6.2 等比数列（练习）
目录
1
题型一、等比数列的首项、公比、通项公式.........................................2
2
题型二、等比中项.....................................................................................6
3
题型三、等比数列的前n 项和公式Sn...................................................12
1 题型一、等比数列的首项、公比、通项公式一、单选题
1．在等比数列{an}中，a3=3, a7=27，则a5=（ ）
A．3
B．±9
C．9
D．±3
【答案】C
【分析】根据等比数列的概念可求得q
2=3，由此可得结果.
【详解】设等比数列{an}的公比为q，
∵a3=3, a7=27，
∴
a7
a3
=q
4=9，故q
2=3，
∴a5=a3q
2=3×3=9.
故选：C.
2．已知数列{an}为等比数列，a5=8，a8=1，则∑
i=1
8
ai=（ ）
A．128
B．169
C．254
D．255
【答案】D
【分析】先求等比数列的首项和公比，再根据等比数列的求和公式求解.
【详解】设等比数列公比为q，则
a8
a5
=q
3= 1
8 ⇒ q = 1
2.
由a5=a1q
4 ⇒
a1=
8
(
1
2)
4 =2
7
，
所以∑
i=1
8
ai= a1(1-q
8)
1-q
=
2
7[1-(
1
2)
8
]
1- 1
2
=2
8-1=255.
故选：D
3．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q =2，且满足a2a8=64则a5=
（ ）
A．16
B．8
C．4
D．2
【答案】B
【分析】应用等比数列通项公式基本量运算即可求解.
【详解】因为等比数列{an}的各项均为正数，公比q =2，且满足
a2a8=a1
2×2
8=64 ,
所以a1= 1
2，则a5=a1×q
4=8.
故选：B.
4．已知{an}是等比数列，a2= 1
2 ，a4=2，则公比q等于（ ）
A．- 1
2
B．-2
C．±2
D．± 1
2
【答案】C
【分析】根据等比数列的性质，即可求解.
【详解】由等比数列的性质可知，q
2= a4
a2
= 4，得q =±2.
故选：C
5．若等比数列{an}满足a1+a2=2，a1-a3=3，则数列{an}的公比等于（ ）
A．- 1
2或1
3 B．1
2或- 1
2
C．- 1
2
D．1
3
【答案】C
【分析】根据等比数列的通项公式求解即可.
【详解】a1+a2=a1(1+q)=2，
a1-a3=a1-a1q
2=a1(1-q
2)=a1(1+q)(1-q)=2(1-q)=3，
所以q =- 1
2，
故选：C.
6．已知数列{an}是等比数列，若a1=3，a2a3= 48，则a4的值为（ ）
A．16
B．4
C．-2
D．-4
【答案】A
【分析】设数列{an}的公比为q，利用条件求得q
3= 16
3 ，整体代入通项，即
可求得a4.
【详解】设数列{an}的公比为q，
由a2a3=a1
2q
3=9q
3= 48，解得q
3= 16
3 ，
则a4=a1⋅q
3=3× 16
3 =16.
故选：A.
7．等比数列{an}中，a1=1，a4=8，则{an}的前n项和Sn=（ ）
A．2
n-1
B．2
n
C．2
n-1-1
D．2
n-1
【答案】D
【分析】由等比数列通项公式求公比，再写出等比数列的前n 项和即可.
【详解】若数列的公比为q，则q
3= a4
a1
=8⇒q =2，故Sn= 1×(1-2
n)
1-2
=2
n-1.
故选：D
8．在等比数列{an}中，a3-2a2= 4，a4-2a3=-8，则{an}的公比为（ ）
A．- 1
2
B．-2
C．1
2
D．2
【答案】B
【分析】根据等比数列的通项公式列式计算.
【详解】因为数列{an}为等比数列，
所以¿且a1≠0，q≠0，q≠2，
所以q(q -2)
q
2(q -2)
=- 1
2
⇒ q =-2.
故选：B
二、填空题
9．已知等比数列{an}满足a1+a2=2，a2+a3= 4，则a1= ．
【答案】2
3
【分析】设等比数列{an}的公比为q，然后根据已知条件列方程组求解即可.
