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【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题18 等式与不等式综合问题 多选题（新高考通用）
1．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】对于选项A,消元利用二次函数的图象和性质判断；对于选项B,C,D都利用基
本不等式判断.
【详解】解：因为 ， ，且 ，所以 ，所以 ，
二次函数的抛物线的对称轴为 ，所以当 时， 的最小值为 ，所以
，所以选项A正确；
成立，当且仅当a＝b
＝ 时取等号），故选项B错误；
， 成立，（当且仅当a＝b＝ 时取等号），故选项C正确；
∵ ，∴ （当且仅当a＝b＝ 时取
等号），故选项D正确.
故选：ACD
2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三校考阶段练习）若 ，且 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD【分析】由题意可得 ，根据 可判断A； ，利
用“乘1法”可判断B；根据 可判断C； 可化为
，利用基本不等式可判断D.
【详解】
∴ ，A正确；
，当且仅当 时等
号成立，B正确；
，解得 错误；
，由题意知， ，则 ，
当且仅当 时等号成立，D正确.
故选:ABD.
3．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）若直线 经过点 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据直线 经过点 得到 ，然后利用基本不等
式逐项判断即可求解.
【详解】因为直线 经过点 ，则 ，所以 ，对于 ，因为 ，
所以 当且仅当 时等号成立，
故选项 错误；
对于 ，因为 当且仅当 时等号成立，所以 ，则
，故选项 正确；
对于 ， ，
当 ， 时等号成立，故选项 正确；
对于 ，因为 ， ，所以 ，且 ，
由 可得： ，
，当 ， 时
等号成立，故选项 正确；
故选： .
4．（2023秋·广东广州·高三广州市培英中学校考期末）若实数 满足
，则 的值可以是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】BC
【分析】令 ，把等式 变形成，用 表示 ，然
后再用基本不等式， 用 表示成不等式，解不等式即可.
【详解】 ， ，设 ，
则由题意得 ，即 .因为 ，即 ，当且仅当 ，即 时等号成立，解得 ，所以
的取值范围是
故选：BC.
5．（2023春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）若正数a，b满足 ，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式化简，可判断各个选项的正误.
【详解】A选项：根据基本不等式，
，
当且仅当 时，等号成立，故A对；
B选项：因为 ，所以 ，
所以 ， ，
同理， ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，故B对；
C选项：因为 ，所以 ，
所以 ，
又因为 ， ，
所以 ， ， ， ， ，
所以 ，故C对；D选项： ，所以 ，化简得 ，
当且仅当 时，等号成立，故D错误；
故选：ABC.
6．（2023·广东茂名·统考一模）e是自然对数的底数， ，已知
，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BC
【分析】构建函数 根据题意分析可得 ，对A、D：取特值
分析判断；对B、C：根据 的单调性，分类讨论分析判断.
【详解】原式变形为 ，
构造函数 ，则 ，
∵ ，
当 时， ，则 ，即 ；
当 时， ，则 ，即 ；
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
对于A：取 ，则
∵ 在 上单调递增，故 ，
即 满足题意，但 ，A错误；
对于B：若 ，则有：
当 ，即 时，则 ，即 ；当 ，即 时，由 在 时单调递增，且 ，
故 ，则 ；
综上所述： ， B正确；
对于C：若 ，则有：
当 ，即 时， 显然成立；
当 ，即 时，令 ，
∵ ，当且仅当 ，即 时等号成立，
∴当 时，所以 ，即 ，
由 可得 ，即
又∵由 在 时单调递增，且 ，
∴ ，即 ；
综上所述： ，C正确；
对于D：取 ， ，则 ，
∵ 在 上单调递减，故 ，
∴故 ， 满足题意，但 ，D错误.
故选：BC.
【点睛】结论点睛：指对同构的常用形式：
（1）积型： ，
①构造形式为： ，构建函数 ；
②构造形式为： ，构建函数 ；
③构造形式为： ，构建函数 .
（2）商型： ，①构造形式为： ，构建函数 ；
②构造形式为： ，构建函数 ；
③构造形式为： ，构建函数 .
7．（2023·山西·统考一模）设 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最大值为 B． 的最小值为
C． 的最小值为9 D． 的最小值为
【答案】ABC
【分析】对于AD，利用基本不等式判断即可；对于B，利用不等式
判断即可，对于C，利用基本不等式“1”的妙用判断即可.
【详解】对于A，因为 ， ， ，
则 ，当且仅当 时取等号，故A正确；
对于B，因为 ，
故 ，当且仅当 时取等号，即 的最小值 ，故B正确；
对于C， ，
当且仅当 且 ，即 ， 时取等号，
所以 的最小值为9，故C正确；
对于D， ，
故 ，当且仅当 时取等号，即 的最大值 ，故D错误．
故选：ABC.
