文档内容
9.1.1 平面直角坐标系的概念 分层作业
基础训练
1.（2023•盐城）在平面直角坐标系中，点A（1，2）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据点A（1，2）横坐标和纵坐标的符号即可判断点A所在的象限．
【解答】解：∵点A（1，2）的横坐标和纵坐标均为正数，
∴点A（1，2）在第一象限．
故选：A．
【总结】此题主要考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中，点的坐标的特征是解答此题的关
键．
2．（2022•攀枝花）若点A（﹣a，b）在第一象限，则点B（a，b）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】直接利用第一象限内点的坐标特点得出a、b的符号，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（﹣a，b）在第一象限内，
∴﹣a＞0，b＞0，
∴a＜0，
∴点B（a，b）所在的象限是：第二象限．
故选：B．
【总结】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四
个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象
限（+，﹣）．
3．点P（m+3，m﹣1）在x轴上，则点P的坐标为（ ）
A．（0，﹣2） B．（2，0） C．（4，0） D．（0，﹣4）
【分析】根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出m的值，再求出横坐标即可得解．
【解答】解：∵点P（m+3，m﹣1）在x轴上，
∴m﹣1＝0，
解得m＝1，
∴m+3＝1+3＝4，
∴点P的坐标为（4，0）．
故选：C．【总结】本题考查了点的坐标，熟记x轴上点的纵坐标为0是解题的关键．
4．如图，下列各点在阴影区域内的是（ ）
A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2）
【分析】应先判断出阴影区域在第一象限，进而判断在阴影区域内的点．
【解答】解：观察图形可知：阴影区域在第一象限，
A、（3，2）在第一象限，故正确；
B、（﹣3，2）在第二象限，故错误；
C、（3，﹣2）在第四象限，故错误；
D、（﹣3，﹣2）在第三象限，故错误．
故选：A．
【总结】解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三
象限负负，第四象限正负．
5．如图，点A（﹣2，1）到y轴的距离为（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．❑√5
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【解答】解：点A的坐标为（﹣2，1），则点A到y轴的距离为2．
故选：C．
【总结】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标
的绝对值是解题的关键．
6．（2022•六盘水）两个小伙伴拿着如图的密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚咚﹣咚咚，咚﹣
咚，咚咚咚﹣咚”表示的动物是“狗”，则听到“咚咚﹣咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚”时，表示
的动物是（ ）A．狐狸 B．猫 C．蜜蜂 D．牛
【分析】根据点的坐标解决此题．
【解答】解：由题意知，咚咚﹣咚咚对应（2，2），咚﹣咚对应（1，1），咚咚咚﹣咚对应（3，
1）．
∴咚咚﹣咚对应（2，1），表示C；咚咚咚﹣咚咚对应（3，2），表示A；咚﹣咚咚咚对应（1，
3），表示T．
∴此时，表示的动物是猫．
故选：B．
【总结】本题主要考查点的坐标，熟练掌握点的坐标的表示方法与意义是解决本题的关键．
7．若点P（x，y）的坐标满足xy＝0（x≠y），则点P必在（ ）
A．原点上
B．x轴上
C．y轴上
D．x轴上或y轴上（除原点）
【分析】根据有理数的乘法判断出x、y的值，再根据坐标轴上点的坐标特征解答．
【解答】解：∵xy＝0，
∴x＝0或y＝0，
当x＝0时，点P在y轴上，
当y＝0时，点P在x轴上，
∵x≠y，
∴点P不是原点，
综上所述，点P必在x轴上或y轴上（除原点）．
故选：D．
【总结】本题考查了点的坐标，主要利用了坐标轴上点的坐标特征，需熟记．
8．点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且在y轴的左侧，则P点的坐标是 （﹣ 3 ， 2 ），（﹣
3 ，﹣ 2 ） ．
【分析】根据直角坐标系中，某点到x轴的距离是它的纵坐标的绝对值，到y轴的确距离是它的横坐
标的绝对值解答．【解答】解：∵P（x，y）到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，
