第二周
[周一]
1.(2025·江西八校联考)在(x2+x+y)6的展开式中，x7y 的系数为( )
A.3
B.6
C.60
D.30
答案 C
解析 根据二项式定理，可得[(x2+x)+y]6展开式的通项为Tk+1=C6
k(x2+x)6-kyk(k=0，1，2，…，6).
要求x7y 的系数，则y 的次数k=1，此时(x2+x)6-k=(x2+x)5.
同样根据二项式定理，(x2+x)5展开式的通项为Tm+1=C5
m(x2)5-mxm=C5
mx10-m(m=0，1，2，…，5).
要得到x7，则令10-m=7，解得m=3.
当k=1，m=3 时，x7y 的系数为C6
1C5
3=6×10=60.
2.(2025·湖北高中协作体联考)若数列{an}满足a1=2，an+1=1+an
1-an
(n∈N*)，则该数列的前2 025 项的乘积是(
)
A.-2
B.-1
C.2
D.1
答案 C
解析 因为数列{an}满足a1=2，an+1=1+an
1-an
(n∈N*)，
所以a2=1+a1
1-a1
=1+2
1-2=-3，
同理可得a3=-1
2，a4=1
3，a5=2，…，
所以数列{an}的周期为4，即an+4=an，
且a1·a2·a3·a4=1，而2 025=506×4+1，
所以该数列的前2 025 项的乘积是a1·a2·a3·a4·…·a2 025=1506×a1=2.
3.(多选)(2025·辽宁协作体模拟)下列说法中，正确的有( )
A.两个随机变量的线性相关程度越强，样本相关系数的绝对值越接近于1
B.一组数据删除一个数后，得到一组新数据12，14，15，17，19，19，20，21.若这两组数据的中位数相等，
则删除的数是18
C.已知随机变量ξ 服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)=P(ξ>8)=0.15，则P(2≤ξ≤5)=0.45
D.若一组样本数据x1，x2，…，x10的平均数是3，方差是2，则8 可能在这组数据中
答案 AB
解析 两个随机变量的线性相关程度越强，样本相关系数的绝对值越接近于1，线性相关程度越弱，样本
相关系数的绝对值越接近于0，A 正确；
12，14，15，17，19，19，20，21，这组数据共有8 个，且已按照从小到大的顺序排序，中位数为第4 个
和第5 个数的平均数，即中位数为17+19
2
=18，由题意，原数据有9 个，中位数恰为这9 个数据从小到大
排序后的第5 个数，则该数为18，B 正确；
P(ξ<2)=P(ξ>8)，则μ=5，且P(ξ<2)=0.15，P(ξ≤5)=0.5，则P(2≤ξ≤5)=P(ξ≤5)-P(ξ<2)=0.5-0.15=0.35，C 错
误；
由方差的含义，可知
( x1-3)
2+( x2-3)
2+…+( x10-3)
2
10
=2，
则(x1-3)2+(x2-3)2+…+(x10-3)2=20，
设8 是这组数据中的数，则(8-3)2=25>20，即其余9 组的平方和为负数，显然不可能，则8 不在这组数据中，
D 错误.
4.(2025·锦州质检)函数f(x)=|3x-1|-3ln x 的最小值为 .
答案 2
解析 令g(x)=x-1-ln x，x>0，则g'(x)=1-1
x = x -1
x
，
令g'(x)=0，解得x=1，
当0<x<1 时，g'(x)<0，则g(x)单调递减；
当x>1 时，g'(x)>0，则g(x)单调递增；
故g(x)≥g(1)=0，则x-1≥ln x，
所以f(x)=|3x-1|-3ln x≥(3x-1)-3(x-1)=2，
当且仅当x=1 时，等号成立，因此f(x)的最小值为2.
5.(2025·安徽皖南八校模拟)在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，cos A
cos B =2sin(C - π
6).
(1)求B；
(2)若△ABC 的面积为√3，AC 边上的高为1，求△ABC 的周长.
解 (1)由cos A
cos B =2sin(C - π
6)，
得cos A=2cos B(
√3
2 sinC - 1
2 cosC)，
①
由A+B+C=π，得cos A=-cos(B+C)=-cos Bcos C+sin Bsin C，
②
由①②联立，得sin Bsin C=√3cos Bsin C，
由C∈(0，π)，得sin C>0，所以tan B=√3，
又由B∈(0，π)，得B=π
3 .
(2)因为△ABC 的面积为√3，
所以1
2b×1=√3，得b=2√3.
由1
2acsin B=√3，即1
2ac×√3
2 =√3，所以ac=4.
由余弦定理，得b2=a2+c2-2accos B，
即12=a2+c2-ac，
所以(a+c)2=3ac+12=24，可得a+c=2√6，
所以△ABC 的周长为a+b+c=2√6+2√3.
