第七周
[周一]
1.(2025·湘潭模拟)已知椭圆C：x
2
m
2+y2=1(m>0)的离心率为√3m，则C 的短轴长为( )
A.1
2
B.1
C.2
D.3
答案 B
解析 依题意，0<√3m<1，即0<m<√3
3 ，则C 的焦点在y 轴上，因此√3m=√1-m
2
1
，所以m=1
2，故C 的短
轴长为2m=1.
2.(2025·南京模拟)在四边形ABCD 中，AB∥DC，A=90°，AB=AD=2CD=2，E 是线段AD 的中点，F 是线段
BE 上的动点，则⃗FB·⃗FC的最小值为( )
A.-4
3
B.-5
4
C.-4
5
D.-7
9
答案 C
解析 以点A 为坐标原点，AB，AD 分别为x，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，
因为AB=AD=2CD=2，E 是线段AD 的中点，
所以A(0，0)，B(2，0)，C(1，2)，D(0，2)，E(0，1)，
则⃗AB=(2，0)，⃗AE=(0，1)，
而F 是线段BE 上的动点，
从而可设⃗AF=λ⃗AB+(1-λ)⃗AE=(2λ，0)+(0，1-λ)=(2λ，1-λ)，λ∈[0，1]，
所以点F 的坐标是(2λ，1-λ)，
所以⃗FB=(2-2λ，-1+λ)，⃗FC=(1-2λ，1+λ)，⃗
FB·⃗FC=(2-2λ)(1-2λ)+(-1+λ)(1+λ)
=4λ2-6λ+2+λ2-1=5λ2-6λ+1
=5(λ - 3
5)
2
-4
5 ，λ∈[0，1]，
所以当λ=3
5时，⃗FB·⃗FC取得最小值，最小值是-4
5 .
3.(多选)(2025·淄博模拟)记Sn为数列{an}的前n 项和，已知an={
2
n,n 为奇数,
n
2 +1,n 为偶数,则( )
A.2 025 是数列{an}中的项
B.数列{a2n-1}是公比为2 的等比数列
C.S6=51
D.若cn=a2n，则数列{
1
cncn+1}的前n 项和小于1
2
答案 ACD
解析 对于A，当n 为偶数时，令n
2+1=2 025⇒n=4 048，符合题意，故A 正确；
对于B，由题知a2n-1=22n-1，a2n+1=22n+1⇒a2n+1
a2n-1
=4，
故数列{a2n-1}是公比为4 的等比数列，故B 错误；
对于C，由题知a1=2，a2=2，a3=8，a4=3，a5=32，a6=4，
所以S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=51，故C 正确；
对于D，cn=a2n=2n
2 +1=n+1，
则
1
cncn+1=
1
(n+1)(n+2)= 1
n+1- 1
n+2，
设数列{
1
cncn+1}的前n 项和为Tn，
则Tn=1
2-1
3+1
3-1
4 +…+ 1
n+1- 1
n+2=1
2- 1
n+2<1
2，故D 正确.
4.(2025·保定模拟)已知直线y=x+m(m>0)是圆C：(x+1)2+y2=2 与曲线y=1
2ln(2x-1)+a 的公切线，则a+m=
.
答案 7
解析 因为直线y=x+m(m>0)与圆C：(x+1)2+y2=2 相切，
所以|m -1|
√2
=√2，解得m=3(负根舍去).
设函数f(x)=1
2ln(2x-1)+a，
则由f'(x)=
1
2 x -1=1，得x=1，
则f(1)=1
2ln(2-1)+a=1+3，
解得a=4，故a+m=7.
5.(2025·烟台模拟)在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且sin B(acos C+ccos A)=bcos B.
(1)求B；
(2)设D 为边BC 的中点，若cos C=3
5，△ABC 的面积为14，求AD 的长.
解 (1)由正弦定理可得sin B(sin Acos C+sin Ccos A)=sin Bcos B，
即sin Bsin(A+C)=sin Bcos B.
在△ABC 中，由A+B+C=π，得sin(A+C)=sin(π-B)=sin B，
所以sin2B=sin Bcos B，
又B∈(0，π)，sin B≠0，
所以tan B=1，所以B=π
4 .
