第四周
[周一]
1.(2025·镇江模拟)2025 年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学.某考
生从6 所大学中选择4 所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况的种数是(
)
A.12
B.9
C.6
D.15
答案 B
解析 从6 所大学中任取4 所，有C6
4种，其中甲、乙两所学校同时被取到，有C 4
2种，所以该考生报名的可
能情况的种数是C6
4-C 4
2=9.
2.(2025·新余模拟)已知sin(α-β)=n，tan α=3tan β，则sin(α+β)等于( )
A.-2n
B.-n
2
C.n
2
D.2n
答案 D
解析 ∵sin(α-β)=n，
∴sin αcos β-cos αsin β=n，
∵tan α=3tan β，
∴sin αcos β=3cos αsin β，
∴cos αsin β=n
2，sin αcos β=3n
2 ，
∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=2n.
3.(多选)(2025·芜湖模拟)在△ABC 中，已知CA+CB=10，AB=8，则此三角形的面积可能为( )
A.e2
B.10√3
C.12
D.15
答案 AC
解析 设△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，因为CA+CB=10，AB=8，
则a+b=10，c=8，
所以cos C=a
2+b
2-c
2
2ab
=(a+b)
2-2ab-c
2
2ab
=10
2-2ab-8
2
2ab
=18
ab -1，
因为0<C<π，
所以sin C=√1-co s
2C=√
1-(
18
ab -1)
2
=6√
1
ab -
9
(ab)
2，
故此三角形的面积S=1
2absin C=1
2ab×6√
1
ab -
9
(ab)
2=3√ab-9，
又ab≤(a+b)
2
4
=25，当且仅当a=b=5 时，等号成立，故S=3√ab-9≤3√25-9=12，
则此三角形面积的最大值为12，
因为10√3>12，15>12，e2<12，所以A，C 正确.
4.(2025·厦门模拟)已知函数f(x)={
- x
2, x ≤0,
lo g2 x , x>0,若f(a)+f(-1)=2，则a= .
答案 8
解析 因为f(-1)=-(-1)2=-1，所以f(a)=3，
当x≤0 时，f(x)=-x2≤0，
所以a>0，f(a)=log2a=3，解得a=8.
5.(2025·杭州模拟)已知函数f(x)=x(e
x -1-1).
(1)求函数f(x)在点(1，0)处的切线方程；
(2)若不等式f(x)≥ln x+ax 恒成立，求实数a 的取值范围.
解 (1)f'(x)=ex-1-1+xex-1=(x+1)ex-1-1，
所以f'(1)=1，
所以f(x)在点(1，0)处的切线方程为y=x-1.
(2)由f(x)≥ln x+ax(x>0)参变分离得，
a≤x(e
x -1-1)- ln x
x
在(0，+∞)上恒成立，
令g(x)= x(e
x -1-1)- ln x
x
，x>0，
则g'(x)= x
2e
x -1+ ln x -1
x
2
，
令h(x)=x2ex-1+ln x-1，x>0，h(1)=0，
则h'(x)=(2x+x2)ex-1+1
x >0，即h(x)在(0，+∞)上单调递增，
所以当x∈(0，1)时，h(x)<0；当x∈(1，+∞)时，h(x)>0，
即当x∈(0，1)时，g'(x)<0；当x∈(1，+∞)时，g'(x)>0，
所以当x∈(0，1)时，g(x)单调递减；当x∈(1，+∞)时，g(x)单调递增，
则g(x)≥g(1)=0，所以a≤0，
即实数a 的取值范围是(-∞，0].
[周二]
1.(2025·太原模拟)已知正实数a，b 满足a+b=1，则1
b+ 1
ab+b
a的最小值为( )
A.2+2√2
B.4+2√2
C.4
D.7
答案 D
解析 1
b+ 1
ab+b
a=a+1+b
2
ab
=a(a+b)+(a+b)
2+b
2
ab
=2b
2+3ab+2a
2
ab
=2(
b
a + a
b)+3≥4√
a
b · b
a+3=4+3=7，
当且仅当a
b=b
a，即a=b=1
2时取等号.
