1
第一章 数列篇
第一章
数 列
第1讲
等差数列和等比数列重要性质
典例讲解 · 掌握方法
题型1
等差性质之下标和性质
1
已知数列an
，bn
满足an= ebn，n ∈N*，其中bn
是等差数列，且a5⋅a2018= e-2，则b1+ b2+
⋯+b2022= (
)
A. 2022
B. - 2022
C. ln2022
D. 1011
2
已知正项等差数列an
的前n 项和为Sn n ∈N *
，若a2
8 - a7 - a9 = 3，则S15 - a8 的值为
(
)
A. 3
B. 14
C. 28
D. 42
3 （多选）已知等差数列an
的前n 项和为Sn，若a2= 3，S2= 7，则(
)
A. an= 5 - n
B. 若am+ an= a2+ a10，则1
m + 16
n 的最小值为25
12
C. Sn取最大值时，n = 4 或n = 5
D. 若Sn> 0，n 的最大值为8
4 （多选）已知数列an
为等差数列，其前n 项和为Sn，且a7+ a8+ a9> 0，a7+ a10< 0，则下列结
论正确的是(
)
A. a9
> a8
B. 公差d < 0
C. 当n = 8 时Sn最大
D. 使Sn> 0 的n 的最大值为16
题型2
等差性质之片段和性质
5
已知Sn是等差数列an
的前n 项和，若S20= 15，S60= 75，则S40= (
)
A. 40
B. 45
C. 50
D. 55
6
已知等差数列an
的前n 项和为Sn，若S9
S3
= 6，则S6
S12
的值为(
)
A. 7
17
B. 3
10
C. 3
14
D. 3
8
题型3
等差性质之两个等差前n 项和比值问题
名校冲刺 实战教辅
2
7
已知等差数列an
的前n 项和为Sn，等差数列bn
的前n 项和为Tn，Tn
Sn
= 2n + 1
3n + 4 ，求b4
a4 =
．
8
若等差数列an
和bn
的前n 项的和分别是Sn和Tn，且an
bn
=
n
2n + 1 ，则S11
T11 = (
)
A. 12
21
B. 11
23
C. 6
13
D. 12
23
9
设等差数列an
与等差数列bn
的前n 项和分别为Sn，Tn. 若对于任意的正整数n 都有Sn
Tn
= 2n + 1
3n - 1 ，则a8
b9
= (
)
A. 35
52
B. 31
50
C. 31
48
D. 35
46
10
已知等差数列an
的前n 项和为Sn，等差数列bn
的前n 项和为Tn，Tn
Sn
= 2n + 1
3n + 4 ，求
b8
a7+ a8 =
．
题型4
等差性质之前n 项和与n 的比值成等差
11
已知Sn 是等差数列{an} 的前n 项和，若a 1 = -2018 ，S2019
2019 - S2013
2013 = 6 ，则S 2020 等于
(
)
A. - 4040
B. - 2020
C. 2020
D. 4040
12 （多选）若等差数列an
的公差为d，前n 项和为Sn，记bn= Sn
n ，则(
)
A. 数列bn
是公差为1
2 d 的等差数列
B. 数列bn
是公差为2d 的等差数列
C. 数列an+ bn
是公差为3
2 d 的等差数列
D. 数列an- bn
是公差为3
2 d 的等差数列
题型5
等差数列其他性质
13
已知等差数列an
的前n 项和为Sn，则(
)
A. 若S9> S8，S9> S10，则S17> 0，S18< 0
B. 若S17> 0，S18< 0，则S9> S8，S9> S10
C. 若S17> 0，S18< 0，则a17> 0，a18< 0
D. 若a17> 0，a18< 0，则S17> 0，S18< 0
14
设等差数列an
满足a1 = 1，an > 0 n ∈N *
，其前n 项和为Sn，若数列
Sn
也为等差数
列，则an=
；Sn+10
a2
n
的最大值是
.
题型6
等比性质之下标和性质
15
在等比数列an
中，a3a4a5= 3,a6a7a8= 24，则a9a10a11的值为(
)
3
第一章 数列篇
A. 48
B. 72
C. 144
D. 192
16
已知等比数列an
的公比q 为整数，且a1+ a4= 9，a2⋅a3= 8，则a2+ a4+ a10
a1+ a3+ a9 = (
)
A. 2
B. 3
C. - 2
D. - 3
17
已知等比数列an
满足：a1+ a3+ a5+ a7+ a9+ a11= 63，a6= 4 2，则1
a1 + 1
a3 + 1
a5 + 1
a7 +
1
a9 + 1
a11 = (
)
A. 63
32
B. 63 2
8
C. 32
63
D. 4 2
63
题型7
等比性质之片段和性质
18
记Sn为等比数列an
的前n 项和. 若S2= 4，S4= 6，则S8= (
)
A. 15
2
B. 8
C. 7
D. 17
2
19
已知等比数列an
的前n 项和为Sn，且S45- S40
S40- S35
= 4 2，则S4- S1
a3
= (
)
A. 2 + 3 2
2
B.
2
C. 2 2 - 1
2
D. 3
题型8
等比数列其他性质
20
设等比数列an
的公比为q ，其前n 项和为Sn ，前n 项积为Tn ，并满足条件a1 > 1 ，
a2019a2020> 1 ，a2019- 1
a2020- 1 < 0，下列结论正确的是(
)
A. S2019< S2020
B. S2019S2020- 1 < 0
C. T2020 是数列Tn
中的最大值
D. 数列Tn
无最大值
21
设an
是等比数列，且a1< a2< a4，下列正确结论的个数为(
)
①数列an
具有单调性； ②数列an
有最小值为a1；
③前n 项和Sn 有最小值 ④前n 项和Sn 有最大值
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
22 （多选）下列说法中不正确的是( )．
A. 等比数列的某一项可以为0
B. 等比数列的公比的取值范围是-∞,+∞
C. 若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1
D. 若b2= ac，则a，b，c 成等比数列
名校冲刺 实战教辅
4
23 （多选）记Sn为数列an
的前n 项和. 下列说法正确的是(
)
A. 若an
为常数列，则an
既为等差数列，也为等比数列
B. 若Sn= an2+ bn，a,b ∈R，则an
为等差数列
C. 若Sn= A(qn- 1),A ≠0,q ≠0，则an
为等比数列
D. 若an
为正项等比数列，则{lgan} 为等差数列
24 （多选）已知等比数列an
首项a1> 1，公比为q，前n 项和为Sn，前n 项积为Tn，函数f x
=
x x + a1
x + a2
⋯x + a7
，若f0
= 1，则(
)
A. lgan
为单调递增的等差数列
B. 0 < q < 1
C.
Sn-
a1
1 - q
为单调递增的等比数列
D. 使得Tn> 1 成立的n 的最大值为6
25 （多选）已知在等比数列an
中，a1= 1，q = 2，Sn是an
的前n 项和，则下列说法正确的是
(
)
A. 数列a2n
是等比数列
B. 数列
1
an
是递增数列
C. 数列log2an
是等差数列
D. 数列an
中，S10，S20，S30仍然构成等比数列
巩固练习 · 融会贯通
1.（多选）已知等差数列an
的前n 项和为Sn，a1> 0，S9= a1+ a9，则下列结论正确的有(
)
A. an
是递减数列
B. S9= 0
C. S3= S6
D. Sn最大时，n = 4
2.（多选）等差数列an
的前n 项和为Sn，若S6< S7,S7= S8,S8> S9. 则下列结论正确的有(
)
A. a7+ a9= 0
B. S6> S10
C. 数列an
是递减数列
D. 使Sn> 0 的n 的最大值为15
3. 已知等差数列{an} 的公差d ≠0，且a2
5+ a2
7+ 16d = a2
9+ a11
2，则{an} 的前15 项和S15=
．
4. 设an
是等差数列，a1= -10，且a2+ 10，a3+ 8，a4+ 6 成等比数列．
(1) 求数列an
的通项公式；
(2) 记an
的前n 项和为Sn，求当n 为何值时，Sn取得最小值.
(3) 求数列a2n
的前20 项和T20的值.
5.（多选）己知数列an
的前n 项和为Sn，则下列说法正确的是(
)
A. 若Sn= 2n2- 3，则an
是等差数列
B. 若an
是等差数列，且a3= 5，a2+ a10= 2，则数列an
的前n 项和Sn有最大值
C. 若等差数列an
的前10 项和为170，前10 项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9 ∶8，则公差为2
5
第一章 数列篇
D. 若an
是等差数列，则三点10, S10
10
、20, S20
20
、30, S30
30
共线
6.（多选）已知等差数列an
，前n 项和为Sn,a1> 0, a2023
a2022 < -1，则下列结论正确的是(
)
A. a2022> 0
B. Sn的最大值为S2023
C. an
的最小值为a2022
D. S4044< 0
7. 已知两个等差数列an
和bn
的前n 项和分别为Sn和Tn，且Sn
Tn = 7n - 3
n + 1 ，则a5
b5
=
.
8. 设等差数列an
, bn
的前n 项和分别是Sn,Tn，且Sn
Tn = 2n + 2
7n - 5 ，则a3+ a9
b6
=
.
9. 已知Sn,Tn 分别是等差数列an
与bn
的前n 项和，且Sn
Tn = 2n + 1
4n - 2 n = 1,2,⋯
，则
a10
b3+ b18
+
a11
b6+ b15
= (
)
A. 11
20
B. 41
78
C. 43
82
D. 23
42
10. 设等差数列{an} 的前n 项和为Sn，若S3= 9，S6= 36，则a4+ a5+ a6=
11. 等差数列an
中，a1= 2020，前n 项和为Sn，若S12
12 - S10
10 = -2，则S2022=
.
12. 设Sn为等差数列an
的前n 项和，若a7= 5，S5= -55，则nSn的最小值为__.
13. 数列an
与bn
均为等差数列，其前n 项和分别为S n 与Tn，若Sn
Tn = 3n + 1
n + 3 ，则a2+ a20
b7+ b15
=
，使得an
bn
为整数的n 值个数
.
14. 设{an} 是等比数列，且a1+ a2+ a3= 1，a2+ a3+ a4= 2，则a6+ a7+ a8= (
)
A. 12
B. 2
C. 30
D. 32
15. 已知数列an
是等比数列，数列bn
是等差数列，若a2 ⋅a6 ⋅a10 = 3 3 ，b1 + b6 + b11 = 7π，则
tan b2+ b10
1 - a3⋅a9 的值是
.
16. 在各项均为正数的等比数列an
中，公比q ∈0,1
，若a3+ a5= 5，a2·a6= 4，bn= log2an，数列bn
的前n 项和为Sn，则数列
Sn
n
前n 项和为
.
17. 已知等比数列an
的前n 项和为Sn，若S3= 4，S6= 6，则S9的值是(
)
A. 9
B. 8
C. 7
D. 1
18.（多选）已知Sn是an
的前n 项和，下列结论正确的是(
)
A. 若an
为等差数列，则
pSn
n
(p 为常数) 仍然是等差数列
名校冲刺 实战教辅
6
B. 若an
为等差数列，则S3n= 2S2n- Sn
C. 若an
为等比数列，公比为q，则S2n= 1 + qn
Sn
D. 若an
为等比数列，则“m + n = p + q,m,n,p,q ∈N∗”是“am⋅an= ap⋅aq”的充要条件
19.（多选）设等比数列an
的公比为q，其前n 项和为Sn，前n 项积为Tn，且满足条件a1> 1，a2022a2023
> 1，a2022- 1
a2023- 1
< 0，则下列选项正确的是(
)
A. 0 < q < 1
B. S2022+ 1 < S2023
C. T2022是数列Tn
中的最大项
D. T4043> 1
20. 已知数列an
、bn
满足bn= log2an,n ∈N *，其中bn
是等差数列，且a2a2021= 1
4 ，则b1+ b2+ b3
+...+b2022=
．
21. 设等比数列an
满足a1+ a3= 10,a2+ a4= 5，则log2a1+ log2a2+⋯+log2an=
.
22. 已知数列{an} 满足log3an + 1 = log3an+1(n ∈N *)，且a2 + a4 + a6 = 9，则log3(a5 + a7 + a9) =
.
23. 若Sn为等比数列an
的前n 项和，8a2+ a5= 0，则S10
S5
=
．
7
第一章 数列篇
第2讲
数列求通项公式的9 大方法
典例讲解 · 掌握方法
题型1
累加法
1
已知数列an
满足a1= 18，an+1- an= 2n，则an
n 的最小值为
.
2
在数列an
中，a1= 1，n n + 1
an+1- an
= 1 n ∈N*
，则a2022= (
)
A. 4041
2021
B. 2020
2021
C. 4043
2022
D. 2019
2020
题型2
累乘法
3
若数列an
满足a1= 1, an+1
an =
n + 1
n
，则a20=
．
4
设各项均为正数的数列an
满足n + 2
a2
n- na2
n+1+ 2anan+1= 0，若a1= 2，求数列an
的通
项公式；
题型3
Sn大法
5
已知数列{an} 的前n 项和为Sn，满足Sn= 2an- 1，n ∈N *，数列{an} 的通项公式；
6
数列an
的前n 项和为Sn，且a1= 1,an+1= Sn，求数列an
的通项公式；
7
在数列an
中，a1= 1, a1
2 + a2
3 + a3
4 +⋯+
an
n + 1 = an+1，求an
的通项公式；
8
(2023 届附中高三月考2) 已知数列an
中，an> 0，Sn是数列an
的前n 项和，且an+ 2
an =
2Sn，求S2，S3，并求数列an
的通项公式an.
9
已知数列an
的前n 项和为Sn，若S1
3 + S2
4 + S3
5 +⋯+
Sn
n + 2 = n2+ n，求数列an
的通项
公式；
10
(2021 乙卷理) 记Sn为数列an
的前n 项和，bn为数列Sn
的前n 项积，已知2
Sn
+ 1
bn
= 2．
(1) 证明：数列bn
是等差数列；
(2) 求an
的通项公式．
题型4
构造法之常数型
11
已知数列{an} 的首项a1= 2，且满足an+1= 3an+ 2(n ∈N *)，则{an} 的前n 项和Sn=
．
题型5
构造法之等差型
名校冲刺 实战教辅
8
12
2020 卷3 理
设数列{an} 满足a1= 3，an+1= 3an- 4n，计算a2，a3，猜想{an} 的通项公式并
加以证明.
13
多选
已知数列an
满足2an+1- an= n + 2 n ∈N *
，a1= 5，若an
的前n 项和为Sn．则
下列说法正确的是(
)
A. S10= 63 + 2-7
B. a2022= 2022 + 2-2019
C. 数列an
n ∈N *,n > 2
是递增数列
D. a3是数列an
的最小项
题型6
构造法之等比型
14
已知数列an
满足a1= 2,an+1= 3an+ 2n-1,n ∈N∗，求an
的通项公式和前n 项和Sn.
15
若Sn是数列{an} 的前n 项和，已知a1= 2，a2= 10，且Sn+1+ 2Sn-1- 3Sn= 2 × 3n，则S2022=
(
)
A. 32023- 22024+ 1
B. 32022- 22023+ 1
C. 2 × 32022- 22023
D. 2 × 32023- 22024
16
设数列an
的前n 项和为Sn，且满足a1= 2，an+1= 2Sn+ 3n n ∈N *
，求Sn；
题型7
构造法之“幂”型
17
已知正项数列an
满足an+1= 3an
2,a1= 2, 求数列an
的通项公式an.
题型8
构造法之三项递推型
18
已知数列an
满足a1= 2，a2= 8，an+2= 4an+1- 3an.求数列an
的通项公式；
19
已知数列an
满足3anan+2- anan+1= 2an+1an+2，且a1= 3a2= 1，则a7= (
)
A. 1
63
B. 1
65
C.
1
127
D.
1
129
20
(2021 新高考八省联考) 已知各项都为正数的数列{an} 满足an+2= 2an+1+ 3an.
(1) 证明：数列{an+ an+1} 为等比数列；
(2) 若a1= 1
2 ,a2= 3
2 ，求{an} 的通项公式.
题型9
构造法之取倒数型
21
已知数列an
中，a1= 1 且an+1=
3an
an+ 3 n ∈N∗
，则a16为(
)
A. 1
6
B. 1
4
C. 1
3
D. 1
2
22
设数列an
的前n 项和为Sn，已知a1= 1
2 ，an+1=
2an
an+ 1 ，n ∈N ∗
，则an
的通项公式an
=
．
9
第一章 数列篇
巩固练习 · 融会贯通
1. 已知数列an
满足：a1= 1
2 ，an+1= n + 1
2n an，求数列an
的通项公式.
2. 已知数列{an} 首项为2，满足n(an+1- 2an) = 2an，求：数列{an} 的通项公式；
3. 已知数列an
满足a1= 3,an+1= 2an+ 1，
(1) 求数列an
的通项公式；
(2) 求数列an
的前n 项和Sn．
4. 已知数列an
的各项均为正数，且对任意的n ∈N*都有a1
2 + a2
22 +⋯+ an
2n = n，求数列an
的通
项公式；
5. 已知数列an
的前n 项和为Sn，Sn= 2an- 1.
(1) 求an
的通项公式；
(2) 若bn= 2n + 1，求数列an+ bn
的前n 项和Tn.
6. 已知数列an
前n 项和为Sn,a1= 2，且满足Sn= 1
2 an+1+ n, n ∈N *
.求数列an
的通项公式；
7. 已知正项数列an
的前n 项和为Sn，且a1= 2，S2
n- Sn= a2
n+1+ an+1，求Sn；
8. 在①Sn+ Sn-2= 2(Sn-1+ 1)；②Sn+1+ 2 = Sn+2- an+1；③Sn
n = an+1- (n + 1) 这三个条件中任选一
个，补充在下面的问题中，并解答该问题．
问题：已知数列{an} 的前n 项和为Sn，a1= 1，
，若确定{an} 是等差数列，求{an} 的通项公式，
否则，说明理由．
9. 已知数列{an} 满足a1= 2，且a1+ a2+⋯+an-1= an- 2，其中n ≥2，n ∈N *，求证：{an} 是等比数
列，并求{an} 的前n 项和Sn；
10. 已知数列{an} 中，a1= 1，a2= 2，且an+2= 2an+1+ 3an，设数列bn= an+1+ an，求证：数列{bn} 是等
比数列，并求数列{bn} 的通项公式；
11. 设数列{an} 的前n 项和为Sn，a1= 1，
．给出下列三个条件：
条件①：数列{an} 为等比数列，数列{Sn+ a1} 也为等比数列；
条件②：点(Sn，an+1) 在直线y = x + 1 上；
条件③：2na1+ 2n-1a2+⋯+2an= nan+1．试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完
成下列问题：求数列{an} 的通项公式；
12. 已知正项数列an
的前n 项和为Sn，且满足：a1= 1，a2
n+1= Sn+1+ Sn，求数列an
的通项公式；
13. 从条件①2Sn= (n + 1)an，②
Sn +
Sn-1 = an(n ≥2)，③an> 0，a2
n+ an= 2Sn，中任选一个，补充
名校冲刺 实战教辅
10
到下面问题中，并给出解答．已知数列{an} 的前n 项和为Sn，a1= 1，
．
(1) 求数列{an} 的通项公式；
(2) 若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k 的值．
11
第一章 数列篇
第3讲
数列求和的7 大方法
典例讲解 · 掌握方法
题型1
分组求和法
1
已知数列an
满足2a1+ 22a2+⋯+2n-1an-1+ 2nan= 2n - 3
⋅2n+1+ 6.
(1) 求an
的通项公式；
(2) 若bn= 2an+ an，求数列bn
} 的前n 项和Tn.
2
已知数列an
为非零数列，且满足1 + 1
a1
1 + 1
a2
⋯1 + 1
an
=
1
2
n(n+1).
(1) 求数列an
的通项公式；
(2) 求数列
1
an + n
的前n 项和Sn.
题型2
并项求和法
3
已知数列an
各项均为正数，且a1= 2，an+1
2- 2an+1= an
2+ 2an．
(1) 求an
的通项公式
(2) 设bn= -1
nan，求b1+ b2+ b1+⋯+b20．
4
(2023 届长沙一中高三月考2) 设数列{an} 满足a1= 2，a2= 6，且an+2= 2an+1- an+ 2．
(1) 求证：数列{an+1- an} 为等差数列，并求{an} 的通项公式；
(2) 设bn= ancosnπ，求数列{bn} 的前n 项和Tn．
5
已知数列an
的前n 项和公式为Sn= 2an- 2 n ∈N ∗
,bn= 2log2an．
(1) 求证：数列an
是等比数列；
(2) 令cn= an+ (-1)nbn，求数列cn
的前n 项和Tn；
6
2023 届12 月T8 第1 次联考
已知数列
lnan
是等差数列, 记S n 为
an
的前n 项和,
Sn+ a1
是等比数列, a1= 1.
(1) 求an;
(2) 记bn= log2a2n-1+ log2a2n,求数列(-1)n⋅bn
2
的前10 项和.
题型3
倒序相加法
7
已知函数y = f x
满足f x
+ f 1 - x
= 1，若数列an
满足an= f(0) + f
1
n
+ f
2
n
+⋯
+f n - 1
n
+ f(1)，则数列an
的前20 项的和为(
)
A. 230
B. 115
C. 110
D. 100
名校冲刺 实战教辅
12
8
已知函数f(x) = log3 3x
1 - x ．
(1) 证明函数f(x) 的图像关于点
1
2 ,1
对称;
(2) 若Sn= f
1
n
+ f
2
n
+...+f n - 1
n
(n ∈N+,n ≥2)，求Sn；
题型4
分段求和法
9
已知Sn是数列an
的前n 项和，且Sn= 14n - n2.
(1) 求an
的通项公式；
(2) 若Tn= a1
+ a2
+ a3
+⋯+ an
，求Tn.
10
数列{an} 的前n 项和为Sn，若a1 = -17，点(Sn,Sn+1) 在直线y = n + 1
n
x + 2n + 2(n ∈N ∗)
上．
(1) 求证：数列
Sn
n
是等差数列，并求{an} 的通项公式；
(2) 若bn= an
，求数列bn
的前n 项和Tn．
题型5
错位相减法
11
(2023 届长郡高三月考2) 已知数列an
中，Sn 为an
的前n 项和，an+1 = Sn - n + 3，n ∈
N *，a1= 2.
(1) 求an
的通项公式；
(2) 设bn=
n
Sn- n + 2 n ∈N *
，数列bn
的前n 项和为Tn，求证：1
3 ≤Tn< 4
3 n ∈N *
.
12
2023 届高三模拟冲刺卷1
已知数列an
的前n 项和为Sn, 且a1 = 1
2 , 当n ≥2 时，Sn
2 =
anSn- an.
1
求Sn.
2
设bn= 2n
Sn
, 求数列bn
的前n 项和Tn.
13
2023 届雅礼中学高三月考5
已知函数f x
=
3cos πx
- sin πx
x ∈R
的所有正的零
点构成递增数列an
n ∈N*
.
(1) 求数列an
的通项公式；
(2) 设bn=
1
2
n an+ 2
3
，求数列bn
的前n 项和Tn.
14
(2023 届雅礼中学高三月考3) 设f1(x) =
2
1 + x ，定义fn+1(x) = f1[fn(x)],an= fn(0) - 1
fn(0) + 2 ，其中
n ∈N ∗.
(1) 求数列an
的通项公式；
(2) 若T2n= a1+ 2a2+ 3a3+⋅⋅⋅+2na2n，求T2n
13
第一章 数列篇
15
数列an
的前n 项和为Sn，且a1= 1,an+1= Sn．
(1) 求数列an
的通项公式；
(2) 设数列bn
满足bn= n ⋅an，求数列bn
的前n 项和Tn．
题型6
裂项求和之根式型
16
(2021 雅礼高三月考) 已知等差数列an
满足a2= 3,S5= 25.
(1) 求数列an
的通项公式；
(2) 设bn=
1
an+1 +
an
,Tn为数列bn
的前n 项和，求Tn.
17
(2019 长沙一中高三月考) 已知正项数列an
的前n 项和为Sn，n ∈N *，2Sn= a2
n+ an. 令bn
=
1
an an+1 + an+1 an
，设bn
的前n 项和为Tn，则在T1,T2,T3,⋯,T100中有理数的个数为(
)
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
18
(2023 届湖南师大附中高三月考2) 已知数列an
中，an> 0，Sn是数列an
的前n 项和，且
an+ 2
an = 2Sn．
(1) 求S2，S3，并求数列an
的通项公式an；
(2) 设bn=
1
Sn+ Sn+2
，数列bn
的前n 项和为Tn，若2 2Tn- k ≥0 对任意的正整数n 都成立，求
实数k 的取值范围．
题型7
裂项求和之对数型
19
已知数列an
的通项为an= lg n + 1
n
, 若其前n 项和Sn= 2，则n =
题型8
裂项求和之三角函数型
20
已知数列an
的前n 项和为Sn，且满足a1= 1，当n ≥2 n ∈N *
时，n - 1
Sn- n + 1
Sn-1
= 1
3 n3- n
.
(1) 证明
Sn
n n + 1
为等差数列，并求数列an
的通项公式；
(2) 设bn= tan an，求数列bn+1bn
的前2022 项和T2022.
21
在数1 和100 之间插入n 个实数，使得这n + 2 个数构成等比数列，将这n + 2 个数的乘积记
作Tn，再令an= lgTn,n ≥1, 且n ∈N *。
(1) 求数列an
的通项公式；
(2) 设bn= tanan⋅tanan+1，求数列bn
的前n 项和Sn。
题型9
裂项求和之等差型
名校冲刺 实战教辅
14
22
已知数列an
的各项均为正数，且对任意的n ∈N*都有a1
2 + a2
22 +⋯+ an
2n = n.
(1) 求数列an
的通项公式；
(2) 设bn=
1
(n + 1)log2an
n ∈N*
，且数列bn
的前n 项和为Tn，问是否存在正整数m，对任意正
整数n 有Tn>
m
2022 恒成立？若存在，求出m 的最大值；若不存在，请说明理由.
23
已知数列an
的前n 项和为Sn，且满足a1= 2,Sn= 3
2 an- n，数列bn
满足b1+ 22b2+ 32b3+
⋯+n2bn= n.
(1) 求数列an
, bn
的通项公式；
(2) 设数列
(n + 1)bn+2
log3 an+ 1
2
的前n 项和为Tn，求证：Tn< 5
16 .
24
已知等差数列{an} 的前n 项和为Sn= n2+ r，其中r 为常数．
(1) 求r 的值；
(2) 设bn= 1
2 (an+ 1)，求数列
1
bn⋅bn+1bn+2
的前n 项和Tn．
题型10
裂项求和之等比型
25
已知Sn为数列an
的前n 项和，且a1= 1．an= Sn-1+ 1 n ≥2
(1) 求an；
(2) 求数列
2n
Sn⋅Sn+1
的前n 项和Tn
26
(2023 届一中第3 次月考) 已知数列
an
的首项为正数, 其前n 项和Sn 满足2Sn = 3an -
8
4Sn- 3an
.
(1) 求实数λ 的值，使得
S2
n+ λ
是等比数列；
(2) 设bn=
3n
SnSn+1
, 求数列
b2
n
的前n 项和.