(2)因为cos C=3
5，所以sin C=4
5 ，
所以sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=7√2
10 ，
所以a
b=sin A
sin B =7
5，
即b=5
7a，
因为S△ABC=1
2absin C=1
2×a×5
7 a×4
5 =14，即a2=49，所以a=7，
即CD=7
2，AC=5
7 ×7=5，
在△ACD 中，由余弦定理可得
AD2=CD2+AC2-2CD·AC·cos C=(
7
2)
2
+25-2×7
2×5×3
5=65
4 ，
所以AD=√65
2 .
[周二]
1.(2025·豫西北教研联盟质检)若复数z 满足z·z=1，则|z-2i|的取值范围为( )
A.[1，√2]
B.[1，√3]
C.[1，2]
D.[1，3]
答案 D
解析 由z·z=|z|2=1，即z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，1 为半径的圆上，由|z-2i|表示圆上的点到
点(0，2)的距离，结合圆的性质，易知|z-2i|的取值范围为[1，3].
2.(2025·安阳模拟)已知圆锥的顶点为V，母线VA，VB 所成角的余弦值为3
5，VA 与圆锥底面所成的角为π
3 ，
若圆锥的侧面积为2π，则△VAB 的面积为( )
A.6
5
B.8
5
C.8√3
5
D.16
5
答案 B
解析 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由VA 与圆锥底面所成的角为π
3 ，知l=2r，
又πrl=2π，所以r=1，l=2，
设VA，VB 所成的角为θ，由cos θ=3
5，得sin θ=4
5 ，
所以△VAB 的面积为S=1
2l2sin θ=1
2×22×4
5 =8
5.
3.(多选)(2025·湖北省鄂东南联盟模拟)已知函数f(x)={
x e
x , x<1,
e
x
x
3 , x ≥1, 下列选项正确的是( )
A.0 是函数f(x)的零点
B.函数f(x)仅有一个极小值-1
e
C.若1<x1<3<x2，且f(x1)=f(x2)，则x1x2<9
D.若关于x 的方程[f(x)]2-2af(x)=0 恰有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是(0, e
3
54)∪(
e
2 ,+∞)
答案 AC
解析 对于选项A，f(0)=0，选项A 正确；
对于选项B，当x<1 时，f'(x)=(x+1)ex，
可得当x<-1 时，f(x)单调递减；
当-1<x<1 时，f(x)单调递增，此时极小值为f(-1)=-1
e .
当x≥1 时，f'(x)=e
x( x -3)
x
4
，
当1≤x<3 时，f(x)单调递减；当x>3 时，f(x)单调递增，此时极小值为f(3)= e
3
27 ，
y=f(x)的图象如图，
所以函数f(x)的极小值为-1
e 和e
3
27 ，选项B 错误；
对于选项C，设h(t)=t-3ln t-9
t +3ln9
t ，1<t<3，
求导得h'(t)=1-3
t + 9
t
2-3
t =(t -3)
2
t
2
>0，所以h(t)在(1，3)上单调递增，
所以h(t)<h(3)=3-3ln 3-3+3ln 3=0，
即t-3ln t<9
t -3ln9
t .
若1<x1<3<x2，则x1-3ln x1=lne
x1
x1
3 =lne
x2
x2
3 < 9
x1
-3ln 9
x1
=ln
e
9
x1
(
9
x1)
3，
因为x2，9
x1
>3，f(x)在(3，+∞)上单调递增，
所以3<x2< 9
x1
，即x1x2<9，选项C 正确；
对于选项D，关于x 的方程[f(x)]2-2af(x)=0 有两个不相等的实数根⇔关于x 的方程f(x)[f(x)-2a]=0 有两个不相
等的实数根⇔关于x 的方程f(x)-2a=0 有一个非零的实数根⇔函数y=f(x)与直线y=2a 的图象有一个公共点，
且x≠0，
又f(1)=e，结合图象易知2a=-1
e 或0<2a< e
3
27 或2a>e，
即a=- 1
2e 或0<a< e
3
54 或a>e
2，
故实数a 的取值范围为{- 1
2e}∪(0, e
3
54)∪(
e
2 ,+∞)，选项D 错误.
4.(2025·石家庄模拟)过点P(2，1)作直线与抛物线y2=8x 相交于A，B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则直
线AB 的斜率是 .
答案 4
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由点P 是线段AB 的中点得直线AB 的斜率一定存在，则x1≠x2，
∵点P 是线段AB 的中点，
则x1+ x2
2
=2，y1+ y2
2
=1，
∴x1+x2=4，y1+y2=2，
又{
y1
2=8 x1,
y2
2=8 x2,
两式作差可得(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2)，
即
y1- y2
x1- x2
=
8
y1+ y2，
又kAB= y1- y2
x1- x2
，
∴kAB=4.