2.(2025·绍兴模拟)现有某个运算器，输入x 后有3
4 的概率输出|x-1|，有1
4 的概率输出x.将5 个这样的运算器
串联在一起，初始输入有2
3的概率为1，有1
3的概率为0，则在最后输出为0 的条件下，初始输入为1 的概
率是( )
A.2
3
B. 95
192
C.66
97
D. 63
106
答案 C
解析 由题意可知，输出结果只能是0 或者1，且每个运算器的输出结果只与输入有关，且上一次的输出
即为下一次的输入，可以设第n 次输入为0 的概率为pn，有pn+1=1
4 pn+3
4 (1-pn)，
化简得pn+1=-1
2pn+3
4 ，
即pn+1-1
2=-1
2(pn- 1
2)，
又p1-1
2≠0，所以数列{pn- 1
2}是首项为p1-1
2，公比为-1
2的等比数列，
则pn-1
2=(p1- 1
2)(- 1
2)
n-1
，
即pn=(- 1
2)
n-1
·(p1- 1
2)+1
2.
记初始输入1 为事件A，最后输出0 为事件B，
由已知P(B)=p6，代入p1=1
3，n=6，
可得P(B)= 97
192.
求在初始输入为1 的条件下，最后输出0 的概率P(B|A)，可代入p1=0，n=6 计算，
得到P(B|A)=33
64 ，
则在最后输出为0 的条件下，初始输入为1 的概率
P(A|B)= P( AB)
P(B) = P(B| A )· P( A )
P(B)
=
33
64 × 2
3
97
192
=66
97.
3.(多选)(2025·邢台模拟)△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，则下列说法正确的有( )
A.若a2+b2<c2，则△ABC 是钝角三角形
B.若a=√13，b=3，A=π
3 ，则△ABC 的周长为7+√13
C.若A=π
6 ，b2+c2-16=√3bc，则△ABC 面积的最大值为4+2√3
D.若c=2，b=3，A=π
3 ，则BC 边上的中线长为√7
2
答案 AB
解析 对于A，由余弦定理得cos C=a
2+b
2-c
2
2ab
<0，因为0<C<π，所以C 为钝角，所以△ABC 是钝角三角
形，所以A 正确；
对于B，由a2=b2+c2-2bccos A=9+c2-2×3ccosπ
3 =13，可得c2-3c-4=0，解得c=4 或c=-1(舍去)，所以△ABC 的
周长为7+√13，所以B 正确；
对于C，因为b2+c2-16=√3bc≥2bc-16，所以bc≤16(2+√3)，
当且仅当b=c=2√2+2√6时，取等号，所以S△ABC=1
2bcsin A=1
4 bc≤8+4√3，所以△ABC 面积的最大值为8+4
√3，所以C 错误；
对于D，设BC 边上的中线为AD，则2⃗AD=⃗AB+⃗AC，
两边平方可得4⃗AD
2=⃗AB
2+⃗AC
2+2⃗AB·⃗AC=22+32+2×2×3×1
2，解得|⃗AD|=√19
2 ，所以D 错误.
4.(2025·长沙模拟)已知向量e=(1，0)，a=(1，n)，25b=a+24e，则当tan〈a，b〉取得最大值时，|n|=
.
答案 5
解析 由25b=a+24e，得b= 1
25(a+24e)，代入 a=(1，n)和 e=(1，0)得，
b= 1
25(1+24，n+0)=(1, n
25)，
所以b=(1, n
25)，
设α 为 a 与 x 轴正方向的夹角，
则tan α=|n|
1 =|n|，
设β 为 b 与 x 轴正方向的夹角，则 tan β=|n|
25，
〈a，b〉=α-β，其正切值为tan〈a，b〉=tan(α-β)= tan α - tan β
1+ tan α·tan β =
|n|-|n|
25
1+|n|·|n|
25
= 24|n|
25+n
2，
令f(n)= 24|n|
25+n
2，
当n≠0 时，f(n)=
24
25
|n|+|n|≤
24
2√
25
|n|·|n|=12
5 ，
当且仅当25
|n|=|n|，即|n|=5 时，f(n)取到最大值12
5 ，
又当n=0 时，f(0)=0，
综上当|n|=5 时，f(n)取到最大值，即tan〈a，b〉取到最大值.
5.(2025·重庆模拟)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC=2A1C1=4，AB=3，H 为CC1的中点，
CC1⊥平面ABH.
(1)证明：AB⊥AC；
(2)求AA1的长；
(3)求平面ABH 与平面AB1H 夹角的余弦值.
