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【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题09 球体综合问题小题综合 （新高考通用）
一、单选题
1．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）一个圆锥的轴截面是等边三角形，且该圆锥内
部最大的球的表面积为 .若该圆锥的轴截面的所有顶点都在球O的球面上，则球O
的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广东广州·统考一模）已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上，
， ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）将菱形 沿对角线
折起，当四面体 体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）如图所示的多面体由正四棱锥
和三棱锥 组成，其中 .若该多面体有外接球且外接球的体积
是 ，则该多面体体积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·浙江·模拟预测）在《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑为四个面都为直角三角
形的三棱锥，如图，在堑堵 中， ，鳖臑 的外接
球的体积为 ，则阳马 体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．4
6．（2023春·安徽阜阳·高三阜阳市第二中学校考阶段练习）如图1，四边形 中，
， ， ，将 沿 翻折至 ，使二面角
的正切值等于 ，如图2，四面体 的四个顶点都在同一个球面上，
则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知六棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面上，
当六棱锥的体积最大时，其侧棱长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）我们把轴截面为等腰直角三角
形的圆锥称为直角圆锥.在直角圆锥 中，点 与底面圆 都在同一个球面上，若球的表面积为 ，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·辽宁·校联考模拟预测）在平面中，若正 内切圆的面积为 ，内切圆
与外接圆之间的圆环面积为 ，则 在空间中，若正四面体 内切球的体积
为 ，内切球之外与外接球之内的几何体的体积为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）一球的表面积为 ，它的内接圆锥的母线
长为l，且 ，则该内接圆锥体积的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
11．（2023春·福建泉州·高三校联考阶段练习）已知A，B，C为球O的球面上的三个
点，若 ， ，球O的表面积为 ，则三棱锥 的体积最大值为
（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·福建福州·统考二模）已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上，
， ，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·湖南·模拟预测）在三棱锥 中， 平面BCD，
，则三棱锥 的外接球的表面积与三棱锥
的体积之比为（ ）A． B． C． D．
14．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）在直三棱柱 中， 为等边
三角形，若三棱柱 的体积为 ，则该三棱柱外接球表面积的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·山东济宁·统考一模）已知直三棱柱 ， 为线段 的中点，
为线段 的中点， 过 的内切圆圆心，且 ， ， ，
则三棱锥 的外接球表面积为（ ）
A． B． π C． D．
16．（2023·广东梅州·统考一模）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载
有几何体“刍甍”.现有一个刍甍如图所示，底面 为正方形， 平面 ，
四边形 ， 为两个全等的等腰梯形， ，且 ，则此刍
甍的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
17．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的
球）的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
18．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米
德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角
形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，如图所示.已知 ，若在该半正多面体内放一个球，则该球表面积的最大值为__________.
19．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）在三棱锥 中，
.若三棱锥 的所有顶点
都在同一球面上，则该球的表面积为__________.
20．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨德强学校校考开学考试）如图，在梯形ABCD
中， ，将 沿边AC翻折，使点D翻折
到P点，且 ，则三棱锥 外接球的表面积是___________.
21．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上，
， ， 是边长为 的等边三角形， 的面积为 ，
则球 的体积为______．
22．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知三棱锥 的体积为
，各顶点均在以 为直径的球面上， ，则该球的体积
为______.
23．（2023·辽宁·校联考一模）正四面体 的棱 中点为O，平面 截球 所
得半径为 的圆与 相切，则球 的表面积为______.
24．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知正三棱锥的各顶点都在表面积为 球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为______.
25．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在四棱锥 中，
底面 为菱形， 底面 ， 为对角线 与 的交点，若 ，
，则三棱锥 的外接球的体积为______.
26．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）蹴鞠（如图所示），又
名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内
实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球.2006
年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗
产名录.已知某鞠（球）的表面上有四个点A，B，C，P，且球心О在PC上，
， ， ，则该鞠（球）的表面积为
__________.
三、双空题
27．（2023·浙江·校联考模拟预测）在三棱锥 中，对棱 ，
， ，则该三棱锥的外接球体积为________，内切球表面
积为________.
28．（2023·辽宁沈阳·统考一模）三棱锥 中， ，，点E为CD中点， 的面积为 ，则AB与平面BCD所成角的正
弦值为______，此三棱锥外接球的体积为______．
29．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）已知圆锥的顶点为 ，轴截面为锐角 ，
，则当 ________时，圆锥的内切球与外接球的表面积的比值最大，最大
值为__________．
30．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习） 中，
，沿 将 折起到 位置， 点不在 面内，当三
棱锥 的体积最大时，三棱锥 的外接球半径是__________；当
时，三棱锥 的外接球表面积是__________.