5.(2025·东北三省部分高中联盟调研)设数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2
an
=an+1
2
+1
an
2+1
.
(1)求a3，并证明：an+1=an+ 1
an
；
(2)证明：63<a2 025<78.
(1)解 因为数列{an}满足a1=1，
a2=2，an+2
an
=an+1
2
+1
an
2+1
，
所以a3=a1×a2
2+1
a1
2+1
=1×2
2+1
1
2+1
=5
2，
又
an+2
an+1
2
+1=
an
an
2+1，所以
an+2an+1
an+1
2
+1 =
anan+1
an
2+1 ，
所以{
anan+1
an
2+1 }是常数列，
所以
anan+1
an
2+1 =
a1a2
a1
2+1=2
2=1，
所以an+1=an
2+1
an
=an+ 1
an
.
(2)证明 因为an+1=an+ 1
an
，
所以an+1
2
=an
2+2+
1
an
2，
所以an+1
2
-an
2=2+
1
an
2>2>0，
因为a1=1，a2=2 都大于零，
所以an=an-1+ 1
an-1
>0(n≥2)，
所以an+1-an= 1
an
>0，
所以{an}是递增数列，
又a1=1，所以an≥2(n≥2)，
所以a2
2-a1
2=3，an+1
2
-an
2=2+
1
an
2<3(n≥2)，
即2<an+1
2
-an
2<3，…，2<a3
2-a2
2<3，2<a2
2-a1
2=3，
以上n 个式子累加计算得2n<an+1
2
-a1
2<3n，
所以2×2 024<a2 025
2
-1<3×2 024，
所以4 049<a2 025
2
<6 073，
又632=3 969<4 049，782=6 084>6 073，
所以632<a2 025
2
<782，
所以63<a 2 025<78.
[周三]
1.(2025·三明质检)现拟派六位大学生村官对五个贫困村进行驻村帮扶，每位大学生村官只去一个贫困村，
每个贫困村至少派一位大学生村官，其中甲、乙两位大学生村官派遣至不同的贫困村，则不同的派遣方案
共有( )
A.1 440 种
B.1 680 种
C.1 800 种
D.2 400 种
答案 B
解析 先考虑将六位大学生村官分派到五个贫困村的分法种数，
则五个贫困村分派的村官人数分别为2，1，1，1，1，
不同的派遣方案种数为C6
2 A5
5=15×120=1 800；
接下来考虑甲、乙两位大学生村官分派在同一个贫困村，则不同的派遣方案种数为A5
5=120，
由间接法可知，甲、乙两位大学生村官派遣至不同的贫困村，则不同的派遣方案共有1 800-120=1 680(种).
2.(2025·浙江强基联盟模拟)在棱长为1 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P，Q 分别为棱AA1，C1D1上的动点
(可与端点重合)，若PQ∥平面AB1C，则线段PQ 的长度为( )
A.√5
2
B.√2
C.√7
2
D.√3
答案 B
解析 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
A1C1∥AC，
又AC⊂平面AB1C，A1C1⊄平面AB1C，
所以A1C1∥平面AB1C，
因为点P，Q 分别为棱AA1，C1D1上的动点(可与端点重合)，PQ∥平面AB1C，
所以PQ 即为A1C1，因此PQ=√2.
3.(多选)(2025·汕头模拟)已知数列{an}的前n 项和为Sn，若a1=a2=4，且∀n≥2，n∈N*都有4(Sn-Sn-1)=Sn+1，
则( )
A.数列{Sn}是等比数列
B.数列{an}是等比数列
C.a6=32
D.数列{lo g2an}的前10 项和为56
答案 AD
解析 由题设得，当n≥2 时，4(Sn-Sn-1)=Sn+1，
可得Sn+1-2Sn=2(Sn-2Sn-1)，
又S2-2S1=4+4-2×4=0，所以Sn+1-2Sn=0，
所以
Sn+1
Sn
=2(n≥2)，
又
S2
S1
=4+ 4
4
=2，
所以
Sn+1
Sn
=2(n∈N*)，
所以{Sn}是以S1=4 为首项，2 为公比的等比数列，故A 正确；
所以Sn=4·2n-1=2n+1，
当n≥2 时，an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n，
所以an={
2
n,n≥2,
4 ,n=1,
所以数列{an}不是等比数列，故B 错误；
所以a6=64，故C 错误；
又log2an={
n,n≥2,
2,n=1,
所以{lo g2an}的前10 项和为2+(2+3+…+10)=56，故D 正确.