题型11
裂项求和之等差等比混合型
27
在各项均为正数的等比数列an
中，Sn为其前n 项和，a1= 1，a3，2S2，a4成等差数列．
(1) 求an
的通项公式；
(2) 若bn= log2 Sn+ 1
，数列
bn+ 2
bnbn+1an+2
的前n 项和为Tn，证明：3
8 ≤Tn< 1
2 ．
28
已知正项等差数列an
的前n 项和为Sn，且4Sn= anan+1+ 1,a1= 1.
(1) 求数列an
的通项公式；
(2) 若bn= 2n + 3
2nanan+1
，求数列bn
的前n 项和为Tn.
15
第一章 数列篇
29
(2023 届长郡高三月考2) 已知等差数列an
和正项等比数列bn
满足a1= b1= 2,a7= b3=
2a3，则数列(a2
n- 2)bn
的前n 项和为
.
30
已知数列an
的前n 项和为Sn，满足a1= 1
2 ，n2an= Sn，则an=
；设bn= 2n
an ，则数列
bn
的前n 项和Tn=
．
题型12
裂项求和之裂和型
31
已知等差数列an
的公差为2，前n 项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．
(1) 求数列an
的通项公式；
(2) 令bn= (-1)n-1
4n
anan+1 ，求数列{bn} 的前n 项和Tn.
巩固练习 · 融会贯通
1. 已知数列{an} 的前n 项和为Sn，a1= 3，且Sn+ Sn+1= 2an+1- 3．
(1) 求数列{an} 的通项公式；
(2) ①bn= anlog3an；②bn=
1
log3an⋅log3an+2 ；③bn= an- log3an．
从上面三个条件中任选一个，求数列{bn} 的前n 项和Tn．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个
解答计分．
2. 已知数列an
的前n 项和为Sn，且1
S1
+ 1
S2
+⋅⋅⋅+ 1
Sn
=
2n
n + 1 ，设函数f x
= cosπx + 1
2 ，则
f
a1
2022
+ f
a2
2022
+ f
a3
2022
+⋅⋅⋅+f
a2021
2022
=
．
3. 已知数列an
的前n 项和为Sn,a1= 3, n - 1
Sn= nSn-1+ n2- n n ≥2
．
(1) 求数列an
的通项公式；
(2) 令bn= an
2n ，求数列bn
的前n 项和Tn．
4. 已知Sn为数列an
的前n 项和，a1= 2，∀n ∈N*，2Sn
an = n + 1. 数列bn
为等比数列，且b2b3= b5，
b7= a64.
(1) 求数列an
、bn
的通项公式；
(2) 设cn= an
bn
，求数列cn
的前n 项和Tn.
5. an
是等差数列，公差d > 0，Sn是an
的前n 项和. 已知a1a4= 22，S4= 26.
(1) 求数列an
的通项公式an；
(2) 令bn=
1
anan+1 ，求数列bn
前n 项和Tn.
6. 设数列an
的前n 项和为Sn，已知a1，an，Sn成等差数列，且a4= S3+ 2.
名校冲刺 实战教辅
16
(1) 求an
的通项公式；
(2) 若bn=
1
log2a2n+1⋅log2a2n+3 ，bn
的前n 项和为Tn，若对任意正整数n，不等式Tn< λ 恒成立，求λ
的最小值.
7. 在单调递增数列an
中，已知a1= 1，a2= 2，且a2n-1，a2n，a2n+1成等比数列，a2n，a2n+1，a2n+2成等差
数列n ∈N∗
．
(1) 求数列an
的通项公式；
(2) 设bn=
2n + 1
a2n-1a2n+1 ，Tn为数列bn
的前n 项和．若对∀n ∈N∗，不等式k > Tn均成立．求实数k 的
取值范围．
8. 已知数列an
的前n 项和为Sn，且Sn= 2an- 2n．
(1) 求证：an
2n
是等差数列，并求出an
的通项公式；
(2) 设bn=
n + 3
(n + 2)an
，求证：b1+ b2+ b3+⋯+bn< 1．
9. 已知数列an
满足：a1= 2，nan+1+ n + 1
= n + 2
an+ n + 1
3．
(1) 证明：数列
an
n n + 1
是等差数列；
(2) 设bn= n n + 2
2n+1an
，求数列bn
的前n 项和Sn．
10. 求证：
1
cos0∘cos1∘+
1
cos1∘cos2∘+⋅⋅⋅+
1
cos88∘cos89∘= cos1∘
sin21∘
11. 数列an
满足an+1=
n + 1
2an−n
an+ 4n
，且a1= 1
2 ．
1
求a2,a3,a4；
2
若存在实数t, 使数列
an+ tn
an+ n
成为以-1 为公差的等差数列，求实数t；
(3) 记数列bn=
1
3
n+2
2 an+2
的前n 项和Sn，求证：Sn>−2 3 + 1
12
．
17
第一章 数列篇
第4讲
数列的单调性问题
典例讲解 · 掌握方法
题型1
作差作商法
1
已知数列{an} 的通项公式为an = (n + 2) ⋅
6
7
n，则数列an
的项取得最大值时n 的值为
。
2
已知数列{an} 满足a1 = 1,P(an,an+1) (n ∈N ∗) 在直线x - y + 1 = 0 上，如果函数f(n) =
1
n + a1 +
1
n + a2 +⋅⋅⋅+
1
n + an (n ∈N ∗,n ≥2)，则函数f(n) 的最小值为
。
3
已知bn= 1
2n ，若对一切n ∈N ∗，都有(1 - b1) ⋅(1 - b2) ⋅⋅⋅(1 - bn) ≤
λ
2n + 1 成立，求实数λ 的
最小值.
4
已知数列{an} 与{bn} 满足an= 2bn+ 3,(n ∈N *)，若{bn} 的前n 项和为Sn= 3
2 (3n- 1) 且λan
> bn+ 36(n - 3) + 3λ 对一切n ∈N ∗恒成立，则试数λ 的取值范围为
。
5
设等比数列an
的前n 项和为Sn，且a2= 1
8
1
, 且S1+ 16 ,S2,S3成等差数列，数列{bn} 满足bn
= 2n。
(1) 求数列an
的通项公式；
(2) 设cn= an⋅bn，若对任意n ∈N ∗，不等式c1+ c2+⋅⋅⋅+cn≥1
2 λ + 2Sn−1 恒成立，求λ 的取值范
围.
6
数列{an} 的前n 项和为Sn，且首项a1≠3，an+1= Sn+ 3n(n ∈N *).
(1) 求证{Sn- 3n} 是等比数列。
(2) 若数列{an} 为递增数列，求a1的取值范围。
题型2
利用函数图象性质分析法
7
已知数列{an} 满足an= 4n + 10
2n - 19 ，求数列{an} 的最大最小项。
8
已知数列{an} 满足：an≤an+1,an= n2+ λn,n ∈N *，则实数λ 的最小值为
。
题型3
分段数列的单调性问题
9
已知函数f(x) = (3 - a)x - 6, x ≤10
ax-9,
x > 10
，若数列{an} 满足an= f(n) (n ∈N *)，且{an} 是递增数
列，则实数a 的取值范围是
。
名校冲刺 实战教辅
18
第5讲
数列中的奇偶问题
典例讲解 · 掌握方法
题型1
等差等比数列中的奇数项偶数项性质
1
已知数列an
为等差数列，其前12 项和为354，在前12 项中，偶数项之和与奇数项之和的比为
32
27 ，则这个数列的公差为
。
2
等比数列an
的首项为1，项数为偶数，且奇数项和为85，偶数项和为170，则数列的项数为
。
3
已知等差数列an
的项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，则数列的中间项为
；项数为
。
题型2
连续两项和或积的奇偶问题
4
若数列an
满足：a1= 1，an+ an+1= 5n，求数列an
的通项公式an和前n 项和Sn。
5
若数列an
满足：a1= 1，an+ an+1= 4n，求数列an
的通项公式an和前n 项和Sn。
6
已知数列an
满足an+1+ an= 4n - 3 n ∈N *
.
(1) 若数列an
是等差数列，求a1的值；
(2) 当a1= 2 时，求数列an
的前n 项和Sn；
7
若数列an
满足：a1= 1，anan+1= 4n，求数列an
的通项公式an和前n 项和Sn。
8
已知数列an
中，a1 = 1，an ⋅an+1 =
1
2
n，记Sn 为an
的前n 项的和，bn = a2n + a2n-1，n ∈
N ∗．
(1) 求数列an
的通项公式；
(2) 判断数列{bn} 是否为等比数列，并求出bn；
(3) 求Sn.
9
已知数列an
的前n 项和为Sn,a1= 1,a2= 2,2Sn= an+2+ an+1- 3，求Sn；
题型3
明确奇偶条件的问题
10
已知数列{an} 满足a1= -1，a2= 1，且an+2= 2 + (-1)n
2
an(n ∈N *).
(1) 求a5+ a6的值；
(2) 设Sn为数列{an} 的前n 项的和，求Sn；
19
第一章 数列篇
11
2023 届长郡中学高三月考6
已知数列{a n} 满足a 1 = 1 ，a n+1 =
2an+ n - 1,n 为奇数
an- n + 2,n 为偶数
，
n ∈N*
.
(1) 证明：a2n-1
是等比数列
(2) 求数列an
的前2n 项和S2n.
12
2023 届湖南师大附中高三月考5
已知等比数列an
的首项a1 = 1，公比为q，前n 项和为
Sn，且S4，S3，S5成等差数列.
(1) 求an
通项an；
(2) 若bn= an,
n = 2k - 1
qn + 1, n = 2k
,k ∈N∗，求bn
的前n 项和Tn.
13
已知数列an
满足a1= 1,an+1= 3an+ 3n,n 为奇数
-an- n - 1,n 为偶数
，记数列an
的前n 项和为Sn，bn=
a2n,n ∈N *.
(1) 求证：数列bn
为等比数列，并求数列an
的通项公式an；
(2) 求Sn；
巩固练习 · 融会贯通
1. 已知数列{an} 中，a1= 1，an+1=
1
3 an+ n,n 为奇数
an- 3n,n 为偶数
。
(1) 求a2，a3，a4的值；
(2) 是否存在常数λ 使得数列{a2n−λ} 是等比数列；
(3) 求数列{an} 的前n 项和Sn，并求满足Sn> 0 的所有正整数n 的值．
2. 已知数列{an} 中，a1= 1，an+1= 3 - (-1)n
2
an+ 1 + (-1)n
2
.
(1) 设bn= a2n-1，求数列{bn} 的通项公式
(2) 求数列{an} 的通项公式和前n 项和Sn.
3. 已知数列{an} 的前n 项和为Sn，且Sn满足Sn= 2an+ (-1)n,n ≥1.
(1) 求数列{an} 的前3 项a1，a2，a3；
(2) 求数列{an} 的通项公式.
4.（2020 卷1 文科）数列{an} 满足an+2+ (-1)nan= 3n - 1，前16 项和为540，则a1=
.
5. (2023 届长郡高三第3 次月考) 已知数列an
的前n 项和Sn，对任意n ∈N *，Sn= -1
nan+ 1
2n +
n - 3 且an+1- p
an- p
< 0 恒成立，则实数p 的取值范围是
．
6. 已知等差数列{an} 前n 项和为Sn(n ∈N+)，数列{bn} 是等比数列，a1= 3，b1= 1，b2+ S2= 10，a5-
2b2= a3.
名校冲刺 实战教辅
20
(1) 求数列{an} 和{bn} 的通项公式；
(2) 若cn=
2
Sn ,n 为奇数
bn,n 为偶数
，设数列{cn} 的前n 项和为Tn，求T2n.
7. 已知数列an
满足a1
2 + a2
22 +⋅⋅⋅+ an
2n = n
2n ．
(1) 求数列an
的通项公式；
(2) 对任意的n ∈N ∗，令bn= 2 - n,n 为奇数
22-n, 为偶数
，求数列bn
的前n 项和Sn．
8. 已知数列an
满足a1= 1，an+ an+1= 2n；数列bn
前n 项和为Sn，且b1= 1，2Sn= bn+1- 1.
(1) 求数列an
和数列bn
的通项公式；
(2) 设cn= an⋅bn，求cn
前2n 项和T2n.
9. (多选) 已知数列{an} 满足a1= -2，a2= 2，an+2- 2an= 1 - (-1)n，则(
)
A. {a2n-1} 是等比数列
B.
5
i=1
a2i−1+ 2
= -10
C. {a2n} 是等比数列
D.
10
i=1
ai
= 52
10. 已知数列an
的前n 项和Sn满足：Sn= 2an+ (-1)n，n ≥1.
(1) 求数列an
的前3 项a1，a2，a3；
(2) 求证：数列an+ 2
3 ⋅-1
n
是等比数列：
(3) 求数列(6n - 3) ⋅an
的前n 项和Tn.
21
第一章 数列篇
第6讲
数列中的简单放缩方法
典例讲解 · 掌握方法
题型1
放缩为可裂项求和的类型
1
(2023 届雅礼高三月考2) 已知n ∈N*，抛物线y = -x2+ n 与x 轴正半轴相交于点A．设an
为该拋物线在点A 处的切线在y 轴上的截距．
(1) 求数列an
的通项公式；
(2) 设bn= nan
2 ，求证：1
b1
+ 1
b2
+⋯+ 1
bn
< 2 - 1
n (n ∈N*且n ≥2)．
2
2023 届雅礼中学高三月考6
已知数列an
的各项均为正数，Sn为其前n 项和，对于任意n
∈N ∗，满足关系Sn= 2an- 2．
(1) 求数列an
的通项公式；
(2) 设数列bn
的前n 项和为Tn，且bn=
1
log2an
2 ，求证：当n ≥4 时，总有Tn< 61
36 ．
3
已知数列{an} 的前n 项和为Sn，且4Sn= 2n - 1
an+1+ 1，a1= 1．
(1) 求数列{an} 的通项公式；
(2) 设bn=
1
an Sn
，数列{bn} 的前n 项和为Tn，证明Tn< 3
2 ．
4
设Sn是正项数列{an} 的前n 项和，且Sn= 1
3 a2
n+ 1
2 an．
(1) 求an；
(2) 设
bn =
3
4an+ 3 (n ∈N+)，且数列{bn} 的前n 项和为Tn，试比较Tn与1
4 的大小．
5
设Sn是正项数列{an} 的前n 项和，且Sn= 1
4 a2
n+ 1
2 an- 3
4
(1) 求数列{an} 的通项公式；
(2) 是否存在等比数列{bn}，使a1b1+ a2b2+⋯+anbn= (2n - 1) ∙2n+1+ 2 对一切正整数n 都成立？
并证明你的结论．
(3) 设
Cn =
1
1 + an (n ∈N *)，且数列{cn} 的前n 项和为Tn，试比较Tn与1
6 的大小．
6
2023 届湖南师大附中高三月考6
已知数列{an} 中，a1= 1，其前n 项的和为Sn，且满足an=
2S2
n
2Sn- 1 (n ≥2).
(1) 求证：数列
1
Sn
是等差数列；
(2) 证明：当n ≥2 时，S1+ 1
2 S2+ 1
3 S3+⋅⋅⋅+ 1
n Sn< 3
2 .
名校冲刺 实战教辅
22
7
设正项数列an
满足a1= 1，且na2
n+1- n + 1
a2
n= n2+ n n ∈N *
.
(1) 证明：数列
a2
n
n
是等差数列，并求数列an
的通项公式；
(2) 设bn=
1
2 a3
n
，求证：数列bn
的前n 项和Sn< 3
2 .
题型2
等比型放缩技巧
8
记Sn是公差不为0 的等差数列an
的前n 项和，已知a3+ 3a4= S5，a1a5= S4，数列bn
满足
bn= 3bn-1+ 2n-1 n ≥2
，且b1= a1- 1.
(1) 求an
的通项公式，并证明数列
bn
2n + 1
是等比数列；
(2) 若数列cn
满足cn= -1
n-1
4n
an- 1
an+1- 1
，求cn
的前n 项和的最大值、最小值.
(3) 求证：对于任意正整数n，1
b1
+ 1
b2
+⋯+ 1
bn
< 3
2 .
9
(2014 卷Ⅱ理) 已知数列an
满足a1= 1,an+1= 3an+ 1.
(1) 证明an+ 1
2
是等比数列，并求an
的通项公式；
(2) 证明：1
a1 + 1
a2 +...+ 1
an < 3
2 .
23
第二章 平面向量篇
第二章
平面向量
第1讲
平面向量的基础知识
典例讲解 · 掌握方法
1
(2021 甲卷理) 已知向量a= 3,1
,b= 1,0
,c= a+ kb．若a⊥c，则k =
2
(2018 卷3 理) 已知向量a= 1,2
，b= 2,-2
，c= 1,λ
．若c∥2a+ b
，则λ =
．
3
(2022 新高考2) 已知a= (3,4),b= (1,0),c= a+ tb，若< a,c>=< b,c>，则t = (
)
A. - 6
B. - 5
C. 5
D. 6
4
(2015 广东) 在平面直角坐标系xoy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB
= (1,-2)，AD
= (2,1) 则AD
⋅AC
= (
)
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
5
(2022 甲卷理) 设向量a，b的夹角的余弦值为1
3 ，且a
= 1，b
= 3，则2a+ b
⋅b=
．
6
(2019 卷Ⅰ文) 已知非零向量a，b满足|a| = 2|b|，且(a- b) ⊥b，则a与b的夹角为(
)
A. π
6
B. π
3
C. 2π
3
D. 5π
6
7
(2022 乙卷理) 已知向量a,b满足|a| = 1,|b| =
3,|a- 2b| = 3，则a⋅b= (
)
A. - 2
B. - 1
C. 1
D. 2
8
(2020 卷1 理) 设a,b为单位向量，且|a+ b| = 1，则|a- b| =
9
( 2021 新高考1 卷) 已知O 为坐标原点，点P 1 cosα,sinα
，P 2 cosβ,-sinβ
，
P3 cos α + β
,sin α + β
，A 1,0
，则(
)
A. OP1
= OP2
B. AP1
= AP2
C. OA
⋅OP
3= OP1
⋅OP2
D. OA
⋅OP1
= OP2
⋅OP3
10
在平面中的向量a，b 满足a
= b
= 1 且a ⋅b = 0.O 为平面内一点，且OQ
=
2 a + b
，OP
= cosθa + sinθb θ ∈0,2π
，则PQ
的取值范围为(
)
A. 0,1
B.
2 - 1, 2 + 1
名校冲刺 实战教辅
24
C. 1,3
D.
2,2 2
11
(2022 广东一模) 如图，已知扇形AOB 的半径为10，以O 为原点建立平面直角坐标系，OA
=
(10,0)，OB
= (6,8)，则AB
的中点C 的坐标为
．
12
(2023 届湖南师大附中高三月考4) 多选
已知OA
，OB
是平面内两个夹角为120° 的单位向
量，点C 在以O 为圆心的AB
上运动，若OC
= xOA
+ yOB
x,y ∈R
. 下列说法正确的有(
)
A. 当C 位于AB
中点时，x = y = 1
B. 当C 位于AB
中点时，x + y 的值最大
C. OC
在OA
上的投影向量的模的取值范围为
1
2 ,1
D. OC
⋅OA
- OB
的取值范围为- 3
2 , 3
2
13
2023 届湖南师大附中高三月考6
我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定
理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦
图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24 届国际数学家
大会的会徽. 如图，大正方形ABCD 是由4 个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB
= a，AD
= b，E 为BF 的中点，则AE
= (
)
A. 4
5 a+ 2
5 b
B. 2
5 a+ 4
5 b
C. 4
3 a+ 2
3 b
D. 2
3 a+ 4
3 b
【详解】【详解】设BE = m，由题意，可得AE = BF = 2BE = 2m，在Rt△ABE 中，可得AB =
m2+ 4m2 =
5 m ，过点E 作EH ⊥AB 于点H ，则EH = BE ⋅AE
AB
= 2m2
5m = 2 5
5
m ，且
EH ⎳AD，所以AH =
2m
2-
2 5
5
m
2
= 4 5
5
m，所以AH = 4
5 AB，HE = 2
5 AD，
因此AE
= AH
+ HE
= 4
5 AB
+ 2
5 AD
= 4
5 a+ 2
5 b.故选：A.
25
第二章 平面向量篇
名校冲刺 实战教辅
26
第2讲
平面向量数量积的三板斧
典例讲解 · 掌握方法
题型1
基底法
1
如图，设A，B 是半径为2 的圆O 上的两个动点，点C 为AO 中点，则CO
⋅CB
的取值范围是
(
)
A
O
B
C
A. -1,3
B. 1,3
C. -3,-1
D. -3,1
2
如图，在半径为4 的扇形AOB 中，∠AOB = 120°，点P 是弧AB 上的一点，则AP
⋅BP
的最小
值为(
)
O
A
P
B
A. - 8
B. - 3
C. - 2
D. - 4
3
(2019 江苏) 如图，在ΔABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE = 2EA，AD 与CE 交于
点O．若AB
⋅AC
= 6AO
⋅EC
，则AB
AC 的值是
．
A
B
C
E
D
O
4
在四边形ABCD 中，AD ⎳BC ，AB = 2，AD = 5，BC = 3，∠BAD = 60°，点E 在线段CB 的
延长线上，且AE = BE，点M 在边CD 所在直线上，则AM
⋅ME
的最大值
为(
)
A. - 71
4
B. 121
16
C. - 51
4
D. - 30
5 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，在如图所示的鳖臑A - BCD
27
第二章 平面向量篇
中，AB ⊥平面BCD．∠BDC = 90°，BD = 2AB = 2CD = 2，E 是BC 的中点，H 是ΔABD 内的
动点(含边界)，且EH ⎳平面ACD，则CA
⋅EH
的取值范围是(
)
A
B
C
D
E
H
A. [0，3]
B.
1
2 ,3
C.
1
2 , 11
2
D. 3, 11
2
6
(湖南师大附中2021 届高三第3 次月考) 已知O 为ΔABC 的外心，OA
+ 2OB
+
6OC
= 0，
则∠ACB 的正弦值为(
)
A.
6
4
B. 1
4
C. 1
2
D. 3
8
7
(2023 届长沙一中高三月考5) 如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，CF
= 2FD
，
DE 与BF 相交于O．若AD = 2，AO
⋅(3AD
- 2AB
) = -7，则AB 的长为( )
A
B
E
C
F
D
O
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
8
(2023 届长郡中学高三月考6) 多选
在平面四边形ABCD 中，ΔABD 的面积是ΔBCD 面积
的2 倍，又数列{an} 满足a1= 2，恒有BD
= (an- 2n-1)BA
+ (an+1+ 2n)BC
，设{an} 的前n 项和为
Sn，则( )
A. {an} 为等比数列
B.
an
2n
为等差数列
C. {an} 为递增数列
D. Sn= (3 - n)2n+1- 6
题型2
投影法
9
(湖南师大附中2023 届高三第2 次月考) 圆内接四边形ABCD 中，AD = 2，CD = 4，BD 是圆
的直径，则AC
⋅BD
等于(
)
A. 12
B. - 12
C. 20
D. - 20
10
在ΔABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且b = 6，c = 4，点O 为外心，则AO
⋅BC
= (
)
名校冲刺 实战教辅
28
A. - 20
B. - 10
C. 10
D. 20
11
(2012 湖南) 如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD，垂足为P，且AP = 3，则AP
∙AC
=
．
A
D
C
B
P
12
(长郡中学2022 届高三月考) 骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面
结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮) 的半径均为
3，△ABE，△BEC，△ECD 均是边
长为4 的等边三角形. 设点P 为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，AC
⋅AP
的最大值为
.
A
E
D
P
C
B
13
(2020 新高考1) 已知P 是边长为2 的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP
∙AB
的取值范围
是(
)
A. (-2,6)
B. (-6,2)
C. (-2,4)
D. (-4,6)
14
(2022 届湖南师大附中高一月考) 设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为π
3 ，若a = e1+ 3e2，
b = 2e1，则向量a 在向量b 上的投影向量为
.
题型3
极化恒等式
15
如图，AB 是圆O 的一条直径，且|AB| = 4．C、D 是圆O 上的任意两点，|CD| = 2 2，点P
在线段CD 上，则PA
⋅PB
的取值范围是(
)
A
B
D
C
P
A. [-2，0]
B. [- 3,0]
C. [- 2,0]
D. [-1，0]
16
在边长为3 的正方形ABCD 中，以点A 为圆心作单位圆，分别交AB，AD 于E，F 两点，点P
是EF
上一点，则PB
⋅PD
的取值范围为
.
29
第二章 平面向量篇
17
在△ABC 中，已知∠A = 90°，AB = 2，AC = 4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，
则PB
⋅PC
的最大值为(
)
A. 16
5
B. 36
5
C. 46
5
D. 56
5
18
正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦(把球面上任意两点之间
的线段称为球的弦)，P 为正方形表面上的动点，当弦MN 最长时，PM
⋅PN
的最大值为
．
19
如图，在△ABC 中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 3，D 是AB 的中点，E、F 分别是边BC、AC 上
的动点，且EF = 1，则DE
⋅DF
的取值范围是
．
【详解】取EF 中点为M ，在RtΔCEF 中，EF = 1, 则CM = 1
2 ，∴点M 在以C 为圆心，1
2 为半径的
圆上；DE
⋅DF
= DM
2- 1
4 EF
2= DM
2- 1
4
∵CD
- R ≤DM
≤CD
+ R, 即2 ≤DM
≤3
15
4 ≤DE
⋅DF
≤35
4
20
(2023 届长郡中学高三月考6) 如图，在边长为2 的正方形ABCD 中，其对称中心O 平分线段
MN ，且MN = 2BC，点E 为DC 的中点，则EM
⋅EN
= ( )
A
B
C
D
E
N
M
O
A. - 3
B. - 2
C. - 3
2
D. - 1
2
名校冲刺 实战教辅
30
第3讲
平面向量中的解题技巧
典例讲解 · 掌握方法
题型1
同起点等系数原则
1
已知P 为ΔABC 所在平面内任一点，且PA
+ PB
+ PC
= AB
，则关于点P 与ΔABC 的位置
关系，下列说法正确的是
．(填序号)
①P 在ΔABC 内部；
②P 在ΔABC 外部；
③P 在边AB 上或其延长线上；
④P 在边AC 上．
2
(多选) 已知P 为ΔABC 所在平面内一点，则下列正确的是(
)
A. 若PA
+ 3PB
+ 2PC
= 0，则点P 在ΔABC 的中位线上
B. 若PA
+ PB
+ PC
= 0，则P 为ΔABC 的重心
C. 若AB
⋅AC
> 0，则ΔABC 为锐角三角形
D. 若AP
= 1
3 AB
+ 2
3 AC
，则ΔABC 与ΔABP 的面积比为3:2
3
(2023 届长郡中学高三第3 次月考) 已知等边三角形ABC 的边长为6，点P 满足3PA
+ 2PB
+ PC
= 0，则|PA
| =
.