[周二]
1.(2025·齐齐哈尔模拟)在三棱柱ABC-A1B1C1中，设⃗AB=a，⃗AC=b，⃗A A1=c，N 为BC 的中点，则⃗A1 N等
于( )
A.a+b+c
B.1
2a+b+c
C.1
2a+1
2b-c
D.1
2a+1
2b+c
答案 C
解析 连接AN，如图，因为N 为BC 的中点，
所以⃗A1 N=⃗A1 A+⃗AN=-⃗A A1+1
2 (⃗AB+⃗AC)=1
2a+1
2b-c.
2.(2025·潍坊模拟)现安排甲、乙、丙、丁、戊5 位志愿者到三个社区做志愿服务工作，每个社区至少安排1
人，每位志愿者只到一个社区，其中甲、乙安排在同一个社区的概率为( )
A. 3
25
B.1
5
C. 6
25
D. 3
10
答案 C
解析 将甲、乙、丙、丁、戊5 位志愿者安排到三个社区做志愿服务工作，每个社区的人数分别为3，1，
1 或2，2，1，所以不同的分法种数为(C5
3+ C5
2C3
2
A2
2 )A3
3=(10+ 10×3
2 )×6=150；
现在考虑安排甲、乙在同一个社区，若甲、乙所安排的社区有3 人，则还需从另外3 人中抽1 人，此时分
法为C3
1 A3
3=18(种)；
若甲、乙所安排的社区只有他们两人，此时只需将剩余3 人分为两组，则分法为C3
2 A3
3=18(种).
综上所述，甲、乙被安排在同一个社区的概率为18+18
150
= 6
25.
3.(多选)(2025·潍坊模拟)已知函数f(x)=2sin(2 x + π
3)，函数y=g(x)的图象由y=f(x)的图象向左平移π
4 个单位
长度得到，则( )
A.f(x)与g(x)在[
π
6 , π
3]上有相同的单调性
B.g(x)的图象关于直线x= π
12+k π
2 (k∈Z)对称
C.设h(x)= f ( x)
g( x)，则h(x)的图象的一个对称中心为(
π
12 ,0)
D.当x∈[0，2π]时，直线y=f (
π
2)与g(
3
2 x - π
6)的图象有6 个交点
答案 ACD
解析 由题意知y=f(x)的图象向左平移π
4 个单位长度可以得到g(x)=2sin[2(x + π
4)+ π
3]=2sin(2 x + π
2 + π
3)
=2cos(2 x + π
3)的图象，
对于A，当x∈[
π
6 , π
3]时，2x+π
3 ∈[
2π
3 ,π]，
由正弦函数和余弦函数的性质可知，f(x)与g(x)在[
π
6 , π
3]上均单调递减，即它们有相同的单调性，故A 正
确；
对于B，由g(x)=2cos(2 x + π
3)，
令2x+π
3 =kπ(k∈Z)，解得x=-π
6 +k π
2 (k∈Z).
因此g(x)的图象关于直线x=-π
6 +k π
2 (k∈Z)对称，故B 错误；
对于C，易知h(x)= f ( x)
g( x)=
2sin(2 x + π
3)
2cos(2 x + π
3)
=tan(2 x + π
3)，x≠π
12+k1π
2 ，k1∈Z，
令2x+π
3 =k ' π
2 (k'∈Z)，解得x=-π
6 +k ' π
4 (k'∈Z)，
则h(x)的图象的对称中心为(- π
6 + k ' π
4 ,0)(k'∈Z)，
当k'=1 时，h(x)的图象的一个对称中心为(
π
12 ,0)，故C 正确；
对于D，当x∈[0，2π]时，g(
3
2 x - π
6)=2cos[2(
3
2 x - π
6)+ π
3]=2cos 3x，又f (
π
2)=2sin(2× π
2 + π
3)=-√3；
画出函数g(
3
2 x - π
6)的图象如图所示，结合图象可知，当x∈[0，2π]时，
直线y=f (
π
2)与g(
3
2 x - π
6)的图象有6 个交点，故D 正确.
4.(2025·宝鸡模拟)数列{an}的前n 项和为Sn，若a1=2，当an为偶数时，an+1=an
2 ，当an为奇数时，
an+1=an+3，则S13= .
答案 30
解析 由题意知，a1=2，
则a2=a1
2 =1，a3=a2+3=4，a4=a3
2 =2，a5=a4
2 =1，a6=a5+3=4，…，
归纳可得数列{an}是以3 为周期的数列，且a1+a2+a3=2+1+4=7，
则a13=a1=2，
故S13=a1+a2+a3+…+a12+a13=4(a1+a2+a3)+a13=4×7+2=30.
5.(2025·芜湖模拟)已知圆心在x 轴上移动的圆经过点A(-4，0)，且与x 轴，y 轴分别交于B(x，0)，C(0，y)
两个动点.
(1)求点M(x，y)的轨迹E 的方程；
(2)若圆N 与曲线E 恰有一个公共点，且圆N 与x 轴相切于点F(1，0)，求圆N 的半径.
解 (1)因为圆经过x 轴上的两点A(-4，0)和B(x，0)，所以圆心为AB 的中点(
x - 4
2
,0)，
又因为该圆经过点A(-4，0)和C(0，y)，
所以√(
x - 4
2 )
2
+ y
2=|
x - 4
2
+ 4|，
化简得y2=4x，
所以点M(x，y)的轨迹E 的方程为y2=4x.