4.(2025·长沙模拟)在△ABC 中，记角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a-c
a+b=sin A -sin B
sinC
，且
a+c=4，则△ABC 面积的最大值为 .
答案 √3
解析 由已知及正弦定理，得a-c
a+b=a-b
c
，
即(a-c)c=a2-b2，即a2+c2-b2=ac.
由余弦定理得cos B=a
2+c
2-b
2
2ac
=1
2，
因为B∈(0，π)，则B=π
3 .
因为a+c=4，则S△ABC=1
2acsin B=√3
4 ac≤√3
4 (
a+c
2 )
2
=√3，
当且仅当a=c=2 时取等号，所以△ABC 面积的最大值为√3.
5.(2025·东北三省部分高中联盟调研)已知函数f(x)=xln x+3(a+1)x.
(1)讨论f(x)的单调区间和极值点个数；
(2)若f(x)+2a√x+2≥0 恒成立，求实数a 的取值范围.
解 (1)由f(x)=xln x+3(a+1)x，x>0，
则f'(x)=ln x+1+3(a+1)=ln x+3a+4，
令f'(x)>0，得x>e-3a-4；
令f'(x)<0，得0<x<e-3a-4，
所以函数f(x)的单调递减区间为(0，e-3a-4)，单调递增区间为(e-3a-4，+∞)，
当x=e-3a-4时，函数f(x)取得极小值，无极大值，因此只有一个极值点.
(2)由f(x)+2a√x+2≥0 恒成立，x>0，
得xln x+3(a+1)x+2a√x+2≥0 恒成立，
即-a≤3 x + x ln x +2
3 x +2√x
恒成立，
下面证明：xln x+2≥2√x，x>0，
要证xln x+2≥2√x，即证xln x≥2√x-2，
即证1
2xln x≥√x-1，
即证xln√x≥√x-1，
即证x2ln x≥x-1，
设g(x)=x2ln x-x+1，x>0，
则g'(x)=2xln x+x-1，设h(x)=2xln x+x-1，x>0，
则h'(x)=2ln x+3，
令h'(x)>0，得x>e
- 3
2；
令h'(x)<0，得0<x<e
- 3
2，
则函数h(x)在(0,e
- 3
2)上单调递减，在(e
- 3
2 ,+∞)上单调递增，
又h(1)=0，且当x→0 时，h(x)<0，
则当x∈(0，1)时，h(x)=g'(x)<0，函数g(x)单调递减，
当x∈(1，+∞)时，h(x)=g'(x)>0，函数g(x)单调递增，
则g(x)≥g(1)=0，即x2ln x≥x-1，则xln x+2≥2√x，x>0，成立.
所以3 x + x ln x +2
3 x +2√x
≥3 x +2√x
3 x +2√x =1，当x=1 时等号成立，
则-a≤1，即a≥-1，即实数a 的取值范围为[-1，+∞).
[周四]
1.(2025·青岛模拟)命题“∀x>y，x2>y2”的否定为( )
A.∀x>y，x2≤y2
B.∀x<y，x2≤y2
C.∃x<y，x2≤y2
D.∃x>y，x2≤y2
答案 D
解析 命题“∀x>y，x2>y2”的否定为“∃x>y，x2≤y2”.
2.已知F1，F2是双曲线x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的
中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是( )
A.√3+1
2
B.√3+2
2
C.√3+1
D.4+2√3
答案 C
解析 因为|F1F2|=2c，所以正三角形MF1F2的边长为2c，
所以点M 在y 轴上，且|MO|=√3c，所以M(0，±√3c)，设F1(-c，0)，
所以MF1的中点坐标为(- c
2 ,± √3
2 c).
因为MF1的中点在双曲线上，代入得c
2
4 a
2-
3c
2
4(c
2-a
2)=1，
化简得e4-8e2+4=0，
解得e2=4±2√3，又e2>1，
解得e=√4 +2√3=√3+1.