题型2
线段等分点结论
4
(2022 新高考1) 在ΔABC 中，点D 在边AB 上，BD = 2DA．记CA
= m，CD
= n，则CB
=
(
)
A. 3m- 2n
B. - 2m+ 3n
C. 3m+ 2n
D. 2m+ 3n
5
在ΔABC 中，已知|AB
| = 4,|AC
| = 2,AD
= 1
3 AB
+ 2
3 AC
，
(1) 证明：B，C，D 三点共线；
(2) 若|AD
| =
6，求|BC
| 的值．
6
(2022 届湖南师大附中高二下入学考) 如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为AB、AD
上的点，且AM
= 4
5 AB
，AN
= 2
3 AD
，连接AC 、MN 交于P 点，若AP
= λAC
，则λ 的值为
(
)
A. 3
5
B. 3
7
C. 4
11
D. 4
13
7
如图，在ΔABC 中，AB = 2，AC = 3，∠BAC = 60°，DB
= 2AD
，CE
= 2EB
．
(1) 设AB
在AC
上的投影向量为λAC
，求λ 的值；
31
第二章 平面向量篇
(2) 用向量AB
，AC
表示向量DE
，并求|DE
|．
B
A
C
D
E
8
A，B，P 是直线l 上不同的三点，点O 在直线l 外，若OP
= mAP
+ (2m - 3)OB
,(m ∈R)，则
|PB
|
|PA
|
=
．
9
如图所示，已知在ΔABC 中，AE
= 2
3 AC
，BD
= 1
3 BC
，BE 交AD 于点F ，若AF
= λAB
+
μAC
，则λ + 2μ = (
)
A
B
C
D
E
F
A. 6
7
B. 8
7
C. 16
21
D. 26
21
10
在ΔABC 中，CA = CB = 1，∠ACB = 2π
3 ，若CM 与线段AB 交于点P，且满足CM
= λ1⋅CA
+ λ2⋅CB
，(λ1> 0，λ2> 0) 且|CM
| = 1，则λ1+ λ2的最大值为
．
题型3
万能建系思想
11
(2022 北京) 在ΔABC 中，AC = 3，BC = 4，∠C = 90°．P 为ΔABC 所在平面内的动点，且
PC = 1，则PA
⋅PB
的取值范围是(
)
A. [-5，3]
B. [-3，5]
C. [-6，4]
D. [-4，6]
12
(2023 届长沙一中高三第2 次月考) 如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为
界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相
渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律. 其平面图
形记为图乙中的正八边形ABC - DEFGH ，其中OA = 2，则以下结论错误的是(
)
A.
2OB
+ OE
+ OG
= 0
B. OA
⋅OD
= -2 2
C. AG
+ EH
= 4
D. AO
在OH
方向上的投影向量为-
2
2 OH
名校冲刺 实战教辅
32
13
(2012 江苏) 如图，在矩形ABCD 中，AB =
2，BC = 2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，
若AB
∙AF
=
2，则AE
∙BF
的值是
．
A
B
C
D
F
E
14
(2016 天津) 已知△ABC 是边长为1 的等边三角形，点D，E 分别是边AB，BC 的中点，连接
DE 并延长到点F，使得DE = 2EF，则AF
⋅BC
的值为(
)
A. −5
8
B. 1
4
C. 1
8
D. 11
8
15
(2015 北京) 在△ABC 中，点M ，N 满足AM
= 2MC
，BN
= NC
，若MN
= xAB
+ yAC
，则x
=
，y =
．
16
设点P 是边长为2 的△ABC 三边上的一动点，则PA
⋅(PB
+ PC
) 的取值范围是
．
17
(2023 届长郡中学高三第2 次月考) 已知边长为2 的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点
E 满足BE
= 2EC
，AE
⋅BD
= - 2
3 ，则AF
⋅EF
的最小值为
.
18
(2018 天津) 如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC，AD ⊥CD，∠BAD = 120°，AB = AD
= 1．若点E 为边CD 上的动点，则AE
⋅BE
的最小值为(
)
A. 21
16
B. 3
2
C. 25
16
D. 3
A
B
D
C
E
33
第二章 平面向量篇
19
(2017 卷2) 已知ΔABC 是边长为2 的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA
⋅(PB
+
PC
) 的最小值是(
)
A. - 2
B. - 3
2
C. - 4
3
D. - 1
20
(2022 浙江) 设点P 在单位圆的内接正八边形A1A2 ⋯A8 的边A1A2 上，则PA1
2 + PA2
2 +⋯
+PA8
2的取值范围是
．
21
在ΔABC 中，AB = 2，AC = 3 2，∠BAC = 135°，M 是ΔABC 所在平面上的动点，则w =
MA
⋅MB
+ MB
⋅MC
+ MC
⋅MA
的最小值为 ．
22
在ΔABC 中，AB = 2，AC = 3，BC = 4，若点M 为边BC 所在直线上的一个动点，则|4MA
+
3MB
+ 2MC
| 的最小值为(
)
A. 3 6
B. 6 6
C. 3 249
8
D. 3 15
2
题型4
奔驰定理
23
已知点O 是ΔABC 内一点，OA
+ 2OB
+ 3OC
= 0．
(1)ΔAOB 与ΔAOC 的面积之比为
；
(2)ΔABC 与ΔAOC 的面积之比为
；
(3)ΔABC 与四边形ABOC 的面积之比为
．
24
点O 为ΔABC 内一点，且满足OA
+ OB
+ 4OC
= 0，设ΔOBC 与ΔABC 的面积分别为S1、
S2，则S1
S2
= (
)
A. 1
8
B. 1
6
C. 1
4
D. 1
2
25
(多选)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”
(Mercedesbenz) 的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是ΔABC 内的
一点，ΔBOC，ΔAOC，ΔAOB 的面积分别为SA，SB，SC，则SA⋅OA
+ SB⋅OB
+ SC ⋅OC
= 0．若
O 是锐角ΔABC 内的一点，A，B，C 是ΔABC 的三个内角，且点O 满足OA
⋅OB
= OB
⋅OC
=
OA
⋅OC
．则(
)
A. O 为ΔABC 的外心
B. ∠BOC + A = π
C. |OA
|:|OB
|:|OC
| = cosA:cosB:cosC
D. tanA ⋅OA
+ tanB ⋅OB
+ tanC ⋅OC
= 0
名校冲刺 实战教辅
34
26
(多选)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”
轿车(Mercedesbenz) 的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是ΔABC
内一点，ΔBOC，ΔAOC，ΔAOB 的面积分别为SA，SB，SC，且SA⋅OA
+ SB⋅OB
+ SC ⋅OC
= 0．
设O 是锐角ΔABC 内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB 分别是ΔABC 的三个内角，以下命题正确
的有(
)
A. 若OA
+ 2OB
+ 3OC
= 0，则SA:SB:SC = 1:2:3
B. 若|OA
| = |OB
| = 2，∠AOB = 5π
6 ，2OA
+ 3OB
+ 4OC
= 0，则SΔABC = 9
2
C. 若O 为ΔABC 的内心，3OA
+ 4OB
+ 5OC
= 0，则∠C = π
2
D. 若O 为ΔABC 的垂心，3OA
+ 4OB
+ 5OC
= 0，则cos∠AOB = -
6
6
题型5
向量四心问题
27
已知O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP
= OA
+
λ
AB
|AB
|
+ AC
|AC
|
, λ ∈[0,+∞). 则P 点的轨迹一定通过△ABC 的(
)
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
28
已知O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP
= OA
+ λ(AB
+ AC
), λ ∈[0,+∞). 则P 点的轨迹一定通过△ABC 的(
)
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
29
已知O 是平面上的一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP
= OA
+
λ
AB
|AB
|sinB
+
AC
|AC
|sinC
,λ ∈[0,+∞), 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的(
)
A. 重心
B. 垂心
C. 外心
D. 内心
30
已知O 是平面上的一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP
= OA
+
λ
AB
|AB
|cosB
+
AC
|AC
|cosC
,λ ∈[0,+∞), 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的(
)
A. 重心
B. 垂心
C. 外心
D. 内心
31
已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP
=
35
第二章 平面向量篇
OB
+ OC
2
+ λ
AB
|AB
|cosB
+
AC
|AC
|cosC
, λ ∈[0,+∞), 则动点P 轨迹一定通过△ABC 的
(
)
A. 重心
B. 垂心
C. 外心
D. 内心
32
三个不共线的向量OA
,OB
,OC
满足OA
⋅
AB
|AB
|
+ CA
|CA
|
= OB
⋅
BA
|BA
|
+ CB
|CB
|
= OC
⋅
BC
|BC
|
+ CA
|CA
|
= 0，则O 点是△ABC 的(
)
A. 垂心
B. 重心
C. 内心
D. 外心
33
已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA
+ OB
+ OC
= 0, 则O 点是△ABC 的(
)
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
34
已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若PO
= 1
3 (PA
+ PB
+ PC
) (其中P 为平面上任意一
点), 则O 点是△ABC 的(
)
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
35
已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA
⋅OB
= OB
⋅OC
= OC
⋅OA
，则O 点是△ABC
的(
)
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
题型6
向量综合
36
在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC = BC = 1，CO
= xCA
+ yCB
且x + y = 1，函数f m
=
CA
- mCB
的最小值为
3
2 ，则CO
的最小值为
.
37
(多选) 已知a，b是平面上夹角为π
3 的两个单位向量，c在该平面上，且a- c
⋅b- c
=
0，则下列结论中正确的有(
)
A. a+ b
= 1
B. a- b
= 1
C. c
的最大值为
3 + 1
2
D. 设‹a+ b,c› = θ，则sinθ ∈0,
3
3
38
已知正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为1，E 为线段AA1的中点，AP
= λAB
+ μAD
，其中
λ，μ ∈0,1
，则下列选项正确的是(
)
A. μ = 1
2 时，A1P ⊥ED1
B. λ = 1
4 时，B1P + PD 的最小值为
13
2
C. λ = μ 时，三棱锥D1- EBP 的体积为定值
名校冲刺 实战教辅
36
D. λ + μ = 1 时，直线A1P 与面B1D1E 的交点轨迹长度为
2
4
【详解】由题意，正方体ABCD - A1B1C1D1 的棱长为1，E 为线段AA1 的中点，且AP
= λAB
+
μAD
，其中λ，μ ∈[0，1]，对于A 中，取M ，N 分别为AD，BC 的中点，当μ = 1
2 时，可得点P 在线
段MN 上运动，如图(1) 所示，在正方形ADD1A1中，因为M ，E 的中点，可得D1E ⊥A1M ，
又由A1B1⊥平面ADD1A1，D1E ⊂平面ADD1A1，所以D1E ⊥A1B1，因为A1M ∩A1P = A1，所以
D1E ⊥平面A1B1NM ，又因为A1P ⊂平面A1B1NM ，所以A1P ⊥ED1，所以A 正确；
对于B 中，在AB，CD 上分别取点G 和点H ，使得AG = DH = 1
4 ，连接GH ，当λ = 1
4 时，可得点
P 在线段GH 上运动，在直角△BB1G 中，BB1= 1,BG = 3
4 ，可得B1G =
BB2
1 + BG2 = 5
4 ，
如图(2) 所示，沿GH 将平面B1C1HG 旋转到与平面ABCD 重合，得到平面AB2C2D，连接B2D，则
B2D =
AB2
2+ AD2 =
5
4 + 1
4
2+ 12 =
13
2
，即B1P + PD 的最小值为
13
2
，所以B 正确；
对于C 中，如图(3) 所示，取CC1的中点F，分别连接EF，BF，FD1，AC，当λ = μ 时，可得点P 在
线段AC 上运动，由AC ⎳EF 且AC ⊄平面BFD1E，所以AC ⎳平面BFD1E，所以点P 到平面
BFD1E 的距离为定值，即三棱锥P - BD1E 的高h 为定值，又由ΔBED1 的面积为定值，所以
VD1-EBP= VP-BD1E= 1
3 S△BD1E⋅h(定值)，所以C 正确；
对于D 中，如图(4) 所示，连接BD，A1B，A1D，交B1E，D1E 于点K 和点L，当λ + μ = 1 时，可得点
P 在线段BD 上运动，因为BD ⎳B1D1且BD ⊄平面B1D1E，所以BD ⎳平面B1D1E，又因为平面
B1D1E ∩平面ABD = KL，所以KL ⎳BD，由△A1EK 与△BB1K 相似，且相似比为1:2，
37
第二章 平面向量篇
所以KL = 1
3 BD =
2
3 ，即直线A1P 与面B1D1E 的交点轨迹长度为
2
3 ，所以D 不正确．
名校冲刺 实战教辅
38
第三章
立体几何
第1讲
空间平行
典例讲解 · 掌握方法
题型1
构造三角形中位线证明平行
1
在正方体ABCD - A1B1C1D1中，M,N,P 分别是AD1,BD 和B1C 的中点. 求证：平面MNP ∥
平面CC1D1D.
2
(2022 新高考Ⅱ) 如图，PO 是三棱锥P - ABC 的高，PA = PB，AB ⊥AC，E 是PB 的中点，
求证：OE ⎳平面PAC.
3
如图，在三棱台DEF - ABC 中，AB = 2DE，G，H 分别为AC，BC 的中点．求证：BD ∥平
面FGH ；
4
如图，在三棱柱ABC - A′B′C′ 中，点M ，N 分别为A′B 和B′C′ 的中点，求证：MN ∥平面
AA′C′C；
39
第三章 立体几何篇
题型2
构造平行四边形证明平行
5
(2016 卷Ⅲ文) 如图，四棱锥P - ABCD 中，AD ∥BC ，AD = 3，BC = 4，M 为线段AD 上一
点，AM = 2MD，N 为PC 的中点，求证：MN ∥平面PAB.
6
(2019 卷Ⅰ文) 如图，直四棱柱ABCD - A1B1C1D1的底面是菱形，E，M ，N 分别是BC，BB1，
A1D 的中点，求证：MN ∥平面C1DE.
7
如图，在正方体ABCD - A1B1C1D1中，E，F 分别为棱DD1,CC1的中点. 求证：平面AEC1⎳
平面BDF
8
(2020 卷Ⅲ理) 如图，在长方体ABCD - A1B1C1D1中，点E,F 分别在棱DD1,BB1上，且2DE =
ED1，BF = 2FB1，证明：点C1在平面AEF 内.
名校冲刺 实战教辅
40
9
(2017 山东) 由四棱柱ABCD - A1B1C1D1截去三棱锥C1- B1CD1后得到的几何体如图所示，
四边形ABCD 为正方形，O 为AC 与BD 的交点，证明：A1O ∥平面B1CD1.
题型3
利用面面平行证明线面平行
10
如图，在直三棱柱ABC - A1B1C1中，M 为AB 的中点，点G 为△A1B1C1的重心，求证：BG ∥
平面A1CM
11
如图，三棱锥P - ABC 中，点E,F 分别是棱AB,PB 的中点，点G 是△BCE 的重心，求证：GF
∥平面PAC；
12
两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB，M ∈AC，N ∈FB，且AM = FN ，
过M 作MH ⊥AB 于H，求证：MN ⎳平面BCE.
41
第三章 立体几何篇
巩固练习 · 融会贯通
1. 如图，已知正方体ABCD - A1B1C1D1中，E,F 分别是A1D,BD 的中点.
(1) 求证：平面A1BD ∥平面CB1D1.
(2) 求证：EF ∥平面DCC1D1.
2. 直四棱柱ABCD - A1B1C1D1中，底面ABCD 为正方形，M 、N 分别为A1B1、A1D1的中点，E、F 分
别是B1C1、C1D1的中点，求证：平面AMN ⎳平面EFDB.
3. 如图所示，在三棱柱ABC - A1B1C1中，D1、D 分别为B1C1，BC 的中点，求证：平面A1BD1⎳平面
AC1D.
4. 如图，△ABC 是边长为2 的等边三角形，四边形ACDE 为菱形，DF ⎳BC，求证：EF ⎳平面ABC
名校冲刺 实战教辅
42
5. 如图，在长方体ABCD - A1B1C1D1 中，E ，F 分别是线段A1B1，BC 的中点，求证：EF ∥平面
AA1C1C.
6. 如图，在四棱柱ABCD - A1B1C1D1中，点M 是线段B1D1上的一个动点，E，F 分别是BC，CM 的中
点.
(1) 求证：EF ⎳平面BDD1B1；
(2) 设G 为棱CD 上的中点，求证：平面GEF ⎳平面BDD1B1.
43
第三章 立体几何篇
第2讲
空间垂直
典例讲解 · 掌握方法
题型1
希尔四面体中垂直的相关证明方法的应用
1
(2017 北京) 如图，在三棱锥P - ABC 中，PA ⊥AB，PA ⊥BC，AB ⊥BC，PA = AB = BC
= 2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．
(1) 求证：PA ⊥BD；(2) 求证：平面BDE ⊥平面PAC.
P
A
B
C
E
D
2
(2015 湖北)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，
将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P - ABCD 中，侧棱PD ⊥底
面ABCD，且PD = CD，点E 是PC 的中点，连接DE、BD、BE．证明：DE ⊥平面PBC．试判断
四面体EBCD 是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由.
P
A
B
C
D
E
3
如图1，在直角梯形ABCD 中，AB ⎳CD，AB ⊥AD，且AB = AD = 1
2 CD = 1．现以AD 为
一边向梯形外作矩形ADEF，然后沿边AD 将矩形ADEF 翻折，使ED ⊥DC，如图2．求证：BC
⊥平面BDE；
名校冲刺 实战教辅
44
E
D
C
B
A
F
图1
E
F
A
B
D
C
图2
题型2
利用平行线转化来证明垂直
4
(2014 湖北) 如图，在正方体ABCD - A1B1C1D1 中，E、F、P、Q、M 、N 分别是棱AB、AD、
DD1、BB1、A1B1、A1D1的中点，求证：
(1) 直线BC1⎳平面EFPQ；
(2) 直线AC1⊥平面PQMN．
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
N
M
Q
E
F
P
题型3
线面垂直与面面垂直的经典证明方法(构造直角三角形+证明转化)
5
(2023 届雅礼中学高三第2 次月考) 如图1，在ΔABC 中，AC = 2，∠ACB = 90°，∠ABC = 30°，
P 是AB 边的中点，现把ΔACP 沿CP 折成如图2 所示的三棱锥A - BCP，使得AB =
10．求
证：平面ACP ⊥平面BCP.
C
B
A
P
B
C
A
P
图1
图2
6
(2020 卷1 理) 如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE = AD．
△ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，PO =
6
6 DO，求证：PA ⊥平面PBC.
45
第三章 立体几何篇
7
(2022 甲卷理) 在四棱锥P - ABCD 中，PD ⊥底面ABCD,CD ∥AB,AD = DC = CB = 1,
AB = 2,DP =
3，求证：BD ⊥PA.
8
(2021 甲卷理) 已知直三棱柱ABC - A1B1C1中，侧面AA1B1B 为正方形，AB = BC = 2，E，F
分别为AC 和CC1的中点，D 为棱A1B1上的点．BF ⊥A1B1，求证：BF ⊥DE.
9
(2022 雅礼中学高二期中) 如图，四棱台ABCD - A1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1是边长为1 的
菱形，下底面ABCD 是边长为2 的菱形，D1D ⊥平面ABCD 且D1D = 1．求证：平面AA1C1C ⊥
平面BB1D1D；
10
如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 是边长为2 的菱形，∠ABC = 60°，E、F 分别是
PB、CD 的中点，且PB = PC = PD = 4．求证：PA ⊥平面ABCD；
P
A
B
C
D
F
E
名校冲刺 实战教辅
46
11
(2021 长郡中学期中) 如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD
所在平面垂直，M 是CD
上异
于C、D 的点．
(1) 证明：DM ⊥平面BMC；
(2) 在线段AM 上是否存在点P，使得MC ⎳平面PBD？说明理由．
A
B
C
D
M
12
(2021 乙卷理) 如图，四棱锥P - ABCD 的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD，PD = DC = 1，M
为BC 的中点，且PB ⊥AM ，求BC.
题型4
含有等腰三角形的垂直证明
13
如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠APB = 90°，∠ABC = 60°，PA = PB，
AB = PC = 4，点M 是AB 的中点，点N 在线段BC 上．求证：平面PAB ⊥平面ABCD.
A
B
C
D
M
P
14
(2023 届雅礼中学高三第6 次月考) 如图，四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 是边长为2 的菱
形，∠ABC = 60°，PA ⊥PB，PC = 2．求证：平面PAB ⊥平面ABCD；
P
B
A
D
C
15
(2023 届长沙一中第6 次月考) 如图，四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是边长为2 的正方形，
PA = PB = 3．证明：∠PAD = ∠PBC.
47
第三章 立体几何篇
P
B
C
D
A
16
(2015 卷1) 如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC = 120°，E，F 是平面ABCD 同一侧的两点，
BE ⊥平面ABCD，DF ⊥平面ABCD，BE = 2DF，AE ⊥EC．证明：平面AEC ⊥平面AFC；
E
A
F
C
B
D
巩固练习 · 融会贯通
A. 若α ⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n
B. 若m ⊥α，m ⎳n，n ⎳β，则α ⊥β
C. 若m ⊥n，m ⊂α，n ⊂β，则α ⊥
1. (2013 广东) 设m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，下列命题中正确的是(
)
β
D. 若α ⎳β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⎳n
2. (2021 浙江) 如图，已知正方体ABCD - A1B1C1D1，M ，N 分别是A1D，D1B 的中点，则(
)
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
N
M
E
A. 直线A1D 与直线D1B 垂直，直线MN ⎳平面ABCD
B. 直线A1D 与直线D1B 平行，直线MN ⊥平面BDD1B1
C. 直线A1D 与直线D1B 相交，直线MN ⎳平面ABCD
D. 直线A1D 与直线D1B 异面，直线MN ⊥平面BDD1B1
3. (2022 乙卷) 在正方体ABCD - A1B1C1D1中，E，F 分别为AB，BC 的中点，则(
)
A. 平面B1EF ⊥平面BDD1
B. 平面B1EF ⊥平面A1BD
名校冲刺 实战教辅
48
C. 平面B1EF ⎳平面A1AC
D. 平面B1EF ⎳平面A1C1D
4. (2021 新高考Ⅱ) (多选) 如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的
顶点．则满足MN ⊥OP 的是(
)
A.
B.
C.
D.
5. 已知P 是△ABC 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC ，求证：BC ⊥
AC.
P
A
C
B
P
A
C
B
6. 如图所示，已知四棱锥P - ABCD 是底面边长为2 的菱形，且∠ABC = 60°，PA = PB =
2，PC =
2．求证：平面PAB ⊥平面ABCD；
P
A
B
C
D
7. 如图，四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是边长为2 的正方形，PA = PB = 3．证明：PC = PD；
P
A
B
C
D
8. (2023 届长沙一中高三第3 次月考) 如图，点E 在ΔABC 内，DE 是三棱锥D - ABC 的高，且DE =
2．ΔABC 是边长为6 的正三角形，DB = DC = 5，F 为BC 中点．证明：点E 在AF 上.
49
第三章 立体几何篇
D
A
E
B
C
F
9. (2022 届长郡中学月考) 如图，四棱锥P - ABCD 中，底面四边形ABCD 为正方形，侧面ΔPCD 是
边长为2 的正三角形，若顶点P 在底面的射影落在底边CD 上，M 在BC 上且满足AM
= 1
2 (AB
+
AC
)．求证：BC ⊥PD；
10. 如图，AB 是半球的直径，O 为球心，AB = 4，M ，N 依次是半圆AB
上的两个三等分点，P 是半球
面上一点，且PN ⊥MB．证明：平面PBM ⊥平面PON.
P
A
B
N
M
O
11. (2016 卷1) 如图，已知正三棱锥P - ABC 的侧面是直角三角形，PA = 6，顶点P 在平面ABC 内的
正投影为点D，D 在平面PAB 内的正投影为点E，连接PE 并延长交AB 于点G．证明：G 是AB 的
中点.
P
A
B
C
G
D
E
名校冲刺 实战教辅
50
第3讲
空间几何体的表体积
典例讲解 · 掌握方法
题型1
求体积之公式法
1
(2022 新高考Ⅰ) 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水
库. 已知该水库水位为海拔148. 5m 时，相应水面的面积为140. 0km2；水位为海拔157. 5m 时，相
应水面的面积为180. 0km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔
148. 5m 上升到157. 5m 时，增加的水量约为( 7 ≈2.65) (
)
A. 1.0 × 109m3
B. 1.2 × 109m3
C. 1.4 × 109m3
D. 1.6 × 109m3
2
(2022 甲卷文) 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为
S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若S甲
S乙
= 2，则V甲
V乙
= (
)
A.
5
B. 2 2
C.
10
D. 5 10
4
3
(2022 新高考Ⅱ) 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3 3 和4 3，其顶点都在同一
球面上，则该球的表面积为(
)
A. 100π
B. 128π
C. 144π
D. 192π
4
(2021 新高考1) 已知圆锥的底面半径为
2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为
(
)
A. 2
B. 2 2
C. 4
D. 4 2
5
(2021 新高考2) 正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为( )
A. 20 + 12 3
B. 28 2
C. 56
3
D. 28 2
3
6
(2015 卷1)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：
“今有委米依
垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：
“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一
个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8 尺，米堆的高为5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多
少？”已知1 斛米的体积约为1.62 立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )
51
第三章 立体几何篇
A. 14 斛
B. 22 斛
C. 36 斛
D. 66 斛
7
(2014 湖北)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早
的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，
该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h，计算其体积V 的近似公式V ≈1
36 L2h，它实际上
是将圆锥体积公式中的圆周率π 近似取为3，那么，近似公式V ≈2
75 L2h 相当于将圆锥体积公式中
的π 近似取为( )
A. 22
7
B. 25
8
C. 157
50
D. 355
113
8
2023 届雅礼中学高三月考5
已知三棱台ABC - A1B1C1中，三棱锥A - A1B1C1的体积为4，
三棱锥A1- ABC 的体积为8，则该三棱台的体积为(
)
A. 12 + 3 3
B. 12 + 4 2
C. 12 + 4 3
D. 12 + 4 7
题型2
求体积之选取剖面图法
9
(2022 新高考Ⅱ) 多选
如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD，FB ⎳ED，AB =
ED = 2FB．记三棱锥E - ACD，F - ABC，F - ACE 的体积分别为V1，V2，V3，则( )
A
B
C
D
E
F
A. V3= 2V2
B. V3= V1
C. V3= V1+ V2
D. 2V3= 3V1
题型3
找顶点投影来解决体积问题
10
如图，已知四边形ABCD 由Rt△ABC 和Rt△BCD 拼接而成，其中∠BAC = ∠BCD = 90°，
∠DBC = 30°，AB = AC，BC = 2 3，将△ABC 沿着BC 折起，若AD =
6，求三棱锥A - BCD 的
体积.
名校冲刺 实战教辅
52
A
B
C
D
思路分析：根据题目条件，△ABC 沿着BC 折起的过程中二面角A - BC - D 在变化，所以在确定
A 点投影位置时可以从二面角切入；或者经过计算知AB = AC = AD =
6，所以也可从“等腰（顶
点的投影必过底边的中点）”的角度切入去寻找A 的投影.
