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培优点 9 新情景、新定义下的数列问题
近几年全国各地高考试题，我们总能在试卷的压轴题位置发现新定义数列题的身影，
它们对数列综合问题的考查常常以新定义、新构造和新情景形式呈现，有时还伴随着数列
与集合，难度较大．
题型一 数列中的新概念
通过创新概念，以集合、函数、数列等的常规知识为问题背景，直接利用创新概念的内涵
来构造相应的关系式(或不等式等)，结合相关知识中的性质、公式来综合与应用．
例1 (1)0－1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列 aa…a…满足a∈{0,1}(i＝
1 2 n i
1,2，…)，且存在正整数m，使得a ＝a(i＝1,2，…)成立，则称其为0－1周期序列，并
i＋m i
称满足a ＝a(i＝1,2，…)的最小正整数m为这个序列的周期．对于周期为m的0－1序列
i＋m i
aa…a…，C(k)＝a (k＝1,2，…，m－1)是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0－1
1 2 n i i＋k
序列中，满足C(k)≤(k＝1，2,3,4)的序列是( )
A．11010… B．11011…
C．10001… D．11001…
答案 C
解析 周期为5的0－1序列中，
C(k)＝a (k＝1,2,3,4)．
i i＋k
验证C(1)＝(aa＋aa＋aa＋aa＋aa)
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
＝(aa＋aa＋aa＋aa＋aa)≤.
1 2 2 3 3 4 4 5 5 1
对于A，C(1)＝(1＋0＋0＋0＋0)＝，满足C(1)≤.
对于B，C(1)＝(1＋0＋0＋1＋1)＝>，不满足C(1)≤，故排除B.
对于C，C(1)＝(0＋0＋0＋0＋1)＝，满足C(1)≤.
对于D，C(1)＝(1＋0＋0＋0＋1)＝>，不满足C(1)≤，故排除D.
再对A，C验证C(2)＝(aa＋aa＋aa＋aa＋aa)＝(aa＋aa＋aa＋aa＋aa)≤.
1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 1 3 2 4 3 5 4 1 5 2
对于A，C(2)＝(0＋1＋0＋1＋0)＝>，不满足C(2)≤，故排除A.
对于C，C(2)＝(0＋0＋0＋0＋0)＝0，满足C(2)≤.
(2)(2023·武汉模拟)将1,2，…，n按照某种顺序排成一列得到数列{a}，对任意1≤ia，那么称数对(a，a)构成数列{a}的一个逆序对．若n＝4，则恰有2个逆序对的
i j i j n
数列{a}的个数为( )
n
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 B
解析 若n＝4，则1≤i0，则( )
n
A．S＝9n－1
n
B．{a}为等比数列
n
C．{S－a}的前n项和为
n n
D.为等差数列
答案 AC
解析 由条件可知，λ＝，k＝2，则－＝＝，
两边平方后，整理为
S －4＋3S＝0，
n＋1 n
即(－)(－3)＝0，
得＝或＝3，
若＝，则S ＝S，则a ＝0，
n＋1 n n＋1
这与a>0矛盾，所以不成立，
n
所以＝3，则S ＝9S ，S ＝a ＝1，所以数列{S}是首项为1，公比为9的等比数列，即S
n＋1 n 1 1 n n
＝9n－1，故A正确；
由S ＝9S 可得S＝9S (n≥2)，两式相减得，
n＋1 n n n－1
a ＝9a(n≥2)，并且n＝1时，S＝9S，即a＋a＝9a，得a＝8，
n＋1 n 2 1 1 2 1 2
那么＝8≠9，所以{a}不是等比数列，故B错误；
n
a＝
n
当n＝1时，S－a＝0，
1 1
当n≥2时，设数列{S－a}的前n项和为T，
n n n
则T＝(S－a)＋(S－a)＋…＋(S－a)
n 1 1 2 2 n n
＝(S＋S＋…＋S)－(a＋a＋…＋a)
1 2 n 1 2 n
＝－＝，
当n＝1时，T＝0成立，故T＝，故C正确；
1 n
因为＝1，＝，＝，＋≠2，所以数列不是等差数列，故D错误．