3.(多选)(2025·临沂模拟)在三棱锥A-BCD 中，AD=2√3，AB=BC=CD=2，AB⊥BC，BC⊥CD，则( )
A.三棱锥A-BCD 的体积为4
3
B.三棱锥A-BCD 外接球的表面积为3π
C.过BC 的中点E 的平面截三棱锥A-BCD 的外接球所得最小截面的半径为1
D.当P∈AC，Q∈BD 时，PQ 的最小值为2√3
3
答案 ACD
解析 由题设AC=2√2，AC2+CD2=AD2，
即DC⊥AC，又AC∩BC=C，AC，BC⊂平面ABC，
所以DC⊥平面ABC，故可将其补全为一个正方体，
其中AB=BC=CD=2 为三条棱，AD=2√3为体对角线，如图，
由AB⊥BC，BC⊥CD，则V 三棱锥A-BCD=1
3×2×1
2×2×2=4
3 ，A 正确；
由图，易知三棱锥D-ABC 的外接球，即为正方体的外接球，且球心为AD 的中点O，
所以外接球的半径R=√3，故其表面积为4πR2=12π，B 错误；
要使过BC 的中点E 的平面截三棱锥A-BCD 的外接球所得截面的半径最小，
连接OE，只需截面与OE 垂直即可，此时最小半径为r=√R
2-O E
2，易知OE=√2，所以r=√3-2=1，C 正
确；
构建如图所示的空间直角坐标系，又P∈AC，Q∈BD，设P(a，a，0)，Q(2，b，b)，a>0，b>0，
则PQ=√(a-2)
2+(a-b)
2+b
2
=√2a
2- 4 a+ 4 -2ab+2b
2
=√2(
a
2 -b)
2
+ 3
2(a- 4
3)
2
+ 4
3
，
所以当a=4
3 ，b=2
3时，PQmin=2√3
3
，D 正确.
4.(2025·菏泽模拟)已知向量a=(1，-1)，b=(-3，1)，若ka+b 与a-b 垂直，则实数k 的值为 .
答案 7
3
解析 ka+b=(k-3，-k+1)，a-b=(4，-2)，
由题意(ka+b)·(a-b)=4(k-3)-2(-k+1)=0，
可得4k-12+2k-2=0，得k=7
3.
5.(2025·安顺检测)飞盘运动是一项入门简单且具有极强的趣味性和社交性的体育运动，目前已经成为了年
轻人运动的新潮流.某俱乐部为了解年轻人爱好飞盘运动是否与性别有关，对该地区的年轻人进行了简单随
机抽样，得到如下列联表：
性别
飞盘运动
合计
不爱好
爱好
男
6
16
22
女
4
24
28
合计
10
40
50
(1)在上述爱好飞盘运动的年轻人中按照性别采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取10 人，再从这10
人中随机选取3 人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X 的分布列和数学期望；
(2)依据小概率值α=0.01 的独立性检验，能否认为爱好飞盘运动与性别有关联？如果把上表中所有数据都
扩大到原来的10 倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断爱好飞盘运动与性别之间的关联性，结
论还一样吗？请解释其中的原因.
附：χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d )，其中n=a+b+c+d.
α
0.1
0.01
0.001
xα
2.706
6.635
10.828
解 (1)样本中爱好飞盘运动的年轻人中男性有16 人，女性有24 人，比例为2∶3 ，
按照性别采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取10 人，则抽取男性4 人，女性6 人.
随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，
P(X=0)= C6
3
C10
3 =1
6，
P(X=1)=C4
1C6
2
C10
3
=1
2，
P(X=2)=C4
2C6
1
C10
3
= 3
10，
P(X=3)= C4
3
C10
3 = 1
30，
随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
1
6
1
2
3
10
1
30
随机变量X 的数学期望E(X)=0×1
6+1×1
2+2× 3
10+3× 1
30=6
5.
(2)零假设为H0：爱好飞盘运动与性别无关联.
根据列联表中的数据，经计算得到χ2=50×(6×24 - 4×16)
2
10×40×22×28
≈1.299<6.635=x0.01，
根据小概率值α=0.01 的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为爱好飞
盘运动与性别无关联.
将列联表中所有数据都扩大到原来的10 倍，
则χ'2=500×(60×240- 40×160)
2
100×400×220×280
≈12.99>6.635=x0.01，
根据小概率值α=0.01 的独立性检验，推断H0不成立，即认为爱好飞盘运动与性别有关联，此推断犯错误
的概率不大于0.01.
所以结论不一样，原因是每个数据都扩大到原来的10 倍，相当于样本量变大为原来的10 倍，导致推断结
论发生了变化.