(2)设圆N 的半径为r(r>0)，且不妨设圆心N 在x 轴的上方，因为圆N 与x 轴相切于点F(1，0)，
所以圆心N(1，r)，
则圆N 的方程为(x-1)2+(y-r)2=r2，
联立{
( x -1)
2+( y -r )
2=r
2,
y
2= 4 x ,
消去x，得(
y
2
4 -1)
2
+y2-2ry=0，
于是r= 1
2 y[(
y
2
4 -1)
2
+ y
2]=( y
2+ 4)
2
32 y
，(*)
因为圆N 与曲线E 恰有一个公共点，所以恰有一个正数y 满足(*)，
记f(y)=( y
2+ 4)
2
32 y
(y>0)，
则f'(y)=( y
2+ 4)(3 y
2- 4)
32 y
2
，
令f'(y)<0，得y∈(0, 2√3
3 )；
令f'(y)>0，得y∈(
2√3
3
,+ ∞)，
则f(y)在(0, 2√3
3 )上单调递减，在(
2√3
3
,+ ∞)上单调递增，
所以当y=2√3
3
时，f(y)取得最小值4√3
9
，
因此当r<4√3
9
时，(*)无解；
当r=4√3
9
时，(*)恰有一个正数解2√3
3
；
当r>4√3
9
时，因为当y→0+和y→+∞时，f(y)均可任意大，(*)总有两个正数解.
综上，圆N 的半径r=4√3
9
.
[周三]
1.(2025·宁德模拟)由如表所示的变量x，y 之间的一组数据，得x，y 之间的经验回归方程为y
^
=-0.45x+10.05，则( )
x
6
8
10
12
y
7
t
5.5
4.5
A.点(8，t)一定在经验回归直线上
B.x 每增加1 个单位，y 大约增加0.45 个单位
C.t=7
D.去掉(12，4.5)这组数据后，求得的经验回归方程斜率不变
答案 C
解析 由题意可得x=1
4 ×(6+8+10+12)=9，
y=1
4 ×(7+t+5.5+4.5)=1
4 (17+t)，
因为经验回归直线一定过点(x，y)，
所以1
4 (17+t)=-0.45×9+10.05，解得t=7，故C 正确；
当x=8 时，-0.45×8+10.05=6.45≠7，所以点(8，t)不在经验回归直线上，故A 错误；
x 每增加1 个单位，y 大约减少0.45 个单位，故B 错误；
当x=12 时，-0.45×12+10.05=4.65，所以点(12，4.5)在经验回归直线下方，故去掉点(12，4.5)，求得的经
验回归直线方程的斜率将变大，故D 错误.
2.(2025·湖北省鄂东南联盟模拟)“3<r<6”是“圆C：(x+1)2+(y-2)2=r2(r>0)上恰有2 个点到直线l：
3x+4y+15=0 的距离为1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 设与直线l 平行且与直线l 之间的距离为1 的直线方程为3x+4y+c=0(c≠15)，
则|c -15|
√3
2+ 4
2 =1，解得c=10 或c=20，
圆心C(-1，2)到直线3x+4y+10=0 的距离
d1=|-3+8+10|
√3
2+ 4
2
=3，
圆心C(-1，2)到直线3x+4y+20=0 的距离
d2=|-3+8+20|
√4
2+3
2
=5，
当圆C 上恰有2 个点到直线l 的距离为1 时，如图所示，
圆C 与直线3x+4y+10=0 相交，与直线3x+4y+20=0 相离，所以d1<r<d2，即3<r<5，
故“3<r<6”是“圆C：(x+1)2+(y-2)2=r2(r>0)上恰有2 个点到直线l：3x+4y+15=0 的距离为1”的必要不充分
条件.
3.(多选)(2025·潍坊模拟)已知函数f(x)的定义域为R，[f(x)]2+[f(y)]2=f(x+y)f(x-y)+1，f(1)=0，则( )
A.f(0)=0
B.f(3)=0
C.f(x)为偶函数
D.f(x)的最大值为1
答案 BCD
解析 对于A，令x=y=0，则2[f(0)]2=[f(0)]2+1，解得f(0)=±1，A 错误；
对于B，令x=y=1，则2[f(1)]2=f(2)f(0)+1，即f(2)f(0)+1=0，
所以f(2)=-
1
f (0)，
令x=3，y=2，
可得[f(3)]2+[f(2)]2=f(5)f(1)+1，
即[f(3)]2+
1
[ f (0)]
2=1，
即[f(3)]2=0，故f(3)=0，B 正确；
对于C，因为[f(x)]2+[f(y)]2=f(x+y)f(x-y)+1，
同理有[f(y)]2+[f(x)]2=f(y+x)f(y-x)+1，
所以f(x+y)f(x-y)=f(x+y)f(y-x)，
因为f(x+y)不恒为零，
所以f(x-y)=f(y-x)，
令y=0，有f(x)=f(-x)，故函数f(x)为偶函数，C 正确；
对于D，令y=x-1，则[f(x)]2+[f(x-1)]2=f(2x-1)f(1)+1=1，
所以[f(x)]2≤1，可得-1≤f(x)≤1，故函数f(x)的最大值为1，D 正确.