思维升华 解决此类问题，关键是根据题干中的新定义、新公式、新定理、新法则、新运
算等，将新数列转化为等差或等比数列，或者找到新数列的递推关系进行求解．
跟踪训练2 (多选)(2023·北京人大附中模拟)已知数列{a}满足：对任意的n∈N ，总存在
n ＋
m∈N ，使得S＝a ，则称{a}为“回旋数列”．以下结论中正确的是( )
＋ n m n
A．若a＝2 023n，则{a}为“回旋数列”
n n
B．设{a}为等比数列，且公比q为有理数，则{a}为“回旋数列”
n n
C．设{a}为等差数列，当a＝1，公差d<0时，若{a}为“回旋数列”，则d＝－1
n 1 n
D．若{a}为“回旋数列”，则对任意n∈N ，总存在m∈N ，使得a＝S
n ＋ ＋ n m
答案 AC
解析 对于A，由a＝2 023n可得S＝2 023(1＋2＋3＋…＋n)＝2 023×，
n n
由S＝a 可得2 023×＝2 023m，取m＝即可，则{a}为“回旋数列”，故A正确；
n m n
对于B，当q＝1时，S＝na，a ＝a，
n 1 m 1
由S ＝a 可得na ＝a ，故当n＝2时，很明显na ＝a 不成立，故{a}不是“回旋数列”，
n m 1 1 1 1 n
故B错误；对于C，{a}是等差数列，故a ＝1＋(m－1)d，
n m
S＝n＋d，
n
因为数列{a}是“回旋数列”，
n
所以1＋(m－1)d＝n＋d，
即m＝＋＋1，
其中为非负整数，
所以要保证恒为整数，
故d为所有非负整数的公约数，且d<0，所以d＝－1，故C正确；
对于D，由A可知，当a＝2 023n时，{a}为“回旋数列”，
n n
取a＝2 023×2，S ＝2 023×，显然不存在m，使得S ＝a＝2 023×2，故D错误．
2 m m 2
题型三 数列新情景
例3 (1)九连环是中国最杰出的益智游戏．九连环由九个相互连接的环组成，这九个环套在
一个中空的长形柄中，九连环的玩法就是要将这九个环从柄上解下来，规则如下：如果要
解下(或安上)第n号环，则第(n－1)号环必须解下(或安上)，n－1往前的都要解下(或安上)
才能实现．记解下n连环所需的最少移动步数为a ，已知a ＝1，a ＝2，a ＝a ＋2a ＋
n 1 2 n n－1 n－2
1(n≥3)，则解六连环最少需要移动圆环步数为( )
A．42 B．85 C．256 D．341
答案 A
解析 由题意可得，a＝a＋2a＋1＝2＋2＋1＝5，
3 2 1
a＝a＋2a＋1＝5＋4＋1＝10，
4 3 2
a＝a＋2a＋1＝10＋10＋1＝21，
5 4 3
a＝a＋2a＋1＝21＋20＋1＝42.
6 5 4
(2)(2021·新高考全国Ⅰ)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对
称轴把纸对折．规格为20 dm×12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm,20
dm×6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S ＝240 dm2，对折2次共可以得到5 dm×12
1
dm,10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S ＝180 dm2，以此类推，
2
则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为_____；如果对折n次，那么 ＝_____ dm2.
k
答案 5 240
解析 依题意得，S＝120×2＝240；S＝60×3＝180；
1 2
当n＝3时，共可以得到5 dm×6 dm， dm×12 dm，10 dm×3 dm，20 dm× dm四种规格
的图形，且5×6＝30，×12＝30，10×3＝30，20×＝30，所以S＝30×4＝120；
3
当n＝4时，共可以得到5 dm×3 dm， dm×6 dm， dm×12 dm，10 dm× dm，20 dm×dm五种规格的图形，所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，且5×3＝15，×6
＝15，×12＝15，10×＝15，20×＝15，所以S＝15×5＝75；
4
……
所以可归纳S＝×(k＋1)＝.
