6.2 等比数列（讲义）
目录
1
知识点01 等比数列的定义........................................................................2
2
知识点02 等比数列的通项公式................................................................2
3
知识点03 等比中项....................................................................................2
4
知识点04 等比数列的前n 项和公式Sn....................................................2
5
题型一、等比数列的首项、公比、通项公式.........................................2
6
题型二、等比中项.....................................................................................8
7
题型三、等比数列的前n 项和公式Sn...................................................14
1 知识点01 等比数列的定义
定义：如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数
（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，
通常用字母q表示，定义的表达式为an+1
an
=q．
2 知识点02 等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则
①通项公式an=a1q
n-1=c⋅q
n(c = a1
q )(a1,q≠0)．
②通项公式的推广：an=am⋅q
n－m
3 知识点03 等比中项
①若an-1，an，an+1成等比数列，那么an叫做an-1与an+1的等比中项，并且
an
2=an-1∙an+1
②等比中项的推广：若m+n= p+q时，则aman=apaq，特别地，当m+n=2 p
时，aman=ap
2．
4 知识点04 等比数列的前n 项和公式Sn
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则
①前n项和为Sn={
& na1(q =1)
& a1(1-q
n)
1-q
= a1-anq
1-q
(q≠1)
5 题型一、等比数列的首项、公比、通项公式
1．已知等比数列{an}的公比为2，a2+a4=10，则a5-a1=（ ）
A．5
B．10
C．15
D．20
2．在等比数列{an}中，a4+a5=3,a7+a8=81，则公比q = （ ）
A．❑√3
B．±3
C．3
D．13
3．已知数列{an}是等比数列，若a1+a4= 4 ,a2+a5=8，则a3=（ ）
A．16
9
B．3
C．5
4
D．3
2
4．设{an}是等比数列，a2,a3,a4成等差数列，则a11
a5
=（ ）
A．1
B．2
C．4
D．6
5．已知单调递减的等比数列{an}满足a2a4= 1
64 ,a1+a5= 17
32，则a10=（ ）
A．
1
1024
B．1
512
C．512
D．1024
6．在递增等比数列{an}中，a1a3a11=216，且a4+a6=20，则该数列的公比q
为（ ）
A．1
3
B．2
C．3
D．6
7．在等比数列{an}中，若a3a5=16，a2+a4=5，则a2=（ ）
A．1
B．9
C．1 或9
D．-1或9
8．已知数列{an}，a1=1，an+1=2an，若an=8，则n的取值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
9．等比数列{an}的前n 项和为Sn，且a1+a4= 4，a2+a5=8，则S6=（ ）
A．24
B．28
C．36
D．48
10．已知等比数列{an}中，a1=1，且a1，3a2，9a3成等差数列，则an=
（ ）
A．3
n
B．1
3
n
C．3
n-1
D．1
3
n-1
二、填空题
11．设正项等比数列{an}的公比为q，若a2，3a1，a3成等差数列，则q =
．
12．若{an}是各项均为正数的等比数列，且a1=1，a5=16，则a6-a5= .
13．已知等比数列{an}满足：a2n=an
2，且-a2是a1与a3的等差中项，则a5=
．
14．已知正项等比数列{an}满足a5-a1=15，a4-a2=6，则a6= ．
三、解答题
15．已知数列{an}为等比数列．
(1)若an>0，且a2a4+2a3a5+a4a6=36,求a3+a5的值；
(2)若a1+a2+a3=7 , a1a2a3=8,求数列{an}的通项公式．
16．已知等比数列{an}的前n 项和为Sn，且满足a6-a3=56，S6- S3=112．求
数列{an}的通项公式.
6 题型二、等比中项
1．设等差数列{an}的公差不为0，若a4,a5,a7构成等比数列，a6=6，则a7=
（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
2．已知等差数列{an}的首项为1，若a1, a2, a3+1成等比数列，则a4=（ ）
A．-2
B．4
C．8
D．-2 或4
3．在等比数列{an}中，已知a2=2，a4a6=2
8，则公比q =（ ）
A．-2
B．❑√2
C．2
D．±2
4．已知在等比数列{an}中，a4=1，a2a6a7=8，则a7=（ ）
A．4
B．8
C．12
D．16
5．已知数列{an}为等比数列，其中 a6,a10为方程 x
2+ 4 x +3=0的两根，则
a8=（ ）
A．± ❑√3
B．- ❑√3
C．❑√3
D．3
2
6．已知正项等差数列{an}的首项为2，若a1,a2,a3+1成等比数列，则a4=
（ ）
A．2+3 ❑√2
B．-2+3 ❑√2
C．2-3 ❑√2
D．2+3 ❑√2或2-3 ❑√2
7．已知等差数列{an}的首项为1，公差不为0，且a2,a3,a6成等比数列，则
a8等于（ ）
A．-11
B．-13
C．-24
D．8
【答案】B
【分析】利用等差数列的通向公式和等比中项的性质列式求解即可.
