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【冲刺985、211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题22 函数值的大小比较综合问题（单选+多选）
（新高考通用）
一、单选题
1．（2023春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）已知
,则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造 ,求导求单调性即可得 ,即证明 ,再
构造 , ,求导求单调性即可得 ,即
,即证明 ,即可选出选项.
【详解】解:由题知构造 , ,
所以 ,
故 在 单调递减,所以 ,
即 ,即 ,即
因为 ,
构造 , ,
所以 ,即 在 上单调递增,所以 ,
即 ,即 ,即 ,
综上: .
故选:D
2．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用对数的单调性证明 ，即得解.
【详解】解：因为 ，则
，则 ，所以 ，
从而 ，所以
故选：A．
3．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知 ， ， ，
则p，q，r的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据指对互化得出 ， ， ，通过 化简根据基
本不等式得出 ，即 ，则再通过对数的单调性得出 ，即可得出答案.
【详解】 ， ， ，
， ， ，，
由基本不等式可得： ，
则 ，
，
，则 ，
，
，
故选：D.
4．（2023·浙江·模拟预测）已知 ，且 ，则a，b，c
的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据指对互化将 ，变形得
，构造函数 ，
求导验证其单调性，即可得函数值 的大小关系，
从而可得 的大小.
【详解】因为 ，所以可得 ，
设函数 ，则 ，
，令 ，
则 在 上恒成立，所以 单调递减，则 ，所以 在
上单调递减，
所以 ，从而 .
故选：A．
5．（2023·安徽宿州·统考一模）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由作差法，结合对数换底公式、对数运算性质、基本不等式比较得
，即可判断大小.
【详解】由 ，
，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ .
故选：B.
6．（2023·重庆·统考一模）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用 ，可判断 ，再利用 ，即可得到答案.
【详解】
，则 ，故函数 在 单调递减， 单调递增，则
则 ，即
由 ，∴ ，故
同理可证
又 ，∴ ，则
故选：C.
7．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考一模）若 ， ，则x，
y，z的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由 ，可得 和 ，根据 （ ）为增
函数，即可比较三者大小.
【详解】
根据指数与对数的关系和 （ ）为增函数：
，由 ，即
故
可得 ，即
综上：
故选：D.
8．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考开学考试）已知 ， ，
， ，则 的大小关系为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由 ，得出 ，再判断 ， ，得出结果.
【详解】因为 ， ，且 ，则
， ，即 ；
所以 ，即 ，
所以 ，即 .
所以 .
故选：B.
9．（2023秋·福建龙岩·高三校联考期末）已知 ， ，则a，
b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用中间值和作差比较法来比较大小.
【详解】 , ;
;
因为 ，所以 ，所以 .
综上可得 .
故选：A.
10．（2023·江苏南通·统考模拟预测）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【分析】根据正弦函数的单调性比较 ，由幂函数的单调性比较 即可得解.
【详解】 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
， ， 在 上单调递减， ，
所以 ，故可得 .
故选：A
11．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）若 ，
， ， ，则a，b，c，d中最大的是（ ）
A．a B．b C．c D．d
【答案】C
【分析】先将 ， ， ， 变换为： ， ，
， ，得到 ，构造函数
， ， ，结合导数和作差法得到
， ，从而得出 ， ， ， 中最大值.
【详解】因为 ，
，
， ，所以 ；
，设 ， ，
则 ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，则 ，即 ，
所以 ，即 ；
，
设 ， ，
则 ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，则 ，即 ，
所以 ，即 ；
综上： ， ，即 ， ， ， 中最大的是 .
故选：C.
12．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知 则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用余弦函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性，借助中间量进行比
较大小.
【详解】因为 ，所以 ，所以函数 单调递减，
则 ，
因为函数 单调递减，由 有： ，因为函数 在 上单调递增，由 有： ，
所以 .
故选：C.
13．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）已知 ，
， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用对数的运算性质以及对数函数的单调性化简 ，并判断范围，采用作
差法结合基本不等式可判断 ，即可得答案.