【详解】设等比数列{an}的公比为q，由a1+a2=2，a2+a3= 4，
得a1+a1q =2，a1q+a1q
2= 4，解得q =2，a1= 2
3．
故答案为：2
3．
10．记Sn是等比数列{an}的前n项和，若a2=2，a3=1，则S6= .
【答案】63
8
【分析】根据等比数列基本量的计算可得公比和首项，即可利用求和公式
求解.
【详解】因为{an}是等比数列，所以公比q = a3
a2
= 1
2 ,故a1= 4 ,
S6=
4(1- 1
2
6)
1- 1
2
= 63
8 .
故答案为：63
8
11．已知各项均为正数的等比数列{an}满足：
a1+a2+a3+a4= 4 ,a5+a6+a7+a8=8，则S16= .
【答案】60
【分析】设等比数列{an}的公比为q，由两个等式求得q
4=2，再利用等比数
列部分和的特征，将S16拆项分组求和.
【详解】设等比数列{an}的公比为q，
由a1+a2+a3+a4= 4 ,a5+a6+a7+a8=8，
可得a5+a6+a7+a8=q
4(a1+a2+a3+a4)= 4 q
4=8，即q
4=2，
则S16=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+
(a9+a10+a11+a12)+(a13+a14+a15+a16)
= 4+ 4 q
4+ 4 q
8+ 4 q
12= 4×(1+2+2
2+2
3)=60.
故答案为：60.
12．已知等比数列{an}的公比为q，若a3+a4=3，a3-a5=9，则q = ．
【答案】-2
【分析】利用等比数列通项公式，列方程组求公比q.
【详解】等比数列{an}的公比为q，a3+a4=3，a3-a5=9，
则¿，解得¿.
故答案为：-2.
13．已知在等比数列{an}中，a1a3a11=8，则a2a8= ．
【答案】4
【分析】利用等比数列通项公式的基本量计算，结合等比数列的性质求值.
【详解】设等比数列{an}的公比为q，则an=a1q
n-1，
则a1a3a11=a1⋅a1q
2⋅a1q
10=8，即a1
3q
12=8，所以a1q
4=2，即a5=2.
所以a2a8=a1q⋅a1q
7=a1
2q
8=(a1q
4)
2=a5
2= 4．
故答案为：4.
三、解答题
14．在等比数列{an}中.
(1)若它的前三项分别为5，－15，45，求a5；
(2)若an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)若a4＝2，a7＝8，求an.
【答案】(1)405
(2)5
(3)an＝2
2n-5
3
【分析】考查等比数列的通项公式，利用通项公式进行计算即可.
【详解】（1）易知a1=5，q =-15
5
=-3，故a5=5×(-3)
4= 405.
（2）由a1×5
3=625 ⇒ a1=5.
（3）a7
a4
= 8
2 = 4 =q
3 ⇒
q =2
2
3.所以
an=a4·q
n- 4=2·(2
2
3)
n- 4
=2
2n-5
3 .
2 题型二、等比中项一、单选题
1．已知等差数列{an}的首项为1，若a1,a2,a3+1成等比数列，则a4=（ ）
A．-2
B．4
C．8
D．-2或4
【答案】B
【分析】设等差数列{an}的公差为d，由a1,a2,a3+1成等比数列求出d可得答
案.
【详解】设等差数列{an}的公差为d，
若a1,a2,a3+1成等比数列，则a2
2=a1(a3+1)，
即(1+d)
2=1+2d +1，解得d
2=1，d =±1，
当d =1时，a4=1+3= 4，
当d =-1时，a2=1-1=0，此时a1,a2,a3+1不能构成等比数列，故舍去，
所以a4= 4,
故选：B.
2．等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}
的前6 项和为（ ）
A．-24
B．-3
C．3
D．8
【答案】A
【分析】根据a2，a3，a6成等比数列，列方程a3
2=a2⋅a6可求出公差，再根
据等差数列的求和公式可求出结果.
