
9 ，解得c
2
a
2=5
9，
所以椭圆的离心率e=c
a=√5
3 .
3.(多选)如图，已知半圆O 上有一个动点C，F 是AC 上靠近点C 的三等分点，且OC 与BF 交于点E，则下
列结论正确的是( )
A.⃗AE=1
4⃗AB+1
2⃗AC
B.⃗CE=1
4⃗AB-1
2⃗AC
C.⃗BF=1
3⃗AB+2
3⃗BC
D.⃗EF=-1
4⃗AB+1
6⃗AC
答案 ABD
解析 如图，取AF 的中点H，连接OH，因为O 是AB 的中点，所以在△ABF 中，OH∥BF，所以
OH∥EF.
因为F 是靠近C 的三等分点，所以F 是HC 的中点，从而E 是OC 的中点，所以⃗AE=1
2 (⃗AC+⃗AO)=1
4⃗AB+
1
2⃗AC，A 正确；⃗
CE=1
2⃗CO=1
2 (⃗AO-⃗AC)=1
4⃗AB-1
2⃗AC，B 正确；⃗
BF=⃗AF-⃗AB=2
3⃗AC-⃗AB=2
3 (⃗AB+⃗BC)-⃗AB=-1
3⃗AB+2
3⃗BC，C 错误；⃗
EF=⃗AF-⃗AE=2
3⃗AC-(
1
4⃗AB+ 1
2⃗AC)=-1
4⃗AB+1
6⃗AC，D 正确.
4.(2025·深圳模拟)将五张标有1，2，3，4，5 的卡片摆成如图所示的形式，若逐一取走这些卡片时，每次
取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”(例如按1-3-5-4-2
取走卡片的顺序是“和谐序”，按1-5-2-3-4 取走卡片的顺序不是“和谐序”)，现依次不放回地随机抽取
这5 张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为 .
答案 7
30
解析 分两种情况讨论：
(1)第一步，从1 号或3 号卡片中抽取一张，有2 种情况，比如先抽1 号卡片，
第二步，从3 号或5 号卡片中抽取一张，有2 种情况，比如先抽3 号卡片，
第三步，从2 号或5 号卡片中抽取一张，有2 种情况，比如先抽2 号卡片，
第四步，从4 号或5 号卡片中抽取一张，有2 种情况，
第五步，抽最后一张卡片，
此时，不同的抽法种数为24=16；
(2)第一步，抽5 号卡片，
第二步，从1，3，4 号卡片中抽取一张，有3 种情况，比如先抽1 号卡片，
第三步，从3，4 号卡片中抽取一张，有2 种情况，比如先抽3 号卡片，
第四步，从2，4 号卡片中抽取一张，有2 种情况，
第五步，抽最后一张卡片，
此时，不同的抽法种数为3×2×2=12.
而从5 张卡片中随意抽取，不同的抽法种数为A5
5=120，
因此，取卡顺序是“和谐序”的概率为16+12
120
= 7
30.
5.已知椭圆C：x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为1
2，点P(1, 3
2)在C 上.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若点A，B 在直线x=4 上，且关于x 轴对称，直线AP，BP 分别与C 交于点M，N(M，N 不与P 重合)，
证明：直线MN 过定点.
(1)解 因为椭圆C 的离心率为1
2，
所以c
a=1
2.
①
又P(1, 3
2)在C 上，所以1
a
2+ 9
4 b
2=1.
②
联立①②，结合a2=b2+c2，
解得a=2，b=√3，c=1，
故椭圆C 的标准方程为x
2
4 + y
2
3 =1.
(2)证明 设A(4，t)，B(4，-t)，t≠0，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由A，P，M 三点共线得y1- 3
2
x1-1
=t - 3
2
3
，
同理，由B，P，N 三点共线得y2- 3
2
x2-1
=-t - 3
2
3
，
两式相加得
y1- 3
2
x1-1
+
y2- 3
2
x2-1
=-1，
整理得x1y2+x2y1-(y1+y2)+4=5
2(x1+x2)-x1x2，
③
直线MN 的斜率显然存在，故设直线MN 的方程为y=kx+m，
联立{
y =kx +m,
x
2
4 + y
2
3 =1,
消去y 得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0，
Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=48(4k2-m2+3)>0，
所以x1+x2=-8km
3+ 4 k
2，x1x2=4 m
2-12
3+ 4 k
2 ，
又x1y2+x2y1=x1(kx2+m)+x2(kx1+m)=2kx1x2+m(x1+x2)=-24 k
3+ 4 k
2，
y1+y2=k(x1+x2)+2m= 6m
3+ 4 k
2，
代入③得-24 k
3+ 4 k
2- 6m
3+ 4 k
2+4=5
2×-8km
3+ 4 k
2-4 m
2-12
3+ 4 k
2 ，
化简得(m+4k)(m+k - 3
2)=0，解得m=-4k 或m=-k+3
2.
当m=-4k 时，直线MN 的方程为y=kx-4k，
即y=k(x-4)，故直线MN 过定点(4，0)；
当m=-k+3
2时，直线MN 的方程为y-3
2=k(x-1)，
即直线MN 过定点P(1, 3
2)，舍去.
综上，直线MN 过定点(4，0).