4.(2025·浙江强基联盟模拟)设直线2√3x-2y-√3=0 与抛物线C：y2=2px(p>0)相交于点A，B，点F 为抛物线
C 的焦点.若|AF|-|BF|=4
3 ，则点F 的坐标为 .
答案 (
1
2 ,0)
解析 已知直线方程2√3x-2y-√3=0，
则y=√3x-√3
2 .
将y=√3x-√3
2 代入抛物线方程y2=2px(p>0)可得，(√3 x - √3
2 )
2
=2px，
化简得3x2-(3+2p)x+3
4 =0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可得x1+x2=3+2 p
3
，x1x2=1
4 .
由抛物线的焦半径公式可知|AF|=x1+ p
2 ，
|BF|=x2+ p
2 .
因为|AF|-|BF|=4
3 ，则(x1+ p
2)-(x2+ p
2)=4
3 ，即x1-x2=4
3 .
由(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2得，
(
4
3)
2
=(
3+2 p
3 )
2
-4×1
4 ，
即p2+3p-4=0，
因为p>0，解得p=1.
所以焦点F 的坐标为(
1
2 ,0).
5.已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为2
3，乙获胜的概率为1
3，每局比赛的结果互不
影响.规定：净胜m 局指的是一方比另一方多胜m 局.
(1)如果约定先净胜两局者获胜，求恰好4 局比赛结束的概率；
(2)如果约定先净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜i(i=-3，-2，-1，0，1，2，3)局.设在甲净
胜i 局时，继续比赛甲获胜的概率为Pi，比赛结束(甲、乙有一方先净胜三局)时需进行的局数为Xi，均值为
E(Xi).
①求甲获胜的概率P0；
②求E(X0).
解 (1)若恰好4 局比赛结束时甲获胜，则前2 局甲乙各胜一局，并且第3，4 局甲胜，
概率为C2
1×2
3×1
3×(
2
3)
2
=16
81；
若恰好4 局比赛结束时乙获胜，则前2 局甲乙各胜一局，并且第3，4 局乙胜，概率为C2
1×2
3×1
3×(
1
3)
2
=
4
81，所以恰好4 局比赛结束的概率为16
81+ 4
81=20
81.
(2)①在甲净胜-2 局的前提下，继续比赛一局.
若甲胜，则甲的状态变为净胜-1 局，继续比赛获胜的概率为P-1；
若甲输，则甲的状态变为净胜-3 局，比赛结束，
根据全概率公式，得P-2=2
3P-1，同理P-1=2
3P0+1
3P-2，P0=2
3P1+1
3P-1，P1=2
3P2+1
3P0，P2=2
3+1
3P1，
由P1=2
3P2+1
3P0，P2=2
3+1
3P1，
得P1=4
7 +3
7 P0，
与P0=2
3P1+1
3P-1联立消去P1，
得P0= 8
15+ 7
15P-1，
又P-2=2
3P-1，P-1=2
3P0+1
3P-2，
得P-1=6
7P0，
与P0= 8
15+ 7
15P-1联立消去P-1，得P0=8
9，
所以甲获胜的概率P0=8
9.
②在甲净胜-2 局的前提下，继续比赛一局.
若甲胜，则甲的状态变为净胜-1 局，继续比赛至结束，还需要E(X-1)局，共进行了[E(X-1)+1]局；
若甲输，则甲的状态变为净胜-3 局，比赛结束，共进行了1 局，
则E(X-2)=2
3[E(X-1)+1]+1
3×1，即E(X-2)=2
3E(X-1)+1，
同理E(X-1)=2
3[E(X0)+1]+1
3[E(X-2)+1]，即E(X-1)=2
3E(X0)+1
3E(X-2)+1，
E(X0)=2
3[E(X1)+1]+1
3[E(X-1)+1]，
即E(X0)=2
3E(X1)+1
3E(X-1)+1，
E(X1)=2
3[E(X2)+1]+1
3[E(X0)+1]，
即E(X1)=2
3E(X2)+1
3E(X0)+1，
E(X2)=2
3×1+1
3[E(X1)+1]，即E(X2)=1
3E(X1)+1，
联立E(X1)=2
3E(X2)+1
3E(X0)+1 与E(X2)=1
3E(X1)+1，得E(X1)=3
7 E(X0)+15
7 ，(ⅰ)
联立E(X-2)=2
3E(X-1)+1 与E(X-1)=2
3E(X0)+1
3E(X-2)+1，得E(X-1)=6
7 E(X0)+12
7 ，(ⅱ)
将(ⅰ)(ⅱ)代入E(X0)=2
3E(X1)+1
3E(X-1)+1，
得E(X0)=2
3[
3
7 E( X 0)+ 15
7 ]+
1
3[
6
7 E( X 0)+ 12
7 ]+1，
所以E(X0)=7.
