文档文本内容
第19 讲 数列的概念及其表示
知识清单
知识点01.数列的有关概念
知识点02.数列的分类
知识点03.数列与函数的关系
知识点04.两个常用结论
知识点05.数列的函数性质
题型讲解
题型一：由an 与Sn 的关系求通项公式
题型二：由数列的递推关系求通项公式（累加
法）
题型三：由数列的递推关系求通项公式（累
乘法）
题型四：数列的性质（数列的单调性）
题型五：数列的性质（数列的周期性）
题型六：数列的性质（数列的最值）
好题必刷
知识点01.数列的有关概念
概念
含义
数列
按照确定的顺序排列的一列数
数列的项
数列中的每一个数
通项公式
如果数列{an}的第n 项an与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么
这个式子叫做这个数列的通项公式
递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫
做这个数列的递推公式
数列{an}的
前n 项和
把数列{an}从第1 项起到第n 项止的各项之和，称为数列{an}的前n 项和，记作Sn，即
Sn=a1+a2+…+an
知识点02.数列的分类
内容预览
知识清单
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大
小关系
递增数列
an+1>an
其中n∈N*
递减数列
an+1<an
常数列
an+1=an
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
知识点03.数列与函数的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R 的函数，其自变量是序号n，对应的函数值
是数列的第n 项an，记为an=f(n).
知识点04.两个常用结论
(1)若数列{an}的前n 项和为Sn，则an={
S1,n=1,
Sn−Sn−1,n≥2,n∈N
∗.
(2)在数列{an}中，若an最大，则{
an≥an−1,
an≥an+1;若an最小，则{
an≤an−1,
an≤an+1,n≥2，n∈N*.
知识点05.数列的函数性质
由于数列可以看作一个关于n(n∈N*)的函数，因此它具备函数的某些性质：
(1)单调性——若an+1>an，则{an}为递增数列；若an+1<an，则{an}为递减数列，否则为摆动数列或常数列(an+1=an).
(2)周期性——若an+k=an(k 为非零常数)，则{an}为周期数列，k 为{an}的一个周期.
【题型一】 由an 与Sn 的关系求通项公式
【例1】（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列
的前
项和为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2025·湖北黄冈·三模）已知数列{
}的前n 项和
满足：
，且
＝2，那么
＝（ ）
A．2
B．10
C．11
D．56
【变式2】（2025·宁夏银川·模拟预测）已知数列
满足
，则数列
的通项公式为
.
【变式3】（2025·云南红河·三模）已知
为数列
的前
项和，
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求
取得最大值时
的值.
【题型二】 由数列的递推关系求通项公式（累加法）
【例2】（2025·江西新余·模拟预测）已知数列
满足
，且
，则数列
的通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2025·四川·模拟预测）已知数列
中，
，
（
，且
），则通项公式
题型方法
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024 高三·全国·专题练习）在数列
中，
，
，则
的值为
.
【变式3】（2025·江苏连云港·模拟预测）中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创
造并发展了名为“垛积术”的算法，推导出了三角垛、方垛、刍甍多、刍童垛等的公式．我们把公差不为0 的等差数
列
称为“一阶等差数列”，若数列
是“一阶等差数列”，则称数列
是“二阶等差数列”．
定义：若数列
是“
阶等差数列”，则称原数列
为“
阶等差数列”．例如：数列
，它的后
项与前项之差组成新数列
，新数列
是公差为的等差数列，则称数列
为二阶等差数列．
(1)若数列
满足
，
，且
，求证：数列
为二阶等差数列；
(2)若三阶等差数列
的前
项依次为
，求
的前
项和
；
【题型三】 由数列的递推关系求通项公式（累乘法）
【例3】（2025·江西·模拟预测）设数列
的前
项和为
，已知
，则
（ ）
A．2024
B．2025
C．
D．
【变式1】（2025·浙江宁波·三模）已知数列
中，
，记
为
的前
项和，
，则
的值为
（ ）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
【变式2】数列
中，
，当
时，
，则数列
的通项公式为 .