k
所以 ＝240，①
k
所以×
k
＝240，②
由①－②得，
×＝240
k
＝240＝240，
所以 ＝240dm2.
k
思维升华 对于新情景问题，关键是要从问题情境中寻找“重要信息”，即研究对象的本
质特征、数量关系(数量化的特征)等，建立数学模型求解．
跟踪训练3 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学
的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学
问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项
是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N>55且该
数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )
A．95 B．105 C．115 D．125
答案 A
解析 将数列排成行的形式
1
1,2
1,2,4
1,2,4,8
第n行为20,21，…，2n－1，
第n行和为a＝＝2n－1，
n
前n行共有个数，
前项和为S＝－n＝2n＋1－2－n，
n
假设从第1行第1个数到第n＋1行第m(1≤m≤n＋1)个数共有N个数，则N＝＋m，
前N项和为T ＝S＋a ＝2n＋1－2－n＋2m－1，
N n m
若T 为2的整数幂，则有2＋n＝2m－1，
N
∵N>55，∴n>10，且n为奇数，
当n＝11时，m无整数解，
当n＝13时，m＝4，此时N＝＋4＝95.1．(2023·河北统考)数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出
了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列
2,4,7,11,16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2,3,4,5，新数列2,3,4,5为等差
数列，则称数列 2,4,7,11,16为二阶等差数列．现有二阶等差数列{a}，其前七项分别为
n
2,2,3,5,8,12,17，则该数列的第20项为( )
A．173 B．171 C．155 D．151
答案 A
解析 根据题意得新数列为0,1,2,3,4，…，则二阶等差数列{a}的通项公式为a ＝＋2，则
n n
a ＝＋2＝173.
20
2．(2023·佳木斯模拟)科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数
列”，其定义是：对于函数f(x)，若数列{x}满足x ＝x－，则称数列{x}为牛顿数列，若
n n＋1 n n
函数f(x)＝x2，数列{x}为牛顿数列且x＝2，a＝log x，则a 的值是( )
n 1 n 2 n 8
A．8 B．2 C．－6 D．－4
答案 C
解析 根据题意，
x ＝x－＝x－＝x－＝，
n＋1 n n n
所以＝，
又x＝2，
1
所以{x}为首项是2，公比是的等比数列，
n
所以x＝2×n－1＝n－2＝22－n，
n
所以a＝log x＝log 22－n＝2－n，
n 2 n 2
所以a＝2－8＝－6.
8
3．若三个非零且互不相等的实数x，x，x 成等差数列且满足＋＝，则称x，x，x 成一个
1 2 3 1 2 3
“β等差数列”．已知集合M＝{x||x|≤100，x∈Z}，则由M中的三个元素组成的所有数列
中，“β等差数列”的个数为( )
A．25 B．50 C．51 D．100
答案 B
解析 由三个非零且互不相等的实数x，x，x 成等差数列且满足＋＝，知
1 2 3
消去x，并整理得，(2x＋x)(x－x)＝0，
2 1 3 1 3
所以x＝x(舍去)，x＝－2x，于是有x＝－x.
1 3 3 1 2 1
在集合M＝{x||x|≤100，x∈Z}中，三个元素组成的所有数列必为整数列，
所以x 必为2的倍数，且x∈[－50,50]，x≠0，
1 1 1
故这样的数列共50个．4．(2023·盐城模拟)将正整数n分解为两个正整数k，k 的积，即n＝k·k，当k，k 两数差
1 2 1 2 1 2
的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如 20＝1×20＝2×10＝4×5，其中4×5即为20
的最优分解，当k，k 是n的最优分解时，定义f(n)＝|k－k|，则数列{f(5n)}的前2 023项的
1 2 1 2
和为( )
A．51 012 B．51 012－1
C．52 023 D．52 023－1
答案 B
解析 当n＝2k(k∈N )时，
＋
由于52k＝5k×5k，此时f(52k)＝|5k－5k|＝0，
当n＝2k－1(k∈N )时，由于52k－1＝5k－1×5k，
＋
此时f(52k－1)＝|5k－5k－1|＝5k－5k－1，
所以数列{f(5n)}的前2 023项的和为
(5－1)＋0＋(52－5)＋0＋(53－52)＋0＋…＋(51 011－51 010)＋0＋(51 012－51 011)＝51 012－1.