∴x＝±3，y＝±2；
又∵点P在y轴的左侧，
∴点P的横坐标x＝﹣3，
∴点P的坐标为（﹣3，2）或（﹣3，﹣2）．故填（﹣3，2）或（﹣3，﹣2）．
【总结】本题利用了直角坐标系中，某点到x轴的距离是它的纵坐标的绝对值，到y轴的确距离是它
的横坐标的绝对值．
9．如图，在平面直角坐标系中，
（1）确定点A、B的坐标；
（2）描出点C（﹣1，﹣2），点D（2，﹣3）．
【分析】（1）直接利用平面直角坐标系得出A，B点坐标；
（2）直接利用C，D点坐标在坐标系中确定即可．
【解答】解：（1）A（﹣1，2），B（2，0）；
（2）如图所示：C，D点即为所求．
【总结】此题主要考查了点的坐标，正确理解点的坐标意义是解题关键．
10．在直角坐标系中，标出下列各点的位置，并写出各点的坐标．
（1）点A在x轴上，位于原点的左侧，距离坐标原点4个单位长度；
（2）点B在y轴上，位于原点的上侧，距离坐标原点4个单位长度；
（3）点C在y轴的左侧，在x轴的上侧，距离每个坐标轴都是4个单位长度．【分析】（1）利用在x轴上点的坐标性质得出点的坐标即可；
（2）利用在y轴上点的坐标性质得出即可；
（3）利用点的位置进而得出C点坐标．
【解答】解：（1）如图所示：A（﹣4，0）；
（2）如图所示：B（0，4）；
（3）如图所示：C（﹣4，4）．
【总结】此题主要考查了点的坐标，正确把握点的坐标性质是解题关键．
能力提升
11．（2024•甘肃）敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部
分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长 10步到60步的矩
形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率．如图 2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长
和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为（15，
16），那么有序数对记为（12，17）对应的田地面积为（ ）A．一亩八十步 B．一亩二十步
C．半亩七十八步 D．半亩八十四步
【分析】根据（15，16）可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，解答即可．
【解答】解：根据（15，16）可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，
∴（12，17）对应的是半亩八十四步，
故选：D．
【总结】本题考查了坐标与位置的应用，熟练掌握坐标与位置的应用是解题的关键．
12．（2024•绥化）如图，已知A （1，−❑√3），A （3，−❑√3），A （4，0），A （6，0），A （7，
1 2 3 4 5
❑√3），A （9，❑√3），A （10，0），A （11，−❑√3）…，依此规律，则点 A 的坐标为 （
6 7 8 2024
2891，−❑√3） ．
【分析】观察所给图形及点的坐标，发现横纵坐标的变化规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
点A 的坐标为（1，−❑√3），
1点A 的坐标为（3，−❑√3），
2
点A 的坐标为（4，0），
3
点A 的坐标为（6，0），
4
点A 的坐标为（7，❑√3），
5
点A 的坐标为（9，❑√3），
6
点A 的坐标为（10，0），
7
点A 的坐标为（11，−❑√3），
8
点A 的坐标为（13，−❑√3），
9
点A 的坐标为（14，0），
10
点A 的坐标为（16，0），
11
点A 的坐标为（17，❑√3），
12
点A 的坐标为（19，❑√3），
13
点A 的坐标为（20，0），
14
…，
由此可见，每隔七个点，点A 的横坐标增加10，且纵坐标按−❑√3，−❑√3，0，0，❑√3，❑√3，0
n
循环出现，
又因为2024÷7＝289余1，
所以1+289×10＝2891，
则点A 的坐标为（2891，−❑√3）．
2024
故答案为：（2891，−❑√3）．
【总结】本题主要考查了点的坐标变化规律，能通过计算发现每隔七个点，点 A 的横坐标增加10，且
n
纵坐标按−❑√3，−❑√3，0，0，❑√3，❑√3，0循环出现是解题的关键．
13．已知点A（4，3），AB∥y轴，且AB＝3，则B点的坐标为 （ 4 ， 0 ）或（ 4 ， 6 ） ．
【分析】由AB∥y轴和点A的坐标可得点B的横坐标与点A的横坐标相同，根据AB的距离可得点B
的纵坐标可能的情况
【解答】解：∵A（4，3），AB∥y轴，
∴点B的横坐标为4，
∵AB＝3，
∴点B的纵坐标为3+3＝6或3﹣3＝0，
∴B点的坐标为（4，0）或（4，6）．故填（4，0）或（4，6）．
【总结】本题涉及到的知识点为：平行于y轴的直线上的点的横坐标相等；一条直线上到一个定点为定长的点有2个．
14．在平面直角坐标系中，将点（﹣b，﹣a）称为点（a，b）的“关联点”（例如点（﹣2，﹣1）是点