11
2023 届长郡中学高三月考6
在四棱锥P - ABCD 中, 底面ABCD 是边长为2 的正方形, 平
面PAB ⊥平面PCD, 则P - ABCD 体积的最大值为__________.
题型4
利用面面垂直性质求解体积问题
12
如图，在三棱柱ABC −A1B1C1中，侧面AA1B1B ⊥底面ABC, 侧棱AA1与底面ABC 成60°
的角，AA1= 2，底面ABC 是边长为2 的正三角形，其重心为G 点，E 是线段BC1上一点，且BE =
1
3 BC1.
1
求证：GE ⎳侧面AA1B1B; 2
求三棱锥G - AA1B 的体积.
A1
C1
B1
A
B
C
E
G
题型5
利用线面垂直解决体积问题
13
(2021 乙卷) 如图，四棱锥P - ABCD 的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD，M 为BC 的中点，且
PB ⊥AM．
(1) 证明：平面PAM ⊥平面PBD；
(2) 若PD = DC = 1，求四棱锥P - ABCD 的体积．
53
第三章 立体几何篇
14
(2020 卷Ⅱ) 如图，已知三棱柱ABC - A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C 是矩形，M ，
N 分别为BC，B1C1的中点，P 为AM 上一点．过B1C1和P 的平面交AB 于E，交AC 于F．
(1) 证明：AA1⎳MN ，且平面A1AMN ⊥平面EB1C1F；
(2) 设O 为△A1B1C1的中心．若AO = AB = 6，AO ⎳平面EB1C1F，且∠MPN = π
3 ，求四棱锥B
- EB1C1F 的体积．
题型6
利用线面平行等高原理求高
15
改编
如图，在三棱柱ABC −A1B1C1中，侧面AA1B1B ⊥底面ABC, 侧棱AA1与底面ABC
成60°的角，AA1= 2，底面ABC 是边长为2 的正三角形，其重心为G 点，E 是线段BC1上一点，且
BE = 1
3 BC1.求三棱锥E - AA1C 的体积.
A1
C1
B1
A
B
C
E
G
题型7
割补法求体积
16
(2022 甲卷文) 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底
面ABCD 是边长为8(单位：cm) 的正方形，△EAB,△FBC,△GCD,△HDA 均为正三角形，且它们
名校冲刺 实战教辅
54
所在的平面都与平面ABCD 垂直．
(1) 证明：EF ⎳平面ABCD；
(2) 求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度)．
17
(2019 卷Ⅲ理) 学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型. 如图，该模型为长方体
ABCD - A1B1C1D1挖去四棱锥O - EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E,F,G,H
分别为所在棱的中点，AB = BC = 6cm,AA1= 4cm，3D 打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打
印损耗，制作该模型所需原料的质量为
g.
18
如图已知长方体ABCD - A1B1C1D1 的长宽高分别为3,4,5, 则三棱锥D - A1BC1 体积为
.
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
题型8
组合体的体积求解
19
(2016 江苏) 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P -
A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD - A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O 是正
四棱锥的高PO1的4 倍．
(1) 若AB = 6m，PO1= 2m，则仓库的容积是多少？
(2) 若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？
55
第三章 立体几何篇
P
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O1
O
巩固练习 · 融会贯通
1. (2020 卷Ⅰ) 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱
锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底
面正方形的边长的比值为(
)
A.
5 - 1
4
B.
5 - 1
2
C.
5 + 1
4
D.
5 + 1
2
2. (2020 全国) 已知正三棱锥P - ABC ，AB = 2，PA =
3，D 为PC 中点，则三棱锥D - ABC 的体
积为(
)
A.
5
6
B. 1
3
C.
3
6
D.
2
6
3. (2018 江苏) 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为
．
4. (2015 上海) 底面半径为1，母线长为2 的圆锥的体积为(
)
A. 2π
B.
3π
C. 2π
3
D.
3π
3
5. (2016 卷1) 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该
几何体的体积是28π
3 ，则它的表面积是(
)
名校冲刺 实战教辅
56
A. 17π
B. 18π
C. 20π
D. 28π
6. (2021 全国) 三棱锥P - ABC 中，PA ⊥底面ABC ，且PA = 3，AB = CB = 2，AC = 2 2，则侧面
PBC 的面积是
．
7. (2015 上海) 若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16 3，则a =
．
8. (2017 江苏) 如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2
的体积为V1，球O 的体积为V2，则V1
V2
的值是
．
9. (2014 卷2) 正三棱柱ABC - A1B1C1 的底面边长为2，侧棱长为
3，D 为BC 中点，则三棱锥A -
B1DC1的体积为(
)
A. 3
B. 3
2
C. 1
D.
3
2
10. (2017 卷1) 如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O．
D、E、F 为圆O 上的点，ΔDBC，ΔECA，ΔFAB 分别是以BC，CA，AB 为底边的等腰三角形．沿虚
线剪开后，分别以BC ，CA，AB 为折痕折起ΔDBC ，ΔECA，ΔFAB，使得D、E、F 重合，得到三棱
锥．当ΔABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3) 的最大值为
．
F
E
D
A
B
C
O
11. (2020 卷Ⅰ文) 如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，△ABC 是底面的内接正三角形，P
57
第三章 立体几何篇
为DO 上一点，∠APC = 90°．
(1) 证明：平面PAB ⊥平面PAC；
(2) 设DO =
2，圆锥的侧面积为
3π，求三棱锥P - ABC 的体积.
12. (2017 江苏) 如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容
器Ⅰ的底面对角线AC 的长为10 7cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，E1G1 的长分别为14cm 和
62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．(容
器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)
(1) 将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱CC1上，求l 没入水中部分的长度；
(2) 将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱GG1上，求l 没入水中部分的长度．
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
H1
G1
E1
F1
O1
E
F
G
H
O
容器Ⅰ
容器Ⅱ
名校冲刺 实战教辅
58
第4讲
八个模型轻松搞定立体几何球的问题
典例讲解 · 掌握方法
题型1
几何体的内切球问题
1
已知正四棱锥P - ABCD 中，AB = 2，侧棱PA = 3，则其内切球半径为
2
一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，有一球在该圆锥内部且与它的侧面和底部都相切，则这
个球的半径为
题型2
三条侧棱两两垂直模型
3
三棱锥P - ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA = PB = PC = 2，PA ⊥PB，三棱锥P - ABC
的外接球的表面积为(
)
A. 48π
B. 12π
C. 4 3π
D. 32 3π
4
(长郡中学高三月考) 已知在三棱锥S - ABC 中，SA = 1，SB = SC = 2，则当S△SAB+ S△SAC +
S△SBC 达到最大值时三棱锥S - ABC 的外接球表面积为
题型3
三组对棱长相等的三棱锥模型
5
在三棱锥A −BCD 中，AB = CD = 2，AD = BC = 3，AC = BD = 4，则三棱锥A −BCD 外接
球的表面积为
.
6
A，B，C，D 四点在半径为5 2
2
的球面上，且AC = BD = 5，AD = BC =
41，AB = CD，则
三棱锥D - ABC 的体积为
题型4
两个直角三角形共用同一斜边模型
7
平面四边形ABCD 中，AB = AD = CD = 1，BD =
2，BD ⊥CD，将其沿对角线BD 折成四
面体A′-BCD，使平面A′BD ⊥平面BCD，若四面体A′-BCD 顶点在同一个球面上，则该球的表
面积
．
题型5
正棱锥模型及其推广模型
8
在正三棱锥P - ABC 中，PA = PB = PC =
5，AB = AC = BC =
3，则三棱锥P - ABC 外
接球的表面积是(
)
A. 9π
B. 15
2 π
C. 4π
D. 25
4 π
59
第三章 立体几何篇
9
(2022 新高考1) 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为36π，
且3 ≤l ≤3 3，则该正四棱锥体积的取值范围是(
)
A. 18, 81
4
B.
27
4 , 81
4
C.
27
4 , 64
3
D. [18,27]
10
2023 届雅礼中学高三月考5
边长为2 的正方形，经如图所示的方式裁剪后，可围成一个正
四棱锥，则此正四棱锥的外接球的表面积的最小值为(
)
A. 2 3π
9
B. 4 3π
9
C. 8 - 4 3
π
D. (8 - 2 3)π
11
在三棱锥P - ABC 中，PA = PB = PC = 2，三角形ABC 的边长分别为a，b，c，a =
3，A =
60∘则三棱锥P - ABC 的外接球的表面积为(
)
A. 16
3 π
B. 12π
C. 4
D
3π
. 32 3π
12
在正四面体PABC 中，棱长为2，则其外接球表面积为(
)
A. 6π
B. 12π
C. 4 3π
D. 32 3π
题型6
柱体模型及其推广模型
13
已知直三棱柱ABC - A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB = AC = 1，AA1= 2，∠BAC
= 120°，则此球的表面积等于
．
14
在四棱锥
6
6 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD，PA = 2，四棱锥P −ABCD 的
五个顶点都在一个球面上，E、F 分别是棱AB、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为
2 2，则该球表面积为
．
题型7
面面垂直模型
15
在三棱锥P - ABC 中，底面三角形ABC 中AB = AC = 6，BC = 4，侧面PBC 垂直于底面
ABC, 且PB = PC = 4，求该三棱锥的外接球表面积(
)
A. 275
6 π
B. 12π
C. 4 3π
D. 32 3π
题型8
任意大小的二面角模型
名校冲刺 实战教辅
60
16
菱形ABCD 边长为6，∠BAD = 60∘，将△BCD 沿对角线BD 翻折使得二面角C - BD - A 的
大小为120°，已知A，B，C，D 四点在同一个球面上，则球的表面积等于
。
巩固练习 · 融会贯通
1. (2022 年新高考2) 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3 3 和4 3，其顶点都在同一球面
上，则该球的表面积为(
)
A. 100π
B. 128π
C. 144π
D. 192π
2. (2021 年甲卷理科) 已如A，B，C 是半径为1 的球O 的球面上的三个点，且AC ⊥BC,AC = BC =
1，则三棱锥O - ABC 的体积为(
)
A.
2
12
B.
3
12
C.
2
4
D.
3
4
3. (2020 卷1 理) 已知A,B,C 为球O 的球面上的三个点，⊙O1为△ABC 的外接圆，若⊙O1的面积为
4π，AB = BC = AC = OO1，则球O 的表面积为(
)
A. 64π
B. 48π
C. 36π
D. 32π
4. (2020 卷2 理) 已知△ABC 是面积为9 3
4
的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上. 若球O 的表
面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为(
)
A.
3
B. 3
2
C. 1
D.
3
2
5. (2020 卷3 理) 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为
．
6. 已知边长为6 3 的菱形ABCD 中，∠BAD = π
3 ，沿对角线BD 折成二面角A - BD - C 的大小为
π
3 的四面体A - BCD，则该四面体外接球的半径是
7. 已知菱形ABCD 的边长为3，∠ABC = 60°，沿对角线AC 折成一个四面体，使平面ACD 垂直平面
ABC，则经过这个四面体所有顶点的球的体积为( )．
A. 5 15
2
π
B. 6π
C. 5 15π
D. 12π
8. 已知一圆柱的轴截面为正方形，母线长为6，在该圆柱内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面
体在该圆柱内可以任意转动，则a 的最大值为(
)
A. 2 3
B. 2 6
C.
6
D. 2
9. 已知底面边长为1，侧棱长为
2 则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为(
)
A. 32
3 π
B. 4π
C. 2π
D. 4
3 π
61
第三章 立体几何篇
10. 在正三棱锥A - BCD 中，E，F 分别是AD，CD 的中点，且∠BEF = 90°，EF = 2，则正三棱锥A -
BCD 的内切球的表面积为(
)
A. 8(2 -
3)π
3
B. 32π
3
C. 32(2 +
3)π
3
D. 32(2 -
3)π
3
11. 已知A，B，C 三点均在球O 的表面上，AB = BC = CA = 2，且球心O 到平面ABC 的距离等于球
半径的1
3 ，则下列结论正确的为(
)
A. 球O 的外切正方体的棱长为
6
B. 球O 的表面积为8π
C. 球O 的内接正方体的棱长为
3
D. 球O 的半径为3
2
12. 四棱锥P - ABCD 的顶点都在球O 的表面上，△PAD 是等边三角形，底面ABCD 是矩形，平面
PAD ⊥平面ABCD，若AB = 2，BC = 3，则球O 的表面积为(
)
A. 12π
B. 16π
C. 20π
D. 32π
13. 一个正方体的顶点都在同一个球的球面上，该正方体的棱长为a，则球的表面积是(
)
A.
3
2 πa3
B. 4 3πa3
C. πa2
D. 3πa2
14. 已知四面体A - BCD 的棱长都等于2，那么它的外接球的表面积为(
)
A.
6
2 π
B.
6π
C. 6π
D. 12π
15. 已知平面四边形ABCD，连接对角线BD，得到等边三角形ABD 和直角三角形BCD，且AB = 3，
∠BDC = π
2 ，BC = 3 2，将平面四边形ABCD 沿对角线BD 翻折，得到四面体ABCD，则当四面体
ABCD 的体积最大时，该四面体的外接球的表面积为(
)
A. 12π
B. 18π
C. 21π
D. 28π
16. 在三棱锥P - ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC.PA = PB = AB =
3，∠BAC = 90°，AC = 2，则
三棱锥P - ABC 的外接球的表面积为(
)
A. 5π
B. 16π
3
C. 8π
D. 20π
17. 如图，边长为2 的正方形ABCD 中，点E，F 分别是BC，CD 的中点，将△ABE，△CEF，△ADF 分
别沿AE，EF，AF 折起，使得B，C，D 三点重合于点P，若四面体P - AEF 的四个顶点在同一个球
名校冲刺 实战教辅
62
面上，则该球的表面积为
．
18.《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥M - ABC 为鳖臑，MA
⊥平面ABC，AB ⊥BC，AB = BC = 2，MA = 2 2，三棱锥M - ABC 的四个顶点都在球O 的球面
上，则球O 的体积为
．
19. 已知△ABC 的顶点都在半径为R 的球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为
42
7
,AB = 4,
BC = 5,AC = 6，则球O 的表面积为
.
20. 已知三棱锥A - BCD 中，AB = AC = AD = BC = BD = 2 2，侧棱AB 与底面BCD 所成的角为
45∘，则该三棱锥外接球的体积为
.
21. 圆锥底面半径为2，母线长为4，则圆锥内半径最大的球的表面积为
.
22. 已知球O 为三棱锥D - ABC 的外接球，球O 的体积为256π
3
，正三角形ABC 的外接圆半径为
2 3，则三棱锥D - ABC 的体积的最大值为
．
23. 已知三棱锥S - ABC，满足SA，SB，SC 两两垂直，且SA = SB = SC = 2，Q 是三棱锥S - ABC
外接球上一动点，求点Q 到平面ABC 的距离的最大值.
63
第三章 立体几何篇
第5讲
线线角、线面角及二面角的几何解法
典例讲解 · 掌握方法
题型1
异面直线夹角问题
1
(2021 乙卷文) 在正方体ABCD - A1B1C1D1中，P 为B1D1的中点，则直线PB 与AD1所成的
角为(
)
A. π
2
B. π
3
C. π
4
D. π
6
2
(2018 卷Ⅱ文) 在正方体ABCD - A1B1C1D1中，E 为棱CC1的中点，则异面直线AE 与CD 所
成角的正切值为(
)
A.
2
2
B.
3
2
C.
5
2
D.
7
2
题型2
直线与平面夹角问题
3
(2022 甲卷文) 在长方体ABCD - A1B1C1D1中，已知B1D 与平面ABCD 和平面AA1B1B 所成
的角均为30°，则(
)
A. AB = 2AD
B. AB 与平面AB1C1D 所成的角为30°
C. AC = CB1
D. B1D 与平面BB1C1C 所成的角为45°
4
(2022 新高考Ⅰ) (多选) 已知正方体ABCD - A1B1C1D1，则(
)
A. 直线BC1与DA1所成的角为90°
B. 直线BC1与CA1所成的角为90°
C. 直线BC1与平面BB1D1D 所成的角为45°
D. 直线BC1与平面ABCD 所成的角为45°
5
(2020 卷Ⅱ理) 如图，已知三棱柱ABC - A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C 是矩形，M ，
N 分别为BC，B1C1的中点，P 为AM 上一点，过B1C1和P 的平面交AB 于E，交AC 于F.
(1) 证明：AA1∥MN ，且平面A1AMN ⊥EB1C1F；
名校冲刺 实战教辅
64
(2) 设O 为△A1B1C1的中心，若AO ∥平面EB1C1F，且AO = AB，求直线B1E 与平面A1AMN 所
成角的正弦值.
题型3
二面角问题
6
(2021 新高考Ⅰ) 如图，在三棱锥A - BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD，AB = AD，O 为BD
的中点.
(1) 证明：OA ⊥CD；
(2) 若△OCD 是边长为1 的等边三角形，点E 在棱AD 上，DE = 2EA，且二面角E - BC - D 的大
小为45°，求三棱锥A - BCD 的体积.
7
(2019 卷Ⅲ理) 图1 是由矩形ADEB，Rt△ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB
= 1，BE = BF = 2，∠FBC = 60°，将其沿AB，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG，如图2.
(1) 证明：图2 中的A，C，G，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE；
(2) 求图2 中的二面角B - CG - A 的大小.
8
2023 届雅礼中学高三月考3
如图, 在底面为直角梯形的四棱锥P - ABCD 中,AD ∥BC,
∠ABC = 90°,PA ⊥平面ABCD,PA = 3,AD = 2,AB = 2 3,BC = 6.
P
A
B
C
D
E
(1) 求证:BD ⊥平面PAC;
(2) 求二面角P - BD - A 的大小.
65
第三章 立体几何篇
9
(2023 届湖南师大附中高三月考6) 如图，在直四棱柱ABCD - A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是
梯形，且A1B1⎳D1C1，A1D1= D1D = D1C1= 1
2 A1B1= 1，AD1⊥A1C，E 是棱A1B1的中点.
(1) 求证：CD ⊥AD；
(2) 求点C1到平面CD1B1的距离；
(3) 求二面角D1- CE - B1的余弦值.
D
A
C
B
B1
C1
D1
E
A1
10
2023 届湖南师大附中高三月考6
如图，正方体ABCD - A1B1C1D1 的棱长为1，点P 是棱
CC1上的一个动点(包含端点)，则下列说法不正确的是(
)
A. 存在点P，使DP ⎳面AB1D1
B. 二面角P - BB1- D 的平面角为60°
C. PB + PD1的最小值是
5
D. P 到平面AB1D1的距离最大值是
3
3
巩固练习 · 融会贯通
1. 在正方体ABCD - A1B1C1D1中，直线A1B 与AD1所成角的大小为(
)
A. π
6
B. π
3
C. 2π
3
D. 5π
6
2. 在正方体ABCD - A1B1C1D1中，E，F 分别是AB，AA1的中点，设正方体棱长为2，则直线EC 与
FD1夹角的余弦值为(
)
A. 1
2
B.
3
2
C. 4
5
D. 3
5
名校冲刺 实战教辅
66
3. (多选) 如图，在正方体ABCD - A1B1C1D1中，M,N 分别为AC,A1B 的中点，则下列说法正确的是
(
)
A. MN ∥平面ADD1A1
B. MN ⊥AB
C. 直线MN 与平面ABCD 所成角为45∘
D. 异面直线MN 与DD1所成角为60∘
4. (多选) 如图，正方体ABCD - A1B1C1D1 的棱长为2，E ，F ，G 分别为BC,CC1,BB1 的中点，则
(
)
A. 直线DD1与直线AF 垂直
B. 直线A1G 与平面AEF 平行
C. 直线AF 与平面CDD1C1所成角的正弦值为
5
3
D. 直线A1G 与直线AE 所成角的余弦值为4
5
5. (多选) 如图，正方体ABCD - A1B1C1D1中，点Q 为B1C1的中点，点N 为DD1的中点，则下列结论正
确的是(
)
A. CQ ⊥BN
B. CQ ∥平面ADD1A1
C. BN ⊥平面ACC1A1
D. 直线BN 与平面ABCD 所成的角为30°
6. 如图，在三棱锥P - ABC 中，PA ⊥底面ABC，∠ABC = 90°，PA = 2，AC = 2 2．
67
第三章 立体几何篇
(1) 求证：平面PBC ⊥平面PAB；
(2) 若二面角P - BC - A 的大小为45°，过点A 作AN ⊥PC 于N ，求直线AN 与平面PBC 所成角的
大小．
7. 如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 是正方形，顶点P 在底面的射影是线段AD 的中点O，
E 是PB 的中点．
(1) 求证：OE ⎳平面PCD；
(2) 若二面角P - BC - A 的大小为45∘，三棱锥E - ABC 的体积为2
3 ，求PB 的长．
名校冲刺 实战教辅
68
第6讲
利用空间向量解决空间距离和角度问题
典例讲解 · 掌握方法
题型1
长度比值关系特殊化
对于没有给出线段长度的立体几何的解题步骤：第一步：建立直角坐标系，并将某一个线段长度
设为具体数字；第二步：根据几何关系算出其它长度；第三步：，书写坐标.
1
(2019 卷2) 长方体ABCD - A1B1C1D1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA1上，BE ⊥EC1．
(1) 证明：BE ⊥平面EB1C1；
(2) 若AE = A1E，求二面角B - EC - C1的正弦值．
D
A
B
C
B1
C1
D1
A1
E
2
(2015 卷1) 如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC = 120°，E，F 是平面ABCD 同一侧的两点，
BE ⊥平面ABCD，DF ⊥平面ABCD，BE = 2DF，AE ⊥EC．
(1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC；
(2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．
E
A
F
C
B
D
题型2
不好写的坐标向量转化
3
如图，在斜三棱柱ABC - A1B1C1中，侧面AA1B1B ⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC 成60°
的角，AA1= 2．底面ABC 是边长为2 的正三角形，其重心为G 点，E 是线段BC1上一点，且BE
= 1
3 BC1．
69
第三章 立体几何篇
(1) 求证：GE ∥侧面AA1BB；
(2) 求平面B1GE 与底面ABC 所成锐二面角的余弦值．
A1
C1
B1
A
B
C
E
G
4
如图，斜三棱柱ABC −A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB = 90°, 点B1在底面内的射影恰好
是BC 的中点，且BC = CA = 2.
(1) 求证：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB
(2) 若二面角B −AB1−C1的余弦值为−5
7 , 求斜三棱柱ABC −A1B1C1的侧棱AA1 的长度.
B1
A1
B
C
A
C1
题型3
动点问题设向量表示动点坐标
5
(2023 届长郡中学高三月考2) 如图，在直三棱柱ABC - A1B1C1 中，AB = BB1 = 2，BC ⊥
BA1．
(1) 求证：BC ⊥AB；
(2) 若E 为A1B 的中点，三棱锥A - CEA1的体积为1
3 ，线段CE 上是否存在点P，使得二面角P -
AB - E 的大小为30°，若存在，求EP
EC 的值，若不存在，请说明理由．
A
A1
C1
B1
B
C
P
E
6
(2015 湖南) 如图，已知四棱台ABCD - A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3 和6 的正方形，
AA1= 6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q 分别在棱DD1、BC 上．
名校冲刺 实战教辅
70
(1) 若P 是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；
(2) 若PQ ⎳平面ABB1A1，二面角P - QD - A 的余弦值为3
7 ，求四面体ADPQ 的体积．
A1
B1
D1
C1
P
Q
A
B
C
D
题型4
常用的建系方法思路
建系方法：寻找投影点(线面、面面垂直) 建立直角坐标系，面面垂直，线面垂直的点位于两个平面
的交线上
7
(2023 届雅礼中学高三月考3) 如图1，在ΔABC 中，AC = 2，∠ACB = 90°，∠ABC = 30°，P 是
AB 边的中点，现把ΔACP 沿CP 折成如图2 所示的三棱锥A - BCP，使得AB =
10．
(1) 求证：平面ACP ⊥平面BCP；
(2) 求二面角B - AC - P 的余弦值．
C
B
A
P
B
C
A
P
图1
图2
8
(2015 浙江) 如图，在三棱柱ABC - A1B1C1中，∠BAC = 90°，AB = AC = 2，A1A = 4，A1在底
面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B1C1的中点．
(1) 证明：A1D ⊥平面A1BC；
(2) 求二面角A1- BD - B1的平面角的余弦值．
C1
B1
B
A
C
A1
D
建系方法2：含菱形的立体几何的建系方法
9
(2014 重庆) 如图，四棱锥P - ABCD，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD，AB =
71
第三章 立体几何篇
2，∠BAD = π
3 ，M 为BC 上的一点，且BM = 1
2 ，MP ⊥AP．
(1) 求PO 的长；
(2) 求二面角A - PM - C 的正弦值．
P
A
B
C
D
O
M
10
如图，四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD，AC = 2 2，PA = 2，E
是PC 上的一点，PE = 2EC．
(1) 证明：PC ⊥平面BED；
(2) 设二面角A - PB - C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小．
P
D
A
B
C
E
题型5
利用法向量思想，快速解决二面角
11
(2015 湖北)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，
将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P - ABCD 中，侧棱PD ⊥底面
ABCD，且PD = CD，过棱PC 的中点E，作EF ⊥PB 交PB 于点F，连接DE，DF，BD，BE．
(1) 证明：PB ⊥平面DEF．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需
写出结论)；若不是，说明理由；
(2) 若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π
3 ，求DC
BC 的值．
名校冲刺 实战教辅
72
P
E
C
D
A
B
F
题型6
向量法（非坐标）解决角度和距离问题
12
2023 届雅礼中学高三月考5
多选
如图，在棱长为1 的正四面体ABCD 中，点M ，N 分别
为棱BC，AD 的中点．则(
)
A. MN = 1
2
B. AB ⊥CD
C. 侧棱与底面所成角的余弦值为
3
3
D. 直线AM 与CN 所成角的余弦值为1
3
13
(2023 届湖南师大附中高三月考6) 如图，在直四棱柱ABCD - A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1
是梯形，且A1B1⎳D1C1，A1D1= D1D = D1C1= 1
2 A1B1= 1，AD1⊥A1C，E 是棱A1B1的中点.,求
证：CD ⊥AD.