【详解】由题意可得 ，
， ，
又 ，
由于 ，
故 ，
综合可得 ，
故选：A
14．（2023·湖南·模拟预测）设 ， ， ，则 ， ， 的大小
顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据a、b、c的结构，构造函数 ，利用导数判断单调性，即可比较出a、b、c的大小，从而可得到正确答案．
【详解】因为 ， ，
故构造函数 ，则 ，
令 ，解得 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
又因为 ， ，
所以 ， ．
因为 ，又 ，
所以 ，即 ，故 ，
故选：A．
15．（2023秋·浙江绍兴·高三期末）已知 ，则 的
大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造 ，利用导数求其单调性可判断 的大小，构造
，利用导数求其单调性可得到 ，再构造
可得到 ，即可得到答案
【详解】设 ，
则 ，令 ， ，
因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，则 在
上单调递减，
由 ，所以 ，
所以当 ，所以 在 上单调递增，
当 ，所以 在 上单调递减，
又 ， ，
从而 即 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
构建 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，则 在 单调递增，
所以 ，即 ，
故 在 上单调递增，则 ，
故 在 恒成立，取 ，可得 ，
构造 ，则 ，
当 时， ，故 在 单调递增，
所以 ，所以当 时，
，取 ，则 ，
综上所述得： ，即 .
故选：D.
【点睛】方法点睛：
对于比较实数大小方法：
（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，
（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，
（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.
16．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知 ， ，
，则（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ，利用导数研究其单调性，从而得到 ；再直
接计算 ，从而得到 ，进而得到 ；由此得解.
【详解】令 ， ，
则 ，故 在 上单调递减，
所以 ，即 ，即 ，故 ；
因为 ， ，
所以 ，故 ，即 ，即 ；
综上： .故选：C.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数
形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．
17．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用指对数函数的性质进行比较大小，比较 的大小时要引入中间值，比较
的大小时需要作比，即可选出答案.
【详解】因为 ，
又因为 ，
所以 ，
，
所以 ，
故选：D.
18．（2023·河北邯郸·统考一模）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】a和b的大小比较，利用作差法判断；b和c的大小比较，通过构造函数
，利用其单调性判断；a和c的大小比较，通过构造函数，利用其单调性判断.
【详解】解：因为 ，所以 ．
设 ，则 ，故
在 上单调递增．
因为 ，所以 ，即 ．
设 ，则 ，当 时，
，则 在 上单调递减．
因为 ，所以 ，即 ．
综上 ．
故选：B
19．（2023秋·福建宁德·高三校考阶段练习）已知 ，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数 ，
利用导数判断其单调性，结合题意即可容易比较大
小.
【详解】由题可得： ，
令 ，则 ，当 时， ，又 ，
则 ，即 ，故 在 单调递增， ，
则当 时， ，即 ， ；
令 ，则 ，
当 时， ，又 ，
则 ，即 ，故 在 单调递减， ，
故当 时， ，即 ， ；
综上所述， .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数单调性比较大小；处理问题的关键是能够结
合已知数据，构造合理的函数，从而利用导数判断其单调性，再根据单调性比较大小，
属综合困难题.
20．（2023春·山东济南·高三统考开学考试）已知 ， ， ，则
（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．b＞c＞a D．c＞b＞a
【答案】A
【分析】对 两边取对数，得到 ， ， ，构
造 ， ，求导后再令 ，研究其单调性，得到
在 上单调递增，从而得到 ，结合
在 上的单调性求出答案.
【详解】 ， ， 两边取对数得： ， ，
，令 ， ，
则 ，
令 ， ，
则 在 上恒成立，
所以 在 上为增函数，
因为当 时， 恒成立，
所以 在 上恒成立，
故 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，
所以 ，故 ，
即 ，
因为 在 上单调递增，所以 .
故选：A
【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，
通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，对 ，
， 两边取对数得： ， ，前后两个对数中真数
之和为11，从而达到构造出适当函数的目的.
21．（2023·山东临沂·统考一模）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造 ，由零点存在定理求得零点x的范围，即可结合指数函数、幂函数的性质比较 的大小.
【详解】令 ，则 在R上单调递增，
由 ，则 时 ，即 ，而
，
∵ ，
∴ .
.
综上： .
故选：B.
22．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）设 ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知数，构造函数 比较a，b大小；构造函数
比较a，c大小作答.