（1，2）的“关联点”）．如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第 二、四
象限．
【分析】依据点（﹣b，﹣a）称为点（a，b）的“关联点”，一个点和它的“关联点”在同一象限
内，可得这两点的坐标中，横坐标与纵坐标异号．
【解答】解：若a，b同号，则﹣b，﹣a也同号且符号改变，此时点（﹣b，﹣a），点（a，b）分别
在一三象限，不合题意；
若a，b异号，则﹣b，﹣a也异号，此时点（﹣b，﹣a），点（a，b）都在第二或第四象限，符合题
意；
故答案为：二、四．
【总结】本题主要考查了点的坐标，解题时注意：第一三象限内点的横坐标纵坐标同号，而第二四象
限内点的横坐标纵坐标异号．
15．已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标．
（1）点P在x轴上；
（2）点P在y轴上；
（3）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；
（4）点P到x轴、y轴的距离相等．
【分析】（1）利用x轴上点的坐标性质纵坐标为0，进而得出a的值，即可得出答案；
（2）利用y轴上点的坐标性质横坐标为0，进而得出a的值，即可得出答案；
（3）利用平行于y轴直线的性质，横坐标相等，进而得出a的值，即可得出答案；
（4）利用点P到x轴、y轴的距离相等，得出横纵坐标相等或相反数进而得出答案．
【解答】解：（1）∵点P（a﹣2，2a+8），在x轴上，
∴2a+8＝0，
解得：a＝﹣4，
故a﹣2＝﹣4﹣2＝﹣6，
则P（﹣6，0）；
（2）∵点P（a﹣2，2a+8），在y轴上，
∴a﹣2＝0，
解得：a＝2，
故2a+8＝2×2+8＝12，则P（0，12）；
（3）∵点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴，
∴a﹣2＝1，
解得：a＝3，
故2a+8＝14，
则P（1，14）；
（4）∵点P到x轴、y轴的距离相等，
∴a﹣2＝2a+8或a﹣2+2a+8＝0，
解得：a＝﹣10或a＝﹣2，
故当a＝﹣10，则a﹣2＝﹣12，2a+8＝﹣12，
则P（﹣12，﹣12）；
故当a＝﹣2，则a﹣2＝﹣4，2a+8＝4，
则P（﹣4，4）．
综上所述：P（﹣12，﹣12），（﹣4，4）．
【总结】此题主要考查了点的坐标性质，用到的知识点为：点到坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐
标相等或互为相反数以及在坐标轴上的点和平行坐标轴的点的性质．
拔高拓展
16．综合与实践
问题背景：
（1）已知A（1，2），B（3，2），C（1，﹣1），D（﹣3，﹣3）．在平面直角坐标系中描出这几个
点，并分别找到线段AB和CD中点P 、P ，然后写出它们的坐标，则P （ 2 ， 2 ） ，P （﹣ 1 ，
1 2 1 2
﹣ 2 ） ．
探究发现：
（2）结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为（x ，y ），（x ，y ），则线段的
1 1 2 2
x +x y + y
中点坐标为 ( 1 2， 1 2 ) ．
2 2
拓展应用：
（3）利用上述规律解决下列问题：已知三点E（﹣1，2），F（3，1），G（1，4），第四个点H
（x，y）与点E、点F、点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，
求点H的坐标．【分析】（1）根据坐标的确定方法直接描点，：分别读出各点的纵横坐标，即可得到各中点的坐标；
（2）根据（1）中的坐标与中点坐标找到规律；
（3）利用（2）中的规律进行分类讨论即可答题．
【解答】解：（1）如图：A（1，2），B（3，2），C（1，﹣1），D（﹣3，﹣3）．在平面直角坐标
系中描出它们如下：
线段AB和CD中点P 、P 的坐标分别为（2，2）、（﹣1，﹣2）
1 2
故答案为：（2，2）、（﹣1，﹣2）．
（2）若线段的两个端点的坐标分别为（x ，y ），（x ，y ），则线段的中点坐标为
1 1 2 2
x +x y + y
( 1 2， 1 2 )．
2 2
x +x y + y
故答案为：( 1 2， 1 2 )．
2 2
（3）∵E（﹣1，2），F（3，1），G（1，4），
3 5
∴EF、FG、EG的中点分别为：（1， ）、（2， ）、（0，3）
2 2
3 x+1 y+4 3
∴①HG过EF中点（1， ）时， =1， =
2 2 2 2
解得：x＝1，y＝﹣1，故H（1，﹣1）；
5 −1+x 2+ y 5
②EH过FG中点（2， ）时， =2， =
2 2 2 2
解得：x＝5，y＝3，故H（5，3）；3+x 1+ y
③FH过EG的中点（0，3）时， =0， =3
2 2
解得：x＝﹣3，y＝5，故H（﹣3，5）．
∴点H的坐标为：（1，﹣1），（5，3），（﹣3，5）．
【总结】本题考查了坐标与图形性质．通过此题，要熟记平面直角坐标系中线段中点的横坐标为对应
线段的两个端点的横坐标的平均数，中点的纵坐标为对应线段的两个端点的纵坐标的平均数．