【变式3】（2024·四川泸州·三模）已知
是数列
的前
项和，
，
，则
.
【变式4】（2025·河南信阳·模拟预测）若数列
满足：当
为奇数时，
；当
为偶数时，
.
则称数列
为和积交替数列.
(1)若数列1，a，b，6 为和积交替数列，分别求实数a，b 的值；
(2)若数列
为和积交替数列，且
，
.
（i）若3 是数列
中的项，求实数的值；
（ii）若
，证明：
.
【题型四】 数列的性质（数列的单调性）
【例4】（2025·贵州黔南·三模）数列
满足
，若数列
单调递增，则实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2024·江西·模拟预测）已知数列
满足
，
（
），若
是单调递增数列，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·上海·模拟预测）已知
，若
的前
项和为
，
为递增数列，则
范围为 ．
【变式3】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知各项均不为零的数列
，其前
项和是
，且
．若
为递增数列，
，则
的取值范围是 ．
【变式4】（24-25 高三上·河北秦皇岛·期末）若对
，都有
，则称
与
为“k 级相邻数
列”．
(1)设
的前n 项和
，且
，试判断
与
是否为“2 级相邻数列”，并说明理由；
(2)若
，且为“4 级相邻数列”，求k 的取值范围；
(3)已知
，由数列
的所有项组成的集合M 中恰好有2 个元素，若
与
为“1 级相邻
数列”，求满足条件的数列
的个数．
【题型五】 数列的性质（数列的周期性）
【例5】（2025·重庆·三模）已知
，则数列
前2025 项的第1 百分位数是（ ）
A．-1
B．1
C．0
D．
【变式1】（2025·河南·模拟预测）已知数列
满足
，
，且对任意
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·辽宁鞍山·一模）已知斐波那契数列
满足
，
，
，则
的
个位数字是 ．
【变式3】（2025·贵州铜仁·三模）数列
满足
，若
，则
．
【变式4】（2025·湖北·模拟预测）定义：在数列
中，若
，记
被
（
为大于1 的正整数）除所得余数为
，称数列
为数列
的“模
数列”.若存在最小的正整数
，使得由
构成的集合为
，
则称
为数列
的“覆盖周期”.已知数列
的前
项和为
，且
.
(1)求证：
是等差数列；
(2)若
，数列
的公差为
的“模4 数列”为
，求
的前50 项的和；
(3)若
，数列
的“模6 数列”为
，求出使数列
的“覆盖周期”
的数列
的公差
的所有值.
【题型六】 数列的性质（数列的最值）
【例6】（2025·湖北·模拟预测）已知数列
前
项和为
，
，
，
，则
的最大值为
（ ）
A．4
B．9
C．10
D．12
【变式1】（2025·吉林·三模）以“冰雪同梦亚洲同心”为主题的第九届亚冬会于2025 年2 月7 日在哈尔滨盛大开幕，
场馆上方悬挂的120 万朵小雪花片装置，让观众仿佛置身于冰雪童话之中．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围
成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”．它可以这样画：如图，画一个边长为1 的正三角形
，第一步，
把每一边三等分；第二步，取三等分后的一边中间的一段，以此为边向外作正三角形，并把这中间的一段擦掉，形成
雪花曲线
；重复上述两步，形成雪花曲线
，记雪花曲线
的周长为
，则数列
的最大项
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·江苏·三模）已知数列
满足
，
，
.设
，若不等式
对于任意
都成立，则正数
的最大值为 .
【变式3】（2025·江苏南通·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，
是首项和公差均为1 的等差数列.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求
的最小值.