(1)证明 因为AA1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，则AA1⊥AB，
因为CC1⊥平面ABH，AB⊂平面ABH，
则CC1⊥AB，
又几何体ABC-A1B1C1为三棱台，则AA1与CC1相交，
又AA1，CC1⊂平面A1ACC1，
则AB⊥平面A1ACC1，
又AC⊂平面A1ACC1，则AB⊥AC.
(2)解 连接AC1(图略)，
因为CC1⊥平面ABH，AH⊂平面ABH，
则CC1⊥AH，
因为H 为CC1的中点，则AC=AC1，
因为AC=2A1C1=4，则AC1=4，A1C1=2，
由题意知AA1⊥平面A1B1C1，A1C1⊂平面A1B1C1，
则AA1⊥A1C1，
则在Rt△AA1C1中，可得AA1=√16- 4=2√3.
(3)解 以点A 为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由于几何体ABC-A1B1C1为三棱台，则A1C1
AC = A1B1
AB =1
2，则A1B1=3
2，
则A(0，0，0)，C(0，4，0)，C1(0，2，2√3)，B1(
3
2 ,0,2√3)，H(0，3，√3)，
所以⃗AH=(0，3，√3)，⃗A B1=(
3
2 ,0,2√3)，⃗C1C=(0，2，-2√3)，
易知平面ABH 的一个法向量为⃗C1C=(0，2，-2√3)，设平面AB1H 的法向量为n=(x，y，z)，
{⃗
AH ·n=3 y +√3 z =0,⃗
A B1·n= 3
2 x +2√3 z =0,
令z=√3，则n=(-4，-1，√3)，
则|cos〈⃗C1C，n〉|=|⃗C1C ·n|
|⃗C1C ||n|
=
8
4×2√5=√5
5 ，
所以平面ABH 与平面AB1H 夹角的余弦值为√5
5 .
[周三]
1.(2025·郑州模拟)记等差数列{an}的前n 项和为Sn，a3+a7=6，a12=17，则S16等于( )
A.120
B.140
C.160
D.180
答案 C
解析 因为a3+a7=2a5=6，所以a5=3，所以a5+a12=3+17=20，所以S16=16×(a1+a16)
2
=8(a5+a12)=160.
2.(2025·聊城模拟)已知M 是直线l：√3x+y-8=0 上一点，过点M 作圆O：x2+y2=4 的切线，切点分别为P，
Q，则△OPQ 面积的最大值为( )
A.√3
B.2√3
C.1
D.2
答案 A
解析 因为圆心O 到直线l：√3x+y-8=0 的距离d=8
2=4，所以|OM|≥4，
设∠MOQ=θ，cos θ=|OQ|
|OM | =
2
|OM | ≤1
2，
所以π
3 ≤θ<π
2 ，2π
3 ≤2θ<π，所以0<sin 2θ≤√3
2 ，
则△OPQ 的面积S△OPQ=1
2|OP||OQ|sin 2θ≤1
2×2×2×√3
2 =√3.
3.(多选)(2025·青岛模拟)某学校组织全体学生参加文创大赛，随机抽取400 名学生的成绩进行统计，得到频
率分布直方图(如图)，则( )
A.图中x 的值为0.020
B.该样本中成绩在区间[90，100]内的学生有160 人
C.估计全校学生成绩的平均数约为86.5
D.估计全校学生成绩的80%分位数约为95
答案 BD
解析 对于A，由(0.005+0.010+0.015+x+0.040)×10=1，得x=0.030，故A 错误；
对于B，成绩在区间[90，100]内的学生人数为400×0.040×10=160，故B 正确；
对于C，平均数x=55×0.05+65×0.1+75×0.15+85×0.3+95×0.4=84，故C 错误；
对于D，低于90 分的频率为1-0.4=0.6，设样本数据的80%分位数为n，则n 在区间[90，100]内，
则n-90
100-90=0.2
0.4 ，解得n=95，故D 正确.
4.(2025·蚌埠模拟)若∃m∈R，对于∀x∈[a，b]，恒有2m2-2√2sin(x + π
4)·m+sin 2x≤0，当b-a 取得最大值时，
m= .