8．（2023·山西忻州·统考模拟预测）已知 ， ，且 ，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】设 ，则 在 上单调递增，可得 可判断A；由不
等式的性质可判断B；取 可判断C；由指数函数的单调性结合 可判断
D.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ．
设 ，则 在 上单调递增．
因为 ，所以 ，则A正确．
因为 ， ，且 ，所以 ，所以 ，则B正确，
因为 ，取 ，则 ，所以C不正确.
因为 ，所以 ，所以 ，即 ，则D正确．
故选：ABD.
9．（2023·云南红河·统考一模）已知 ， ，且 ，则下列说法
正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】对于选项AB：根据已知结合基本不等式将已知等式中的 或 转化，即
可解不等式得出答案；对于选项CD：将要求的式子通过完全平方或分式运算转化为
或 ，即可根据选项AB求出的范围根据不等式的性质或一元二次函数的值域得
出要求的式子的范围.
【详解】对于A：由 ，得 ，当且仅当 时，等号成立 ，解得 ，即 ，故A不正确；
对于B：由 ，得 ，当且仅当 时，等号
成立即 ，解得 ，或 （舍去），故B正确；
对于C： ，
令 ， ，即 ，故
C正确；
对于D， ，令 ， ，即
，故D不正确，
故选：BC．
10．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知 ， ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】A选项，由题可得 ，结合 可得b范围；
B选项， ，利用 可得 范围；
C选项， ，利用 可得 范围，后可得
范围；
D选项， ，结合B选项可得 范围.【详解】A选项，由题可得 ，得 ，故A错误；
B选项，
，当且仅当 ，
即 时取等号.故B错误；
C选项， ，
当且仅当 ，即 时取等号.
则 ，故C正确；
D选项，由B选项分析得 ，
则 ，故D正确.
故选：CD
11．（2023·安徽宿州·统考一模）已知 ，且 ，则下列不等关系成立的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式易知选项AB正确；利用对数运算法则和重要不等式可知C
正确；将不等式 化简整理可得 ，构造函数
利用函数单调性即可证明D错误.
【详解】由基本不等式可知， ，当且仅当 时，等号
成立，即A正确；
易知 ，当且仅当 时，等号成立，即B正确；由重要不等式和对数运算法则可得：
，当且仅当且仅当 时，
等号成立，即C正确；
由 可得 ，所以 ，
若 ，即证明 ，即
即需证明 ，
令函数 ，则 ，
当 时， ，即 在 上单调递增，
所以 时，解不等式 可得 即可，即 时不等式
成立；
当 时， ，即 在 上单调递减，解不等式 可得
，即 时不等式 才成立；
综上可知，当 时，不等式 才成立，所以D错误.
故选：ABC
12．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据条件可得 ， ，进而根据 即可求解A,根据
基本不等式即可判断BC,根据二次函数的性质即可判断D.【详解】由 得 ， ，由于 ，所以 ，
所以 ，因此 且 ，故A正确，
，当 时， ，由于 ，当且仅当 时，
等号成立，故 ，当 时， ，所以 ，故B正确，
，当且仅当
时取等号，故 ，所以C错误，
，当且仅当 取等号，又 ，
所以 或者 等号成立，
故选：ABD
13．（2023·辽宁·校联考模拟预测）设 均为正数，且 ，则（ ）
A． B．当 时， 可能成立
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式相关公式逐项分析即可求解.
【详解】对于A：因为 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
又 ，所以 ，
所以A选项正确；对于B：若 ，则 ，
因为 为正数，所以 ，
所以B选项错误；
对于C：由 ，且 为正数，
得 ，则 ，即 ，
所以C选项正确；
对于D：
，
当且仅当 时，等号成立，所以 ，
所以D选项正确．
故选：ACD.
14．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由 可推出 ，故A正确；由 ， 及
可推出 ，故B不正确；由 及
可推出 ，故C正确；由 及
可推出 ，故D正确.【详解】因为 ， ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，即 ，故A
正确；
因为 ， ，所以 ，故B不
正确；
因为 ， ，所以
，故C正确；
因为 ， ，所以 ，所以 ，
，所以 ，
所以
，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，故D正确.
故选：ACD
15．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知a，b为正实数，且
，则 的取值可以为（ ）
A．1 B．4 C．9 D．32
【答案】BD
【分析】根据基本不等式可得 ，进而求得 或
，再结合选项判断即可【详解】因为a，b为正实数， ，所以
，当且仅当 时等号成立，即
，所以 ，所以 或
，因为a，b为正实数， ，所以 ，
所以 或 ．所以 或 ．
故选：BD．
16．（2023秋·河北石家庄·高三校联考期末）已知 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】利用不等式的性质可判断B的正确，利用对数函数的性质可判断D的正误，
利用反例可判断BC的正误.