【详解】设等差数列的公差为d(d ≠0)，
因为a2，a3，a6成等比数列，所以a3
2=a2⋅a6，
所以(a1+2d )
2=(a1+d )(a1+5d )，
又a1=1，所以(1+2d )
2=(1+d )(1+5d )，整理得d
2+2d =0，
因为d ≠0，所以d =-2，
所以数列{an}前6 项的和为S6=6a1+ 6×(6-1)
2
⋅d =6+15×(-2)=-24.
故选：A
3．等比数列{an}中，a2=1，设甲：a4=3，乙：a6=9，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据等比中项可判断两者之间的条件关系.
【详解】因为{an}为等比数列，故a2,a4,a6为等比数列，且三者同号，
若a4=3，则由a4
2 =a2a6可得a6=9，故甲是乙的充分条件；
若a6=9，则由a4
2 =a2a6及a4>0可得a4=3，故甲是乙的必要条件；
故甲是乙的充要条件，
故选：C.
4．设等差数列{an}的公差为d (d ≠0)，a1=2，若a2，a3，a6成等比数列，则
d =（ ）
A．3
B．2
C．-2
D．- 4
【答案】D
【分析】利用等比中项的性质结合给定条件建立方程，求解公差即可.
【详解】因为a2，a3，a6成等比数列，所以a3
2=a2a6，
因为等差数列{an}的公差为d，a1=2，而d ≠0，
所以(2+2d )
2=(2+d )(2+5d )，解得d =- 4，故D 正确.
故选：D
5．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a2，a4成等比数列，则a3=（ ）
A．-6
B．6
C．4
D．- 4
【答案】B
【分析】利用等差数列和等比中项的公式可得答案.
【详解】因为等差数列{an}的公差为2，所以an=a1+2(n-1)，
因为a1，a2，a4成等比数列，所以(a1+2)
2=a1(a1+6)，解得a1=2，
所以a3=6.
故选：B
6．已知等比数列{an}中，a1<0，a3a7=36，则a5等于（ ）
A．±6
B．-6
C．6
D．不确定
【答案】B
【分析】由等比中项即可求解；
【详解】由a3a7=36，可得：(a5)
2=36，
又等比数列所有奇数项同号，a1<0，
所以a5=-6，
故选：B
7．若-2, x ,-8三个数成等比数列，则x =（ ）
A．-4
B．4
C．± 4
D．-5
【答案】C
【分析】由等比中项即可求解；
【详解】由题意可得：x
2=16，
所以x =± 4，
故选：C
8．等差数列{an}的前n 项和为Sn，满足S5=a2+a5+a7，若a1，a2，am成等
比，则m=（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】B
【分析】运用等差数列的前n 项和公式及基本量关系求得a1= d
2 ，a2= 3d
2 ，
再根据等比数列性质公式求得am= 9
2 d ，结合等差数列的通项公式求解即可.
【详解】设等差数列{an}的公差为d，
由S5=a2+a5+a7，得5a1+10d =3a1+11d，
解得2a1=d，
所以a1= d
2 ，a2= 3d
2 ，
∵a1，a2，am成等比，∴a2
2=a1⋅am，
∴(
3d
2 )
2
= d
2 ⋅am，
∴am= 9
2 d ，
∴d
2 +(m-1)d = 9
2 d，显然d ≠0，否则这与a1,a2,am成等比数列矛盾，
故解得m=5.
故选：B.
二、填空题
9．等比数列{an}中，若a5=- 4 ,a13=-9，则a9= ．
【答案】-6
【分析】利用等比数列的定义及等比中项计算即可.
【详解】设{an}的公比为q(q≠0)，则a9=a5q
4=- 4 q
4<0，
由等比中项的性质知a9
2=a5a13=36⇒a9=-6.
故答案为：-6.
10．若1，a- 4，a+2成等比数列，则a= .
【答案】2 或7
【分析】利用等比数列的性质建立方程，求解参数即可.
【详解】由于1，a- 4，a+2成等比数列，故(a- 4)
2=1×(a+2)，解得a=2或
a=7.