答案 ±√2
2
解析 由2m2-2√2sin(x + π
4)·m+sin 2x≤0，得m2-(sin x+cos x)m+sin xcos x≤0，
即(m-sin x)(m-cos x)≤0，
由几何意义可知，函数y=m 的图象在函数y=sin x，y=cos x 的图象之间，
如图所示，-√2
2 ≤m≤√2
2 ，
要使b-a 达到最大，只需要m=-√2
2 或m=√2
2 ，此时b-a=3 π
4 -(- π
4)=π.
5.(2025·烟台模拟)近年来，新能源汽车因其动力充沛、提速快、用车成本低等特点得到民众的追捧.某机构
为研究汽油价格x(单位：元/升)与新能源汽车的月销售量y(单位：万辆)之间的关系，收集整理得到如下数
据：
x
6
6.5
7
7.5
8
y
1.5
2
3
4.5
6.8
(1)若用模型y=bln x+a 模拟x 与y 之间关系，求出经验回归方程；
(2)根据建立的经验回归方程，预测当汽油价格上涨至9 元/升时，新能源汽车的销量；
(3)假设当汽油价格为9 元/升时，实际销量超过预测值的概率为0.6.现进行5 次独立观测，记这5 次观测中
销量超过预测值的次数为ξ，求ξ 的均值.
参考数据和公式：ln 3≈1.1，
5
Σ
i=1
(xi-x)(yi-y)=6.55，
5
Σ
i=1
( xi- x)
2=2.5.
令ln xi=ui，
5
Σ
i=1
ui≈9.7，
5
Σ
i=1
(ui-u)(yi-y)≈0.93，
5
Σ
i=1
(ui-u)
2≈0.05.
对于一组数据(xi，yi)(i=1，2，3，…，n)，其经验回归直线y
^ =b
^x+a
^的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
b
^=
n
Σ
i=1
( xi- x)( yi- y)
n
Σ
i=1
( xi- x)
2
，a
^=y-b
^
x.
解 (1)因为ln xi=ui，
则b
^=
n
Σ
i=1
(ui-u)( yi- y)
n
Σ
i=1
(ui-u)
2
≈0.93
0.05=18.6，
又y=1.5+2+3+ 4.5+6.8
5
=3.56，u=
5
Σ
i=1
ui
5
≈9.7
5 =1.94，
由y=b
^
u+a
^得，3.56≈18.6×1.94+a
^，
解得a
^≈-32.524，
所以经验回归方程为y
^ =18.6ln x-32.524.
(2)当x=9 时，代入经验回归方程可得，
y=18.6×ln 9-32.524≈18.6×2.2-32.524=8.396，
即当汽油价格上涨至9 元/升时，新能源汽车的销量约为8.396 万辆.
(3)由题意知，ξ~B(5，0.6)，所以E(ξ)=5×0.6=3.
[周四]
1.(2025·天津南开区模拟)函数f(x)=(x - 4
x)cosπ
2 x 的部分图象大致为( )
答案 D
解析 f(x)=(x - 4
x)cosπ
2 x 的定义域为{x| x≠0}，
则f(-x)=(- x + 4
x)cos(- π
2 x)=-(x - 4
x)cosπ
2 x=-f(x)，
所以f(x)=(x - 4
x)cosπ
2 x 为奇函数，故排除B，C；
令f(x)=(x - 4
x)cosπ
2 x=0，
则x-4
x =0 或cosπ
2 x=0，
则x2=4 或π
2 x=π
2 +kπ，k∈Z，
解得x=±2 或x=1+2k，k∈Z，
所以当x>0 时，使f(x)=0 的最小x 为1，
则f (
1
2)=(
1
2 -8)cosπ
4 <0，故A 错误，D 正确.
2.(2025·德州模拟)已知双曲线C：x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2且与渐近线平
行的直线与C 相交于点M(M 在第一象限)，若|MF1|=2|MF2|，则双曲线C 的离心率e 为( )
A.√3
B.√5
C.√7
D.3
答案 B
解析 由题意可作图为，
易知|MF1|-|MF2|=2|MF2|-|MF2|=|MF2|=2a，|MF1|=4a，tan∠MF2F1=b
a，
则cos∠MF2F1=
a
√a
2+b
2=a
c ，
在△MF1F2中，
cos∠MF2F1=|M F2|
2+| F1 F2|
2-|M F1|
2
2|M F2|| F1 F2|
，
即a
c =4 a
2+ 4 c
2-16a
2
8ac
，
整理可得2a2=c2-3a2，
解得5a2=c2，所以e=c
a=√5.