【详解】因为 ，且 ，由基本不等式可得 ，
故 ，当且仅当 时等号成立，故A成立.
,
当且仅当 时等号成立，故C正确.
对于B，取 ，则 ，故B错误.
对于D，因为 ，故 ，而 ，故 ，
故 ，故D成立，
故选：ACD.17．（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）已知 ， ，且
，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最大值为 B． 的最小值为8
C． 的最大值为 D． 的最大值为
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，利用均值不等式结合配凑方法计算判断ABC；利用三角代换，
结合辅助角公式，三角函数性质计算判断D作答.
【详解】 ，且 ，
对于A， ，解得 ，当且仅当 ，即 时
取等号，A正确；
对于B， ，当且仅当 取等号，
B正确；
对于C， ，
当且仅当 ，即 时取等号，C错误；
对于D，由 得 ，令 ，
则 ，其中锐角由 确定，显然
，
因此当 时， ，D正确.
故选：ABD
18．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则函数 的最小值为B．若实数a，b满足 ，且 ，则 的最小值是3
C．若实数a，b满足 ，且 ，则 的最大值是4
D．若实数a，b满足 ，且 ，则 的最小值是1
【答案】BD
【分析】结合均值不等式求解.
对A， ，调整式子；
对B， ，“1”的妙用；
对C， ，组成不等式求解；
对D，令 ，则 .
【详解】对A， ，函数
，
当且仅当 ，即 时取等号，即函数 的最大值为 ，A错；
对B， ，且 ，则
，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，则 的最小值是3，
B对；
对C， ，且 ，∴ ，即，解得 ，当且仅当 时取等号，C错；
对D， ，且 ，令 ，则 ，
所以 ，当
且仅当 ，即 时取等号，D对.
故选：BD
19．（2023·福建·统考一模）已知正实数x，y满足 ，则（ ）
A． 的最小值为 B． 的最小值为8
C． 的最大值为 D． 没有最大值
【答案】AC
【分析】将 代入 ，根据二次函数的性质即可判断A；根据
及基本不等式可判断B； ，根据基本不等
式可判断C； ， ，根据基本不
等式可判断D.
【详解】因为x，y为正实数，且 ，所以 .
所以 ，
当 时， 的最小值为 ，故A正确；
，
当且仅当 时等号成立，故B错误；，
当且仅当 时等号成立，
故 ，即 的最大值为 ，故C正确；
，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 .
所以 有最大值 ，故D错误.
故选:AC.
20．（2023秋·山东潍坊·高三统考期中）已知 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D． 的充要条件是
【答案】AD
【分析】由均值不等式可判断A，B；由题意可得出 ，代入
，可判断C；由 ，当且仅当 时取等，可判
断D.
【详解】对于A， ，当且仅当 时取等，所以A正确；
对于B， 所以B错误；对于C，因为 ， ，
所以 ，
当 时取等，所以C错误；
对于D，因为令 ，
，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等，
所以若 ，则 ，此时 ，反之也成立，D正确
故选：AD
21．（2023秋·山东济南·高三统考期中）已知 ，则下列不等式一定
成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】对A用“1”的妙用进行变形 即可，对C利
用柯西不等式 可求最值，对BD利用基本不等式
式及其变形即可得解.
【详解】由 得：
对A， ，
当且仅当 ， 时取等，故A错误；对B， ， 时取等，
两边平方可得 ，故B正确；
对C，由柯西不等式可得：
，
取等，故C正确；
对D，由 ， 时取等，
所以 成立，故D正确；
故选：BCD
22．（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）若 ，则下列不等式中成立的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据指数函数以及幂函数的单调性可判断A;举反例可判断 ；根据
的特征，构造函数 ，利用其单调性可得
，可判断 ，判断C.
【详解】由于 ，故 为R上单调增函数，
所以 ，而 是 上的增函数，故 ，
所以 ，A正确；
取 满足 ，但 ，B错误；
设 ，则 ，
由于 ，故 ，即 是 上的增函数，故 ，
由于 ，则 ，故 ，C正确；
取 ，满足 ，而 ，故D错误，
故选：
23．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）已知 ，且 ，则（ ）
A． 的最小值为4 B． 的最小值为
C． 的最大值为 D． 的最小值为
【答案】ACD
【分析】结合已知等式，运用基本不等式、配方法逐一判断即可.
【详解】 ，当且仅当 ，
即 时取等号，则 正确；
，即 ，当且仅当 ，即 时取等号，
则B错误；
，当 ，即 时， ，则C正确；
，当且仅当 时取等号，则
D正确.