D
A
C
B
B1
C1
D1
E
A1
题型7
新高考背景下空间角度与距离综合分析
14
(2023 届长郡中学高三月考3) 如图，在几何体ABCDE 中，底面ABC 是以AC 为斜边的等腰
直角三角形.已知平面ABC ⊥平面ACD，平面ABC ⊥平面BCE，DE ∥平面ABC，AD ⊥DE．
73
第三章 立体几何篇
D
A
B
C
E
(1) 证明：DE ⊥平面ACD；
(2) 若AC = 2CD = 2，设M 为棱BE 的中点，求当几何体ABCDE 的体积取最大值时AM 与CD
所成角的正切值．
15
2023 届长郡中学高三月考4
如图，在四棱锥P - ABCD 中，PA ⊥底面ABCD,AD ∥BC,
AB ⊥BC,PA = AD = 4,BC = 1,AB =
3．
P
A
B
C
D
(1) 证明：平面PCD ⊥平面PAC；
(2) 求平面PAB 与平面PCD 所成角的余弦值．
16
2023 届长郡中学高三月考6
三棱台ABC - A 1B 1C 1 的底面是正三角形，AA 1 ⊥平面
ABC，AB = 4，A1B1= 2，AA1=
3，E 是AB 的中点，平面A1C1E 交平面ABC 于直线l．
C1
A1
B1
A
B
C
E
(1) 求证：AC ∥l；
(2) 求直线B1C 与平面A1C1E 所成角的正弦值．
17
2023 届雅礼中学高三月考1
如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥
底面ABCD，M 为线段PC 的中点，PD = AD，N 为线段BC 上的动点．
名校冲刺 实战教辅
74
A
B
C
D
P
M
N
(1) 证明：平面MND ⊥平面PBC
(2) 当点N 在线段BC 的何位置时，平面MND 与平面PAB 所成锐二面角的大小为30°？指出点N
的位置，并说明理由．
18
2023 届雅礼中学高三月考4
已知直三棱柱ABC - A1B1C1中，侧面AA1B1B 为正方形，AB
= BC = 2，E，F 分别为AC 和CC1的中点，D 为棱A1B1上的点．BF ⊥A1B1
(1) 证明：BF ⊥DE；
(2) 当B1D 为何值时，面BB1C1C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小?
19
2023 届雅礼中学高三月考5
图1 是直角梯形ABCD，AB ∥CD，∠D = 90∘，AB = 2，DC =
3，AD =
3，CE
= 2ED
，以BE 为折痕将△BCE 折起，使点C 到达C1的位置，且AC1=
6，如图
2.
C
B
E
D
A
D
E
C
B
A
图1
图2
(1) 求点D 到平面BC1E 的距离；
(2) 若DP
= 1
3 DC1
，求二面角P - BE - A 的大小.
75
第三章 立体几何篇
20
2023 届湖南师大附中高三月考1
如图，在直角△POA 中，PO ⊥OA,PO = 2OA = 4，将
△POA 绕边PO 旋转到△POB 的位置，使∠AOB = 90∘，得到圆锥的一部分，点C 为AB
上的点，
且AC
= 1
3 AB
.
(1) 求点O 到平面PAB 的距离；
(2) 设直线PC 与平面PAB 所成的角为φ，求sinφ 的值.
21
2023 届湖南师大附中高三月考2
如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，
其中AD ∥BC，AD = 3，AB = BC = 2，PA ⊥平面ABCD，且PA = 3，点M 在棱PD 上，点N 为
BC 中点.
M
D
P
A
B
C
N
(1) 证明：若DM = 2MP，直线MN ⎳平面PAB；
(2) 求二面角C - PD - N 的正弦值；
(3) 是否存在点M ，使NM 与平面PCD 所成角的正弦值为
2
6 ？若存在求出PM
PD 值；若不存在，
说明理由.
22
2023 届湖南师大附中高三月考3
如图，在四棱锥P - ABCD 中，平面PAD ⊥平面
ABCD,PA = AD = 2,BD = 4,AB = 2 3，BD 是∠ADC 的平分线，且BD ⊥BC.
名校冲刺 实战教辅
76
(1) 若点E 为棱PC 的中点，证明：BE ∥平面PAD；
(2) 已知二面角P - AB - D 的大小为60∘，求平面PBD 和平面PCD 的夹角的余弦值.
23
2023 届湖南师大附中高三月考4
如图，在四棱锥P - ABCD 中，PA ⊥平面ABCD，PA
= AB = BC =
3，AD = CD = 1，∠ADC = 120°，点M 是AC 与BD 的交点，点N 在线段PB 上，
且PN = 1
4 PB.
(1) 证明：MN ⎳平面PDC；
(2) 在线段BC 上是否存在一点Q，使得平面MNQ ⊥平面PAD，若存在，求出点Q 的位置；若不
存在，请说明理由.
24
2023 届湖南师大附中高三月考5
如图，在斜三棱柱ABC - DEF 中，△ABC 是边长为2 的
正三角形，BD = CD = 4
3
3，侧棱AD 与底面ABC 所成角为60°.
(1) 求三棱柱ABC - DEF 的体积；
(2) 在线段DF(含端点) 上是否存在点G，使得平面GBC 与平面ABC 的夹角为60°? 若存在，请指
出点G 的位置；若不存在，请说明理由.
25
(2023 届湖南师大附中高三月考6) 如图，在直四棱柱ABCD - A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1
是梯形，且A1B1⎳D1C1，A1D1= D1D = D1C1= 1
2 A1B1= 1，AD1⊥A1C，E 是棱A1B1的中点.
(1) 求证：CD ⊥AD；
(2) 求点C1到平面CD1B1的距离；
77
第三章 立体几何篇
(3) 求二面角D1- CE - B1的余弦值.
D
A
C
B
B1
C1
D1
E
A1
26
(2023 届长沙一中高三月考1) 如图，圆台下底面圆O 的直径为AB，C 是圆O 上异于A，B 的
点，且∠BAC = 30°，MN 为上底面圆O的一条直径，ΔMAC 是边长为2 3 的等边三角形，MB =
4．
(1) 证明：BC ⊥平面MAC；
(2) 求平面MAC 和平面NAB 夹角的余弦值．
M
N
O'
A
B
O
C
27
2023 届长沙一中高三月考3
如图，四棱锥P - ABCD 中，底面四边形ABCD 为正方形，侧
面△PCD 是边长为2 的正三角形，若顶点P 在底面的射影落在底边CD 上，M 在BC 上且满足
AM
= 1
2 AB
+ AC
.
(1) 求证：BC ⊥PD；
(2) 求二面角C - PD - M 的大小.
28
2023 届长沙一中高三月考4
如图，点E 在△ABC 内，DE 是三棱锥D - ABC 的高，且DE
= 2．△ABC 是边长为6 的正三角形，DB = DC = 5,F 为BC 中点.
名校冲刺 实战教辅
78
(1) 证明：点E 在AF 上.
(2) 点G 是棱AC 上的一点(不含端点)，求平面DEG 与平面BCD 夹角余弦值的最大值.
29
2023 届长沙一中高三月考5
如图，在底面是菱形的四棱锥P - ABCD 中，PA ⊥平面
ABCD，∠ABC = 60°，PA = AB = 2，点E，F 分别为BC，PD 的中点，设直线PC 与平面AEF 交
于点Q.
P
A
B
C
E
Q
D
F
(1) 已知平面PAB ∩平面PCD = l，求证：AB ⎳l.
(2) 求直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值.
30
2023 届长沙一中高三月考6
如图，四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是边长为2 的正方
形，PA = PB = 2.
(1) 证明：∠PAD = ∠PBC；
(2) 当直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值最大时，求此时二面角P - AB - C 的大小.
P
A
B
C
D
31
如图，已知四边形ABCD 由Rt△ABC 和Rt△BCD 拼接而成，其中∠BAC = ∠BCD = 90°，
∠DBC = 30°，AB = AC，BC = 2 3，将△ABC 沿着BC 折起，
79
第三章 立体几何篇
A
C
D
B
(1) 若AD =
6，求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值；
(2) 当二面角C - AB - D 最大时，求此时二面角A - BC - D 的余弦值.
巩固练习 · 融会贯通
1. (2019 北京) 如图，在四棱锥P - ABCD 中，PA ⊥平面ABCD，AD ⊥CD，AD ⎳BC，PA = AD =
CD = 2，BC = 3．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且PF
PC = 1
3 ．
(1) 求证：CD ⊥平面PAD；
(2) 求二面角F - AE - P 的余弦值；
(3) 设点G 在PB 上，且PG
PB = 2
3 ．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．
P
D
C
B
A
G
E
F
2. (2014 卷Ⅰ) 如图，三棱柱ABC - A1B1C1中，侧面BB1C1C 为菱形，AB ⊥B1C．
(1) 证明：AC = AB1；
(2) 若AC ⊥AB1，∠CBB1= 60°，AB = BC，求二面角A - A1B1- C1的余弦值．
A
C
B
B1
C1
A1
3. (2018 卷Ⅱ) 如图，在三棱锥P - ABC 中，AB = BC = 2 2，PA = PB = PC = AC = 4，O 为AC 的
中点．
名校冲刺 实战教辅
80
(1) 证明：PO ⊥平面ABC；
(2) 若点M 在棱BC 上，且二面角M - PA - C 为30°，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．
P
C
M
B
A
O
4. (2018 卷Ⅲ) 如图，边长为2 的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD
所在平面垂直，M 是CD
上
异于C，D 的点．
(1) 证明：平面AMD ⊥平面BMC；
(2) 当三棱锥M - ABC 体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．
M
C
B
A
D
5. (2017 天津) 如图，在四棱锥P - ABCD 中，AD ⊥平面PDC，AD ⎳BC，PD ⊥PB，AD = 1，BC
= 3，CD = 4，PD = 2．
(1) 求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值；
(2) 求证：PD ⊥平面PBC；
(3) 求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．
P
A
B
C
D
6. (2017 卷Ⅰ) 如图，在四棱锥P - ABCD 中，AB ⎳CD，且∠BAP = ∠CDP = 90°．
81
第三章 立体几何篇
(1) 证明：平面PAB ⊥平面PAD；
(2) 若PA = PD = AB = DC，∠APD = 90°，求二面角A - PB - C 的余弦值．
P
A
B
C
D
7. 2016 卷1 理
如图，在以A，B，C ，D，E，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF = 2FD，
∠AFD = 90∘，且二面角D - AF - E 与二面角C - BE - F 都是60∘．
A
B
C
D
F
E
AD，CD 上，AE = CF =
(1) 证明：平面ABEF ⊥平面EFDC；
(2) 求二面角E - BC - A 的余弦值．
8. (2016 卷Ⅱ) 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O，AB = 5，AC = 6，点E，F 分别在
5
4 ，EF 交于BD 于点H，将ΔDEF 沿EF 折到△D′EF 的位置，OD′ =
10．
(1) 证明：D′H ⊥平面ABCD；
(2) 求二面角B - D′A - C 的正弦值．
D'
D
A
B
F
C
H
O
E
9. (2022 浙江) 如图，已知ABCD 和CDEF 都是直角梯形，AB ⎳DC ，DC ⎳EF ，AB = 5，DC = 3，
EF = 1，∠BAD = ∠CDE = 60°，二面角F - DC - B 的平面角为60°．设M ，N 分别为AE，BC 的中
点．
(1) 证明：FN ⊥AD；
名校冲刺 实战教辅
82
(2) 求直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值．
A
B
C
D
E
F
N
M
10. (2022 甲卷) 在四棱锥P - ABCD 中，PD ⊥底面ABCD，CD ⎳AB，AD = DC = CB = 1，AB =
2，DP =
3．
(1) 证明：BD ⊥PA；
(2) 求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．
P
A
B
C
D
11. (2022 新高考Ⅱ) 如图，PO 是三棱锥P - ABC 的高，PA = PB，AB ⊥AC，E 为PB 的中点．
(1) 证明：OE ⎳平面PAC；
(2) 若∠ABO = ∠CBO = 30°，PO = 3，PA = 5，求二面角C - AE - B 的正弦值．
P
B
A
C
O
E
12. (2022• 新高考Ⅰ) 如图，直三棱柱ABC - A1B1C1的体积为4，△A1BC 的面积为2 2．
(1) 求A 到平面A1BC 的距离；
(2) 设D 为A1C 的中点，AA1= AB，平面A1BC ⊥平面ABB1A1，求二面角A - BD - C 的正弦值．
83
第三章 立体几何篇
A
B
C
C1
A1
B1
D
13. (2022 乙卷) 如图，四面体ABCD 中，AD ⊥CD，AD = CD，∠ADB = ∠BDC，E 为AC 的中点．
(1) 证明：平面BED ⊥平面ACD；
(2) 设AB = BD = 2，∠ACB = 60°，点F 在BD 上，当ΔAFC 的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成
的角的正弦值．
D
A
B
C
E
F
14. (2021 新高考Ⅱ) 在四棱锥Q - ABCD 中，底面ABCD 是正方形，若AD = 2，QD = QA =
5，QC
= 3．
(1) 求证：平面QAD ⊥平面ABCD；
(2) 求二面角B - QD - A 的平面角的余弦值．
Q
D
C
B
A
15. (2021 新高考Ⅰ) 如图，在三棱锥A - BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD，AB = AD，O 为BD 的中
点．
(1) 证明：OA ⊥CD；
(2) 若ΔOCD 是边长为1 的等边三角形，点E 在棱AD 上，DE = 2EA，且二面角E - BC - D 的大小
为45°，求三棱锥A - BCD 的体积．
名校冲刺 实战教辅
84
A
B
C
D
O
E
16. (2020 新高考1) 如图，四棱锥P - ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD．设平面PAD 与平
面PBC 的交线为l．
(1) 证明：l ⊥平面PDC；
(2) 已知PD = AD = 1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．
P
C
B
A
D
17. (2020 卷Ⅰ) 如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE = AD．ΔABC
是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，PO =
6
6 DO．
(1) 证明：PA ⊥平面PBC；
(2) 求二面角B - PC - E 的余弦值．
18. (2019 天津) 如图，AE ⊥平面ABCD，CF ⎳AE，AD ⎳BC，AD ⊥AB，AB = AD = 1，AE = BC
= 2．
(1) 求证：BF ⎳平面ADE；
(2) 求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；
(3) 若二面角E - BD - F 的余弦值为1
3 ，求线段CF 的长．
85
第三章 立体几何篇
E
F
C
B
A
D
19. (2019 卷Ⅲ) 图1 是由矩形ADEB、RtΔABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB = 1，
BE = BF = 2，∠FBC = 60°．将其沿AB，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG，如图2．
A
B
C
G
D
E F
A
C
B
F
G
E
D
(1) 证明：图2 中的A，C，G，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE；
(2) 求图2 中的二面角B - CG - A 的大小．
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86
第7讲
立体几何中的轨迹问题
典例讲解 · 掌握方法
题型1
点动平行不动问题
解题思路：此种类型一般通过构造面面平行寻找突破口，有时可借助与法向量垂直分析轨迹
1
(多选) 如图，已知正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为2，点M 为CC1的中点，点P 为正方形
A1B1C1D1上的动点，则(
)
A. 满足MP ⎳平面BDA1的点P 的轨迹长度为
2
B. 满足MP ⊥AM 的点P 的轨迹长度为2 2
3
C. 存在点P，使得平面AMP 经过点B
D. 存在点P 满足PA + PM = 5
2
(多选) 已知正四棱锥P - ABCD 的侧面是边长为6 的正三角形，点M 在棱PD 上，且PM =
2MD，点Q 在底面ABCD 及其边界上运动，且MQ ⎳面PAB，则下列说法正确的是(
)
A. 点Q 的轨迹为线段
B. MQ 与CD 所成角的范围为
π
3 , π
2
C. MQ 的最小值为
3
D. 二面角M - AB - Q 的正切值为
2
5
3
(多选) 已知正方体ABCD - A1B1C1D1的边长为2，M 为CC1的中点，P 为侧面BCC1B1上的
动点，且满足AM ⎳平面A1BP，则下列结论正确的是(
)
A. AM ⊥B1M
B. CD1⎳平面A1BP
C. AM 与A1B1所成角的余弦值为2
3
D. 动点P 的轨迹长为2 13
3
4
(多选) 如图，正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为2，E 是棱DD1的中点，F 是侧面CDD1C1上
的动点，且满足B1F ⎳平面A1BE，则下列结论中正确的是(
)
87
第三章 立体几何篇
A. 平面A1BE 截正方体ABCD - A1B1C1D1所得截面面积为9
2
B. 点F 的轨迹长度为π
4
C. 存在点F，使得B1F ⊥CD1
D. 平面A1BE 与平面CDD1C1所成二面角的正弦值为1
3
5
(2022 届湖南师大附中三模) 已知棱长为3 的正四面体ABCD，E 为AD 的中点，动点P 满足
PA = 2PD，平面α 经过点D，且平面α ⎳平面BCE，则平面α 截点P 的轨迹所形成的图形的周长
为
．
6
如图，在正四棱锥S - ABCD 中，E 是BC 的中点，P 点在侧面△SCD 内及其边界上运动，并
且总是保持PE ∥平面SBD．则动点P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形最有可能是图中的
(
)
A.
B.
C.
D.
7
已知正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为2,E ､F 分别是棱AA1､A1D1的中点，点P 为底面四
边形ABCD 内(包括边界) 的一动点，若直线D1P 与平面BEF 无公共点，则点P 的轨迹长度为
(
)
名校冲刺 实战教辅
88
A. 2
B.
5
C.
6
D. 2 2
8
如图，在正方体ABCD - A1B1C1D1 中，E 是棱CC1 的中点，F 是侧面BCC1B1 内的动点，且
A1F ⎳平面AD1E，下面说法中正确的是
(将所有正确的序号都填上)
①存在一点F，使得A1F ⎳D1E；②存在一点F，使得A1F ⊥BE；
③点F 的轨迹是一条直线；④三棱锥F - AD1E 的体积是定值．
题型2
点动垂直不动问题
解题思路：此种类型一般通过构造线面垂直寻找突破口，有时可借助建系分析轨迹
9
直四棱柱ABCD - A1B1C1D1的底面是边长为3 3 的正方形，AA1= 3，点M 为CC1的中点，点
O 为A1M 的中点，则点O 到底面ABCD 的距离为
; 若P 为底面ABCD 内的动点，且A1P
⊥PM ，则动点P 的轨迹长度为
．
10
(2022 届雅礼中学二模) 已知菱形ABCD 的各边长为2,∠D = 60∘．如图所示，将△ACB 沿
AC 折起，使得点D 到达点S 的位置，连接SB，得到三棱锥S - ABC，此时SB = 3．则三棱锥S -
ABC 的体积为
持EF ⊥AC，则点F
，E 是线段SA 的中点，点F 在三棱锥S - ABC 的外接球上运动，且始终保
的轨迹的周长为
．
11
点M 是棱长为2 的正方体ABCD - A1B1C1D1的内切球O 球面上的动点，点N 为BC 边上中
点，若AM ⊥B1N ，则动点M 的轨迹的长度为
．
12
(多选) 如图，已知正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为1，P 为正方形底面ABCD 内一动点，
则下列结论正确的有(
)
89
第三章 立体几何篇
A. 三棱锥B1- A1D1P 的体积为定值
B. 存在点P，使得D1P ⊥AD1
C. 若D1P ⊥B1D，则P 点在正方形底面ABCD 内的运动轨迹是线段AC
D. 若点P 是AD 的中点，点Q 是BB1的中点，过P，Q 作平面α 垂直于平面ACC1A1，则平面α 截
正方体ABCD - A1B1C1D 的截面周长为3 2
13
(多选) 已知棱长为4 的正方体ABCD - A1B1C1D1中，AM
= 1
4 AB
，点P 在正方体的表面上
运动，且总满足MP
⋅MC
= 0，则下列结论正确的是(
)
A. 点P 的轨迹所围成图形的面积为5
B. 点P 的轨迹过棱A1D1上靠近A1的四等分点
C. 点P 的轨迹上有且仅有两个点到点C 的距离为6
D. 直线B1C1与直线MP 所成角的余弦值的最大值为3
5
14
在正方体ABCD - A1B1C1D1 中，点P 在侧面BCC1B1 及其边界上运动，并且总保持AP ⊥
BD1，则动点P 的轨迹是(
)
A. 线段B1C
B. 线段BC1
C. BB1中点与CC1中点连成的线段
D. CB 中点与B1C1中点连成的线段
15
如图，在体积为3 的三棱锥P - ABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，AP = 1，若点M 是侧面
CBP 内一动点，且满足AM ⊥BC，则点M 的轨迹长度的最大值为(
)
A. 3
B. 6
C. 2 3
D. 3 2
16
如图，在直三棱柱ABC - A1B1C1中，△ABC 是边长为2 的正三角形，AA1= 3，N 为棱A1B1
上的中点，M 为棱CC1上的动点，过N 作平面ABM 的垂线段，垂足为点O，当点M 从点C 运动到
点C1时，点O 的轨迹长度为(
)
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90
A. π
2
B. π
C. 3π
2
D. 2 3π
3
17
已知正四棱锥S - ABCD，底面边长为
2，AC，DB 交于点O，SO ⊥平面ABCD，SO = 1，
E 为BC 的中点，动点P 在该棱锥的侧面上运动，并且PE ⊥AC，则点P 轨迹长度为(
)
A. 1
B.
2
C.
3
D. 2
18
已知四面体ABCD，AB = BC = CD = DA = BD = 2，二面角A - BD - C 为60°，E 为棱AD
中点，F 为四面体ABCD 表面上一动点，且总满足BD ⊥EF，则点F 轨迹的长度为
．
题型3
点动距离不动问题
解题思路：此种类型一般通过构造线面（或面面）平行寻找突破口，或结合解析几何定义寻求轨迹.
19
如图，四棱锥P - ABCD 的底面是边长为2 的正方形，Q 为BC 的中点，PQ ⊥面ABCD，
且PQ = 2，动点N 在以D 为球心半径为1 的球面上运动，点M 在面ABCD 内运动，且PM =
5，
则MN 长度的最小值为(
)
91
第三章 立体几何篇
A.
5 - 3
2
B. 2 -
3
C. - 2 +
5
D.
3 - 3
2
20
2021 新高1
多选
在正三棱柱ABC - A1B1C1 中，AB = AA1 = 1，点P 满足BP
= λBC
+
μBB1
，其中λ ∈0,1
，μ ∈0,1
，则(
)
A. 当λ = 1 时，△AB1P 的周长为定值
B. 当μ = 1 时，三棱锥P - A1BC 的体积为定值
C. 当λ = 1
2 时，有且仅有一个点P，使得A1P ⊥BP
D. 当μ = 1
2 时，有且仅有一个点P，使得A1B ⊥平面AB1P
21
如图，已知棱长为2 的正方体A′B′C′D′-ABCD，M 是正方形BB′C′C 的中心，P 是△A′C′D
内(包括边界) 的动点，满足PM = PD，则点P 的轨迹长度为
．
22
(多选) 如图，正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为2，点M 是其侧面ADD1A1上的一个动点
(含边界)，点P 是线段CC1上的动点，则下列结论正确的是(
)
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
P
A. 存在点P，M ，使得平面B1D1M 与平面PBD 平行
B. 存在点P，M ，使得二面角M - DC - P 大小为2π
3
C. 当P 为棱CC1的中点且PM = 2 2 时，则点M 的轨迹长度为2π
3
D. 当M 为A1D 中点时，四棱锥M - ABCD 外接球的内接正四面体的表面积为16 3
3
23
(多选) 在棱长为1 的正方体ABCD - A1B1C1D1中，点M 是A1D1的中点，点P，Q，R 在底面
四边形ABCD 内(包括边界)，PB1∥平面MC1D，D1Q
=
5
2 ，点R 到平面ABB1A1的距离等于
它到点D 的距离，则(
)
A. 点P 的轨迹的长度为
2
B. 点Q 的轨迹的长度为π
4
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92
C. PQ 长度的最小值为2 5
5
- 1
2
D. PR 长度的最小值为3 5
20
24
已知正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为3，点P 在△A1C1B 的内部及其边界上运动，且DP
=
14，则点P 的轨迹长度为(
)
A.
2π
B. 2π
C. 2 2π
D. 3π
25
(多选) 如图，正方体ABCD - A1B1C1D1 棱长为2，点M 是其侧面ADD1A1 上的动点(含边
界)，点P 是线段CC1上的动点，下列结论正确的是(
)
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
P
A. 存在点P，M ，使得平面B1D1M 与平面PBD 平行
B. 当点P 为CC1中点时，过A，P，D1点的平面截该正方体所得的截面是梯形
C. 过点A，P，M 的平面截该正方体所得的截面图形不可能为五边形
D. 当P 为棱CC1的中点且PM = 2 2 时，则点M 的轨迹长度为2π
3
26
在四边形ABCD 中，BC ⎳AD，AB = BC = CD = 1
2 AD，P 为空间中的动点，PA = PB =
AB = 2，E 为PD 的中点，则动点E 的轨迹长度为(
)
A.
2
B.
3
C.
2π
D.
3π
27
正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为1，点P 在正方体内部及表面上运动，下列结论错误的是
(
)
A. 若点P 在线段D1C 上运动，则AP 与A1B 所成角的范围为
π
3 , π
2
B. 若点P 在矩形BDD1B1内部及边界上运动，则AP 与平面BDD1B1所成角的取值范围是
π
4 , π
2
C. 若点P 在△D1B1C 内部及边界上运动，则AP 的最小值为2 3
3
D. 若点P 满足AP = 1，则点P 轨迹的面积为π
2
28
已知正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为
3，过顶点B,D,C1的平面为α，点P 是平面α 内的
动点，A1P = 3 2
2
，则点P 的轨迹长度等于(
)
A. π
B.
2π
C.