3.(多选)设z1，z2，z3为复数，z1≠0，下列命题中正确的是( )
A.若|z2|=|z3|，则z2=±z3
B.若z1z2=z1z3，则z2=z3
C.若z2=z3，则|z1z2|=|z1z3|
D.若z1z2=| z1|
2，则z1=z2
答案 BC
解析 由复数模的概念可知，|z2|=|z3|不能得到z2=±z3，例如z2=1+i，z3=1-i，故A 错误；
由z1z2=z1z3，可得z1(z2-z3)=0，因为z1≠0，所以z2-z3=0，即z2=z3，故B 正确；
因为|z1z2|=|z1||z2|，|z1z3|=|z1||z3|，而z2=z3，所以|z2|=|z3|=|z2|，所以|z1z2|=|z1z3|，故C 正确；
取z1=1+i，z2=1-i，显然满足z1z2=| z1|
2，但z1≠z2，故D 错误.
4.(2025·苏州模拟)若f(x)=x(ln x+a)在[1，e]上不单调，则实数a 的取值范围是 .
答案 (-2，-1)
解析 由f(x)=x(ln x+a)，
可得f'(x)=ln x+a+1，
因为f(x)=x(ln x+a)在[1，e]上不单调，
所以f'(x)在(1，e)上有变号零点，又f'(x)在(1，e)上单调递增，
则f'(1)f'(e)=(a+1)(a+2)<0，
所以-2<a<-1，
所以实数a 的取值范围是(-2，-1).
5.(2025·太原模拟)某超市经理为了解顾客对某商品甲、乙两款的喜爱程度是否与性别有关，在街头随机选
取了100 人做调查研究，其中喜欢甲与乙的人数各占一半，男性占总人数的60%，且女性中有75%的人喜
欢甲.
(1)补全2×2 列联表：
喜欢甲
喜欢乙
合计
男性
女性
合计
(2)依据小概率值α=0.001 的独立性检验，能否认为喜欢哪款商品与性别有关联？
(3)该经理针对女性客户做了调查，在“3·15”活动当天，女性客户中有老年人162 人，中年人108 人，青
年人54 人，按比例分配的分层随机抽样方法选出12 人，又从这12 人中随机抽出3 人作为幸运顾客，这3
人中的老年人的人数设为随机变量X，求出X 的分布列与均值.
附：χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d )，其中n=a+b+c+d.
α
0.01
0.005
0.001
xα
6.635
7.879
10.828
解 (1)补全2×2 列联表如下.
喜欢甲
喜欢乙
合计
男性
20
40
60
女性
30
10
40
合计
50
50
100
(2)零假设H0：喜欢哪款商品与性别无关联，
则χ2=100×(20×10- 40×30)
2
60×40×50×50
≈16.667>10.828，
依据小概率值α=0.001 的独立性检验，我们推断H0不成立，
即能认为喜欢哪款商品与性别有关联.
(3)由题意得162∶108∶54=3∶2∶1，
所以选出的12 人中有老年人6 人，中年人4 人，青年人2 人，
则X 的所有可能取值为0，1，2，3，
P(X=0)=C6
0C6
3
C12
3
= 1
11，
P(X=1)=C6
1C6
2
C12
3
= 9
22，
P(X=2)=C6
2C6
1
C12
3
= 9
22，
P(X=3)=C6
3C6
0
C12
3
= 1
11，
则分布列为
X
0
1
2
3
P
1
11
9
22
9
22
1
11
E(X)=0× 1
11+1× 9
22+2× 9
22+3× 1
11=3
2.
[周五]
1.(2025·邵阳模拟)已知圆锥的底面半径为1，侧面积为4π，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为( )
A.π
6
B.π
4
C.π
3
D.π
2
答案 D
解析 设圆锥母线长为l，
可得底面圆的周长为2π·1=2π，
由题意可得π·1·l=4π，解得l=4，
所以圆锥的侧面展开图的圆心角为2π
4 =π
2 .