[周四]
1.(2025·咸阳模拟)已知集合A={x|y=√2 x +3}，B={x|y=ln(x2+3x+2)}，则A∩∁RB 等于( )
A.(-1，+∞)
B.[- 3
2 ,-1]
C.[- 3
2 ,+∞)
D.[- 3
2 ,-1)
答案 B
解析 由2x+3≥0，得x≥-3
2，
所以A=[- 3
2 ,+ ∞)，
由x2+3x+2>0，
解得x<-2 或x>-1，
所以B=(-∞，-2)∪(-1，+∞)，∁RB=[-2，-1]，
则A∩∁RB=[- 3
2 ,-1].
2.(2025·攀枝花模拟)已知椭圆C：x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，连接AF2并
延长交椭圆C 于另一点B，若|F1B|∶|AB|=4∶5，则椭圆C 的离心率为( )
A.√3
3
B.√5
5
C.√7
7
D.1
3
答案 B
解析 由图可知|AF2|=a，|F1B|+|BF2|=2a，
根据|F1B|∶|AB|=4∶5，设|F1B|=4m，|AB|=5m，
则4m+5m-a=2a，
得m=a
3，
所以|F1B|=4 a
3 ，|AB|=5a
3 ，|BF2|=2a
3 ，
在△BF1F2中，由余弦定理得
16a
2
9
=4c2+4 a
2
9 -2·2c·2a
3 cos∠F1F2B，
在Rt△AOF2中，有cos∠F1F2B=-cos∠AF2O=-c
a，
代入上式可得16a
2
9
=4c2+4 a
2
9 +2·2c·2a
3 ·c
a⇒4 a
2
3 =20c
2
3
⇒c
2
a
2=1
5⇒e=√5
5 .
3.(多选)(2025·汉中模拟)某县为了了解取消农业税前后农民每亩地的收入(单位：万元)发生了怎样的变化，
通过抽样调查后发现取消农业税之前农民每年每亩地的收入X 服从正态分布N(1.4，s1
2)，取消之后每年每
亩地的收入Y 服从正态分布N(2.3，s2
2)，已知Y 的正态密度曲线的峰值高于X 的正态密度曲线的峰值，则(
)
A.P(X≥1.4)<P(Y≥1.4)
B.P(Y≥1.4)<P(X≥2.3)
C.P(Y≤s2)<P(Y≤s1)
D.∀n∈N，P(Y≤n)<P(X≤n)
答案 AC
解析 由正态分布的对称性得P(X≥1.4)=1
2<P(Y≥1.4)，P(Y≥1.4)>1
2>P(X≥2.3)，故A 正确，B 错误；由Y
的正态密度曲线的峰值高于X 的，且峰值越高对应方差越小，即s1>s2，故P(Y≤s2)<P(Y≤s1)，故C 正确；
如图，由于Y 的方差更小，所以其正态密度曲线递减速度更快，当n 取较大的正数时，P(Y≤n)>P(X≤n)，
故D 错误.
4.(2025·烟台模拟)(2x-x2)(1-x)6的展开式中x5的系数为 .(用数字作答)
答案 50
解析 因为(2x-x2)(1-x)6=2x(1-x)6-x2(1-x)6，
其中(1-x)6展开式的通项为Tk+1=C6
k(-x)k(0≤k≤6 且k∈N)，
所以(2x-x2)(1-x)6的展开式中含x5的项为2xC6
4(-x)4-x2C6
3(-x)3=50x5，
所以展开式中x5的系数为50.
5.(2025·临沂模拟)体育是培养学生高尚人格的重要途径之一.足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，
为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100 名学生作为样本，统计得到列联表：
喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男生
40
a
女生
b
25
合计
100
已知从这100 名学生样本中随机抽取1 个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为3
5.
(1)求a，b；
(2)根据小概率值α=0.001 的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关；
(3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取30 名，记其中男生的
人数为Z，求使事件“Z=k”概率最大的k 的值.
附：χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d )，其中n=a+b+c+d.
α
0.01
0.005
0.001
xα
6.635
7.879
10.828
解 (1)因为从这100 名学生样本中随机抽取1 个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为3
5，所以b=100×3
5
-40=20，a=100-40-25-b=15.
(2)零假设为H0：学生喜爱足球运动与性别无关.
作出如下列联表：
喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男生
40
15
55
女生
20
25
45
合计
60
40
100
χ2=100×(40×25-20×15)
2
60×40×55×45
≈8.249<10.828，
根据小概率值α=0.001 的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，
因此可以认为H0成立，即认为学生喜爱足球运动与性别无关.
(3)现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取1 名学生，该学生是男生的概率是P=40
60=2
3，则Z~B(30, 2
3)，
所以P(Z=k)=C30
k (
2
3)
k
(
1
3)
30-k
(k∈N 且0≤k≤30)，
令{
P(Z =k +1)
P(Z =k )
=
C30
k +1(
2
3)
k +1
(
1
3)
29-k
C30
k (
2
3)
k
(
1
3)
30-k
= 2(30-k )
k +1
≤1,
P(Z =k -1)
P(Z =k )
=
C30
k -1(
2
3)
k -1
(
1
3)
31-k
C30
k (
2
3)
k
(
1
3)
30-k
=
k
2(31-k ) ≤1,
解得59
3 ≤k≤62
3 ，
又k∈N 且0≤k≤30，所以k=20，
故使事件“Z=k”概率最大的k 的值为20.