3π
D. 2π
93
第三章 立体几何篇
题型4
点动角度不动问题
解题思路：此种类型一般通过转化为圆锥寻找突破口，有时可借助建系分析轨迹
29
已知正方体ABCD - A1B1C1D1中，AB = 2 3，点E 为平面A1BD 内的动点，设直线AE 与平
面A1BD 所成的角为α，若sinα = 2 5
5
，则点E 的轨迹所围成的面积为
．
30
(多选) 如图，若正方体的棱长为1，点M 是正方体ABCD - A1B1C1D1的侧面ADD1A1上的一
个动点(含边界)，P 是棱CC1的中点，则下列结论正确的是(
)
A. 沿正方体的表面从点A 到点P 的最短路程为
17
2
B. 若保持PM
=
2，则点M 在侧面内运动路径的长度为π
3
C. 三棱锥B - C1MD 的体积最大值为1
6
D. 若点M 满足∠MD1B = ∠B1D1B，则点M 的轨迹为线段
31
(多选) 如图，在棱长为1 的正方体ABCD - A1B1C1D 中，E 为侧面BCC1B1的中心，F 是棱
C1D1的中点，若点P 为线段BD1上的动点，N 为ABCD 所在平面内的动点，则下列说法正确的是
(
)
A. PE
·PF
的最小值为1
48
B. 若BP = 2PD1，则平面PAC 截正方体所得截面的面积为9
8
C. 若D1N 与AB 所成的角为π
4 ，则N 点的轨迹为双曲线的一部分
D. 若正方体绕BD1旋转θ 角度后与其自身重合，则θ 的最小值是2π
3
32
在三棱锥P - ABC 中，AP ⊥平面PBC ，PB ⊥PC ，PA = PC = 2PB = 4，则三棱锥P -
ABC 外接球的表面积为
；若动点M 在该三棱锥外接球上，且∠MPB = ∠MPC，则点M 的
轨迹长为
．
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94
33
已知正方体ABCD - A1B1C1D1 的棱长为1，空间一动点P 满足A1P ⊥AB1，且∠APB1 =
∠ADB1，则tan∠APB1=
，点P 的轨迹围成的封闭图形的面积为
．
34
(多选) 若正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为1，且AP
= mAD
+ nAA1
，其中m ∈[0,1],n ∈
[0,1]，则下列结论正确的是(
)
A. 当m = 1
2 时，三棱锥P - BDB1的体积为定值
B. 当n = 1
2 时，三棱锥P - BDB1的体积为定值
C. 当m + n = 1 时，PA + PB 的最小值为
6 +
2
2
D. 若∠PD1B = ∠B1D1B，点P 的轨迹为一段圆弧
35
(多选) 在长方体ABCD - A1B1C1D1中，点M 是棱AD 的中点，AA1= AD = 4,AB = 5，点P
在侧面BCC1B1的边界及其内部运动，则(
)
A. 直线MP 与直线DD1所成角的最大值为90°
B. 若∠D1MP = 60∘，则点P 的轨迹为椭圆的一部分
C. 不存在点P，使得AC ∥平面D1PM
D. 若平面D1PM 与平面ABCD 和平面D1PM 与平面BCC1B1所成的锐二面角相等，则点P 的轨
迹长度为3 5
2
36
(多选) 在三棱锥P - ABC 中，∠PAB = π
3 ，PA = 5，AB = 4，二面角P - AB - C 的大小为
π
4 ，点M 为侧面△PAB 上的动点，点M 到直线PA 的距离为d1，点M 到平面ABC 的距离为d2，若
d1=
2d2，则(
)
A. PB =
21
B. 点M 到直线AB 的距离等于2d1
C. 点M 的轨迹为一段圆弧
D. 点M 的轨迹长度为20 3
9
37
(多选) 如图，点M 是棱长为1 的正方体ABCD - A1B1C1D1中的侧面ADD1A1上的一个动点
(包含边界)，则下列结论正确的是(
)
A
B
C
D
C1
B1
A1
D1
M
A. 存在无数个点M 满足CM ⊥AD1
B. 当点M 在棱DD1上运动时，MA
+ MB1
的最小值为
3 + 1
95
第三章 立体几何篇
C. 在线段AD1上存在点M ，使异面直线B1M 与CD 所成的角是30∘
D. 满足CM
=
2 的点M 的轨迹长度是π
2
38
(多选) 在直四棱柱ABCD - A1B1C1D1中，所有棱长均2，∠BAD = 60°，P 为CC1的中点，点
Q 在四边形DCC1D1内(包括边界) 运动，下列结论中正确的是(
)
A
B
C
D
C1
B1
A1
D1
P
Q
A. 当点Q 在线段CD1上运动时，四面体A1BPQ 的体积为定值
B. 若AQ ⎳平面A1BP，则AQ 的最小值为
5
C. 若△A1BQ 的外心为M ，则A1B
⋅A1M
为定值2
D. 若A1Q =
7，则点Q 的轨迹长度为2π
3
39
在四棱锥P - ABCD 中，PA ⊥平面ABCD,AP = 2，点M 是矩形ABCD 内(含边界) 的动
点，且AB = 1,AD = 3，直线PM 与平面ABCD 所成的角为π
4 ．记点M 的轨迹长度为α，则tanα
= (
)
A.
3
3
B. 1
C.
3
D. 2
题型5
投影形成的轨迹问题
解题思路：此种类型分析出投影图形特点是解题突破口球的斜投影为椭圆，多面体的投影为多边形
40
如图所示，二面角α - l - β 的平面角的大小为60∘，A,B 是l 上的两个定点，且AB = 2,C ∈α,
D ∈β，满足AB 与平面BCD 所成的角为30∘，且点A 在平面BCD 上的射影H 在△BCD 的内部
(包括边界)，则点H 的轨迹的长度等于
．
D
B
C
A
l
β
α
41
1822 年，比利时数学家Dandelin 利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，
可以得到椭圆(其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点)，实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一
名校冲刺 实战教辅
96
性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由
于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占A1正上方有一个点光
源，将小球放置在地面，使得AA1与小球相切．若A1A = 5，小球半径为2，则小球在地面的影子形
成的椭圆的离心率为(
)
A. 2
3
B. 4
5
C. 1
3
D. 2
5
42
椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面
的边界即是椭圆．现有一高度为12 厘米，底面半径为3 厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体
积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃厚度忽略不计)，在玻璃杯倾斜的过程中(杯中的水不能溢出)，
杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是(
)
A. 0,
5
6
B.
5
5 ,1
C.
0, 2 5
5
D.
2 5
5
,1
43
参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照
过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定
这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学
习，他还确定地面和篮球的接触点(切点) 就是影子椭圆的焦点．他在家里做了个探究实验：如图
所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1 个单位长度，在球的右上方有一个灯泡P(当成质点)，
灯泡与桌面的距离为4 个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A，影子椭圆的右顶点到A 点的
距离为3 个单位长度，则这个影子椭圆的离心率e =
．
P
A
44
通过研究发现：点光源P 斜照射球，在底面上形成的投影是椭圆，且球与底面相切于椭圆的
一个焦点F1(如图所示)，如图是底面边长为2 ､高为3 的正四棱柱，一实心小球与正四棱柱的下底
面及四个侧面均相切，若点光源P 位于AD 的中点处时，则在平面A1B1C1D1上的投影形成的椭圆
97
第三章 立体几何篇
的离心率是
．
45
如图，已知水平地面上有一半径为4 的球，球心为O，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨
迹为椭圆O．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，OE = 3．若光线与地面所成角为θ，
椭圆的离心率e =
．
题型6
翻折中的动点轨迹问题
解题思路：此种类型一般要留意翻折前后线面不变的位置和长度关系，有时可借助建系分析轨迹
46
如图，在正方形ABCD 中，点M 是边CD 的中点，将△ADM 沿AM 翻折到△PAM ，连接
PB,PC，在△ADM 翻折到△PAM 的过程中，下列说法正确的是
．(将正确说法的序号都
写上)
D
A
B
C
M
A
B
C
D
P
M
①点P 的轨迹为圆弧；
②存在某一翻折位置，使得AM ⊥PB；
③棱PB 的中点为E，则CE 的长为定值；
47
已知矩形ABCD 中，AB = 2BC = 6，点M ，N 分别为线段AB，CD 的中点，现将△ADM 沿
DM 翻转，直到与△NDM 首次重合，则此过程中，点A 的运动轨迹长度为(
)
A. 3 2π
B. 3 2π
2
C. 3 2π
4
D.
2π
2
名校冲刺 实战教辅
98
48
如图，在长方形ABCD 中，AB = 2，BC = 4，E 为BC 的中点，将△BAE 沿AE 向上翻折到
△PAE 的位置，连接PC，PD，在翻折的过程中，以下结论错误的是(
)
P B
F
D
C
E
B
A
A. 四棱锥P - AECD 体积的最大值为2 2
B. PD 的中点F 的轨迹长度为
3π
2
C. EP，CD 与平面PAD 所成的角相等
D. 三棱锥P - AED 外接球的表面积有最小值16π
49
(多选) 已知正方形ABCD 的边长为2，将△ACD 沿AC 翻折到△ACD的位置，得到四面体
D- ABC，在翻折过程中，点D始终位于△ABC 所在平面的同一侧，且BD的最小值为
2，则下
列结论正确的是(
)
A. 四面体D- ABC 的外接球的表面积为8π
B. 四面体D- ABC 体积取最大值时，AD与平面ABC 所成角为45°
C. 点D 的运动轨迹的长度为2 2π
3
D. 边AD 旋转所形成的曲面的面积为2 2π
3
99
第四章 统计概率分布列篇
第四章
统计概率分布列
第1讲
排列组合
典例讲解 · 掌握方法
引例：
1
(2018 浙江) 从1, 3, 5, 7, 9 中任取2 个数字，从0, 2, 4, 6 中任取2 个数字，一共可以组成__
____ 个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
【探讨】对于比较复杂的计数问题，关键是理解要干什么，明晰完成事件的流程，设计出相应的步骤，这
里体现了数学化的过程. 一般来说，基于特殊元素或特殊流程，以下计算方法应该掌握.
将殊优
先法
对特殊元素、事件的特殊位置应优先分类考虑，其实就是分类原理.
捆绑法
当求某些元素相邻问题时，把需要相邻的元素捆绑，视为一组，再与其余元素排列组
合，其中捆绑分为组合式捆绑(组内无顺序) 和排列式捆绑(组内有顺序).
插空法
正难则
当求某些元素不相邻的问题时，先将其余元素排好，再将指定不相邻的元素插入已
排好元素的间隙或两端位置.
反法
对于有限制条件的计数问题，除了直接计算，也可以先不考虑限制条件计算出所有
种数，再减去不符合条件的种数.
缩倍法
对于某几个元素定序的排列问题，可以先计算不考虑限制条件的所有种数，再将结
果除以这几个元素的排列数，事实上，这就是分步计数原理和正难则反法的体现.
基于以上认识，例题1 解析的第二类中含有0 的四位数个数的计算过程就用到了特殊优先法，因
为数字0 是一个特殊元素，它不能在千位这个特殊的位置上. 除了这种流程，还可以采取其他的计算
方式.正难则反法：C2
5C1
3 A4
4- A3
3
= 540. 先直接把4 个数字全排列，再减去0 在千位上其余3 个数字
的全排列，即A4
4- A3
3.另外，对比原解析中的式子C 2
5C 1
3C 1
3A3
3= 540，我们发现A4
4- A3
3= C 1
3A3
3. 事实
上，这是排列数恒等式An+1
n+1- An
n= nAn
n= n2An-1
n-1的体现.
插空法：C 2
5C 1
3A3
3C 1
3 = 540. 先把3 个非零数字全排列，3 个数字内有2 个间隙，再将0 插入2 个空
隙或右端这三个位置中的一个位置，即A3
3C1
3.下面我们对每一类计数方法和思想进行分类训练
题型1
特殊元素和特殊位置优先原则
方法剖析：位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法, 若以元素分
析为主, 需先安排特殊元素, 再处理其它元素. 若以位置分析为主, 需先满足特殊位置的要求, 再处理
其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。
2
由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
名校冲刺 实战教辅
100
3
用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有(
)。
A. 24 个
B. 30 个
C. 40 个
D. 60 个
4
(2014 四川) 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法
共有(
)
A. 192 种
B. 216 种
C. 240 种
D. 288 种
题型2
相邻元素捆绑法
要求某几个元素必须排在一起的问题, 可以用捆绑法来解决问题. 即将需要相邻的元素合并为一
个元素, 再与其它元素一起作排列, 同时要注意合并元素内部也必须排列.
5
7 人站成一排, 其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
6
3 位男生和3 位女生共6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生
相邻，则不同排法的种数是(
)
A. 360
B. 288
C. 216
D. 96
7
(2013 全国)3 位男同学与2 位女同学排成一列，其中女同学相邻的不同排法共有(
)
A. 48 种
B. 36 种
C. 24 种
D. 18 种
8
(2022 长郡中学月考) 将字母a，A，b，B，c，C 排成一列，则仅有一组相同字母的大小写相邻
的排法种数为
．
9
(2022 新高考2) 甲、乙、丙、丁、戊5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相
邻，则不同的排列方式共有(
)
A. 12 种
B. 24 种
C. 36 种
D. 48 种
题型3
不相邻问题插空法
10
(2014 重庆) 某次联欢会要安排3 个歌舞类节目，2 个小品类节目和1 个相声类节目的演出顺
序，则同类节目不相邻的排法种数是(
)
A. 72
B. 120
C. 144
D. 168
11
高三(一) 班学要安排毕业晚会的4 各音乐节目，2 个舞蹈节目和1 个曲艺节目的演出顺序，
要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是
12
某工程队有6 项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须
在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6 项工程的不同
101
第四章 统计概率分布列篇
排法种数是
13
马路上有编号为1，2，3 ⋯，9 九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三
盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
14
(2014• 北京) 把5 件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，
则不同的摆法有
种．(提示：不相邻问题的正难则反策略)
题型4
先分组再分配策略
15
(2017• 新课标Ⅱ) 安排3 名志愿者完成4 项工作，每人至少完成1 项，每项工作由1 人完成，则
不同的安排方式共有(
)
A. 12 种
B. 18 种
C. 24 种
D. 36 种
16
(2012• 新课标) 将2 名教师，4 名学生分成2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活
动，每个小组由1 名教师和2 名学生组成，不同的安排方案共有(
)
A. 12 种
B. 10 种
C. 9 种
D. 8 种
17
(2018 上海) 某校组队参加辩论赛，从6 名学生中选出4 人分别担任一、二、三、四辩，若其中学
生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为
(结果用数值表示)
18
(2017 浙江) 从6 男2 女共8 名学生中选出队长1 人，副队长1 人，普通队员2 人组成4 人服务
队，要求服务队中至少有1 名女生，共有
种不同的选法．(用数字作答)
题型5
定序问题与平均分组问题除序策略
对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用
总的排列数除于这几个元素的全排列数。
19
7 人排队, 其中甲乙丙3 人顺序一定，共有多少不同的排法？
20
6 本不同的书平均分成3 堆, 每堆2 本共有多少分法？
21
6 本不同的书平均分给3 个同学, 每个同学2 本共有多少分法？
22
7 本不同的书平均分成3 堆, 其中一堆3 本，另外两堆每堆2 本，共有多少分法？
23
7 本不同的书平均分成3 个人, 其中一个人3 本，另外两个人每人2 本，共有多少分法？
【答案】C3
7C2
4C2
2
A2
2
∙A3
3
【详解】先将7 本书按照322 模式分成3 份有C3
7C2
4C2
2
A2
2
种，然后再分配给3 个人，有C3
7C2
4C2
2
A2
2
∙A3
3种.
名校冲刺 实战教辅
102
题型6
多排问题直排策略
24
8 人排成前后两排，每排4 人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排法?
25
有两排座位，前排11 个座位，后排12 个座位，现安排2 人就座，规定前排中间的3 个座位不能
坐，并且这2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是多少？
题型7
相同元素隔板法
26
有10 个运动员名额，分给7 个班，每班至少一个，有多少种分配方案？
27
10 个相同的球装5 个盒中，每盒至少有1 个求，共有多少装法？
28
x + y + z + w = 100 求这个方程组的正整数解的组数.
29
x + y + z + w = 100 求这个方程组的自然数解的组数.
题型8
染色问题的思路
方法1：合并单元格解决染色问题
方法2：立体几何转化为平面几何处理.
30
如图，一个地区分为5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有四
种颜色可供选择，则不同的着色方法共有
种(以数字作答)。
31
将一个四棱锥S - ABCD 的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有
5 种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是_______.
巩固练习 · 融会贯通
1. (2022 天心区校级模拟) 教育的目标是立德树人，是为新时代具有中国特色的社会主义培养全面发
展的接班人，某初中学校为了响应上级的号召，促进学生的全面发展决定每天减少了一节学科类课
程，增加了一节活动课，为此学校特开设了传统武术，舞蹈，书法，小提琴四门选修课程，要求每位同学
每学年至多选2 门，初一到初三3 学年将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有(
)
A. 60 种
B. 78 种
C. 54 种
D. 84 种
2. (2022• 岳麓区校级二模) 现有5 个小朋友站成一排照相，如果甲、乙两人必须相邻，而丙、丁两人不
能相邻，那么不同的站法共有(
)
103
第四章 统计概率分布列篇
A. 12 种
B. 16 种
C. 24 种
D. 36 种
3. (2021 秋• 岳麓区校级期末) 如图，用4 种不同的颜色对A，B，C，D 四个区域涂色，要求相邻的两个
区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有(
)
B
C
D
A
A. 24 种
B. 48 种
C. 72 种
D. 96 种
4. (2021 雅礼中学高二开学) 数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位
作为他们的战略需求．现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，
“世界数
学通史”，
“几何原本”，
“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3 门，大一到
大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有(
)
A. 60 种
B. 78 种
C. 84 种
5. (2020 长沙一中月考) 某单位有6 名员工，2020 年国庆节期间，决定从6 人中留2 人值班，另外4 人
分别去张家界、南岳衡山、凤凰古城、岳阳楼旅游．要求每个景点有1 人游览，每个人只游览一个景
点，且这6 个人中甲、乙不去衡山，则不同的选择方案共有
D. 144 种
(
)
A. 120 种
B. 180 种
C. 240 种
D. 320 种
6. (2020 雅礼中学月考) 甲、乙、丙、丁四人分别去云南、张家界、北京三个地方旅游，每个地方至少有一
人去，且甲、乙两人不能同去一个地方，则不同分法的种数有(
)
A. 18 种
B. 24 种
C. 30 种
D. 36 种
7. (2022 新高考2) 甲、乙、丙、丁、戊5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则
不同的排列方式共有(
)
A. 12 种
B. 24 种
C. 36 种
D. 48 种
8. (2017 全国)4 个数字1 和4 个数字2 可以组成不同的8 位数共有(
)
A. 16 个
B. 70 个
C. 140 个
D. 256 个
9. (2016 卷2) 如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参
加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(
)
名校冲刺 实战教辅
104
A. 24
B. 18
C. 12
D. 9
10. (2016 四川) 用数字1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(
)
A. 24
B. 48
C. 60
D. 72
11. (2013 山东) 用0，1，2，⋯，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(
)
A. 243
B. 252
C. 261
D. 279
12. 6 位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序有(
)
A. 240 种
B. 360 种
C. 480 种
D. 720 种
A. 60
13. (2012 浙江) 若从1，2，3，⋯，9 这9 个整数中同时取4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共
有(
)
种
B. 63 种
C. 65 种
D. 66 种
14. (2012 陕西) 两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人
输赢局次的不同视为不同情形) 共有(
)
A. 10 种
B. 15 种
C. 20 种
D. 30 种
15. (2012 山东) 现有16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4 张，从中任取3 张，要求取
出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1 张，不同取法的种数为(
)
A. 232
B. 252
C. 472
D. 484
16. (2021 湖南师大附中高二期中) 党的十九大报告指出，建设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工
程，必须把教育事业放在优先位置，深化教育资源的均衡发展．现有7 名大学生主动申请毕业后到偏
远山区小学任教．若将这7 名大学生按照3 人、2 人、2 人分成了三个小组，分别去三个不同的学校参
加工作，则不同的安排方案共有
种．
17. (2021 湖南师大附中高三月考) 将标号为1，2，3，4，5，6 的6 个小球放入3 个不同的盒子中．若每
个盒子放2 个，其中标号为1，2 的小球放入同一盒子中，则不同的方法共有
种．
18. (2021 长郡中学高二期末) 用4 种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻面不同色，共有
105
第四章 统计概率分布列篇
种涂法．
19. (2020 上海) 从6 个人挑选4 个人去值班，每人值班一天，第一天安排1 个人，第二天安排1 个人，第
三天安排2 个人，则共有
种安排情况．
20. (2020 卷2)4 名同学到3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1 个小区，每个小区至少安
排1 名同学，则不同的安排方法共有
种．
21. (2019 上海) 首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4 人参加连续5 天的志愿者活动，
其中甲连续参加2 天，其他人各参加1 天，则不同的安排方法有
种(结果用数值表示)
22. (2014 浙江) 在8 张奖券中有一、二、三等奖各1 张，其余5 张无奖．将这8 张奖券分配给4 个人，每
人2 张，不同的获奖情况有
种(用数字作答)．
23. (2013 浙江) 将A，B，C，D，E，F 六个字母排成一排，且A，B 均在C 的同侧，则不同的排法共有
种．(用数字作答)
24. (2013 重庆) 从3 名骨科、4 名脑外科和5 名内科医生中选派5 人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨
科、脑外科和内科医生都至少有1 人的选派方法种数是
(用数字作答)．
名校冲刺 实战教辅
106
第2讲
概率公式与计算方法
典例讲解 · 掌握方法
题型1
如何更好的理解条件概率
1
一个不透明的盒子中有4 个完全相同的小球，小球上分别标有数字0,1,3,3，现甲从中摸出一个
球后放回，乙再从中摸出一个球，摸出的球上的数字大的人获胜，数字相同为平局，则在甲获胜的
条件下乙摸1 号球的概率为
．
题型2
如何更好的理解全概率
2
1
某高校大一某班有学生60 人，来自北方的有30 人，其中女生10 人；来自南方的有20 人，其
中女生5 人；来自海外留学的有10 人，其中女生3 人，从中任选一名学生，求选到女生的概率？
2
某高校大一某班学生分别来自北方，南方和海外，其中北方学生占1
2 , 南方学生占1
3 , 海外学
生占1
6 , 北方学生中有1
3 是女士，南方学生中有1
4 是女生，海外学生中有3
10 是女生.从中人选一
名学生，求选到女生的概率？
题型3
条件概率与全概率的考查
3
(2022 校级模拟) 已知P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，且P(A|B) = 0.4，则P(B|A) =
．
4
2023 届湖南师大附中高三月考5
为参加学校组织的“喜迎二十大，奋进新征程”的演讲比
赛，某班从班级初选的甲乙2 名男生和6 名女生共8 名同学中随机选取5 名组成班级代表队参加
比赛，则代表队中既有男生又有女生的条件下，男生甲被选中的概率为(
)
A. 15
56
B. 5
7
C. 1
2
D. 7
10
5
(2022 雅礼中学高二下开学考) 已知A，B分别为随机事件A，B 的对立事件，P(A) > 0，P(B)
> 0，则下列说法正确的是(
)
A. P(B|A) + P(B|A) = P(A)
B. 若P(A) + P(B) = 1，则A，B 对立
C. 若A，B 独立，则P(A|B) = P(A)
D. 若A，B 互斥，则P(A|B) + P(B|A) = 1
6
新型冠状病毒肺炎(Corona Virus Disease2019，COVID - 19)，简称“新冠肺炎”，世界卫生
组织命名为“2019 冠状病毒病”，是指2019 新型冠状病毒感染导致的肺炎. 用核酸检测的方法可以
诊断是否患有新冠，假设P A B
= 0.99，P AB
= 0.999，其中随机事件A 表示“某次核酸检测
被检验者阳性”，随机事件B 表示“被检验者患有新冠”，现某人群中P B
= 0.01，则在该人群中
( )
107
第四章 统计概率分布列篇
A. 每100 人必有1 人患有新冠
B. 若P BA
= 0.99，则事件A 与事件B 相互独立
C. 若某人患有新冠，则其核酸检测为阳性的概率为0.999
D. 若某人没患新冠，则其核酸检测为阳性的概率为0.001
7
从分别写有1，2，3，4，5，6 的六张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，分别记事件
A 为“抽得的两张卡片上的数字之和大于8”，事件B 为“第一张卡片上的数小于第二张卡片上的
数”，则( )
A. P A
= 5
18
B. P B
= 4
9
C. P B A
= 2
5
D. P A B
= 1
4
8
甲袋中有5 个红球，2 个白球和3 个黑球，乙袋中有4 个红球，3 个白球和3 个黑球．先从甲袋
中随机取出一球放入乙袋，分别以A1,A2,A3表示由甲袋取出的球是红球，白球，黑球的事件；再从
A. P B
A1
乙袋中随机取出一球，以B 表示由乙袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是(
)
= 5
11
B. P B
= 2
5
C. P A1
B
= 5
9
D. P A2B
= 6
55
9
某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线均生产5mm 规格的芯片，现有25 块该规格的芯片，其
中甲、乙、丙生产的芯片分别为5 块，10 块，10 块，若甲、乙、丙生产该芯片的次品率分别为0.1，
0.2，0.3，则从这25 块芯片中任取一块芯片，是正品的概率为( )
A. 0.78
B. 0.64
C. 0.58
D. 0.48
10
已知小明每天步行上学的概率为0.6，骑自行车上学的概率为0.4，且步行上学有0.05 的概率
迟到，骑自行车上学有0.02 的概率迟到．若小明今天上学迟到了，则他今天骑自行车上学的概率
为____．
11
在概率论中，全概率公式指的是：设Ω 为样本空间，若事件A1,A2,⋯,An两两互斥，A1∪A2∪
⋯∪A n = Ω ，则对任意的事件B ⊆Ω ，有P B
= P A1
P B|A1
+ P A2
P B|A2
+⋯
+P An
P B|An
．若甲盒中有2 个白球、2 个红球、1 个黑球，乙盒中有x 个白球x ∈N
、3 个红
球、2 个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取
出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于5
12 ，则x 的最大值为( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
12
甲、乙两队进行篮球冠军争夺赛，比赛采取“三局两胜”制，甲队每局取胜的概率为1
2 ．甲队
有一名核心球员，如果核心球员在比赛中受伤，将不能参加后续比赛，此时甲队每局取胜的概率降
为1
4 ．若核心球员在每局比赛中受伤的概率为1
2 ，则甲队获得冠军的概率为
.
名校冲刺 实战教辅
108
13
随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工
小明上班出行方式由三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为1
3 , 1
3 , 1
3 ，
而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为1
4 , 1
5 , 1
6 ，结果这一天他迟到了，在此条件下，
他自驾去上班的概率是____．
14
(2022 新高考1) 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯
分为良好和不够良好两类) 的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100 例(称为病例组)，同时
在未患该疾病的人群中随机调查了100 人(称为对照组)，得到如下数据：
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
(1) 能否有99% 的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2) 从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人
患有该疾病”，P(B|A)
P(B|A)
与P(B|A)
P(B|A)
的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量
指标，记该指标为R．
(i) 证明：R = P(A|B)
P(A|B)
⋅P(A|B)
P(A|B)
；
(ii) 利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|B) 的估计值，并利用(ⅰ) 的结果给出R 的估计值．
附：K 2=
n(ad - bc)2
(a + b) (c + d) (a + c) (b + d) ．
题型4
独立性事件的判定与应用
15
(2022 长沙市一中高三期末) 若事件A，B 相互独立，它们发生的概率分别为p1，p2，则事件
A，B 都不发生的概率为(
)
A. 1 - p1p2
B. (1 - p1) (1 - p2)
C. 1 - (p1+ p2)
D. 1 - (1 - p1) (1 - p2)
16
多选
(2022 雅礼中学高三月考) 在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字
1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事
件A 为“两次记录的数字之和为偶数”，事件B 为“第一次记录的数字为偶数”；事件C 为“第二次
记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是(
)
A. 事件B 与事件C 是互斥事件
B. 事件A 与事件B 是相互独立事件
C. P(A)P(B)P(C) = 1
8
D. P(ABC) = 1
8
17
(2021 新高考1) 有6 个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，
每次取1 个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是
109
第四章 统计概率分布列篇
2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则
(
)
A. 甲与丙相互独立
B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立
D. 丙与丁相互独立
巩固练习 · 融会贯通
1. 已知事件A 与事件B 相互独立，且P(A) = 0.2，P(B) = 0.5，则P(A + B) = (
)
A. 0.7
B. 0.6
C. 0.5
D. 0.4
2. 若M．N 是两个相互独立事件，P(M)，P(N) 分别表示它们发生的概率，则1 - P(M)P(N) 是下列
哪个事件的概率(
)
A. 事件M ，N 同时发生
B. 事件M ，N 至多有一个发生
C. 事件M ，N 至少有一个发生
D. 事件M ，N 都不发生
3. 已知A，B 是两个随机事件，0 < P(A) < 1，0 < P(B) < 1，则下列命题中错误的是(
)
A. 若A 包含于B，则P(B|A) = 1
B. 若A，B 是对立事件，则P(B|A) + P(A|B) = 1
C. 若A，B 是互斥事件，则P(B|A) = 0
D. 若A，B 相互独立，则P(B|A) = P(B)
4. 甲罐中有5 个红球，3 个白球，乙罐中有4 个红球，2 个白球．整个取球过程分两步，先从甲罐中随
机取出一球放入乙罐，分别用A1、A2表示由甲罐取出的球是红球、白球的事件；再从乙罐中随机取出
两球，分别用B、C 表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”、
“两球为一红一白”的事件，则下列
结论中不正确的是(
)
A. P(B|A1) = 10
21
B. P(C|A2) = 4
7
C. P(B) = 19
42
D. P(C) = 43
84
5. 已知事件A，B 相互独立，且P(A) = 1
3 ,P(B) = 1
2 ，则下列结论中错误的是(
)
A. P(A) = 2
3
B. P(AB) = 1
6
C. P(A + B) = 5
6
D. P(AB+ AB) = 1
2
6. 有5 个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1 个球，甲表示事件
“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球
的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则(
)
A. 甲与丙相互独立
B. 乙与丁不相互独立
C. 甲与丁相互独立
D. 乙与丙相互独立
7. 甲、乙、丙、丁进行乒乓球比赛，比赛规则如下：
第一轮：甲和乙进行比赛，同时丙和丁进行比赛，两个获胜者进入胜者组，两个败者进入败者组；
第二轮：胜者组进行比赛，同时败者组进行比赛，败者组中失败的选手淘汰；
名校冲刺 实战教辅
110
第三轮：败者组的胜者与胜者组的败者进行比赛，失败的选手淘汰；
第四轮：第三轮中的胜者与第二轮中胜者组的胜者进行决赛，胜者为冠军．
已知甲与乙、丙、丁比赛，甲的胜率分别为1
2 , 2
3 , 2
5 ；乙与丙、丁比赛，乙的胜率分别为1
2 , 3
5 ；丙与丁比
赛，丙的胜率为1
2 . 任意两场比赛之间均相互独立．
(1) 求丙在第二轮被淘汰的概率；
(2) 在丙在第二轮被淘汰的条件下，求甲所有比赛全胜并获得冠军的概率．
8. 小明每天去学校有A，B 两条路线可供选择，小明上学时随机地选择一条路线. 如果小明上学时选
择A 路线，那么放学时选择A 路线的概率为0.6; 如果小明上学时选择B 路线，那么放学时选择A 路
线的概率为0.8.