2.(2025·十堰模拟)若函数f(x)={
|lg(|x|-1)|,| x|>1,
2sin π
2 x ,| x|≤1,
则关于x 的方程[f(x)]2-3f(x)+2=0 的根的个数为( )
A.7
B.8
C.9
D.10
答案 D
解析 由[f(x)]2-3f(x)+2=0，得[f(x)-1][f(x)-2]=0，解得f(x)=1 或f(x)=2，
画出f(x)的大致图象如图所示，由图可知，此时方程有10 个根(图中只显示了6 个交点，当x>2 或x<-2 时，
直线y=2 和y=1 与f(x)的图象还有4 个交点).
3.(多选)(2025·威海模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A >0,ω>0,|φ|< π
2)的部分图象如图所示，则( )
A.y=f(x)的图象关于直线x=13 π
6 对称
B.f(x)在[0, π
2]上的值域为[-2，2]
C.f(x)在(- π
2 ,0)上单调递增
D.y=f (x + 5 π
12)的图象关于原点对称
答案 AD
解析 由图象可知A=2，T
4 =π
6 -(- π
12)=π
4 ，得T=π，所以ω=2π
π =2，即f(x)=2sin(2x+φ)，
再由五点作图法可得2×π
6 +φ=π
2 ，得φ=π
6 ，满足题意，
所以f(x)=2sin(2 x + π
6)，
对于A，当x=13 π
6
时，f(x)=2sin(2× 13 π
6
+ π
6)=2，故y=f(x)的图象关于直线x=13 π
6
对称，A 正确；
对于B，当x∈[0, π
2]时，2x+π
6 ∈[
π
6 , 7 π
6 ]，
则2sin(2 x + π
6)∈[-1，2]，B 错误；
对于C，当x∈(- π
2 ,0)时，2x+π
6 ∈(- 5 π
6 , π
6)，
正弦函数在(- 5 π
6 , π
6)上不单调，C 错误；
对于D，y=f (x + 5 π
12)=2sin(2 x + 5 π
6 + π
6)=-2sin 2x 是奇函数，D 正确.
4.(2025·威海模拟)甲袋中有4 个白球，1 个红球；乙袋中有2 个白球，2 个红球.现从甲袋中任取2 个球放入
乙袋，再从乙袋中任取一球，则此球为红球的概率为 .
答案 2
5
解析 由题意可知从甲袋中任取2 个球有两种情况，2 个白球或1 个白球、1 个红球.
①从甲袋中取出2 个白球的概率为C4
2
C5
2=3
5，
放入乙袋后，乙袋此时有4 个白球，2 个红球，取到红球的概率为2
6=1
3；
②从甲袋中取出1 个白球、1 个红球的概率为C4
1C1
1
C5
2 =2
5，
放入乙袋后，乙袋此时有3 个白球、3 个红球，取到红球的概率为3
6=1
2，
综上两种情况可知，从甲袋中任取2 个球放入乙袋，
再从乙袋中任取一球为红球的概率为P=3
5×1
3+2
5×1
2=2
5.
5.(2025·九江模拟)已知双曲线E：x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A，B，M(5，4)在E 上，⃗MA·⃗
MB=32.
(1)求E 的方程；
(2)过M 的直线l 交E 于另一点N(异于点A，B)，与x 轴交于点G，直线NA 与MB 交于点H，证明：直线
GH 过定点.
(1)解 ∵M(5，4)在E 上，∴25
a
2 -16
b
2 =1.
①
∵A(-a，0)，B(a，0)，
∴⃗MA=(-a-5，-4)，⃗MB=(a-5，-4)，
∴⃗MA·⃗MB=41-a2=32，②
由①②解得a=3，b=3，故E 的方程为x
2
9 - y
2
9 =1.
(2)证明 方法一 设直线NA 的方程为x=my-3(m≠0)，∵直线MB 的斜率为2，直线MA 的斜率为1
2，
∴m≠1
2且m≠2，直线MB 的方程为y=2x-6，
联立{
x =my -3,
y =2 x -6,得H(
6m+3
2m-1 ,
12
2m-1)，
联立{
x =my -3,
x
2
9 - y
2
9 =1,
消去x 得(m2-1)y2-6my=0，
则m2-1≠0，Δ=36m2>0，
∴yN= 6m
m
2-1，xN=3m
2+3
m
2-1
，
即N(
3m
2+3
m
2-1
, 6m
m
2-1).