【详解】因为等差数列{an}的首项为1，公差不为0，且a2,a3,a6成等比数列，
设{an}的公差为d，则(1+2d)
2=(1+d)(1+5d)，解得d =-2，
所以a8=1+7 d =-13.
故选：B
8．等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列，则{an}的
公差为（ ）
A．-2
B．-3
C．2
D．3
【答案】A
【分析】由等比中项的定义得到a3
2=a2a6，再根据等差数列的通项公式将
首项a1，公差d代入计算即可.
【详解】设等差数列{an}的公差为d，
因为a2,a3,a6成等比数列，所以a3
2=a2a6，
即(a1+2d)
2=(a1+d)(a1+5d)，
整理可得d
2+2a1d =0，
因为a1=1，d ≠0，所以解得d =-2.
故选：A
二、填空题
9．在各项均为正数的等比数列{an}中，a3a13=144，a5=6，则a2= ．
【答案】3
【分析】根据给定条件，利用等比数列性质计算作答．
【详解】等比数列{an}中，an>0，由a8
2=a3a13=144，
得a8=12，由a2a8=a5
2=36，得a2=3，
所以a2=3．
故答案为：3．
10．已知等差数列{an}(n∈N
*)中a1、a2、a6成等比数列，a5=13，则a9=
．
【答案】13或25
【分析】设等差数列{an}的公差为d，根据题意可得出关于d的方程，即可
解得a9的值.
【详解】设等差数列{an}的公差为d，由题意可得a2
2=a1a6，
即(a5-3d)
2=(a5- 4 d)(a5+d)，即(13-3d)
2=(13- 4 d)(13+d)，解得d =0或
d =3，
当d =0时，数列{an}为常数列，故a9=a5=13；
当d =3时，a9=a5+ 4 d =13+12=25.
因此，a9=13或25.
故答案为：13或25.
11．已知数列{an}的通项公式为an=2n+6，若am是a1与a2m的等比中项，则
m= .
【答案】3
【分析】根据等比中项的概念列方程，解方程可得结果.
【详解】由an=2n+6得，am=2m+6，a1=8，a2m= 4 m+6，
∵am是a1与a2m的等比中项，
∴am
2 =a1⋅a2m，即(2m+6)
2=8(4 m+6)，解得m=3或-1（舍）.
故答案为：3.
12．在等比数列{an}中，a3a5=36，a4+a6=60．则a1= ．
【答案】± 2
9
【分析】由等比数列下标的性质可解.
【详解】在等比数列{an}中，¿或¿(q
2= a6
a4
=-11,无解，舍去），
所以q
2= a6
a4
= 54
6 =9，即q =±3，
所以a1= a4
q
3 =
6
(±3)
3 =± 2
9
.
故答案为：± 2
9.
三、解答题
13．已知{an}为等比数列．
(1)等比数列{an}满足a2a4= 1
2，求a1a3
2a5；
(2)若an>0，a5a7+2a6a8+a6a10= 49，求a6+a8；
(3)若an>0，a5a6=9，求log3a1+log3a2+⋯+log3a10的值．
【答案】(1)1
4
(2)7
(3)10
【分析】（1）利用等比数列的性质求解即可.
（2）利用等比中项和等比数列的性质求解即可.
（3）利用等比数列的性质以及对数的运算求解即可.
【详解】（1）在等比数列{an}中，
∵a2a4= 1
2，∴a3
2=a1a5=a2a4= 1
2，
∴a1a3
2a5= 1
4.
（2）由等比中项，
∵ a5a7+2a6a8+a6a10= 49，
a6
2=a5a7，a6a10=a8
2，
∴ a6
2+2a6a8+a8
2= 49，
即(a6+a8)
2= 49，
∵an>0，∴a6+a8=7.
（3）由等比数列的性质，
a5a6=a1a10=a2a9=a4a7=9，
∴log3a1+log3a2+⋯+log3a10=log3(a1a2⋯a10)
=log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]=log39
5=10.