(1) 求小明放学时选择A 路线的概率;
(2) 已知小明放学时选择A 路线，求小明上学时选择B 路线的概率.
9. (2014 全国) 甲、乙、丙各自独立投篮一次．已知乙投中的概率是2
3 ，甲投中并且丙投中的概率是
3
8 ，乙投不中并且丙投不中的概率是1
6 ．
(1) 求甲投中的概率；
(2) 求甲、乙、丙3 人中恰有2 人投中的概率．
111
第四章 统计概率分布列篇
第3讲
经典概率问题的计算方法
典例讲解 · 掌握方法
题型1
利用古典概型的方法计算
1
(2022 湖北月考) 十一国庆节放假五天，甲、乙两名同学计划去敬老院做志愿者，若甲同学在五
天中随机选一天，乙同学在前三天中随机选一天，且两名同学的选择互不影响，则他们在同一天去
的概率为(
)
A. 1
6
B. 1
5
C. 1
2
D. 2
3
2
有N 件产品，其中有M 件次品，从中不放回地抽n 件产品，抽到的次品数的数学期望值是
(
)
A. n
B. (n - 1) M
N
C. n M
N
D. (n + 1) M
N
3
(2022 届长沙市一中高三月考) 临近元旦，高三(1) 班共50 名同学，大家希望能邀请数学张老
师参加元旦文艺表演．张老师决定和同学们进行一个游戏，根据游戏的结果决定是否参与表演．
游戏规则如下：班长先确定班上参与游戏的同学人数n(n > 2)；每位同学手里均有n 张除颜色外
无其他区别的卡片；第k(k = 1，2，3，⋯，n) 位同学手中有k 张红色卡片，n - k 张白色卡片；老师
任选其中一位同学，并且从该同学的手中随机连续取出两张卡片，若第二次取出的卡片为白色，则
学生获胜，张老师同意参加文艺表演，否则，张老师将不参加文艺表演．
(1) 若n = 3，求张老师同意参加文艺表演的概率；
(2) 若希望张老师参加文艺表演的可能最大，班长应该邀请多少同学参与游戏？
4
(2022 届长郡中学高三月考) 教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育
发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平面有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫
先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，郑州市教育局拟从5 名优秀教
师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共3 分批次进行，每次支教需要同时派送2 名教
师，且每次派送人员均从5 人中随机抽选．已知这5 名优秀教师中，2 人有支教经验，3 人没有支
教经验．
(1) 求5 名优秀教师中的“甲”，在这3 批次活动中有且只有一次被抽选到的概率；
(2) 求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由；
题型2
事件组合例举法
5
(2021 天津) 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的
名校冲刺 实战教辅
112
一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为5
6 和1
5 ，且每次活动中甲、
乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为
；3 次活动
中，甲至少获胜2 次的概率为
．
6
甲、乙、丙、丁四只球队进行单循环小组赛(每两个队比赛一场)，比赛分三轮，每轮两场比赛，第
一轮第一场甲乙比赛，第二场丙丁比赛；第二轮第一场甲丙比赛，第二场乙丁比赛；第三轮甲对丁
和乙对丙两场比赛同一时间开赛，规定：比赛获胜的球队记3 分，输的球队记0 分，打平两队各记1
分．三轮比赛结束后以积分多少进行排名，积分相同的队伍由抽签决定排名，排名前两位的队伍
小组出线．假设四只球队水平相当，即每场比赛双方获胜、负、平的概率都为1
3 ．
(1) 三轮比赛结束后甲的积分记为X，求P(X = 3)；
(2) 若前二轮比赛结束后，甲、乙、丙、丁四个球队积分分别为3、3、0、6，问甲能小组出线的概率．
7
(2020 新课标1) 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰：比
赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一
场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人
最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为1
2 ．
(1) 求甲连胜四场的概率；
(2) 求需要进行第五场比赛的概率；
(3) 求丙最终获胜的概率．
题型3
超几何分布
8
在箱子中有10 个小球，其中有3 个红球，3 个白球，4 个黑球．从这10 个球中任取3 个．求：
(1) 取出的3 个球中红球的个数X 的分布列；
(2) 取出的3 个球中红球个数多于白球个数的概率．
9
(2017 北京) 为了研究一种新药的疗效，选100 名患者随机分成两组，每组各50 名，一组服药，
另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成如图，其中“*”表
示服药者，
“+”表示未服药者．
(1) 从服药的50 名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60 的概率；
(2) 从图中A，B，C，D 四人中随机选出两人，记ξ 为选出的两人中指标x 的值大于1.7 的人数，求
ξ 的分布列和数学期望E(ξ)；
(3) 试判断这100 名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小．(只需
写出结论)
113
第四章 统计概率分布列篇
1.7
指标x
O
60
指标y
***
*
* * *
**
*
* *
*
*
*
* *
* * *
***
*
*
*
* *
*
* *
*
**
*** *** *
** * * *
*
*
*
*
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
++ +
+
+
+ + +
+ + +
+C
A
B
D
+
10
口琴是一种大众熟知的方便携带的乐器．独奏口琴有三种，分为半音阶口琴(有按键)、复音
口琴、十孔口琴(又名布鲁斯口琴、蓝调口琴)．“口琴者联盟”团队为了解口琴爱好者的练琴情况，
提高口琴爱好者的音乐素养，推动口琴发展，在全国范围内进行了广泛调查．“口琴者联盟”团队
随机调查了200 名口琴爱好者每周的练琴时间X(单位：小时) 并绘制如图所示的频率分布直方
图．
(1) 由频率分布直方图可以看出，目前口琴爱好者的练琴时间X 服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ 近
似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2(同一组的数据用该组区间中点值代表)，据此，估计1 万
名口琴爱好者每周练琴时间在160 分钟到320 分钟的人数；
(2) 从样本中练琴时间在[0.5，1.5) 和[5.5，6.5) 内的口琴爱好者中用分层抽样的方法抽取8 人，
再从这8 人中随机抽取4 人进行培训，设Y 表示抽取的4 人中练琴时间在[5.5，6.5) 内的人数，求
Y 的分布列和数学期望．
参考数据：样本方差s2= 1.78，1.78 ≈4
3 ．P(μ - σ < X ≤μ + σ) = 0.6827，P(μ - 2σ < X ≤μ +
2σ) = 0.9545，P(μ - 3σ < X ≤μ + 3σ) = 0.9973．
小时
频率
组距
0 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5
0.35
0.2
0.19
0.1
0.09
0.04
0.03
题型4
二项分布
二项分布是多个两点分布事件组合形成的事件，找到事件的概率，并利用二项分布的性质进行计
算是很重要的。
11
如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行且错开的圆柱形小木块，小
木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入
名校冲刺 实战教辅
114
下方的某一个球槽内．若小球在下落过程中向左、向右落下的机会均等，设小球最终落入X 号球
槽，则X 的数学期望为( )．
A. 3
B. 4
C. 3.5
D. 2.5
12
(2019 天津) 设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30 之前到校的概率均为2
3 ．假定甲、乙两位
同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
(1) 用X 表示甲同学上学期间的三天中7:30 之前到校天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；
(2) 设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30 之前到校的天数比乙同学在7:30 之前到校的
天数恰好多2”，求事件M 发生的概率．
13
(2017 卷1) 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取
16 个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产
的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2)．假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16 个零件中其
尺寸在(μ - 3σ,μ + 3σ) 之外的零件数，求P(X ≥1) 及X 的数学期望；
附：若随机变量Z 服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ - 3σ < Z < μ + 3σ) = 0.9974，0.997416≈0.9592，
0.008 ≈0.09．
巩固练习 · 融会贯通
1. 投篮测试中，每人投3 次，至少投中2 次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且
各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(
)
A. 0.648
B. 0.432
C. 0.36
D. 0.312
2. (2023 届雅礼中学高三第1 次月考) 某工厂有A，B 两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别
是99% 和98%，已知某批产品的60% 和40% 分别是A，B 两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取
一件，发现不合格，则该产品是由A 车间生产的概率为(
)
A. 3
4
B. 4
7
C. 1
2
D. 3
7
3. (2019 卷1) 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6 个爻组
成，爻分为阳爻“
”和阴爻“
”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该
重卦恰有3 个阳爻的概率是(
)
115
第四章 统计概率分布列篇
A. 5
16
B. 11
32
C. 21
32
D. 11
16
4. (2016 四川) 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则
在2 次试验中成功次数X 的均值是 ．
5. (2023 届长沙市一中高三月考)2022 年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办
过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市！为迎接冬奥会
的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板
滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10 所学校进行研究，得到如下数据：
人数（人）
学校
自由式滑雪
单板滑雪
(1) 在这10 所学校中随机选取3 所来调查研究，求这3 所学校参与“自由式滑雪”都超过40 人的概率；
(2)“单板滑雪”参与人数超过45 人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10 所学校中随机选出3 所，
记X 为选出可作“基地学校”的学校个数，求X 的分布列和数学期望；
(3) 现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3 个动作技巧进行集训，且在集训中进行
了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3 个动作中至少有2 个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优
秀”．在集训测试中，小明同学3 个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为1
3 ，每个动作互不影响且
每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到5 次，那么理
论上至少要进行多少轮测试？
6. (2022 全国) 甲、乙两名运动员进行五局三胜制的乒乓球比赛，先赢得3 局的运动员获胜，并结束比
赛．设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲赢的概率为2
3 ，乙赢的概率为1
3 ．
(1) 求甲获胜的概率；
(2) 设X 为结束比赛所需要的局数，求随机变量X 的分布列及数学期望．
7. (2017 山东) 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如
下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比
这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6 名男志愿者A1，A2，A3，
名校冲刺 实战教辅
116
A4，A5，A6和4 名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5 人接受甲种心理暗示，另5 人接受乙种心
理暗示．
(1) 求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．
(2) 用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX．
8. (2015 四川) 某市A、B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3 名男生、2 名女生，B 中学
推荐了3 名男生、4 名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集
训的男生中随机抽取3 人，女生中随机抽取3 人组成代表队．
(1) 求A 中学至少有1 名学生入选代表队的概率；
(2) 某场比赛前，从代表队的6 名队员中随机抽取4 人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列
和数学期望．
9. (2015 湖南) 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有
4 个红球、6 个白球的甲箱和装有5 个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2 个球
中，若都是红球，则获得一等奖；若只有1 个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖．
(1) 求顾客抽奖1 次能获奖的概率；
(2) 若某顾客有3 次抽奖机会，记该顾客在3 次抽奖中获一等奖的次数为X，求X 的分布列和数学期
望．
10. (2014 辽宁) 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图
所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1) 求在未来连续3 天里，有连续2 天的日销售量都不低于100 个且另1 天的日销售量低于50 个的概
率；
(2) 用X 表示在未来3 天里日销售量不低于100 个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E(X) 及方差
D(X)．
0
50 100 150 200 250
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
频率
组距
日销售量/个
11. (2014 四川) 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1、2、3，这三张卡片除标记的数字外完全
相同．随机有放回地抽取3 次，每次抽取1 张，将抽取的卡片上的数字依次记为a、b、c．
(1) 求“抽取的卡片上的数字满足a + b = c”的概率；
(2) 求“抽取的卡片上的数字a、b、c 不完全相同”的概率．
117
第四章 统计概率分布列篇
第4讲
随机变量的均值和方程
典例讲解 · 掌握方法
题型1
常规均值与方差计算方法的应用
X
1
2
3
P
3
5
3
10
1
10
1
(2013 广东) 已知离散型随机变量X 的分布列为
则X 的数学期望E(X) = (
)
A. 3
2
B. 2
C. 5
2
D. 3
2
(2015 上海) 赌博有陷阱，某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5 的卡片中随机
摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金(单位：元)；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡
片上数字之差的绝对值的1.4 倍作为其奖金(单位：元)．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局
赌博中的赌金和奖金，则Eξ1- Eξ2=
(元)．
X
0
a
1
P
1
3
1
3
1
3
3
(2019 浙江) 设0 < a < 1．随机变量X 的分布列是
则当a 在(0,1) 内增大时，(
)
A. D(X) 增大
B. D(X) 减小
C. D(X) 先增大后减小
D. D(X) 先减小后增大
4
(2021 北京) 在核酸检测中，
“k 合1”混采核酸检测是指：先将k 个人的样本混合在一起进行1
次检测，如果这k 个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，
检测结束；如果这k 个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1 次检测，
得到每人的检测结果，检测结束．
现对100 人进行核酸检测，假设其中只有2 人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确．
(1) 将这100 人随机分成10 组，每组10 人，且对每组都采用“10 合1”混采核酸检测．
①如果感染新冠病毒的2 人在同一组，求检测的总次数：
②已知感染新冠病毒的2 人分在同一组的概率为1
11 ．设X 是检测的总次数，求X 的分布列与数
学期望E(X)．
(2) 将这100 人随机分成20 组，每组5 人，且对每组都采用“5 合1”混采核酸检测．设Y 是检测的
名校冲刺 实战教辅
118
总次数，试判断数学期望E(Y) 与(1) 中E(X) 的大小．(结论不要求证明)
5
(2017 江苏) 已知一个口袋有m 个白球，n 个黑球(m，n ∈N *，n ≥2)，这些球除颜色外全部相
同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如下所示的编号为1，2，3，⋯，m + n 的抽屉内，其
1
2
3
⋯
m + n
中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(k = 1，2，3，⋯，m + n)．
(1) 试求编号为2 的抽屉内放的是黑球的概率p；
(2) 随机变量x 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X) 是X 的数学期望，证明：E
(X) <
n
(m + n) (n - 1) ．
题型2
二项分布均值和方差的应用
6
(2018 卷3) 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．
设X 为该群体的10 位成员中使用移动支付的人数，D(X) = 2.4，P(X = 4) < P(X = 6)，则p =
(
)
A. 0.7
B. 0.6
C. 0.4
D. 0.3
7
(2015 广东) 已知随机变量X 服从二项分布B(n,p)，若E(X) = 30，D(X) = 20，则p = ．
8
(2017 卷2) 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100
次．X 表示抽到的二等品件数，则DX =
．
题型3
变量之间均值和方差的关系
9
若随机变量X 的期望E(X) = -2，则E(2X - 1) = (
)
A. - 4
B. - 5
C. - 9
D. 3
ξ
1
2
3
4
P
1
6
1
6
1
3
1
3
10
设ξ 的分布列如表所示，又设η = 2ξ + 5，则E(η) 等于(
)
A. 7
6
B. 17
6
C. 17
3
D. 32
3
11
若X~B 3, 1
5
，则D(5X - 1) =
．
12
已知离散型随机变量X 的取值为有限个，E(X) = 7
2 ，D(X) = 35
12 ，则E(X2) = ．
题型4
线性回归方程
119
第四章 统计概率分布列篇
13
(2021 宁波期末) 某学校有男生400 人，女生600 人．为调查该校全体学生每天睡眠时间，采
用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间均值为7.5 小时，方差为1，女生每天睡眠
时间为7 小时，方差为0.5．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为(
)
A. 0.45
B. 0.62
C. 0.7
D. 0.76
14
(2020 卷1) 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x(单位：°C) 的关
系，在20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi) (i = 1，2，⋯，20) 得到下面
的散点图：
10
20
30
40
温度/℃
0
0
20%
40%
60%
80%
100%
发芽率
由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归
方程类型的是(
)
A. y = a + bx
B. y = a + bx2
C. y = a + bex
D. y = a + blnx
15
(2017 山东) 为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米) 和身高y(单位：厘米) 的关系，从该班随
机抽取10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方
程为y= bx + a，已知
10
i=1
xi
= 225，
10
i=1
yi
= 1600，b= 4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高
为(
)
A. 160
B. 163
C. 166
D. 170
16
(2015 卷1) 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元) 对
年销售量y(单位：t) 和年利润z(单位：千元) 的影响，对近8 年的年宣传费xi和年销售量yi(i = 1，
2，⋯，8) 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
名校冲刺 实战教辅
120
x
y
w
8
i=1
(xi- x)2
8
i=1
(wi- w)2
8
i=1
(xi- x) (yi- y)
8
i=1
(wi- w) (yi- y)
46.6
56.3
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中wi=
xi，w= 1
8
8
i=1
w
i
(1) 根据散点图判断，y = a + bx 与y = c + d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回
归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2) 根据(1) 的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
(3) 已知这种产品的年利润z 与x、y 的关系为z = 0.2y - x，根据(2) 的结果回答下列问题：
①年宣传费x = 49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据u1,v1
, u2,v2
,⋯un,vn
其回归线v = α + βu 的斜率和截距的最小二乘估计分
别为：β
=
n
i=1
(ui- u) (vi- v)
n
i=1
(ui- u)2
，α
= v- βu.
17
(2017 卷1) 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取
16 个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产
的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2)．
(1) 假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16 个零件中其尺寸在(μ - 3σ,μ + 3σ) 之外的零件
数，求P(X ≥1) 及X 的数学期望；
(2) 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ - 3σ,μ + 3σ) 之外的零件，就认为这条生产线在这一
天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
(ⅰ) 试说明上述监控生产过程方法的合理性；
(ⅱ) 下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得x= 1
16
16
i=1
xi
= 9.97，s =
1
16
16
i=1
(xi- x)2
=
1
16
16
i=1
xi
2
- 16x2
≈0.212，其中xi为抽取
121
第四章 统计概率分布列篇
的第i 个零件的尺寸，i = 1，2，⋯，16．
用样本平均数x作为μ 的估计值μ，用样本标准差s 作为σ 的估计值σ，利用估计值判断是否需对
当天的生产过程进行检查？剔除(μ - 3σ,μ + 3σ) 之外的数据，用剩下的数据估计μ 和σ(精确到
0.01)．
附：若随机变量Z 服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ - 3σ < Z < μ + 3σ) = 0.9974，0.997416≈0.9592，
0.008 ≈0.09．
题型5
应用列联表判断函数的相关性
18
(2022 甲卷) 甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营．为了解这两家公司长途
准点班次数
未准点班次数
A
240
20
B
210
30
客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500 个班次，得到下面列联表：
(1) 根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2) 能否有90% 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：K 2=
n(ad - bc)2
(a + b) (c + d) (a + c) (b + d) ．
巩固练习 · 融会贯通
1. (2015 福建) 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5 户家庭，得到如
收入x(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
下统计数据表：
根据上表可得回归直线方程y= bx + a，其中b= 0.76,a= y- bx，据此估计，该社区一户收入为
15 万元家庭年支出为(
)
A. 11.4 万元
B. 11.8 万元
C. 12.0 万元
D. 12.2 万元
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
-0.5
0.5
-2.0
-3.0
2. (2014 湖北) 根据如下样本数据：
得到了回归方程y= bx + a，则(
)
A. a> 0，b< 0
B. a> 0，b> 0
C. a< 0，b< 0
D. a< 0，b> 0
3. (2012 湖南) 设某大学的女生体重y(单位：kg) 与身高x(单位：cm) 具有线性相关关系，根据一组样
名校冲刺 实战教辅
122
本数据(xi，yi) (i = 1，2，⋯，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y= 0.85x - 85.71，则下列结论中不
正确的是(
)
A. 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
B. 回归直线过样本点的中心(x，y)
C. 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D. y 与x 具有正的线性相关关系
4. (2020 卷3) 在一组样本数据中，1，2，3，4 出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且
4
i=1
pi
= 1，则下面四种
情形中，对应样本的标准差最大的一组是(
)
A. p1= p4= 0.1，p2= p3= 0.4
B. p1= p4= 0.4，p2= p3= 0.1
C. p1= p4= 0.2，p2= p3= 0.3
D. p1= p4= 0.3，p2= p3= 0.2
5. 设X 只取两个值0，1，并且P(X = 0) = 1 - p，P(X = 1) = p，p ∈(0,1)，则D(X) 的最大值为
(
)
A. 1
9
B. 1
4
C. 1
3
D. 4
9
6. 若X~B(n,0.006)，且E(X) = 60，则n = (
)
A. 10
B. 100
C. 1000
D. 10000
7. (2022 金坛区月考) 设0 < m < 1，随机变量X 的分布列如下表：则当m 在(0,1) 内增大时，以下结论
X
0
m
1
P
1
3
1
3
1
3
正确的是(
)
A. D(X) 变大
B. D(X) 变小
C. D(X) 先变大后变小
D. D(X) 先变小后变大
8. (2022 上城区校级期中) 已知a，b ∈R，随机变量ξ 满足P(ξ = x) = ax + b，其中x = -1，0，1，若E
(ξ) = 1
3 ，则[E(ξ)]2+ D(ξ) = (
)
A. 1
3
B. 2
3
C. 1
D. 4
3
9. (2022 奉贤区期末) 下列结论不正确的是(
)
A. 若事件A 与B 互斥，则P(A ∪B) = P(A)P(B)
B. 若事件A 与B 相互独立，则P(A ∩B) = P(A)P(B)
C. 如果X、Y 分别是两个独立的随机变量，那么D[X + Y] = D[X] + D[Y]
123
第四章 统计概率分布列篇
D. 若随机变量Y 的方差D[Y] = 3，则D[2Y + 1] = 12
10. 下列四个命题中，正确的个数的是(
)
①若随机变量X~B(100,p)，且E(X) = 20，则D 1
2 X + 1
= 5
②在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D 的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则A 与B ∪C ∪
D 是互斥事件，也是对立事件
③一只袋内装有m 个白球，n - m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取
出了ξ 个白球，P(ξ = 2) 等于(n - m)A2
m
A3
n
④由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，⋯，(xn，yn) 得到回归直线方程y = bx + a，那么直线y = bx + a
至少经过(x1，y1)，(x2，y2)，⋯，(xn，yn) 中的一个点
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
11. (2022 甲卷) 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10 分，负方得0
分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概
率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1) 求甲学校获得冠军的概率；
(2) 用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与期望．
12. (2017 卷3) 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，售价每瓶6 元，未
售出的酸奶降价处理，以每瓶2 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最
高气温(单位：°C) 有关．如果最高气温不低于25，需求量为500 瓶；如果最高气温位于区间[20，
25)，需求量为300 瓶；如果最高气温低于20，需求量为200 瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了
最高气温
[10，15)
[15，20)
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40)
天数
2
16
36
25
7
4
前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
(1) 求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶) 的分布列；
(2) 设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)
为多少时，Y 的数学期望达到最大值？
13. (2023 届长郡中学高三月考)2022 年9 月28 日晚，中国女排在世锦赛小组赛第三轮比赛中，又一次
以3:0 的比分酣畅淋漓地战胜了老对手日本女排，冲上了热搜榜第八位，令国人振奋！同学们，你们知
道排球比赛的规则和积分制吗？其规则是：每场比赛采用“5 局3 胜制”(即有一支球队先胜3 局即获
胜，比赛结束)．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3:0 或3:1 取胜的球队积3 分，负队积
名校冲刺 实战教辅
124
0 分；以3:2 取胜的球队积2 分，负队积1 分．已知甲、乙两队比赛，甲队每局获胜的概率为2
3 ．
(1) 如果甲、乙两队比赛1 场，求甲队的积分X 的概率分布列和数学期望；
(2) 如果甲、乙两队约定比赛2 场，求两队积分相等的概率．
14. (2023 届长沙市一中高三第2 次月考) 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对
本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100 分(95 分及以上为认知程度
高)，结果认知程度高的有m 人，按年龄分成5 组，其中第一组：[20，25)，第二组：[25，30)，第三组：
[30，35)，第四组：[35，40)，第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10 人．
(1) 根据频率分布直方图，估计这m 人的平均年龄和第80 百分位数；
(2) 现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20 人，担任本市的“中国梦”宣传使者．
(i) 若有甲(年龄38)，乙(年龄40) 两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者
中，再随机抽取2 名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
(ii) 若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37 和5
2 ，第五组宣传使者的年龄的平均数与方
差分别为43 和1，据此估计这m 人中35~45 岁所有人的年龄的方差．
0.07
0.06
0.04
0.02
0.01
O
频率
组距
年龄/岁
20 25 30 35 40 45
15. (2021 新高考1) 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B 两类问题．每位参加比赛的同学先在
两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从
另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A 类问题中的每个问
题回答正确得20 分，否则得0 分；B 类问题中的每个问题回答正确得80 分，否则得0 分．
已知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的
概率与回答次序无关．
(1) 若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；
(2) 为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
16. (2022 乙卷) 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总
材积量，随机选取了10 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2) 和材积量(单位：m3)，得
到如下数据：
样本号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积xi
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
125
第四章 统计概率分布列篇
材积量yi
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
并计算得
10
i=1
x2
i
= 0.038，
10
i=1
y2
i
= 1.6158，
10
i=1
xi
yi= 0.2474．
(1) 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2) 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；
(3) 现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为
186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材
积量的估计值．
附：相关系数r =
n
i=1
(xi- x)
(yi- y)
n
i=1
(xi- x)2
n
i=1
(yi- y)2
，1.896 ≈1.377．
17. (2023 届广州市高三调研考试) 世界卫生组织建议成人每周进行2.5 至5 小时的中等强度运动．已
知A 社区有56% 的居民每周运动总时间超过5 小时，B 社区有65% 的居民每周运动总时间超过5 小
时，C 社区有70% 的居民每周运动总时间超过5 小时，且A，B，C 三个社区的居民人数之比为5:6:9．
(1) 从这三个社区中随机抽取1 名居民，求该居民每周运动总时间超过5 小时的概率；
(2) 假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量X(单位：小时)，且X~N(5.5,σ2)．现从这三
个社区中随机抽取3 名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为5 至6 小时的概率．
名校冲刺 实战教辅
126
第5讲
新高考难度背景下概率分布列综合题思路分析
典例讲解 · 掌握方法
1
2019 卷2 理
为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进
行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选
一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈
的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便
描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1 分，
乙药得-1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1 分，甲药得-1 分；若都
治愈或都未治愈则两种药均得0 分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α 和β，一轮试验中甲药的得
分记为X．
(1) 求X 的分布列；
(2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分，pi(i = 0,1,⋯,8) 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认
为甲药比乙药更有效”的概率，则p0= 0，p8= 1，pi= api-1+ bpi+ cpi+1(i = 1,2,⋯,7)，其中a = P(X
= -1)，b = P(X = 0)，c = P(X = 1)．假设α = 0.5，β = 0.8．
(i) 证明：{pi+1- pi} (i = 0,1,2,⋯,7) 为等比数列；
(ii) 求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
2
(2023 届长郡中学高三月考1) 为激发学生加强体育活动,保证学生健康成长,某校开展了校级
排球比赛,现有甲、乙两人进行比赛,约定每局胜者得1 分,负者得0 分,比赛进行到有一人比对方多
2 分或打满8 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为p p > 1
2
,且各局胜负相互独立.已知第二局
比赛结束时比赛停止的概率为5
9 .