5．(2023·郑州模拟)普林斯顿大学的康威教授发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”，
该数列的后一项由前一项的外观产生．以 1为首项的“外观数列”记作A ，其中A 为
1 1
1,11,21,1211,111221，…，即第一项为1，外观上看是1个1，因此第二项为11；第二项外
观上看是 2 个 1，因此第三项为 21；第三项外观上看是 1 个 2,1 个 1，因此第四项为
1211，…，按照相同的规则可得A 其他项，例如A 为3,13,1113,3113,132113，…，若A 的
1 3 i
第n项记作a ，A的第n项记作b ，其中i，j∈[2,9]，若c ＝|a －b|，则{c}的前n项和为(
n j n n n n n
)
A．2n|i－j| B．n(i＋j)
C．n|i－j| D．|i－j|
答案 C
解析 由题得，a＝i，a＝1i，a＝111i，a＝311i，…，a＝…i，
1 2 3 4 n
b＝j，b＝1j，b＝111j，b＝311j，…，b＝…j，
1 2 3 4 n
由递推可知，随着n的增大，a 和b 每一项除了最后一位不同外，其余各位数都相同，
n n
所以c＝|a－b|＝|i－j|，
n n n
所以{c}的前n项和为n|i－j|.
n
6．(多选)在数列{a}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N ，p为常数)，则{a}称为“等方差数列”，
n ＋ n
下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为( )
A．若{a}是等方差数列，则{a}是等差数列
n
B．若{a}是等方差数列，则{a}是等方差数列
n
C．{(－1)n}是等方差数列
D．若{a}是等方差数列，则{a }(k∈N ，k为常数)也是等方差数列
n kn ＋
答案 ACD解析 对于A中，数列{a}是等方差数列，可得a－a＝p(n≥2，n∈N ，p为常数)，
n ＋
即有{a}是首项为a，公差为p的等差数列，故A正确；
对于B中，例如：数列{}是等方差数列，但是数列{n}不是等方差数列，故B不正确；
对于C中，数列{(－1)n}中，a－a＝[(－1)n]2－[(－1)n－1]2＝0，(n≥2，n∈N )，
＋
所以数列{(－1)n}是等方差数列，故C正确；
对于D中，数列{a}中的项列举出来是a，a，…，a，…，a ，…，
n 1 2 k 2k
数列{a }中的项列举出来是a，a ，a ，…，
kn k 2k 3k
因为a－a＝a－a＝…＝a－a＝p，
所以(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)＝kp，所以a－a＝kp，
所以数列{a }是等方差数列，故D正确．
kn
7．(多选)(2023·浙江联考)“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如
果是偶数就除以2，这样经过若干次这两种运算，最终必进入循环图1→4→2→1.对任意正
整数a，按照上述规则实施第n次运算的结果为a(n∈N)，下列说法正确的是( )