7 题型三、等比数列的前n 项和公式Sn
1．已知等比数列{an}的公比为2，前n项和为Sn.若S9=511，则a3=（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
【答案】A
【分析】根据已知条件求得a1，进而求得a3.
【详解】依题意S9= a1(1-2
9)
1-2
=511a1=511,a1=1，
所以a3=1×2
2= 4.
故选：A
2．设Sn为公比为q的等比数列{an}的前n项和，且2S3=7 a2，则q =（ ）
A．15
2
B．2
C．1
2或15
4
D．1
2或2
【答案】D
【分析】利用等比数列的性质得到1
q +q = 5
2，求出公比.
【详解】由题意得：2(
a2
q +a2+a2q)=7a2，因为a2≠0，所以1
q +q = 5
2
，
所以q
2- 5
2 q+1=0，解得q = 1
2或2．
故选：D
3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1+a3+a5=1,a2+a4+a6=2，则S12- S6=
（ ）
A．18
B．54
C．128
D．192
【答案】D
【分析】根据等比数列的定义结合求和定义，可得答案.
【详解】设等比数列{an}的公比为q，则(a1+a3+a5)q =a2+a4+a6，解得q =2．
S12- S6=a7+a8+⋯+a12=(a1+a2+⋯+a6)×2
6=3×2
6=192．
故选：D.
4．设Sn为正项等比数列{an}的前n 项和，已知a1=2，S4=a5-2，则a10的值
为（ ）
A．20
B．512
C．1024
D．2048
【答案】C
【分析】利用等比数列的通项公式和求和公式即可求出结果，再运用等比
数列求和公式时要对q进行分类讨论.
【详解】设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)，则当q =1时，由a1=2得：
S4=8,a5=2，不满足S4=a5-2，所以q≠1，则S4= a1(1-q
4)
1-q
,a5=a1q
4，
又因为a1=2，S4=a5-2,所以可得：2(1-q
4)
1-q
=2q
4-2，
化简得：(q
4-1)(q -2)=0，解得q =2，
所以a10=a1q
9=2×2
9=2
10=1024，
故选：C.
5．记Sn为等比数列{an}的前n 项和，若a2=3，S2= 9
2，则公比q =（ ）
A．1
2
B．1
3
C．3
D．2
【答案】D
【分析】由等差数列求和公式基本量的计算即可得解.
【详解】若a2=3，S2= 9
2，则3+ 3
q = 9
2，解得q =2，符合题意.
故选：D.
6．设等比数列{an}的前n 项和为Sn，若a1=-1，32S10=31S5，则a6=（ ）
A．- 1
32
B．- 1
64
C．1
32
D．1
64
【答案】C
【分析】设公比，将等式运用公式化简求出q，再代入通项公式即可求得.
【详解】设等比数列{an}的公比为q，由32S10=31S5可知q≠1（否则
320a1=155a1不成立），
则有32× 1-q
10
1-q =31× 1-q
5
1-q ，化简得，32(1+q
5)=31，解得，q =- 1
2，
于是，a6=a1q
5=-(- 1
2 )
5
= 1
32.
故选：C.
7．若等比数列{an}的前n项和Sn=2
n-1，则公比q =（ ）
A．1
2
B．- 1
2
C．2
D．-2
【答案】C
【分析】根据Sn，依次求出a1,a2，依题即可求得公比.
【详解】由Sn=2
n-1，n=1时，a1=1，
n=2时，由a1+a2=1+a2=2
2-1解得，a2=2，
依题意，q = a2
a1
=2.
故选：C.
8．已知首项为负数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=3，S6=63，则
a4=（ ）
A．8
B．16
C．24
D．48
【答案】C
【分析】根据等比数列通项公式与求和公式可得解.
【详解】设数列{an}的公比为q，
则S2=a1+a2=a1(1+q)=3，
又a1<0，则1+q<0，即q<-1，
又S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=(a1+a2)(1+q
2+q
4)=63，
即1+q
2+q
4=21，解得q
2= 4，
又q<-1，则q =-2，
所以a1=-3，a4=a1⋅q
3=-3⋅(-2)
3=24，
故选：C.
9．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且S3=1，S6=-7，则公比q =（ ）
A．- 1
2
B．1
2
C．-2
D．2
【答案】C
【分析】根据q
3= S6- S3
S3
，结合已知条件，直接计算即可.