当直线MN 的斜率存在时，显然直线MN 的斜率不为0，
直线MN 的斜率为
6m
m
2-1
- 4
3m
2+3
m
2-1
-5
=2m+1
m+2 ，m≠-1
2，
∴直线MN 的方程为y=2m+1
m+2 (x-5)+4.
令y=0，得x=6m-3
2m+1 ，即G(
6m-3
2m+1 ,0).
∴直线GH 的斜率为
12
2m-1
6m+3
2m-1 - 6m-3
2m+1
=2m+1
2m
，
∴直线GH 的方程为y=2m+1
2m (x - 6m-3
2m+1)，
即2m(x-y-3)+x+3=0，
由{
x - y -3=0,
x +3=0,
解得{
x =-3,
y =-6,
故直线GH 过定点(-3，-6).
当直线MN 的斜率不存在时，N(5，-4)，G(5，0)，H(
9
5 ,- 12
5 )，则直线GH 的方程为y=3
4 (x-5)，显然直线
GH 过点(-3，-6)，
综上，直线GH 过定点(-3，-6).
方法二 同方法一，得H(
6m+3
2m-1 ,
12
2m-1)，G(
6m-3
2m+1 ,0)，
设直线GH 过定点T(x0，y0)，则⃗GT∥⃗HT，
又⃗GT=(x0- 6m-3
2m+1 , y0)，⃗HT=(x0- 6m+3
2m-1 , y0-
12
2m-1)，
∴(x0- 6m+3
2m-1)y0=(x0- 6m-3
2m+1)( y0-
12
2m-1)，
整理得2m(x0-y0-3)+x0+3=0，
由{
x0+3=0,
x0- y0-3=0,解得{
x0=-3,
y0=-6.
故直线GH 过定点(-3，-6).
当直线MN 的斜率不存在时，N(5，-4)，G(5，0)，m=-2，
则H(
9
5 ,- 12
5 )，⃗GT=(x0-5，y0)，⃗HT=(x0- 9
5 , y0+ 12
5 )，
∴(x0-5)( y0+ 12
5 )=y0(x0- 9
5)，
化简得3x0-4y0-15=0，
显然点(-3，-6)满足上式，
综上，直线GH 过定点(-3，-6).
方法三 ①当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y=k(x-5)+4(k≠0)，则G(
5k - 4
k
,0)，
由直线MB 的斜率为4 -0
5-3 =2，直线MA 的斜率为4 -0
5+3 =1
2，得k≠2，且k≠1
2，
联立{
y =k( x -5)+ 4 ,
x
2
9 - y
2
9 =1,
消去y 得(k2-1)x2+(8k-10k2)x+25k2-40k+25=0，
则k2-1≠0，且Δ=4(4k-5)2>0，
∴5xN=25k
2- 40k +25
k
2-1
，yN=k(xN-5)+4，
∴N(
5k
2-8k +5
k
2-1
,- 4 k
2+10k - 4
k
2-1
)，
∴直线NA 的斜率为
- 4 k
2+10k - 4
k
2-1
5k
2-8k +5
k
2-1
+3
=- k -2
2k -1，
∴直线NA 的方程为y=- k -2
2k -1(x+3).
直线MB 的方程为y=2x-6，
联立{
y =- k -2
2k -1 ( x +3),
y =2 x -6,
当k≠4
5 时，得H(
9k
5k - 4 , 24 -12k
5k - 4 )，
∴直线GH 的斜率为
24 -12k
5k - 4
9k
5k - 4 - 5k - 4
k
= 3k
4 k -2，
∴直线GH 的方程为y= 3k
4 k -2(x - 5k - 4
k )，
即(3x-4y-15)k+2y+12=0，
由{
3 x - 4 y -15=0,
2 y +12=0,
解得{
x =-3,
y =-6.
当k=4
5 时，直线l 经过原点，则点N 与M 关于原点对称，NA∥MB，不符合题意.
②当直线l 的斜率不存在时，N(5，-4)，G(5，0)，H(
9
5 ,- 12
5 )，则直线GH 的方程为y=3
4 (x-5)，显然直线
GH 过点(-3，-6)，
综上，直线GH 过定点(-3，-6).