(1) 求p 的值;
(2) 设X 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量X 的分布列和数学期望EX.
3
2023 届长郡中学高三月考2
统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现
象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决
策.
(1) 现有池塘甲，已知池塘甲里有50 条鱼，其中A 种鱼7 条，若从池塘甲中捉了2 条鱼. 用ξ 表示其
中A 种鱼的条数，请写出ξ 的分布列，并求ξ 的数学期望E ξ
;
(2) 另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50 条鱼，做好记号后放回池塘，再从
中捉了20 条鱼，发现有记号的有5 条.
(ⅰ) 请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.
127
第四章 统计概率分布列篇
(ⅱ) 统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找
能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件. 请从条
件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.
4
2023 届长郡中学高三月考3
2022 年9 月28 日晚，中国女排在世锦赛小组赛第三轮比赛中，
又一次以3:0 的比分酣畅淋漓地战胜了老对手日本女排，冲上了热搜榜第八位，令国人振奋！同学
们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗？其规则是：每场比赛采用“5 局3 胜制”(即有一支球队
先胜3 局即获胜，比赛结束)．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3:0 或3:1 取胜的球
队积3 分，负队积0 分；以3:2 取胜的球队积2 分，负队积1 分．已知甲、乙两队比赛，甲队每局获胜
的概率为2
3 ．
(1) 如果甲、乙两队比赛1 场，求甲队的积分X 的概率分布列和数学期望；
(2) 如果甲、乙两队约定比赛2 场，求两队积分相等的概率．
5
2023 届长郡中学高三月考4
2022 年卡塔尔世界杯(英语：FIFAWorldCupQatar2022) 是第
二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行､也是继2002 年韩日世界杯
之后时隔二十年第二次在亚洲举行的界杯足球赛，体育生更是热爱观看世界杯，某体育学院统计
了该校足球系10 个班级的学生喜欢观看世界杯的人数，统计人数如下表所示：
班级
1
2
3
4
5
喜欢观看世界杯的人数
39
35
38
38
36
班级
6
7
8
9
10
喜欢观看世界杯的人数
39
40
37
40
38
(1) 该校计划从这10 个班级中随机抽取3 个班级的学生，就世界杯各国水平发挥进行交谈，求这3
个班级喜欢观看世界杯的人数不全相同的概率；
(2) 从10 个班级中随机选取一个班级，记这个班级喜欢观看世界杯的人数为X，用上表中的频率
估计概率，求随机变量X 的分布列与数学期望．
6
2023 届长郡中学高三月考5
2020 年以来，新冠疫情对商品线下零售影响很大．某商家决定
借助线上平台开展销售活动．现有甲、乙两个平台供选择，且当每件商品的售价为a(300 ≤a ≤
500) 元时，从该商品在两个平台所有销售数据中各随机抽取100 天的日销售量统计如下，
商品日销售量(单位：件)
6
7
8
9
10
甲平台的天数
14
26
26
24
10
乙平台的天数
10
25
35
20
10
假设该商品在两个平台日销售量的概率与表格中相应日销售量的频率相等，且每天的销售量互不
影响，
名校冲刺 实战教辅
128
(1) 求“甲平台日销售量不低于8 件”的概率，并计算“从甲平台所有销售数据中随机抽取3 天的日
销售量，其中至少有2 天日销售量不低于8 件”的概率；
(2) 已知甲平台的收费方案为：每天佣金60 元，且每销售一件商品，平台收费30 元；乙平台的收费
方案为：每天不收取佣金，但采用分段收费，即每天销售商品不超过8 件的部分，每件收费40 元，超
过8 件的部分，每件收费35 元．某商家决定在两个平台中选择一个长期合作，从日销售收入(单
价× 日销售量-平台费用) 的期望值较大的角度，你认为该商家应如何决策？说明理由．
7
2023 届长沙一中高三月考1
为落实教育部的双减政策，义务教育阶段充分开展课后特色服
务. 某校初中部的篮球特色课深受学生喜爱，该校期末将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至
多投3 次，先在M 处投一次三分球，投进得3 分，未投进不得分，以后均在N 处投两分球，每投进一
次得2 分，未投进不得分. 测试者累计得分高于3 分即通过测试，并终止投篮. 甲､乙两位同学为了
通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在M 处和N 处各投10 次，根据他们每轮两分球和三分
球的命中次数情况分别得到如下图表：
若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率.
(1) 已知该校有300 名学生的投篮水平与甲同学相当，求这300 名学生通过测试人数的数学期望；
(2) 在甲乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率.
8
2023 届长沙一中高三月考2
某芯片制造企业使用新技术对某款芯片进行试生产. 在试产初
期，该款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自
动检测与人工抽检.
(1) 在试产初期，该款芯片的批次M 生产前三道工序的次品率分别为P1= 1
60 ,P2= 1
59 ,P3= 1
58 .
①求批次M 芯片的次品率PM；
②第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进
行抽查检验. 已知批次M 的芯片智能自动检测显示合格率为98%，求工人在流水线进行人工抽
检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率；
(2) 该企业改进生产工艺后生产了批次N 的芯片. 某手机生产厂商获得批次M 与批次N 的芯片，
并在某款新型手机上使用. 现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查. 据统
129
第四章 统计概率分布列篇
计，回访的100 名用户中，安装批次M 有40 部，其中对开机速度满意的有30 人；安装批次N 有60
部，其中对开机速度满意的有58 人. 依据α = 0.005 的独立性检验，能否认为芯片批次与用户对
开机速度满意度有关?
附：χ2=
n(ad - bc)2
(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)
9
2023 届长沙一中高三月考3
某企业研发了一种新药，为评估药物对目标适应症患者的治疗
作用和安全性，需要开展临床用药试验，检测显示临床疗效评价指标A 的数量y 与连续用药天数
x 具有相关关系. 随机征集了一部分志愿者作为样本参加临床用药试验，并得到了一组数据(xi,
yi),i = 1,2,3,⋯,20，其中xi表示连续用药i 天，yi表示相应的临床疗效评价指标A 的数值. 根据临
床经验，刚开始用药时，指标A 的数量y 变化明显，随着天数增加，y 的变化趋缓. 经计算得到如下
一些统计量的值：
20
i=1
xi
= 60,
20
i=1
yi
= 1200,
20
i=1
(xi- x)2
= 80，
20
i=1
(yi- y)2
= 9000,
20
i=1
(xi- x)
(yi- y) = 800.
(1) 求样本xi,yi
i = 1,2,⋯,20
的相关系数(精确到0.01
；
(2) 新药经过临床试验后，企业决定通过两条不同的生产线每天8 小时批量生产该商品，其中第1
条生产线的生产效率是第2 条生产线的两倍. 若第1 条生产线出现不合格药品的概率为0.009，第
2 条生产线出现不合格药品的概率为0.006，两条生产线是否出现不合格药品相互独立.
(i) 随机抽取一件该企业生产的药品，求该药品不合格的概率；
(ii) 若在抽查中发现3 件不合格药品，求其中至少有2 件药品来自第1 条生产线的概率.
附：相关系数r =
n
i=1
xi- x
yi- y
n
i=1
xi- x
2
n
i=1
yi- y
2
, 2 ≈1.414
10
2023 届长沙一中高三月考4
某中学2022 年10 月举行了2022“翱翔杯”秋季运动会，其中
有“夹球跑”和“定点投篮”两个项目，某班代表队共派出1 男(甲同学)2 女(乙同学和丙同学) 三人
参加这两个项目，其中男生单独完成“夹球跑”的概率为0.6，女生单独完成“夹球跑”的概率为a(0
< a < 0.4)．假设每个同学能否完成“夹球跑”互不影响，记这三名同学能完成“夹球跑”的人数为
ξ．
(1) 证明：在的概率分布中，P ξ = 1
最大．
(2) 对于“定点投篮”项目，比赛规则如下：该代表队先指派一人上场投篮，如果投中，则比赛终止，
如果没有投中，则重新指派下一名同学继续投篮，如果三名同学均未投中，比赛也终止．该班代表
队的领队了解后发现，甲、乙、丙三名同学投篮命中的概率依次为ti= P ξ = i
(i = 1，2，3)，每位同
学能否命中相互独立．请帮领队分析如何安排三名同学的出场顺序，才能使得该代表队出场投篮
人数的均值最小？并给出证明．
名校冲刺 实战教辅
130
11
2023 届长沙一中高三月考5
“学习强国”学习平台的答题竞赛包括三项活动, 分别为“四人
赛”,“双人对战”和“挑战答题”. 在一天内参与“四人赛”活动，每局第一名积3 分，第二、三名各积
2 分，第四名积1 分，每局比赛相互独立. 在一天内参与“双人对战”活动，每局比赛有积分，获胜者
得2 分，失败者得1 分，每局比赛相互独立.已知甲参加“四人赛”活动, 每局比赛获得第一名、第二
名的概率均为1
3 , 获得第四名的概率为1
6 ; 甲参加“双人对战”活动, 每局比赛获胜的概率为3
4 .
(1) 记甲在一天中参加“四人赛”和“双人对战”两项活动(两项活动均只参加一局) 的总得分为X,
求X 的分布列与数学期望;
(2)“挑战答题”比赛规则如下: 每位参赛者每次连续回答5 道题，在答对的情况下可以持续答题,
若第一次答错时，答题结束，积分为0 分，只有全部答对5 道题可以获得5 个积分. 某市某部门为
了吸引更多职工参与答题，设置了一个“得积分进阶”活动，从1 阶到n(n ≥10) 阶，规定每轮答题
获得5 个积分进2 阶，没有获得积分进1 阶，按照获得的阶级给予相应的奖品，记乙每次获得5 个
积分的概率互不影响，均为5
6 ，记乙进到n 阶的概率为pn，求p12.
12
2023 届长沙一中高三月考6
近日，某芯片研发团队表示已自主研发成功多维先进封装技术
XDFOI，可以实现4nm 手机SOC 芯片的封装，这是中国芯片技术的又一个重大突破，对中国芯
片的发展具有极为重要的意义，可以说国产4nm 先进封装技术的突破，激发了中国芯片的潜力，
证明了知名院士倪光南所说的先进技术是买不来的，求不来的，自主研发才是最终的出路。研发
团队准备在国内某著名大学招募人才，准备了3 道测试题，答对两道就可以被录用，甲，乙两人报
名参加测试，他们通过每道试题的概率均为p 0 < p < 1
，且相互独立，若甲选择了全部3 道试题，
乙随机选择了其中2 道试题，试回答下列问题. 所选的试题全部答完后再判断是否被录用
.
1
求甲和乙各自被录用的概率；
2
设甲和乙中被录用的人数为ζ,请判断是否存在唯一的p 值p0，使得E ζ
= 1.5? 并说明理由.
13
2023 届雅礼中学高三月考1
最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一
次减压游戏. 班主任把除颜色不同外其余均相同的8 个小球放入一个纸箱子，其中白色球与黄色
球各3 个，红色球与绿色球各1 个. 现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1 分，黄
球每个记2 分，红球每个记3 分，绿球每个记4 分，规定摸球人得分不低于8 分获胜. 比赛规则如
下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出1 球；若摸出的是绿色球，则
再从袋子里摸出2 个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3 个球，他的得分为两次摸出的
球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和.
(1) 若甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜的概率；
(2) 如果乙先摸出了红色球，求乙得分ξ 的分布列和数学期望E ξ
；
(3) 第一轮比赛结束，有同学提出比赛不公平，提出你的看法，并说明理由.
131
第四章 统计概率分布列篇
14
2023 届雅礼中学高三月考2
品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方
法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时
间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．
根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评级.
现设n = 4，分别以a1,a2,a3,a4表示第一次排序时被排为1,2,3,4 的四种酒在第二次排序时的序号，
并令X = 1 - a1
+ 2 - a2
+ 3 - a3
+ 4 - a4
，则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述．
(1) 写出X 的可能值集合；
(2) 假设a1,a2,a3,a4等可能地为1,2,3,4 的各种排列，求X 的分布列；
(3) 某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X ≤2，
(i) 试按(2) 中的结果，计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独立)；
(ii) 你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由．
15
2023 届雅礼中学高三月考3
某城市为了了解高中生的身高情况，从某次全市高中生体检中
抽取了一所学校的n 名学生的身高数据，整理分组成区间[140,150],(150,160],(160,170],(170,
180],(180,190]，单位：厘米，并画出了频率分布直方图如右，已知从左到右前三个小组频率之比为
2：3：4，其中第二小组有15 人.
(1) 求样本频数n 的值；
(2) 以此校的样本数据来估计全市的总体数据，若从全市所有高中学生(人数很多) 中任选三人，设
X 表示身高超过160 厘米的学生人数，求X 的分布列及期望；
(3) 某班主任对全班50 名学生进行了作业量多少的调查. 数据如下表：
认为作业多
认为作业不多
合计
喜欢玩游戏
18
9
27
不喜欢玩游戏
8
15
23
合计
26
24
50
试通过计算说明在犯错误的概率不超过多少的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系.
附：
α
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
名校冲刺 实战教辅
132
χα
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
χ2=
n(ad - bc)2
a + b
c + d
a + c
b + d
,n = a + b + c + d.
16
2023 届雅礼中学高三月考4
为了备战2021 年7 月在东京举办的奥运会，跳水运动员甲参
加国家队训练测试，已知该运动员连续跳水m 次，每次测试都是独立的．若运动员甲每次选择难
度系数较小的动作A 与难度系数较大的动作B 的概率均为1
2 ．每次跳水测试时，若选择动作A，
取得成功的概率为2
3 ，取得成功记1 分，否则记0 分．若选择动作B，取得成功的概率为1
3 ，取得
成功记2 分，否则记0 分．总得分记为X 分．
(1) 若m = 2，求分数X 的概率分布列与数学期望．(若结果不为整数，用分数表示)
(2) 若测试达到n 分则中止，记运动员在每一次跳水均取得成功且累计得分为n 分的概率为G
(n)，如G(1) = 1
3 ．
①求G(2)；
②问是否存在λ ∈R，使得{G(n) - λG(n - 1)} 为等比数列，其中n ∈N ∗,n ≥2？若有，求出λ；若
没有，请说明理由．
17
2023 届雅礼中学高三月考5
法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家
面包店购买一个面包. 该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000g，上下浮动不
超过50g. 这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g，标准差为50g 的正态
分布.
(1) 已知如下结论：若X ∼N μ,σ2
，从X 的取值中随机抽取k k ∈N *,k ≥2
个数据，记这k 个数
据的平均值为Y，则随机变量Y ∼N μ, σ2
k
. 利用该结论解决下面问题.
(i) 假设面包师
说法是真实的，随机购买25 个面包，记随机购买25 个面包的平均值为Y，求
PY ≤980 ；
(ii) 庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25 天后，得到的数据都落在950,1050 上，并经计
算25 个面包质量的平均值为978.72g. 庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱
举报该面包师的理由；
(2) 假设有两箱面包(面包除颜色外，其他都一样)，已知第一箱中共装有6 个面包，其中黑色面包
有2 个；第二箱中共装有8 个面包，其中黑色面包有3 个. 现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出
2 个面包. 求取出黑色面包个数的分布列及数学期望.
附：
①随机变量η 服从正态分布N μ,σ2 ，则Pμ - σ ≤η ≤μ + σ = 0.6827，Pμ - 2σ ≤η ≤μ + 2σ
= 0.9545,Pμ - 3σ ≤η ≤μ + 3σ = 0.9973；
②通常把发生概率小于0.05 的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.
133
第四章 统计概率分布列篇
18
2023 届雅礼中学高三月考6
为贯彻中共中央、国务院2023 年一号文件，某单位在当地定点
帮扶某村种植一种草莓，并把这种露天种植的草莓搬到了大棚里，收到了很好的经济效益．根据
资料显示，产出的草莓的箱数x(单位：箱) 与成本y(单位：千元) 的关系如下：
x
1
3
4
6
7
y
5
6 5
7
7.5
8
y 与x 可用回归方程y= blgx + a(其中a,b为常数) 进行模拟．
箱数
200
160
120
80
40
1
320
1
160
1
80
频率
组距
0
(1) 若农户卖出的该草莓的价格为150 元/ 箱，试预测该水果100 箱的利润是多少元．(利润= 售
价-成本)
(2) 据统计，1 月份的连续16 天中农户每天为甲地可配送的该水果的箱数的频率分布直方图如图，
用这16 天的情况来估计相应的概率．一个运输户拟购置n 辆小货车专门运输农户为甲地配送的
该水果，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40 箱该水果，满载发车，否则不发
车．若发车，则每辆车每趟可获利500 元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200 元．试比较n = 3
和n = 4 时，此项业务每天的利润平均值的大小．
参考数据与公式：设t = lgx，则
t
y
5
i=1
ti- t
yi- y
5
i=1
ti- t
2
0 54
6.8
1.53
0.45
线性回归直线y= blgx + a中，b=
n
i=1
ti- t
yi- y
n
i=1
ti- t
2
,a= y- bt．
19
2023 届湖南师大附中高三月考1
某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，
为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各20 次连续正常运行的时间长度(单位：天) 数
据，整理如下：
改造前：19,31,22,26,34,15,22,25,40,35,18,16,28,23,34,15,26,20,24,21；
改造后：32,29,41,18,26,33,42,34,37,39,33,22,42,35,43,27,41,37,38,36.
(1) 完成下面的列联表，并依据小概率值α = 0.010 的独立性检验，分析判断技术改造前后的连续
名校冲刺 实战教辅
134
正常运行时间是否有差异？
技术改造
设备连续正常运行天数
合计
超过30
不超过30
改造前
改造后
合计
(2) 工厂的生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费和保
障维护费两种，对生产设备设定维护周期为T 天(即从开工运行到第KT 天，k ∈N ∗) 进行维护，生
产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立. 在一个维护周期内，若生产
设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生保障维护费；若生产设备不能连续运行，
则除产生一次正常维护费外，还产生保障维护费，经测算，正常维护费为0.5 万元/ 次，保障维护费
第一次为0.2 万元/ 周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2 万元. 现制定生产设备一个生产
周期(以120 天计) 内的维护方案：T = 30，k = 1,2,3,4. 以生产设备在技术改造后一个维护周期内
能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及均值.
α
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.82
8
χ2=
n ad - bc
2
a + b
c + d
a + c
b + d
(其中n = a + b + c + d)
20
2023 届湖南师大附中高三月考2
为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与
人体试验．研究人员将疫苗注射到200 只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按
[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80) 分组，绘制频率分布直方图如图所示．试验发现小白鼠体内产
生抗体的共有160 只，其中该项指标值不小于60 的有110 只．
135
第四章 统计概率分布列篇
假设小白鼠注射痕苗后是否产生抗体相互独立．
(1) 填写下面的2 × 2 列联表，并根据列联表及α = 0.05 的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后
小白鼠产生抗体与指标值不小于60 有关．单位：只
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
没有抗体
合计
参考公式：χ2=
(2) 为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40 只小白鼠进行第
二次注射疫苗，结果又有20 只小白鼠产生抗体．
①用频率估计概率，求一只小白鼠注射2 次疫苗后产生抗体的概率p；
②以①中确定的概率p 作为人体注射2 次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n 个人
注射2 次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X．试验后统计数据显示，当X = 99 时，P(X) 取最
大值，求参加人体接种试验的人数n 及E(X)．
n(ad - bc)2
(a + b) (c + d) (a + c) (b + d) (其中n = a + b + c + d 为样本容量)
参考数据：
21
2023 届湖南师大附中高三月考3
汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素．
我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业发展，
某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：
年份t
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码
x x = t - 2016
1
2
3
4
5
销量y/ 万辆
10
12
17
20
26
(1) 统计表明销量y 与年份代码x 有较强的线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测该
名校冲刺 实战教辅
136
地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50 万辆；
(2) 为了解购车车主的性别与购车种类(分为新能源汽车与传统燃油汽车) 的情况，该企业心随机
调查了该地区200 位购车车主的购车情况作为样本其中男性车主中购置传统燃油汽车的有w 名，
购置新能源汽车的有45 名，女性车主中有20 名购置传统燃油汽车．
①若w = 95，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用(1) 中的线性
回归方程预测该地区2023 年购置新能源汽车的女性车主的人数(假设每位车主只购买一辆汽车，
结果精确到千人)；
②设男性车主中购置新能源汽车的概率为p，将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车
主中随机抽取5 人，记恰有3 人购置新能源汽车的概率为f p
，求当w 为何值时，f p
最大．
附：y = bx + a为回归方程，b=
n
i=1
xi
yi- nxy
n
i=1
x2
i
- nx2
，a= y- bx．
22
2023 届湖南师大附中高三月考4
为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需
要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100 名，得到如
下数据：
性别
锻炼
不经常
经常
女生
40
60
男生
20
80
(1) 依据α = 0.01 的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
(2) 从这200 人中随机选择1 人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；
(3) 为了提高学生体育锻炼的积极性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在
该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练，第1 次由甲将球传出，每次传球时，传
球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人. 求第n 次传球后球在甲手中的概率.
附：χ2=
n ad - bc
2
a + b
c + d
a + c
b + d
α
0.010
0.005
0.001
xα
6.635
7.879
10.828
23
2023 届湖南师大附中高三月考5
甲乙两人进行乒乓球比赛, 经过以往的比赛分析, 甲乙对
阵时, 若甲发球, 则甲得分的概率为3
5 , 若乙发球, 则甲得分的概率为1
3 . 该局比赛甲乙依次轮换
发球权(甲先发球), 每人发两球后轮到对方进行发球.
137
第四章 统计概率分布列篇
(1) 求在前4 球中, 甲领先的概率;
(2)12 球过后, 双方战平(6:6), 已知继续对战奇数球后, 甲率先取得11 分获得胜利(获胜要求净胜
2 分及以上). 设净胜分为X(甲, 乙的得分之差), 求X 的分布列.
24
2023 届湖南师大附中高三月考6
基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的
招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔
尖的学生. 强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中笔试通过后才能进入面试环节，2021
年有3500 名学生报考某试点高校，若报考该试点高校的学生的笔试成绩ξ~N(μ,σ2)，其分布密度
函数P(x) =
1
2πσ e
- (x-μ)2
2σ2 ，x ∈R 的最大值为
2π
20π ，且P(ξ ≤50) = P(ξ ≥70). 笔试成绩高于70 分
的学生进入面试环节.
(1) 求μ 和σ；
(2) 从报考该试点高校的学生中随机抽取10 人，求这10 人中至少有一人进入面试的概率；
(3) 现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为1
3 、1
3 、1
2 、1
2 . 设这4
名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X 的分布列和数学期望.
附：若X~N(μ,σ2)，则P(|X - μ| ≤σ) ≈0.6827，P(|X - μ| ≤2σ) ≈0.9545，0.8413510≈0.1777，
0.9772510≈0.7944.
25
(2023 届长沙市高三适应性高考) 为了调动大家积极学习党的二十大精神,某市举办了党史
知识的竞赛.初赛采用“两轮制”方式进行,要求每个单位派出两个小组,且每个小组都要参加两轮
比赛,两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.某单位派出甲、乙两个小组参赛,在初赛中,
若甲小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是3
4 , 4
5 ,乙小组通过第一轮与第二轮比赛的概率
分别是3
5 , 2
3 ,且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响.
(1) 若该单位获得决赛资格的小组个数为X,求X 的数学期望;
(2) 已知甲、乙两个小组都获得了决赛资格,决赛以抢答题形式进行.假设这两组在决赛中对每个问
题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率.若最后一道题被该单位的某小组抢到,且甲、
乙两个小组抢到该题的可能性分别是45%,55%,该题如果被答对,计算恰好是甲小组答对的概率.
26
根据社会人口学研究发现，一个家庭有X 个孩子的概率模型为：
X
1
2
3
0
概率
α
p
α
α 1 - p
α 1 - p
2
其中α > 0，0 < p < 1．每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为1
2 且相互独立，事件Ai表示
一个家庭有i 个孩子i = 0,1,2,3
，事件B 表示一个家庭的男孩比女孩多(例如：一个家庭恰有一
个男孩，则该家庭男孩多．)
名校冲刺 实战教辅
138
(1) 若p = 1
2 ，求α，并根据全概率公式P(B) =
3
i=0
P
B ∣Ai
P Ai
，求P B
；
(2) 为了调控未来人口结构，其中参数p 受到各种因素的影响(例如生育保险的增加，教育、医疗福
利的增加等)．
①若希望P X = 2
增大，如何调控p 的值？
②是否存在p 的值使得E X
= 5
3 ，请说明理由．
27
最近几年，新型冠状病毒肺炎席卷全球，在病毒爆发之初，我国迅速建立防疫机制，通过将与
新冠肺炎确诊患者接触过的人员分为“密接”和“次密接”两类人群，并对两类人群分别加以不同程
度的隔离措施，有效地预防了新冠肺炎病毒的传播. 已知某确诊阳性患者确诊当天的“密接”人员
有2 人，
“次密接”人员有3 人，且每个“密接”人员被感染的概率为1
2 ，每个“次密接" 人员被感染
的概率为1
4
(1) 求在这五人中，恰好有两人感染新冠肺炎的概率；
(2) 设这五人中，感染新冠肺炎的人数为随机变量X，求X 的数学期望.