【详解】由题可知，S6- S3=-8，故q
3= S6- S3
S3
=- 8
1 =-8，故q =-2.
故选：C.
二、填空题
10．Sn是等比数列{an}的前n项和，已知a3+ S3=6,S3=3a3，则a2= ．
【答案】3
2或-3
【分析】由题意得S3=a1+a2+a3=3a3，即a1+a1q =2a1q
2，求出q的值，由
题意再结合等比数列的定义即可求解.
【详解】S3=a1+a2+a3=3a3，
a1+a1q =2a1q
2，即a1(2q
2-q -1)=0，
因为a1≠0，所以2q
2-q -1=(q -1)(2q+1)=0，
解得q =1或q =- 1
2，
又a3+ S3=6,S3=3a3，
所以4 a3=6，即a3= 3
2，
所以a2= a3
q = 3
2或-3.
故答案为：3
2或-3.
11．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1=1,S3= 3
4，则S4= .
【答案】5
8/0.625
【分析】设等比数列公比为q，由等比数列通项公式与求和公式可得答案.
【详解】设等比数列公比为q，由已知得：a1=1,S3=a1+a2+a3= 3
4 ，
∴a1+a1q+a1q
2= 3
4 ⇒1+q+q
2= 3
4 ⇒(q+ 1
2)
2
=0⇒q =- 1
2
，
所以S4=a1⋅1-q
4
1-q =1×
1-(- 1
2)
4
1-(- 1
2)
= 5
8
.
故答案为：5
8
12．已知公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn,a2=3,S3=13，则q =
.
【答案】3 或1
3
【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解.
【详解】由a2=3,S3=13可得a1+a3=10⇒a2
q +a2q =10⇒3q+ 3
q -10=0，
故3q
2-10q+3=0,解得q =3或q = 1
3，
故答案为：3 或1
3
13．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=3a1，且a4=8，则S5= .
【答案】31
【分析】根据等比数列通项公式得q =2，再求出a1=1，最后利用等比数列
求和公式即可得到答案.
【详解】S2=3a1，即a1+a1q =3a1，显然a1≠0，则1+q =3，解得q =2，
a4=a1q
3=8a1=8，解得a1=1，
则S5= a1(1-q
5)
1-q
= 1×(1-2
5)
1-2
=31.
故答案为：31.
14．记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S6=9 S3，则{an}的公比为 .
【答案】2
【分析】根据等比数列的前n项和公式求解．
【详解】若q =1，
则由S6=9 S3得6a1=9⋅3a1，则a1=0，不合题意.
所以q≠1.
当q≠1时，因为S6=9 S3，所以a1(1-q
6)
1-q
=9⋅a1(1-q
3)
1-q
，
即(1-q
6)=9⋅(1-q
3)，即(1+q
3)(1-q
3)=9⋅(1-q
3)，即1+q
3=9，
解得q =2.
故答案为：2.
三、解答题
15．在等比数列{an}中，已知a1= 1
2，a4= 4．求：
(1)数列{an}的通项公式；
(2)数列{an
2}的前5 项和S5．
【答案】(1)an=2
n-2
(2)341
4
【分析】（1）根据已知条件求解出a1,q，则{an}的通项公式可求；
（2）根据等比数列前n项和公式求解出S5即可.
【详解】（1）设数列{an}的公比为q，
因为a1= 1
2，a4= 4，所以a1q
3= 4，所以q =2，
所以an=2
n-2；
（2）因为{an}为等比数列且q =2，
所以{an
2}为等比数列，首项为a1
2= 1
4且公比为q
2= 4，
所以S5=
1
4 (1- 4
5)
1- 4
= 341
4
.
16．在等比数列{an}中，
(1)已知a1=- 3
2 ,a4=96，求前4 项和S4；
(2)已知公比q = 1
2，前5 项和S5= 31
8 ，求a1,a5.
【答案】(1)153
2
(2)a1=2,a5= 1
8
【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出公比，再根据等比数列前n项
和公式即可得解；
（2）根据等比数列前n项和公式求出首项，再根据等比数列的通项公式即
可得解.
【详解】（1）设公比为q，由a1=- 3
2 ,a4=96，
得q
3= a4
a1
=-64，所以q =- 4，
所以S4=
- 3
2 [1-(- 4)
4]
1-(- 4)
= 153
2
；
（2）由S5=a1×
1-(
1
2)
5
1- 1
2
= 31
8 ，得a1=2，
所以a5=a1q
4= 1
8.