【详解】令 ，当 时，
，
即函数 在 上单调递增，则有 ，因此 ，即 ，令 ， ，有 ，则 在
上单调递增，
因此 ，即 ，则有 ，
令 ， ，因此 在 上单调递增，
即有 ，则 ，于是 ，即 ，
所以 ．
故选：D
【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘
问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到
化难为易、化繁为简的作用.
23．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）已知 ， ， ， ，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对 求导，得出 的单调性，可知 ，可求出 的大小，对
两边取对数，则 ，可得 ，最后比较 与 大小，即可得
出答案.
【详解】 ， ， ，
令 ，解得： ；令 ，解得： ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
， ， ，则 ， ，， ，∴ ，排除D．
，则 ， ， ，∴ ，排除B．
比较 与 大小，先比较 与 大小，
, ，
因为 ，所以
所以 在在 上单调递增， ，
所以 ，所以 ，
∴ ，综上 .
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题涉及三个量的大小比较，关键点在于构造函数 ，
运用函数的单调性可求出 的大小，即可判断 的大小， 的大小，最后构造函数
，比较 与 的大小即可得出答案.
24．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由 ，可得 ，再根据 ，构造函数
，比较 的大小即可.
【详解】因为 ， ， .
所以 .因为 ，所以 .
构造函数 ，则 ，当 时，
，
所以 在 上单调递减，则 .
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
故 .
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题涉及比较指数式，对数式，三角式大小，难度较大.本类问
题常利用估值和构造函数解决问题，估值时常利用 .
而构造函数需观察式子间联系，后利用函数单调性可比较式子大小.
二、多选题
25．（2023·湖南·模拟预测）已知 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由 可得 ，进而可借助导数、指数函数的单调
性及不等式的基本性质对选项逐一进行分析.
【详解】 可得 ，时， 为递减函数，故 ，故A正确；
取 ，则 ，故B错误；
令 时， 恒成立，
故 在 上单调递增，
时，有 ，故 ，故C正确；
， ，则 ，
则 ，又
则 ，故 ，故D正确；
故选：ACD.
26．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）若
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】构造函数 ，通过函数单调性及 ，比较出
各式的大小关系.
【详解】设函数 ，易得 在 上单调递增.
因为 ， ，
，
所以 ，
即 .
故选：ABD27．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知 ， ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】A选项，由题可得 ，结合 可得b范围；
B选项， ，利用 可得 范围；
C选项， ，利用 可得 范围，后可得
范围；
D选项， ，结合B选项可得 范围.
【详解】A选项，由题可得 ，得 ，故A错误；
B选项，
，当且仅当 ，
即 时取等号.故B错误；
C选项， ，
当且仅当 ，即 时取等号.
则 ，故C正确；
D选项，由B选项分析得 ，
则 ，故D正确.
故选：CD
28．（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）若 ，则下列不等式中成立的是
（ ）
A． B．C． D．
【答案】AC
【分析】根据指数函数以及幂函数的单调性可判断A;举反例可判断 ；根据
的特征，构造函数 ，利用其单调性可得
，可判断 ，判断C.
【详解】由于 ，故 为R上单调增函数，
所以 ，而 是 上的增函数，故 ，
所以 ，A正确；
取 满足 ，但 ，B错误；
设 ，则 ，
由于 ，故 ，即 是 上的增函数，
故 ，
由于 ，则 ，故 ，C正确；
取 ，满足 ，而 ，故D错误，
故选：
29．（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）设 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】考虑 类似于 的函数形式，因此构造函数
，运用函数的单调性求解.【详解】设 ，则
，
令 ，则 是减函数，
又 ，当 时， ，当 时 是减函数①，
，即 ， ，
考察 ，构造函数 ，
，由①及一次函数性质知， 是减函数，
，即 ， ， .
故选：AB.
30．（2023秋·山东烟台·高三统考期末）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根据均值不等式和常见的不等式放缩即可求解.
【详解】 ， ，且 ，
所以 ，故选项A正确；
，
故选项B正确；
要证 ，
证 ，
即证 ，
由 ， ，且 ，知 ，
所以 ，故选项C正确；
要证 ，
即证 ，
因为 ，
所以 ，
前后取得等号条件分别是 和 ，
所以不同时取得等号，故D选项正确；
故选：ACD.