[周五]
1.(2025·晋中模拟)下列频率分布直方图中，平均数大于中位数的是( )
答案 D
解析 对于A 和B，由其频率分布直方图是对称的，易得平均数等于中位数，所以A 和B 错误；对于C，
由其频率分布直方图在左边“拖尾”，易得平均数小于中位数，所以C 错误；对于D，由其频率分布直方
图在右边“拖尾”，易得平均数大于中位数，所以D 正确.
2.(2025·长沙模拟)已知函数f(x)=x2-mx+2ln x 在x=2 时取得极小值，则其导函数f'(x)的最小值为( )
A.-5
B.-3
C.-1
D.-1
2
答案 C
解析 因为f(x)=x2-mx+2ln x(x>0)在x=2 时取得极小值，
所以f'(x)=2x-m+2
x =0 在x=2 处成立.
即f'(2)=4-m+1=5-m=0，所以m=5，
当m=5 时，f'(x)=2x-5+2
x =(2 x -1)( x -2)
x
，
当x∈(
1
2 ,2)时，f'(x)<0，
当x∈(2，+∞)时，f'(x)>0，
所以f(x)在x=2 处取得极小值，故m=5.
所以原函数表达式为f(x)=x2-5x+2ln x(x>0)，
其导函数的表达式为f'(x)=2x-5+2
x ，
因为x>0，所以根据基本不等式得2x+2
x ≥2√2 x· 2
x =4，
当且仅当2x=2
x ，即x=1 时取等号，
所以导函数f'(x)的最小值为4-5=-1.
3.(多选)(2025·苏北七市调研)已知双曲线C：x
2
6 - y
2
3 =1 的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y=kx 交C 于
A，B 两点，则( )
A.|k|<√2
2
B.||AF1|-|BF1||=2√3
C.⃗A F1·⃗A F2的最小值为-3
D.F2到l 的距离的最大值为√3
答案 AC
解析 由题意知，在双曲线中，a=√6，b=√3，c=3，渐近线方程为y=±√2
2 x，要使直线y=kx 与双曲线交于
A，B 两点，需|k|<√2
2 ，故A 正确；
由双曲线的定义知||AF1|-|AF2||=2a=2√6，又点A，B 关于原点对称，所以四边形AF1BF2为平行四边形，有|
BF1|=|AF2|，所以||AF1|-|BF1||=||AF1|-|AF2||=2√6，故B 错误；
设A(m，n)，则m
2
6 -n
2
3 =1(m≤-√6或m≥√6)，得n2=1
2m2-3，
又F1(-3，0)，F2(3，0)，所以⃗A F1=(-3-m，-n)，⃗A F2=(3-m，-n)，
则⃗A F1·⃗A F2=m2-9+n2=m2-9+1
2m2-3=3
2m2-12≥3
2×(√6)2-12=-3，
即⃗A F1·⃗A F2的最小值为-3，故C 正确；
F2(3，0)，易知当k=0 时，则F2到直线l：y=0 的距离为0；
当k≠0 时，F2到直线l：y=kx，即kx-y=0 的距离d=|3 k|
√k
2+1
=√
9k
2
k
2+1
=√
9
1+ 1
k
2
，
又-√2
2 <k<√2
2 且k≠0，所以1
k
2>2，则d=√
9
1+ 1
k
2
<√
9
1+2=√3，
即F2到直线l 的距离小于√3，故D 错误.
4.(2025·安阳模拟)在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若a=4，sin A
tan B +cos A=2，则c
b的值
为 ，cos B 的取值范围为 .
答案 2 [
√3
2 ,1)
解析 由sin A
tan B +cos A=2，
得sin A cos B
sin B
+cos A=2，
即sin Acos B+cos Asin B=2sin B，
即sin(A+B)=sin C=2sin B，
由正弦定理得c=2b，即c
b=2，
而cos B=a
2+c
2-b
2
2ac
=4
2+(2b)
2-b
2
2×4×2b
=16+3b
2
16b
=1
b+3b
16 ≥2√
1
b · 3b
16 =√3
2 ，
当且仅当1
b=3b
16 ，即b=4√3
3
时取等号，
又B∈(0，π)，所以cos B<1，
故cos B 的取值范围为[
√3
2 ,1).
5.(2025·桐乡模拟)如图，已知AD∥BC∥FE，平面ABF⊥平面ADEF，AB⊥AF，AF⊥AD，
AD=2BC=2EF=2AF=2，点P 为梯形ADEF 内(包括边界)的一个动点，且BP∥平面CDE.
(1)求点P 的轨迹长度；
(2)当线段BP 最短时，直线BP 与平面BCEF 所成角θ 的正弦值为√3
6 ，求三棱锥P-CDE 的体积.