[周六]
1.(2025·揭阳模拟)“物竞天择，适者生存”是自然选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来
躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v(单位：分米/秒)时的跳跃高度H(单位：
米)近似满足v2=
4 H
1- H v
2的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为( )
A.0.2 米
B.0.25 米
C.0.45 米
D.0.7 米
答案 B
解析 由v2=
4 H
1- H v
2可知v2-Hv4=4H，故H= v
2
v
4+ 4
≤
v
2
2√4 v
4=1
4 ，当且仅当v2=2 时，等号成立，于是该类
昆虫的最大跳跃高度为0.25 米.
2.(2025·张家口模拟)某同学记录了自己升入高三以来8 次的数学考试成绩，分别为125，117，129，132，
115，119，126，130，则该同学这8 次的数学考试成绩的第40 百分位数为( )
A.119
B.122
C.125
D.132
答案 C
解析 从小到大排序为115，117，119，125，126，129，130，132，又8×40%=3.2，所以第40 百分位数
为第四个数，即125.
3.(多选)(2025·石家庄模拟)已知数列{an}的前n 项和为Sn=-n2+11n，则下列说法正确的是( )
A.数列{
Sn
n }为递减数列
B.当且仅当n=5 时，Sn取得最大值
C.an=-2n+12
D.{2
an}是等比数列
答案 ACD
解析 由题意可知，Sn
n =-n+11，则Sn+1
n+1-Sn
n =-n+10-(-n+11)=-1<0，
故数列{
Sn
n }为递减数列，故A 正确；
因为二次函数y=-x2+11x 的对称轴为x=11
2 ，且开口向下，则当n=5 或n=6 时，Sn取得最大值，故B 错误；
当n≥2 时，Sn-1=-(n-1)2+11(n-1)=-n2+13n-12，
则an=Sn-Sn-1=-n2+11n-(-n2+13n-12)=-2n+12，又a1=S1=10，符合上式，
所以an=-2n+12，n∈N*，故C 正确；
令bn=2
an=2-2n+12，则bn+1
bn
=2
-2n+10
2
-2n+12=2-2，则{2
an}是等比数列，故D 正确.
4.(2025·济南模拟)双曲线C：x
2
4 - y
2
5 =1 的左焦点为F，点A(0，4)，若点P 为C 右支上的一个动点，则|PA|+|
PF|的最小值为 .
答案 9
解析 设双曲线C：x
2
4 - y
2
5 =1 的右焦点为F2，
对于双曲线C：x
2
4 - y
2
5 =1，可得a2=4，则a=2，
因为点P 在双曲线的右支上，
所以|PF|-|PF2|=2a=4，即|PF|=|PF2|+4，
则|PA|+|PF|=|PA|+|PF2|+4≥|AF2|+4，
当且仅当A，P，F2三点共线，P 在A，F2之间时取等号，
由F2(3，0)，A(0，4)，则根据两点间距离公式，
可得|AF2|=√(3-0)
2+(0- 4)
2=5，
所以|PA|+|PF|=|PA|+|PF2|+4≥|AF2|+4=5+4=9，即|PA|+|PF|的最小值为9.
5.(2025·张家口模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π
2)，圆C：(x - 1
2)
2
+y2=9
4 .
(1)若f(x)两条相邻的对称轴与C 相切，求ω，φ；
(2)若φ=π
2 ，xi(i=1，2，…)是f(xi)的极值点，且点(xi，0)(i=1，2，…)有且仅有两个在C 的内部，求ω 的取
值范围.
解 (1)由题意知，f(x)相邻对称轴间的距离为π
ω，又圆C 的直径为3，则π
ω=3，得ω=π
3 ，
又圆心C(
1
2 ,0)，半径为3
2，
所以f(x)的其中一条对称轴为直线x=2，
则2×π
3 +φ=π
2 +k'π，k'∈Z，
解得φ=-π
6 +k'π，k'∈Z，
又|φ|≤π
2 ，所以φ=-π
6 .
(2)若φ=π
2 ，则f(x)的极值点满足ωx+π
2 =π
2 +kπ，k∈Z，解得x=k π
ω ，k∈Z，
又圆C 与x 轴交点分别为(-1，0)，(2，0)，
所以原题设等价于有且仅有2 个k 值满足-1<k π
ω <2(k∈Z)，
整理得-ω
π <k<2ω
π ，又|- ω
π|<2ω
π ，
故k 只能取0，1 两个值，所以1<2ω
π ≤2，解得π
2 <ω≤π，即ω 的取值范围为(
π
2 ,π].