[周五]
1.(2025·乌鲁木齐模拟)已知Sn是等差数列{an}的前n 项和，若S4=S11，a4=1，则a12等于( )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
答案 B
解析 因为S4=S11，
则a5+a6+…+a11=7a8=0，所以a8=0，
又a4=1，
所以数列{an}的公差d=a8-a4
8- 4 =-1
4 ，
所以an=a8+(n-8)d=-1
4 (n-8)，
则a12=-1
4 ×(12-8)=-1.
2.(2025·龙岩检测)已知f(x)=|2x-1|，当a<b<c 时，有f(a)>f(c)>f(b)，则必有( )
A.a<0，b<0，c<0
B.a<0，b>0，c>0
C.2-a<2c
D.1<2a+2c<2
答案 D
解析 画出f(x)=|2x-1|的大致图象，如图所示，
对于A，a<0，b<0，c<0 不能同时成立，因为当x<0 时，函数f(x)单调递减，得不到f(a)>f(c)>f(b)，故A 错
误；
对于B，如图，当a<b<c 时，有f(a)>f(c)>f(b)，则b 可能小于零，可能等于零，也可能大于零，故B 错误；
对于C，如图，-a>c>0，则2-a>2c，故C 错误；
对于D，由图象可知，a<0，c>0，所以0<2a<1，2c>1，
又f(a)>f(c)，所以|2a-1|>|2c-1|，即1-2a>2c-1，
所以1<2a+2c<2，故D 正确.
3.(多选)(2025·攀枝花模拟)小张同学对具有线性相关的两个变量x 和y 进行了统计分析，得到了下表，其中
一些数据丢失了，只记得这组数据拟合出的y 关于x 的经验回归方程为y
^ =0.65x-1.8，若a，b，c 成等差数
列，则( )
x
4
6
8
10
12
y
a
2
b
c
6
A.变量x 与y 的样本相关系数r<0
B.b=3
C.当x=6 时，残差为-0.1
D.当x=20 时，y 的预测值为11.2
答案 BCD
解析 由表格中的数据可计算平均数
x=4+6+8+10+12
5
=8，
y=a+2+b+c +6
5
=8+a+b+c
5
，
又因为a，b，c 成等差数列，所以a+c=2b，
则y=8+3b
5
，
根据经验回归直线y
^ =0.65x-1.8 必过点(x，y)，
则8+3b
5
=0.65×8-1.8，解得b=3，故B 正确；
由于0.65>0，所以两个变量是正相关，则样本相关系数r>0，故A 错误；
当x=6 时，y
^ =0.65×6-1.8=2.1，所以残差为2-2.1=-0.1，故C 正确；
当x=20 时，y
^ =0.65×20-1.8=11.2，所以y 的预测值为11.2，故D 正确.
4.(2025·汉中模拟)已知函数f(x)的定义域为R，若f(x-2)=f(x+4)-6，f(3)=2，则f(2 025)= .
答案 2 024
解析 ∵f(x-2)=f(x+4)-6，
∴f(x+4)=f(x-2)+6，即f(x+6)=f(x)+6，
∴f(2 025)=f(2 019)+6=f(2 013)+2×6=…=f(3)+337×6=2 024.
5.已知椭圆x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为√3
2 ，A，B 分别为椭圆的左、右顶点，C 为椭圆的上顶点，且⃗CA·⃗
CB=-3.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点E(1，0)作斜率不为0 的直线交椭圆于M，N 两点，直线MA 与NB 相交于点P.
①证明：点P 在定直线上；
②求∠APB 的最大值.
(1)解 由题意知，⃗CA=(-a，-b)，⃗
CB=(a，-b)，
所以⃗CA·⃗CB=-a2+b2=-c2=-3，
即c=√3，
又e=c
a=√3
2 ，
所以a=2，b=√a
2-c
2=1，
所以椭圆的标准方程为x
2
4 +y2=1.
(2)①证明 由于直线MN 过点E(1，0)且斜率不为0，
所以可设直线MN 的方程为x=my+1，
由{
x =my +1,
x
2
4 + y
2=1,
得(m2+4)y2+2my-3=0，易知Δ>0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1+y2=- 2m
m
2+ 4 ，y1y2=-
3
m
2+ 4 ，
所以my1y2=3
2(y1+y2).