故答案为：2 或7
11．已知公差不为0 的等差数列{an}的首项为1，且a2，a3，a6成等比数列，
则a4= ．
【答案】-5
【分析】设等差数列{an}的公差为d(d ≠0)，由题意得a3
2=a2⋅a6，从而可求
出d，进而可求出a4.
【详解】设等差数列{an}的公差为d(d ≠0)，
因为a2，a3，a6成等比数列，
所以a3
2=a2⋅a6，所以(1+2d)
2=(1+d)⋅(1+5d)，
化简整理得d
2+2d =0，解得d =0（舍去），或d =-2，
所以a4=a1+3d =1+3×(-2)=-5．
故答案为：-5．
三、解答题
12．已知等差数列{an}的公差为d，前n 项和为Sn，满足a1=2，d >0，且a4
是a2与a8的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{ 1
Sn
}前n 项和T n.
【答案】(1)an=2n,n∈N
*
(2)T n=
n
n+1
【分析】（1）由等比数列的性质结合已知条件列出等式即可求得d，代入
等差数列的通项公式即可得解；
（2）求出等差数列{an}的前n 项和，再由裂项相消法求数列{
1
Sn}
前n 项和
为T n.
【详解】（1）在等差数列{an}中，a4是a2与a8的等比中项，
所以a4
2 =a2⋅a8
所以(a1+3d )
2=(a1+d )⋅(a1+7d )
因为d >0，解得d =2，
所以an=2+(n-1)⋅2=2n,n∈N
*.
（2）因为Sn= n(2+2n)
2
=n(n+1)，
所以1
Sn
=
1
n(n+1) = 1
n -
1
n+1，
所以T n= 1
S1
+ 1
S2
+⋯+ 1
Sn
= 1
1 - 1
2 + 1
2 - 1
3 +⋯+ 1
n -
1
n+1
=1-
1
n+1 =
n
n+1.
13．已知公差d >0的等差数列{an}的前n 项的和为Sn，且a1=1，a1,a3-1,S4
成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足anbnan+1=1，求数列{bn}的前n 项的和.
【答案】(1)an=2n-1
(2)
n
2n+1
【分析】（1）根据题意结合等比中项可得(a3-1)
2=a1S4，即可得公差和通
项公式；
（2）由题意可得bn=
1
anan+1，利用裂项相消法运算求解.
【详解】（1）因为a1,a3-1,S4成等比数列，则(a3-1)
2=a1S4，
且a1=1，则4 d
2= 4 +6d，即2d
2-3d -2=0，解得d =2或d =- 1
2（舍去），
所以an=1+2(n-1)=2n-1.
（2）设数列{bn}的前n 项的和为T n，
因为anbnan+1=1，则bn=
1
anan+1
=
1
(2n-1)(2n+1) = 1
2(
1
2n-1 -
1
2n+1)
，
所以T n= 1
2(1- 1
3 + 1
3 - 1
5 +⋅⋅⋅+
1
2n-1 -
1
2n+1)= 1
2(1-
1
2n+1)=
n
2n+1
.
3 题型三、等比数列的前n 项和公式Sn一、单选题
1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，且a3+a4恰为a5和a6的等差中项，则S8
S4
=
（ ）
A．4
B．5
C．16
D．17
【答案】B
【分析】根据a3+a4恰为a5和a6的等差中项，由a5+a6=2(a3+a4)，求得公比，
再利用等比数列前n 项和公式求解.
【详解】因为a3+a4恰为a5和a6的等差中项，
所以a5+a6=2(a3+a4)，则q
2=2，
所以S8
S4
=
a1(1-q
8)
1-q
a1(1-q
4)
1-q
= 1-q
8
1-q
4 =1+q
4=5，
故选：B
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S12=3 S6，则a9+a11
a3+a5
=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据等比数列前n项和公式得q
6=2，再整体代入计算即可.