一、单选题
1．（2025·山东泰安·模拟预测）定义数列
的“匀称值”为
，若
的匀称值
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知数列
中，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．无法判断
大小
好题必刷
3．（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列
的通项公式为
，若
是
中唯一的最小项，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·天津南开·模拟预测）“……《春天的21840 种可能》，但这比起你们的未来，都还远远不及，因为你们未
来的可能是无穷尽．”这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H 老师借“21840”与“无穷尽”命题如下：设集
合
，
，
为数列
的前
项和，若
取
中每个数字的概率相同．记
为事件“
等于奇数”的概率，当
趋近于无穷大时，
的近似值为
，则（ ）．
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
5．（2025·四川广安·模拟预测）已知数列
满足
，
，则使得
成立的最小自然数
为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
6．（2025·上海·三模）设数列
的各项均为非零的整数，其前
项和为
．设
为正整数，若
为正偶数时，
都有
恒成立，且
，则
的最小值为（ ）
A．0
B．22
C．26
D．31
7．（2025·江苏苏州·三模）已知数列
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·江西·模拟预测）若数列
满足
且
，则称数列
为“对数
底数列”.已知正
项数列
是“对数2 底数列”且
，则当
且
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（2025·海南海口·模拟预测）若数列
满足：
，已知
，则
（ ）
A．14
B．15
C．17
D．18
10．（2025·福建泉州·模拟预测）帕多瓦数列是与斐波那契数列相似的又一著名数列，在数学上，帕多瓦数列被以下
递推的方法定义：数列
的前n 项和为
，且满足：
，则下列结论中正确的是
（ ）
A．
B．
C．
是偶数
D．
三、填空题
11．（2025·湖北黄石·模拟预测）无穷数列
由
个不同的数组成，
为
的前
项和，若对任意
，则整数
的最大值为 .
12．（2025·浙江杭州·模拟预测）某大型景区有16 处打卡景观．若这16 处景观分别用
表示，某游客按照
箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，若该游客按上述规则
从入口出发到达景观
的不同路线有
条，其中
，
，则
.
13．（2025·全国·二模）已知项数为
的数列
满足
，若数列
中存在连续三项
，使得
成立，则称数列
为“友好数列”.当
时，“友好数列”的个
数为 ；当
时，随机选取一个数列，该数列是“友好数列”的概率为 .
四、解答题
14．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如图所
示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到
黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是
，最后落入
袋或
袋中.一次游戏中小球落入
袋记分，落入
袋
记
分，游戏可以重复进行.游戏过程中累计得
分的概率为
.
(1)求
、
、
；
(2)求出
的通项公式.
15．（2025·湖北·三模）若圆锥曲线上的点列
经过一系列变换后得到的点列
在椭圆上，则称
为“下蛋点
列”．已知抛物线
的焦点为
，数列
满足
，点
在抛物线C 上．
(1)求
，
．
(2)若
，记
，
．
①证明：
；
②若点列
是“下蛋点列”，请判断
是否恒为偶数，并说明理由．
16．（2025·福建福州·模拟预测）记
为正整数
，
的最大公约数，正整数数列
满足
.
(1)求
时，求
，
；
(2)当
时，求所有满足
的正整数
；
(3)当
时，证明：不存在满足
的正整数
.
17．（2025·甘肃白银·模拟预测）设
和
是整数数列，若对于任意
，都有
，我们就称数列
和
为一组耦合数列.
(1)若数列
和
为一组耦合数列，且
，都有
，且
，求数列
的通项公式；
(2)若数列
和
为一组耦合数列，证明：
；
(3)若数列
和
为一组耦合数列，探究是否存在
，使得对于某个
，从
，
，…，
中任取一个数，
这个数是c 的概率大于
.若存在，请说明理由；若不存在，给出反例.
18．（2025·广东广州·三模）对于数集
，其中
，
，定义“伴随向量集”
．若对任意
，存在
，使得
，则称A 为“好集”．
(1)已知数集
，请写出数集
的“伴随向量集”
，并判断
是否为“好集”（不需要证明）；
(2)若有限集
为“好集”，求证：
，且当
时，
；
(3)若有限集
为“好集”，且
，求
．
19．（2025·湖南·模拟预测）已知正整数
，定义
聚合数列
如下：设
已知，此后每一项取值
为其前
项平均数的相反数，即
，其中
.
(1)对于
聚合数列，若
，求
；
(2)对于
聚合数列，记
为
中的最大值，求证：
（i）若
的正负不全相同，则存在实数
，使得
且
；
（ii）存在正整数
，使得
.
