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【冲刺985、211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题34 双空题综合问题（新高考通用）
1．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知数列 满足 ， ，
设数列 的前 项和为 ，则数列 的通项公式为 ______， ______．
2．（2023·湖南·模拟预测）已知箱中装有10个不同的小球，其中2个红球、3个黑球
和5个白球，从该箱中有放回地依次取出3个小球，设变量 为取出3个球中红球的个
数，则 的方差 ______________；3个小球颜色互不相同的概率是
______________．
3．（2023·湖南邵阳·统考一模）已知圆 与圆
相交于 两点，则公共弦 所在的直线方程为______， ______.
4．（2023·湖南·模拟预测）已知数列 的各项都是正数， 若
数列 各项单调递增，则首项 的取值范围是__________ 当 时，记
，若 ，则整数 __________．
5．（2023·吉林·统考二模）意大利数学家傲波那契在研究兔子繁殖问题时发现了数列
1，1，2，3，5，8，13，…，数列中的每一项被称为斐波那契数，记作Fn.已知 ，
， （ ，且n>2）.
（1）若斐波那契数Fn除以4所得的余数按原顺序构成数列 ，则
___________.（2）若 ，则 ___________.
6．（2023·福建漳州·统考三模）已知椭圆 的长轴长为 ，离心
率为 ， 为 上的两个动点，且直线 与 斜率之积为 （ 为坐标原
点），则椭圆 的短轴长为_______， _________.
7．（2023·湖南永州·统考二模）对平面上两点 ，满足 的点 的轨迹
是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点
是此圆的一对阿波罗点.不在圆上的任意一点都可以与关于此圆的另一个点组成一
对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆
外，系数 只与阿波罗点相对于圆的位置有关.已知 ， ， ，与
两点距离比是 的点 的轨迹方程是 ，则 的最小值是
__________；最大值是 的最大值是__________.
8．（2023·重庆·统考一模）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为
，O为坐标原点，A为椭圆C上顶点，过 平行于 的直线 与椭圆交于B，C
两点， M为弦BC的中点且直线 的斜率与OM的斜率乘积为 ，则椭圆C的离心率
为_________；若 ，则直线 的方程为_________．
9．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，线段 的垂直平分线交 于 ， 两点，交 轴于点 ，
为坐标原点， ，则 的离心率为______；若 的周长为8，则
______.
10．（2023·浙江·校联考模拟预测）在三棱锥 中，对棱 ，
， ，则该三棱锥的外接球体积为________，内切球表面
积为________.
11．（2023·辽宁沈阳·统考一模）三棱锥 中， ，
，点E为CD中点， 的面积为 ，则AB与平面BCD所成角的正
弦值为______，此三棱锥外接球的体积为______．
12．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知菱形ABCD中， ， ，
现将此菱形沿对角线BD对折，在折的过程中，当三棱锥 体积最大时，
______；当三棱锥 表面积最大时， ______.
13．（2023·江苏泰州·统考一模）已知正四棱锥 的所有棱长都为1，点 在侧
棱 上，过点 且垂直于 的平面截该棱锥，得到截面多边形 ，则 的边数至多
为__________， 的面积的最大值为__________.
14．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）如图，椭圆 与
双曲线 有公共焦点 ， ，椭圆的离心率为
，双曲线的离心率为 ，点 为两曲线的一个公共点，且 ，则______； 为 的内心， 三点共线，且 ， 轴上点 满足
， ，则 的最小值为______．
15．（2022·广东汕头·统考三模）如图，DE是边长为 的正三角形ABC的一条中位
线，将△ADE沿DE翻折至 ，当三棱锥 的体积最大时，四棱锥
外接球O的表面积为__________；过EC的中点M作球O的截面，则所得
截面圆面积的最小值是__________．
16．（2023·广东广州·统考一模）在棱长为1的正方体 中，点 分
别是棱 的中点， 是侧面 上的动点.且 平面 ，则点 的轨迹
长为__________.点 到直线 的距离的最小值为__________.
17．（2022·江苏徐州·统考模拟预测）已知 ， ， ， 是半径为 的球面上四点，
， 分别为 的中点， ， ，则以 为直径的球的最小表
面积为_______________；若 ， ， ， 不共面，则四面体 的体积的最大值为_____________．
18．（2022·湖北武汉·模拟预测）函数 的图象类似于汉字
“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，
以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当
时，函数 的“囧点”坐标为______________；此时函数 的所有“囧
圆”中，面积的最小值为_____________．
19．（2022·江苏苏州·校联考模拟预测）任何一个复数 （其中a、 ，i为
虚数单位）都可以表示成： 的形式，通常称之为复数z的三角形式．
法国数学家棣莫弗发现： ，我们称
这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若 ， 时，则 ________；对于
， ________．
20．（2022·湖南长沙·雅礼中学校考二模）已知菱形 的各边长为 .如
图所示，将 沿 折起，使得点 到达点 的位置，连接 ，得到三棱锥
，此时 .则三棱锥 的体积为__________， 是线段 的中点，
点 在三棱锥 的外接球上运动，且始终保持 ，则点 的轨迹的周长
为__________.
21．（2022·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知圆 ： 和抛物线 ：， 为坐标原点，过抛物线E上的点 作两条直线PQ，PR和圆 相
切于A，B，且分别交抛物线E于Q，R.两点.若 ，则直线AB的方程为
___________；若直线QR的斜率为 ，则 ___________.
22．（2022·湖南长沙·长沙县第一中学校考模拟预测）已知 是函数 的导函数，
且对任意的实数x的都有 ，且 ，则函数 的解析式
为________，若 的图像与 有3个交点，则m的取值范围为_________．
23．（2022·山东潍坊·统考模拟预测）如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在
的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”．点A，
B，M是该多面体的三个顶点，点N是该多面体外接球表面上的动点，且总满足
，若 ，则该多面体的表面积为______；点N轨迹的长度为______．
24．（2022·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）已知函数 ，函数
有四个不同零点，从小到大依次为 ，则实数 的取值范围为
___________； 的取值范围为___________.
25．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）著名的斐波那契数列 满足
， ，其通项公式为 ，则是斐波那契数列中的第______项；又知高斯函数 也称为
取整函数，其中 表示不超过 的最大整数，如 ， ，则
______.（
26．（2023·重庆·统考模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，准线交x轴于点
D，过点F作倾斜角为 （ 为锐角）的直线交抛物线于A，B两点，如图，把平面
沿x轴折起，使平面 平面 ，则三棱锥 体积为__________；
若 ，则异面直线 ， 所成角的余弦值取值范围为__________．
27．（2023·湖南岳阳·统考一模）数列 的前n项和为 ， ，且对任意的
都有 ，则（1）若 ，则实数m的取值范围是______；
（2）若存在 ，使得 ，则实数m为______.
28．（2023·山东潍坊·统考一模）乒乓球被称为我国的“国球”.甲､乙两名运动员进行
乒乓球比赛，其中每局中甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，每局比赛都是相互
独立的.
①若比赛为五局三胜制，则需比赛五局才结束的概率为__________.
②若两人约定其中一人比另一人多赢两局时比赛结束，则需要进行的比赛局数的数学期望为__________.
附：当 时， ， .
29．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知双曲线
的左、右焦点分别为 ， 、两条渐近线的夹角正
切值为 ，则双曲线 的标准方程为______；若直线 与双曲线 的
右支交于 两点，设 的内心为 ，则 与 的面积的比值的取值范
围是______.
30．（2022·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考一模）记 的内角A，B，C的对边
分别为a，b，c，已知 ，若 ，则 ___________；若
为锐角三角形，则 的取值范围是___________.
