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5.2 等比数列（精练题组版）
题组一 等比数列基本量的计算
1．（2025·山东菏泽·二模）已知
为等比数列
前
项和，若
，则
（ ）
A．5
B．3
C．
D．
2．（2025·河南开封·二模）已知
是等比数列
的前
项和，且
，
，则公比
（ ）
A．
B．
C．
D．2
3．（24-25 高三下·湖北武汉·阶段练习）已知各项均为正数的等比数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
4．（24-25 高三下·江苏镇江·开学考试）已知等比数列
的前n 项和为
，且
，
，
成等差数列，
则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
5．（2024·四川凉山·三模）已知
是等比数列
的前
项和，
，则公比
（ ）
A．
B．
C．3 或
D．
或
6．（2025·湖南岳阳·三模）已知
为正项等比数列
的前
项和，
，
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
7．（2025·福建泉州·模拟预测）已知
为等比数列，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题组二 等比数列的证明或判断
1．（2025 广东广州·期末）（多选）已知数列
是首项为1，公比为3 的等比数列，则（ ）
A．
是等差数列
B．
是等差数列
C．
是等比数列
D．
是等比数列
2．（2024·贵州黔南·一模）（多选）已知等差数列
的前
项和为
，等比数列
的前
项和为
.下列说
法正确的是（ ）
A．数列
为等差数列
B．若
，
，则
C．数列
为等比数列
D．若
，则数列
的公比为2
3．（2024·浙江宁波·一模）（多选）已知数列
，
都是正项等比数列，则（ ）
A．数列
是等比数列
B．数列
是等比数列
C．数列
是等比数列
D．数列
是等比数列
4．（24-25 高三上·福建福州·开学考试）（多选）已知等比数列
中，满足
，则（ ）
A．数列
是等比数列
B．数列
是递增数列
C．数列
是等差数列
D．数列
中，
仍成等比数列
5．（23-24 高三上·江苏南通·阶段练习）（多选）已知数列
是等比数列，则（ ）
A．数列
是等比数列
B．数列
是等比数列
C．数列
是等比数列
D．数列
是等比数列
6（2025·河北秦皇岛·一模）设
为数列
的前n 项和，已知
是公比为2 的等比数列．
(1)证明：
是等比数列；
(2)求
的通项公式以及
；
7．（2025·辽宁·模拟预测）已知数列
满足
，
，记
，
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)求数列
的通项公式；
8．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知数列
满足
，
记
，证明：数列
为等比数列，并求出数列
的通项公式；
9．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列
满足
，
（
），记
，求证：
是等比数列；
10．（2024 高三上·山东济南·专题练习）已知数列
的前n 项和为
，
，
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)求数列
的前
项和
.
11．（24-25 高三上·广东深圳·阶段练习）已知数列
满足
，
，记
，写
出
，
，并证明数列
为等比数列；
12．（2024·广西桂林·模拟预测）设数列
的前
项和为
，已知
，且
，证
明：
为等比数列，并求数列
的通项公式；
13（2024·山西临汾·一模）已知数列
的首项
，且满足
，等比数列
的首项
，
且满足
，求证：数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；
题组三 等比中项
1．（2025·河南·一模）若
成等比数列，则
（ ）
A．4
B．6
C．9
D．12
2．（2025·广西桂林·一模）已知各项均为正数的等比数列
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
3．（2025·湖北·二模）在正项等比数列
中，
是方程
的两个根，则
（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
4．（2025·四川）在等比数列
中，
是方程
的两根，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025 四川）在等比数列
中，
是方程
的根，则
A．
B．2
C．1
D．
6．（23-24 湖南）各项均为正数的等比数列
中，若
，则
（ ）
A．9
B．10
C．11
D．
7．（2025 河南）已知数列
是正项等比数列，若
，则
等于（ ）．
A．34
B．32
C．30
D．28
8．（24-25 ·内蒙古）在等比数列
中，
，
是函数
的极值点，则
（ ）
A．
B．
C．4
D．9
9．（23-24 山东）等比数列
的各项均为正数，且
，则
（ ）
A．12
B．10
C．5
D．
10．（2024·湖南株洲·一模）在非直角
中，
、
、
成等比数列，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题组四 等比数列的简单应用
1．（24-25 高三上·北京海淀·期末）2023 年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从2 月份开始，甲公司每个月盈
利比前一个月多200 万元；乙公司每个月盈利比前一个月增加
. 记甲、乙两公司在2023 年第
个月的盈利
分别为
，
（单位：万元）. 已知
，
，则
最大时，
的值为（ ）
（参考数据：
，
）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 重庆·期末）古代
微尘数
的计法：
凡七微尘，成一窗尘；合七窗尘，成一兔尘；合七兔尘，
“
”
“
成一羊尘；合七羊尘，成一牛尘；合七牛尘，成于一虮；合于七虮，成于一虱；合于七虱，成一芥子；合七芥
子，成一大麦；合七大麦，成一指节；累七指节，成于半尺
这里，微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮
……”
、
虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7 的等比数列．那么1 指节是（ ）
A．
兔尘
B．
羊尘
C．
兔尘
D．
羊尘
3．（2024·陕西西安·模拟预测）某人从银行贷款100 万，贷款月利率为
年还清，约定采用等额本息按
月还款(即每个月还相同数额的款，240 个月还清贷款的利息与本金)，则每月大约需还款（ ）(参考数据：
A．7265 元
B．7165 元
C．7365 元
D．7285 元
4．（2024·河南洛阳·模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯
到公元583 年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质地的纸张进行创作的手工艺．其以纸张