因为椭圆的左、右顶点分别为A(-2，0)，B(2，0)，
所以直线MA 的方程为y=
y1
x1+2(x+2)，
直线NB 的方程为y=
y2
x2-2(x-2)，
所以x +2
x -2=
y2( x1+2)
y1( x2-2)=
y2(m y1+3)
y1(m y2-1)
=
3
2 ( y1+ y2)+3 y2
3
2 ( y1+ y2)- y1
=
3(
1
2 y1+ 3
2 y2)
1
2 y1+ 3
2 y2
=3，
解得x=4，所以点P 在定直线x=4 上.
②解 设直线MA，NB 的倾斜角分别为α，β，则∠APB=|β-α|，
由①知tan β
tan α =
y2
x2-2
y1
x1+2
=
y2( x1+2)
y1( x2-2)=3，
所以tan β=3tan α，
所以tan∠APB=|tan(β-α)|
=|
tan β - tan α
1+ tan β tan α|= 2|tan α|
1+3tan
2α
=
2
1
|tan α| +3|tan α|≤ 2
2√3=√3
3 ，
当且仅当|tan α|=√3
3 时取等号，所以∠APB 的最大值为π
6 .
[周六]
1.(2025·东北三省部分高中联盟调研)已知数列{an}的通项公式为an=(-1)n，则数列{an}的前2 025 项的下四分
位数是( )
A.1
B.-1
C.0
D.1
2
答案 B
解析 由题意可得数列{an}的前2 025 项从小到大排列为前1 013 项是-1，后1 012 项是1，又2
025×0.25=506.25，所以第507 项为-1，所以数列{an}的前2 025 项的下四分位数是-1.
2.(2025·北京市西城区模拟)已知函数f(x)={
4 x - 4 a, x ≤1,
x
2-2ax +3, x>1,若对于任意的x∈R，都有f(x+2)>f(x)，那么实
数a 的取值范围是( )
A.[-4，4)
B.[-4，2]
C.(-∞，4)
D.(-∞，2]
答案 B
解析 ①若x+2≤1，即x≤-1，
此时f(x+2)-f(x)=4x+8-4a-4x+4a=8>0，满足要求，此时a∈R；
②若x>1，则x+2>3，
此时f(x+2)-f(x)=(x+2)2-2a(x+2)+3-x2+2ax-3=4x+4-4a>0，
故a<x+1 恒成立，其中x+1>2，故a≤2；
③若x+2>1 且x≤1，即-1<x≤1，
此时f(x+2)-f(x)=(x+2)2-2a(x+2)+3-4x+4a
=x2-2ax+7=(x-a)2+7-a2，
令g(x)=(x-a)2+7-a2，对称轴为x=a，
若a≤-1，此时g(x)=(x-a)2+7-a2在(-1，1]上单调递增，
故只需g(-1)≥0，即2a+8≥0，解得a≥-4，故-4≤a≤-1；
若-1<a<1，此时g(x)=(x-a)2+7-a2在(-1，a)上单调递减，在(a，1)上单调递增，
故g(x)min=g(a)=7-a2，
令7-a2>0，解得-√7<a<√7，
故-1<a<1；
若a≥1，此时g(x)=(x-a)2+7-a2在(-1，1]上单调递减，
故只需g(1)>0，即-2a+8>0，解得a<4，
故1≤a<4.
综上，实数a 的取值范围为[-4，2].