【详解】当q =1时，S12=12a1，3 S6=18a1，且a1≠0，则S12≠3 S6，不合题意，
当q≠1时，S12=3 S6，即a1(1-q
12)
1-q
=3× a1(1-q
6)
1-q
，解得q
6=2，
a9+a11
a3+a5
= a1(q
8+q
10)
a1(q
2+q
4)
=q
6=2.
故选：B.
3．已知数列{an}满足a1=2，an+1-an=2
n+n(n∈N +)，则a6的值为（ ）
A．22
B．42
C．79
D．149
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用累加法求和即得.
【详解】数列{an}中，a1=2，an+1-an=2
n+n，
a6=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+(a6-a5)
=2+(2+1)+(2
2+2)+(2
3+3)+(2
4+ 4)+(2
5+5)
=2+ 2(1-2
5)
1-2
+ 5(1+5)
2
=79.
故选：C
4．若数列{an}的通项公式为an=2
n+2n-1，则数列{an}的前n项和为（ ）
A．2
n+n
2-1
B．2
n+1+n
2-1
C．2
n+1+n
2-2
D．2
n+n-2
【答案】C
【分析】利用分组求和法，结合等差、等比数列求和公式运算求解.
【详解】由题意知数列{an}的前n项和为Sn=a1+a2+a3+⋅⋅⋅+an
=(2
1+1)+(2
2+3)+(2
3+5)+⋅⋅⋅+(2
n+2n-1)
=(2+2
2+2
3+⋅⋅⋅+2
n)+(1+3+5+⋅⋅⋅+2n-1)
= 2(1-2
n)
1-2
+ n(1+2n-1)
2
=2
n+1+n
2-2.
故选：C.
5．等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a4=3, a2+a5=6，则S6=（ ）
A．21
B．28
C．36
D．48
【答案】A
【分析】根据条件求出公比，得到a3+a6= 12，进而求出答案.
【详解】设{an}的公比为q，
则q = a2+a5
a1+a4
= 6
3 =2，所以a3+a6= (a2+a5)q =6×2=12，
所以S6=a1+a4+ a2+a5+a3+a6=3+6+12=21.
故选：A
6．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1a6=2a4，且a5= 1
2，则S4=
（ ）
A．32
B．31
C．17
D．15
【答案】D
【分析】根据已知条件，利用等比数列性质可以求得a3，结合a5的值求得
公比，进而求出首项，利用求和公式计算即可得出S4.
【详解】在正项等比数列数列{an}中，
由¿，解得a3=2.
又∵a5= 1
2
，∴q
2= a5
a3
= 1
4
，解得：q = 1
2
，∴a1= a3
q
2 =8，
∴S4= a1(1-q
4)
1-q
=
8[1-(
1
2)
4
]
1- 1
2
=15
故选：D.
7．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=5,4 S3=15，则{an}的公比为
（ ）
A．- 1
4
B．- 3
4
C．- 1
2
D．-2
【答案】C
【分析】设等比数列{an}的公比为q，根据题意，列出方程4 q
2+ 4 q+1=0，
求得公比q的值，即可得到答案.
【详解】设等比数列{an}的公比为q，
因为a1=5且4 S3=15，可得a1+a2+a3=a1+a1q+a1q
2=5+5q+5q
2= 15
4 ，
即4 q
2+ 4 q+1=0，解得q =- 1
2．
故选：C．
二、填空题
8．已知各项为正数的数列{an}是等比数列，且其前n 项和为Sn.若S2=6，
S4=30，则公比q = .
【答案】2
【分析】利用等比数列的前n项和公式与通项公式即可求得结果.
【详解】若S2=6，S4=30，则S2=a1+a2=a1(1+q)=6，
S4= S2+a3+a4=6+(1+q)a1q
2=6+6q
2=30，
所以q
2= 4，由q>0，解得q =2.
故答案为：2.
9．等比数列{an}的前n项和为Sn,S10+31S5=0,S3=3，则a4+a2= ．
【答案】-10
【分析】根据等比数列基本量的计算，结合已知条件，求得首项和公比，
即可求得结果.