0 n
A．当a＝7时，则a ＝5
0 11
B．当a＝16时，数列{a}为递减数列
0 n
C．若a＝1，且a(i＝1,2,3,4)均不为1，则a＝5
5 i 0
D．当a＝10时，从a(i＝1,2,3,4,5,6)中任取两个数至少一个为奇数的概率为
0 i
答案 AD
解析 若a ＝7，则a ＝22，a ＝11，a ＝34，a ＝17，a ＝52，a ＝26，a ＝13，a ＝40，
0 1 2 3 4 5 6 7 8
a＝20，a ＝10，a ＝5，故A选项符合题意；
9 10 11
若a＝16，则a＝8，a＝4，a＝2，a＝1，a＝4，易知{a}不是递减数列，故B选项不符
0 1 2 3 4 5 n
合题意；
若a ＝1，则a ＝2，a ＝4，当a ＝8时，则a ＝16，a ＝5或32，a ＝1(舍去)，故C选项
5 4 3 2 1 0 2
不符合题意；
若a＝10，则a＝5，a＝16，a＝8，a＝4，a＝2，a＝1，所以从a(i＝1,2,3,4,5,6)中任取
0 1 2 3 4 5 6 i
两个数至少一个为奇数的概率为1－＝，故D选项符合题意．
8．(2023·宝鸡模拟)对给定的数列{a}(a≠0)，记b ＝，则称数列{b}为数列{a}的一阶商
n n n n n
数列；记c ＝，则称数列{c}为数列{a}的二阶商数列；依此类推，可得数列{a}的P阶商
n n n n
数列(P∈N )，已知数列{a}的二阶商数列的各项均为 e，且 a ＝1，a ＝1，则 a ＝
＋ n 1 2 10
__________.
答案 e36
解析 由数列{a}的二阶商数列的各项均为e，可知c＝＝e，而b＝＝1，
n n 1
故数列{b}是以1为首项，e为公比的等比数列，
n
即b＝en－1，即＝en－1，n∈N ，
n ＋即＝1，＝e，＝e2，…，＝e8.
所以a ＝a····…·＝1×1×e×e2×…×e8＝e1＋2＋…＋8＝ ＝e36，
10 1
故a ＝e36.
10
9．(2023·潍坊模拟)若项数为n的数列{a}满足：a＝a (i＝1,2,3，…，n)，我们称其为n
n i n＋1－i
项的“对称数列”．例如：数列1,2,2,1为4项的“对称数列”；数列1,2,3,2,1为5项的
“对称数列”．设数列{c}为2k＋1项的“对称数列”，其中c ，c ，…，c 是公差为2
n 1 2 k＋1
的等差数列，数列{c}的最大项等于8，记数列{c}的前2k＋1项和为S ，若S ＝32，
n n 2k＋1 2k＋1
则k＝______.
答案 3或4
解析 由题意，c ＝8，
k＋1
又c，c，…，c 是公差为2的等差数列，
1 2 k＋1
故c＋2k＝8，则c＝8－2k，c＝c －2＝6.
1 1 k k＋1
又S ＝32，故2(c＋c＋…＋c)＋c ＝32，
2k＋1 1 2 k k＋1
即c＋c＋…＋c＝12，
1 2 k
由等差数列前n项和公式有＝12，
化简得k2－7k＋12＝0，解得k＝3或k＝4.
10．(2023·沈阳模拟)已知数列{a}，令b 为a ，a ，…，a 中的最大值(k＝1,2，…，n)，则
n k 1 2 k
称数列{b}为{a}的“控制数列”，{b}中不同数的个数称为“控制数列”{b}的“阶数”．
n n n n
例如：{a}为 1,3,5,4,2，则“控制数列”{b}为 1,3,5,5,5，其“阶数”为 3，若{a}由
n n n
1,2,3,4,5 任意顺序构成，则使“控制数列”{b}的“阶数”为 2 的所有{a}的个数为
n n
________．
答案 50
解析 当{b}由1,5构成时，则a＝1，a＝5，a，a，a 为2,3,4的一个排列，
n 1 2 3 4 5
故满足条件的数列{a}有A＝6(个)；
n
当{b}由2,5构成时，则a＝2，a＝5，a，a，a 为1,3,4的一个排列，
n 1 2 3 4 5
或a＝2，a＝1，a＝5，a，a 为3,4的一个排列，
1 2 3 4 5
故满足条件的数列{a}有A＋A＝8(个)；
n
当{b}由3,5构成时，则a ＝3，a ，a ，a ，a 为1,2,4,5的一个排列，且数字4排在5的后
n 1 2 3 4 5
面，
故满足条件的数列{a}有＝12(个)；
n
当{b}由4,5构成时，则a＝4，a，a，a，a 为1,2,3,5的一个排列，
n 1 2 3 4 5
故满足条件的数列{a}有A＝24(个)．
n
由分类加法计数原理可得满足条件的数列{a}共有50个．
n