解 (1)因为平面ABF⊥平面ADEF，AB⊥AF，平面ABF∩平面ADEF=AF，AB⊂平面ABF，故AB⊥平面
ADEF，
而AF⊥AD，故可建立如图所示的空间直角坐标系，
设B(0，0，b)(b>0)，则A(0，0，0)，F(1，0，0)，E(1，1，0)，D(0，2，0)，C(0，1，b)，
因为点P 为梯形ADEF 内(包括边界)的一个动点，可设P(x，y，0)(0≤x≤1，0≤y≤2)，则⃗BP=(x，y，-
b)，
又⃗EC=(-1，0，b)，⃗DC=(0，-1，b)，
设平面CDE 的法向量为m=(x'，y'，z')，
则{
m·⃗EC =- x' +bz' =0,
m·⃗DC =- y ' +bz' =0,故可取m=(b，b，1)，
因为BP∥平面CDE，则⃗BP·m=0，
故bx+by-b=0，即x+y-1=0，
取x=0，则y=1，取y=0，则x=1，故P 的轨迹长度为√1
2+1
2=√2.
(2)取AD 的中点G，连接FG，AP，由(1)可得线段FG 即为P 的轨迹.
AB⊥平面ADEF，而AP⊂平面ADEF，
故AB⊥AP，因为AP2=BP2-AB2，若线段BP 最短，则AP 最短，此时有AP⊥FG，
而AF=AG=1，故点P 为FG 的中点，故P(
1
2 , 1
2 ,0)，
设平面BCEF 的法向量为n=(u，v，t)，而⃗EF=(0，-1，0)，⃗BF=(1，0，-b)，
故{
n·⃗EF =- v =0,
n·⃗BF =u-bt =0,故可取n=(b，0，1)，
因为直线BP 与平面BCEF 所成角θ 的正弦值为√3
6 ，
而⃗BP=(
1
2 , 1
2 ,-b)，则得√3
6 =|cos〈⃗BP，n〉|=|⃗BP·n|
|⃗BP||n| =|
- b
2
√b
2+ 1
2 ×√b
2+1|
，
故2b4-3b2+1=0，解得b=1 或b=√2
2 ，
又V 三棱锥P-CDE=V 三棱锥C-PED，易得BC∥平面ADEF，则点C 到平面PDE 的距离为1 或√2
2 ，
又⃗ED=(-1，1，0)，⃗EP=(- 1
2 ,- 1
2 ,0)，⃗
ED·⃗EP=1
2-1
2=0，即ED⊥EP，
又|⃗ED|=√2，|⃗EP|=√2
2 ，
故S△PED=1
2×√2
2 ×√2=1
2，
故三棱锥P-CDE 的体积为1
3×1
2×1=1
6或1
3×1
2×√2
2 =√2
12 .
[周六]
1.(2025·滨州模拟)在复平面内，点Z(1，-2)对应的复数为z，则|
1-i
z |等于( )
A.2
5
B.√2
5
C.√10
5
D.√5
5
答案 C
解析 因为在复平面内，点Z(1，-2)对应的复数为z，所以z=1-2i，所以1-i
z = 1-i
1-2i= (1-i)(1+2i)
(1-2i)(1+2i)=3
5+1
5
i，
则|
1-i
z |=√(
3
5)
2
+(
1
5)
2
=√10
5 .
2.(2025·湘潭模拟)设函数f(x)= x ln x
2 x -3的两个极值点分别为x1，x2，则过(x1，f(x1))，(x2，f(x2))两点的直线的
斜率为( )
A.1
3
B.2
3
C.3
4
D.3
2
答案 A
解析 f'(x)=2 x -3ln x -3
(2 x -3)
2
(x>0)，故x1，x2满足2x1-3ln x1-3=0，2x2-3ln x2-3=0，
即ln x1=1
3(2x1-3)，ln x2=1
3(2x2-3).
而f(x1)= x1ln x1
2 x1-3 = x1· 1
3 (2 x1-3)
2 x1-3
=1
3x1，同理f(x2)=1
3x2，故过(x1，f(x1))，(x2，f(x2))两点的直线的斜率k=
1
3 x1- 1
3 x2
x1- x2
=1
3.