3.(多选)将抛物线C：y2=2px(p>0)绕其顶点分别逆时针旋转90°，180°，270°后所得的三条曲线与C 围成的
图形称作花瓣曲线(如图中阴影区域)，A，B 为C 与其中两条曲线的交点，若p=2，则( )
A.开口向上的抛物线的方程为y=4x2
B.|AB|=8
C.直线x+y=t 截花瓣曲线第一象限部分的弦长最大值为√2
D.阴影区域的面积不大于10π
答案 BCD
解析 对于A，若p=2，则抛物线C：y2=4x，
将抛物线C：y2=4x 绕其顶点逆时针旋转90°，可得抛物线的方程为x2=4y，
即y=1
4 x2，开口向上，故A 错误；
对于B，抛物线C 绕其顶点分别逆时针旋转180°，270°所得仍为抛物线，方程分别为y2=-4x，x2=-4y，
由{
y
2= 4 x ,
x
2= 4 y ,解得{
x =0,
y =0 或{
x = 4 ,
y = 4 ,
则A(4，4)，由对称性可得B(4，-4)，
所以|AB|=√(4 - 4)
2+(- 4 - 4)
2=8，故B 正确；
对于C，设直线y=x+m1与抛物线C：y2=4x 相切于点M，
由{
y = x +m1,
y
2= 4 x ,
消去x 得y2-4y+4m1=0，由Δ=16-16m1=0，
得m1=1，y=2，切点M(1，2)，
设直线y=x+m2与抛物线x2=4y 相切于点N，
由{
x
2= 4 y ,
y = x +m2,
消去y 得x2-4x-4m2=0，由Δ=16+16m2=0，
得m2=-1，x=2，切点N(2，1)，
则直线MN 的斜率为1-2
2-1=-1，即直线MN 与直线x+y=t 平行或重合，
所以截得的弦长的最大值为|MN|=√(2-1)
2+(1-2)
2=√2，故C 正确；
对于D，抛物线y=1
4 x2，求导得y'=1
2x，
则抛物线在点A(4，4)处的切线斜率为1
2×4=2，
抛物线y=1
4 x2在点A(4，4)处的切线方程为y-4=2(x-4)，即y=2x-4，
该切线交x 轴于点E，则E(2，0)，因此S△AOE=1
2×2×4=4，
作FG∥OA 且与y=1
4 x2相切，设切点为(x1，y1)，
由切线的斜率为1 可得1
2x1=1⇒x1=2，代入曲线可得y1=1，
所以切点为(2，1)，切线方程为y=x-1，设该切线与横轴的交点为F，与AE 交于点G，
则F(1，0)，易得△AOE 与△GFE 相似，
由面积比为相似比的平方可得△EFG 的面积为1，
所以四边形OAGF 的面积为
S△AOE-S△EFG=4-1=3，
所以阴影区域的面积小于3×8=24<31<10π，故D 正确.
4.(2025·龙岩检测)在△ABC 中，BC=2√6，D 为AB 边上的点，且满足AD=AC，BD=CD=3，则cos A=
.
答案 7
9
解析 在△BDC 中，BC=2√6，BD=DC=3，
由余弦定理得出cos∠CDB=9+9-24
2×3×3 =-1
3=-cos∠ADC，
在△ADC 中，AD=AC，所以∠ADC=∠ACD，
则cos A=-cos 2∠ADC=-(2cos2∠ADC-1)=-(2cos2∠CDB-1)=-(2× 1
9 -1)=7
9.
5.(2025·义乌模拟)如图，在三棱锥P-ABC 中，△ABC 是正三角形，AC=PC，∠ACP=120°，⃗AD=2⃗DP，点
G 为△ABC 的重心.
(1)证明：GD∥平面PBC；
(2)若平面BGD⊥平面PAC，求平面PAB 与平面ABC 夹角的正切值.
(1)证明 连接AG 并延长，与BC 交于点E，则点E 为BC 的中点，连接EP.
∵G 为△ABC 的重心，∴AG
AE =2
3= AD
AP ，因此△AGD∽△AEP，
则∠AGD=∠AEP，从而GD∥EP，
又GD⊄平面PBC，EP⊂平面PBC，∴GD∥平面PBC.
(2)解 延长BG 交AC 于点F，连接FD，则点F 为AC 的中点，
∵△ABC 是正三角形，∴BF⊥AC.在平面PAC 中，过点C 作CH⊥FD，
∵平面BGD⊥平面PAC，平面BGD∩平面PAC=FD，CH⊂平面PAC，CH⊥FD，
∴CH⊥平面BGD，又BF⊂平面BGD，
∴CH⊥BF，又AC∩CH=C，AC，CH⊂平面PAC，∴BF⊥平面PAC，又BF⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平
面PAC，
如图，以点F 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设AB=1，则A(0,- 1
2 ,0)，B(
√3
2 ,0,0)，
由平面ABC⊥平面PAC 可知，AC=PC，∠ACP=120°，∴P(0,1, √3
2 )，
则⃗AB=(
√3
2 , 1
2 ,0)，⃗AP=(0, 3
2 , √3
2 )，
设平面PAB 的法向量为n=(x，y，z)，
则{
n·⃗AB = √3
2 x + 1
2 y =0,
n·⃗AP = 3
2 y + √3
2 z =0,
令y=-√3，则n=(1，-√3，3)，
易得平面ABC 的一个法向量为m=(0，0，1)，
∴cos〈n，m〉= 3
√13，设平面PAB 与平面ABC 的夹角为α，则cos α= 3
√13，
∴sin α= 2
√13，tan α= sin α
cosα =2
3，
故平面PAB 与平面ABC 夹角的正切值为2
3.