【详解】设等比数列{an}的公比为q；
若q =1，则S10+31S5=0,S3=3即为10a1+31×5a1=0，解得a1=0，不满足题
意；
故q≠1，则S10+31S5=0,S3=3即为a1(1-q
10)
1-q
+31× a1(1-q
5)
1-q
=0，整理得：
q
10+31q
5-32=0，
即(q
5+32)(q
5-1)=0，解得q
5=-32或q
5=1（舍），故q =-2；
又S3=3，即a1(1-q
3)
1-q
=3，则a1=3× 1-q
1-q
3 =3× 3
9 =1；
故a4+a2= a1q
3+a1q =-8-2=-10.
故答案为：-10.
10．已知数列{an}满足an+1
an
=-2,Sn为其前n项和，若a4=8，则S4= .
【答案】5
【分析】由题意可得数列{an}是等比数列，结合条件可得a1，再由等比数列
的前n项和公式代入，即可得到结果.
【详解】由an+1
an
=-2可得数列{an}是以-2为公比的等比数列，
且a4=8=a1⋅(-2)
3，则a1=-1，
所以S4=
(-1)[1-(-2)
4]
1-(-2)
=5.
故答案为：5
11．数列{an}成等比数列，其公比为q，前n 项和为Sn．若a3= 3
2，S3= 9
2，
则q = ．
【答案】- 1
2或1
【分析】列出关于等比数列{an}的公比为q 方程，再解方程求出q.
【详解】等比数列{an}的公比为q，由a3= 3
2 ,S3= 9
2，得
3
2
q
2 +
3
2
q + 3
2 = 9
2
，
整理得1
q
2 + 1
q -2=0，解得1
q =-2或1
q =1，
所以q =- 1
2或q =1.
故答案为：- 1
2或1
三、解答题
12．已知{an}为公差不为0 的等差数列，a1=1，且a1，a2，a4成等比数列.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn=an+2
n，求{bn}的前n项和Sn.
【答案】(1)an=n
(2)Sn=2
n+1+ n(n+1)
2
-2
【分析】（1）根据等差数列定义以及等比数列性质列方程计算可得公差
d =1，可求得通项公式；
（2）利用等差等比前n项和公式代入计算可得结果.
【详解】（1）设{an}公差为d，则a2=1+d，a4=1+3d，
因为a1，a2，a4成等比数列，
所以a1⋅a4=a2
2，即1+3d =(1+d)
2，
所以d =1或0（舍去）.
故an=1+n-1=n；
即{an}的通项公式为an=n；
（2）由（1）可得bn=n+2
n，
Sn=1+2
1+2+2
2+3+2
3+⋅⋅⋅+n+2
n
=(1+2+3+⋅⋅⋅+n)+(2
1+2
2+⋅⋅⋅+2
n) = n(n+1)
2
+ 2(1-2
n)
1-2
=2
n+1+ n(n+1)
2
-2.
13．已知等差数列{an}的前四项和为10，且a2,a3,a7为等比数列；
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=an+3
n，求数列{bn}的前n项和Sn.
【答案】(1)an= 5
2或an=3n-5
(2)5
2 n- 3
2 + 3
n+1
2 或- 7
2 n+ 3
2 n
2- 3
2 + 3
n+1
2
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，依题意得到方程组，求出a1、d，
即可求出通项公式；
（2）利用分组求和法计算可得.
【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d，
由题意，得a1+a2+a3+a4= 4 a1+6d =10，
又a2,a3,a7为等比数列，所以a2a7=a3
2，即(a1+d)(a1+6d)=(a1+2d)
2，
解得¿或¿，所以an= 5
2或an=3n-5；
（2）当an= 5
2时，bn= 5
2 +3
n，
此时Sn=b1+b2+⋯+bn= 5
2 n+ 3-3
n×3
1-3
= 5
2 n- 3
2 + 3
n+1
2 ；
当an=3n-5时，bn=3n-5+3
n，
此时Sn=b1+b2+⋯+bn=-2+3n-5
2
n+ 3-3
n×3
1-3
=- 7
2 n+ 3
2 n
2- 3
2 + 3
n+1
2 .