为主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次折叠造型后再以剪、刻、画手法为辅助手段，创作出或简练、
或复杂的动物、花卉、人物、鸟兽等内容的立体几何造型作品．随着一代代折纸艺人的传承和发展，现代折纸
技术已发展至一个前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩如生的折纸作品是由一
张完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传
承．在一次数学实践课上某同学将一张腰长为l 的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，
则对折6 次后得到的等腰直角三角形斜边长为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·山东）云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处
浮雕像
共
“
”
7 层，
每一层的
浮雕像
个数是其下一层的
“
”
2 倍，共有1016 个
浮雕像
，这些
浮雕像
构成一幅优美的图案
“
”
“
”
，
若从最下层往上每一层的
浮雕像
的个数构成一个数列
“
”
，则
的值为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．16
6．（2024 湖北）为响应国家号召，某地出台了相关的优惠政策鼓励
个体经济
“
”.个体户小王2022 年6 月初
向银行借了1 年期的免息贷款8000 元，用于进货，因质优价廉，供不应求.据测算：他每月月底获得的利润是
该月初投入资金的20%，并且每月月底需扣除生活费800 元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，
预计到2023 年5 月底他的年所得收入（扣除当月生活费且还完贷款）为（ ）元（参考数据：
，
）
A．35200
B．43200
C．30000
D．32000
7．（2025·四川）
勾股树
，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形
“
”
图形．如图所示，以正方形
的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角
形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若共得到127 个正方形，且
，则这127 个
正方形的周长之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·安徽·模拟预测）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的
次数记为
.扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的平均数.现对数列1，3 进行构造，第1 次得到数列
1，2，3；第2 次得到数列1，
，2，
，3；
依次构造，记第
…
次得到的数列的所有项之和为
，
则
（ ）
A．510
B．514
C．1022
D．1026
题组五 等比数列片段和的性质
1．（2025 广西）设等比数列
的前
项和是
．已知
，
，则
（ ）
A．900
B．1200
C．
D．
2．（2023·浙江·一模）已知
是等比数列
的前
项和，且
，
，则
（ ）
A．11
B．13
C．15
D．17
3．（2025 河北）设
是等比数列
的前
项和，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·广东）已知{an}是各项都为正数的等比数列，Sn 是它的前n 项和，若S4＝6，S8＝18，则S12＝（ ）
A．24
B．30
C．42
D．48
5（2025 福建厦门·阶段练习）设等比数列
的前n 项和为
，若
，则
=（ ）
A．2
B．
C．
D．3
6．（2026 北京）已知正项等比数列
的前n 项和为
，若
，则
的最小值为（ ）
A．6
B．
C．
D．9
题组六 等比数列前n 项和的特征
1.（2024·西藏林芝·模拟预测）等比数列
的前
项和
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·山西晋中·模拟预测）设等比数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．
B．3
C．1
D．
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知等比数列
的前
项和为
，若
，则
．
题组七 等比数列奇数项（或偶数项）的和
1.（2025 安徽）等比数列
共有
项，其中
，偶数项和为
，奇数项和为
，则
A．
B．
C．
D．
2．（2024·浙江）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则
这个等比数列的项数为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
3．（2024·广东·模拟预测）已知等比数列
的前6 项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则
．
4．（2025·河北秦皇岛·二模）已知等比数列
的前6 项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2 倍，则
．
5．（2025 山东聊城·期末）已知等比数列
的公比
，且
，则
.
6．（2025 福建）已知等比数列
的前
项中，所有奇数项的和为
，所有偶数项的和为
，则
的值为 ．
7．（2025 湖南）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个
数列的项数为
8．（2025·江西南昌·阶段练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为
170，则这个数列的公比为 .
题组八 等比数列前n 项和的最值
1．（24-25 高三上·广东·阶段练习）（多选）设公比为
的等比数列
的前
项和为
，若数列
满足
，且
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·湖北·二模）（多选）无穷等比数列
的首项为
公比为q，下列条件能使
既有最大值，又有
最小值的有（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
3．（23-24 高三上·湖南邵阳·期中）（多选）设等比数列
的公比为
，其前n 项和为
，前n 项积为
，
并满足
，
，
，下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
是数列
中的最大项
D．
是数列
中的最大项
4．（2025 福建）（多选）设等比数列
的公比为
，其前
项和为
，前
项积为
，且满足
，
，则下列选项正确的是（ ）
A．
为递减数列
B．
C．
是数列
中的最小项
D．当
时，
的最小值为4045
5．（2025·辽宁）（多选）设等比数列
的公比为
，其前
项和为
，前
项积为
，且
，
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
的最大值为
D．
的最大值为