3.(多选)(2025·济南模拟)在四棱锥S-ABCD 中，SA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，SA=AB=AD=1
2
BC=3，P 为平面SAB 内一动点，且直线CP，DP 分别与平面SAB 所成的角相等，则( )
A.BC⊥BP
B.平面SAB 与平面SCD 夹角的正切值为√2
C.点P 到平面SCD 距离的最大值为√6+√3
3
D.当三棱锥P-ABC 的体积最大时，其外接球的表面积为61π
答案 ABD
解析 在四棱锥S-ABCD 中，SA⊥底面ABCD，AB⊥AD，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标
系，
则A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(3，6，0)，D(0，3，0)，S(0，0，3)，
对于A，⃗AB=(3，0，0)，⃗AS=(0，0，3)，⃗BC=(0，6，0)，则⃗AB·⃗BC=0，⃗AS·⃗BC=0，
则AB⊥BC，SA⊥BC，而AB∩SA=A，AB，SA⊂平面SAB，因此BC⊥平面SAB，又BP⊂平面SAB，则
BC⊥BP，A 正确；
对于B，平面SAB 的一个法向量为⃗BC=(0，6，0)，⃗DC=(3，3，0)，⃗DS=(0，-3，3)，
设平面SCD 的法向量n=(a，b，c)，
则{⃗
DC ·n=3a+3b=0,⃗
DS·n=-3b+3c =0,
取c=1，得n=(-1，1，1)，
设平面SAB 与平面SCD 的夹角为α，则cos α=|⃗BC ·n|
|⃗BC ||n|
= 6
6√3= 1
√3，tan α=√1-co s
2α
cosα
=√2，B 正确；
对于C，因为AD∥BC，所以AD⊥平面SAB，CP，DP 与平面SAB 所成的角分别为∠CPB，∠DPA，
由∠CPB=∠DPA，得BC
BP = AD
AP ，则BP=2AP，设点P(x，0，z)，则(x-3)2+z2=4x2+4z2，
整理得(x+1)2+z2=4，令P(2cos θ-1，0，2sin θ)，
则⃗DP=(2cos θ-1，-3，2sin θ)，
则点P 到平面SCD 的距离d=|2sinθ -2cosθ -2|
√3
=|2√2sin(θ - 45°)-2|
√3
≤2√6+2√3
3
，
当且仅当sin(θ-45°)=-1 时取等号，C 错误；
对于D，因为S△ABC=9，所以当且仅当点P 到直线AB 的距离最大，即点P 坐标为(-1，0，±2)时，三棱锥P-
ABC 的体积最大，此时PB=2√5，PA=√5，sin∠PBA= 2
PB = 1
√5，
△PAB 外接圆半径r=
PA
2sin ∠PBA =5
2，而△ABC 外接圆圆心为AC 的中点，
令过此中点与平面ABC 垂直的直线为l，则三棱锥P-ABC 外接球球心O∈l(图略)，
可得l∥平面SAB，因此点O 到平面SAB 的距离d'=1
2BC=3，
球半径R=√r
2+d '
2=√61
2 ，所以外接球的表面积为4πR2=61π，D 正确.
4.(2025·赣州模拟)若函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间[
π
6 , π
2]上单调，且f (
2π
3 )=f (
π
2)=-f (
π
6)，则正数ω 的值为
.
答案 2
解析 由函数在[
π
6 , π
2]上单调，则T
2 ≥π
2 -π
6 =π
3 ，又f (
2π
3 )=f (
π
2)=-f (
π
6)，
1
2×π
3 +π
6 =π
3 ，
所以函数f(x)的图象的一个对称中心为(
π
3 ,0)，
又2π
3 -π
2 =π
6 <T
2 ，所以函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=1
2×π
6 +π
2 =7 π
12 ，
且T
4 =7 π
12 -π
3 =π
4 ，
所以T=2π
|ω|=π，可得|ω|=2，故正数ω 的值为2.
5.(2025·石家庄模拟)某短视频平台在2025 年上半年推出了新一代的“AI 推荐算法”，为了检测受众情况，
该公司从点赞的用户中随机选取100 名志愿者统计他们的年龄，并按年龄差异绘制频率分布直方图.
(1)估计这100 名志愿者年龄的中位数(结果精确到0.01)和平均数；
(2)依据上述调研结果，按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这100 名志愿者中随机选取20
名志愿者参加座谈会，为了更好地了解年轻人群体，需要从参加座谈会的年龄在[25，45)的人中随机选出3
人作为代表发言，设随机变量X 表示年龄在[25，35)的志愿者人数，求X 的分布列及期望.
解 (1)由频率分布直方图可知，因为前两组的频率之和为(0.01+0.015)×10=0.25，前三组的频率之和为
(0.01+0.015+0.035)×10=0.6，所以中位数位于区间[35，45)中，中位数的估计值为35+10×0.5-0.25
0.35
=35+
50
7 ≈42.14；
由频率分布直方图可知，样本平均数的估计值为
20×0.01×10+30×0.015×10+40×0.035×10+50×0.03×10+60×0.01×10=41.5，
故这100 名志愿者年龄的中位数和平均数分别为42.14 和41.5.
(2)由题可知，从中选取的20 名志愿者中，年龄在[25，45)的有20×(0.015+0.035)×10=10(人)，其中年龄在
[25，35)的有20×0.015×10=3(人).
由题知年龄在[25，35)的志愿者人数X 服从超几何分布，X 的所有可能取值为0，1，2，3，
P(X=0)=C3
0C7
3
C10
3
= 35
120= 7
24 ，
P(X=1)=C3
1C7
2
C10
3
=3×21
120 =21
40，
P(X=2)=C3
2C7
1
C10
3
=3×7
120 = 7
40，
P(X=3)=C3
3C7
0
C10
3
= 1
120，
所以X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
7
24
21
40
7
40
1
120
则E(X)=0× 7
24 +1×21
40+2× 7
40+3× 1
120= 9
10.