故选：ACD
24．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知 满足 且
，则下列不等式恒成立的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用不等式的性质对各选项逐一判断即可.
【详解】因为 满足 且 ，所以 ， ， 符号不确定，
选项A：因为 ， ，所以 ，选项A正确；
选项B：因为 ， ，所以 ， ，选项B正确；
选项C：因为 ， ，
当 时， ，所以 ；
当 且 时， ，所以 ，选项C错误；
选项D：因为 ， ，所以 ， ，选项D正确；
故选：ABD
25．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知 ， 为正实数，且
，则（ ）
A． 的最大值为2 B． 的最小值为5
C． 的最小值为 D．
【答案】AC
【分析】由已知条件结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可求解.
【详解】依题意，
对于A：因为 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，
令 ，则有 ，
解得 ，又因为 ，所以 ，即 ，
的最大值为2，故A选项正确；
对于B：因为 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，
令 ，则有 ，
解得 或 （舍去），
即 ，所以 的最小值为4，
故B选项错误；
对于C：因为 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等式成立，
所以 的最小值为 ，故C选项正确；
对于D：当 ， 时， ，
所以D选项错误；
故选：AC.
26．（2023·广东肇庆·统考二模）已知正数 满足等式 ，则下列
不等式中可能成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】将已知转化为 ，通过构造函数法，结合导数判断当
时， ，进而构造函数 ，根据单调性即可判断选项
CD；同理利用构造函数和求导即可判断AB.【详解】因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
构造
，
所以 ，
当 ，即 时，
分析 即可，
所以 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
由 ，
所以 ，
构造 ， ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
所以由 得 ，
所以 ，
故此时 ， D选项错误；
当 时， ，此时 ，
所以 可能成立，故C选项可能正确，由 ，即 ，
构造 ，
所以 ，设 ，
当 时， ，所以 在 单调递减，在 上单调递增，
且 ，所以当 时，
即 ，
所以 ，
构造 ，
则 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，故A可能正确，B项错误；
故选：AC
【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数思想与逻
辑推理能力，属于难题.注意事项：利用构造法，关键在于构造函数
以及 ，利用导数以及参数的范围进行判
断.
27．（2023·浙江·校联考三模）已知 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】对于A、B选项，利用条件构造 ，比值换元将问题转化为单变量函数求值域问题；
对于C、D选项，构造函数 通过分析单调性判断即可.
【详解】∵ ，∴
∴
令 ，因为 ，所以 ，
即 ，则
当 时， ；
当 且 时，令 ，
则
综上 ， ，即B正确；
又因为 ，所以
令 ，
显然 在 上单调递增， ）的零点y满足
∴ ，解得 .
所以要证 ，即证
因为 在 上单调递增，所以即证
而所以 成立，即 成立，C正确
因为 ，所以当 时， ，AD错误.
故选：B、C．
28．（2023秋·黑龙江大庆·高三铁人中学校考期末）当 时，不等式
成立．若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】将给定不等式变形，构造函数 ，利用函数单调性，逐项分析判
断作答.
【详解】当 时，不等式 ，令 ，则
在 上单调递增，
因 ，则 ，A正确；
因 ，则 ，B不正确；
由 知， ，有 ，则 ，
由选项A知， ，即 ，C不正确；
由 得， ，则 ，D正确.
故选：AD
【点睛】关键点睛：涉及两个量的大小，构造函数，分析并运用函数的单调性是求解
作答的关键.
29．（2023春·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）下列能使式子最小值为1的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】由 得出 ，结合不等式“1”的妙用，即可求出
的最小值为1，判断出A正确；由 得 ，代入
，结合基本不等式，即可判断出B错误；假设 ，则
，即可判断出C错误；由 ，设 ，
， ，代入 化简，结合 的范围，即可得出当 即
时，取得最小值1，即可判断D正确．
【详解】对于A：当 ，则 ，则 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故A正确；
对于B：由 得， ，
则 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，故最小值为 ，故B错误；
对于C：假设 ，则 ，故C错误；
对于D： ，，且 ，
即 ，
，
由 得， ，
设 ， ，即 ， ，
，
，即 ，
则
，
，
，
当 ，即 ， 时，取得最小值1，故D正确，
故选：AD．30．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知 ， ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根据均值不等式和常见的不等式放缩即可求解.
【详解】 ， ，且 ，
所以 ，故选项A正确；
，
故选项B正确；
要证 ，
证 ，
即证 ，
由 ， ，且 ，知 ，
所以 ，
故选项C正确；
要证 ，
即证 ，
因为 ，
所以 ，
前后取得等号条件分别是 和 ，
所以不同时取得等号，故D选项正确；
故选：ACD.
