冲刺985、211名校之2023届新高考题型模拟训练专题19函数的基本性质综合问题（单选题+填空题）（新高考通用）解析版_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_专项复习

【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】 专题19 函数的基本性质综合问题（单选题+填空题） （新高考通用） 一、单选题 1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）定义在 上的奇函数 满足 ．当 时， ，则 （ ） A． B．4 C．14 D．0 【答案】A 【分析】利用换元法与条件 得到 ，再利用 的 奇偶性求得 的周期为4，从而利用 的周期性即可得解. 【详解】因为 ，令 ，则 ， 所以 ，即 ， 因为 是定义在 上的奇函数，所以 ， 所以 ，则 ， 故 的周期是4， 因为当 时， ， 所以 . 故选：A. 2．（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知函数 ， 的定义域均为 ，且 ， ，若 的图象关于直线 对称， ，则 （ ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】依题意可得 ，再由 可得 ， 即可得到 为偶函数，再由 得到 ，即可得到 的周期为 ，再根据所给条件计算可得. 【详解】因为 的图象关于直线 对称，所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 ，所以 为偶函数． 因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ， 所以 ，所以 ，所以 的周期为 ，所以 ． 因为 ，所以 ，故 ． 故选：A 3．（2023春·江苏南京·高三校联考期末）已知函数 为定义在R上的偶函数，当 时有 ，且 时， ，若 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】由周期性以及奇偶性得出 ， ，再由对数函数、幂函 数的单调性得出 ，最后由函数 在 上单调性求解即可. 【详解】 ，则函数 的周期为2.因为函数 在 上 单调递增，所以函数 在 上单调递减，所以函数 在 上单调递减. ， ，因为 ， ，所以 ， ，所以 ，即 ，即 ，故 . 故选：B 4．（2023·云南昆明·统考一模）已知函数 ， 的定义域均为 ， 为偶函 数且 ， ，则 （ ） A．21 B．22 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意证明 ，结合对称性分析运算即可. 【详解】∵ 为偶函数且 ，则 ， 故 关于点 对称， 又∵ ，则 ，则 是以周期为4 的周期函数，故 关于点 对称， ∴ ， 则 ， 又∵ ， 则 ， 故 . 故选：C. 5．（2023秋·辽宁营口·高三统考期末）设函数 的定义域为R， 为奇函 数， 为偶函数，当 时， ．若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据 为奇函数， 为偶函数，可得函数 的周期 ， 且 为偶函数，根据 时， ，求 的值得此时解析式，即可 求得 的值.【详解】 为奇函数， ，所以 关于 对称，所 以 ①，且 ， 又 为偶函数， ，则 关于 对称，所以 ②， 由①②可得 ，即 ，所以 ， 于是可得 ，所以 的周期 ， 则 ，所以 为偶函数 则 ，所以 ，所以 所以 ，解得 ，所以当 时， 所以 . 故选：B. 6．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）将函数 的图象向右平移1个单位长 度后，再向上平移4个单位长度，所得函数图象与曲线 关于直线 对称，则 （ ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】根据函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，再利用函数 平移变换法则求出函数 的解析式，进而可得答案.【详解】函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称， 将 的图象向下平移4个单位长度得到 的图象， 再将 的图象向左平移1个单位长度得到 的图象， 即 ，故 . 故选:D. 7．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 的一个周期为2，则（ ） A．1为 的周期 B． 的图象关于点 对称 C． D． 的图象关于直线 对称 【答案】C 【分析】举例判断A，B，D错误，再由条件结合奇函数的性质和周期函数的性质列关 系式论证C正确. 【详解】因为 为定义域为 奇函数，周期为 ， 故函数 满足条件， 令 可得， ， 函数 的最小正周期为4，对称中心为 ， ， 函数 没有对称轴， A错误，B错误，D错误；因为函数 是定义在 上的奇函数， 所以 ， 取 可得， ， 因为 的一个周期为2， 所以 ， 取 可得， ， 由 可得，函数 为周期为4的函数， 所以 ，C正确； 故选：C. 8．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）已知函数 是奇函数，函数 的图象与 的图象有4个公共点 ，且 ，则 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由题意得 与 都关于点 对称，则 ，由此即可求得结果. 【详解】由函数 是奇函数，其图象向右平移1个单位，再向上平移2个 单位得到 的图象，所以 的图象关于点 对称， 由 ，可得 的图象是由奇函数 的图象向右平移1个单位， 再向上平移2个单位得到，所以 的图象关于点 对称，所以 与 都关于点 对称， 所以 ， 所以 . 故选：D. 9．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知函数 的定义域为R， ，且 在 上递增，则 的解集为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据 可得 关于直线 对称，根据 可 得 ，结合函数 的单调性可得函数图象，根据图象列不等式求解 集即可. 【详解】解：函数 ，满足 ，则 关于直线 对称， 所以 ，即 ， 又 在 上递增，所以 在 上递减， 则可得函数 的大致图象，如下图：所以由不等式 可得， 或 ，解得 或 ， 故不等式 的解集为 . 故选：D. 10．（2023·福建福州·统考二模）已知函数 ， 的定义域均为 ， 是奇 函数，且 ， ，则（ ） A．f（x）为奇函数 B．g（x）为奇函数 C． D． 【答案】D 【分析】结合已知条件和 是奇函数求出函数的周期，然后利用周期和已知条件 得出 为偶函数，进而判断选项 ；根据函数 是奇函数，周期为4即可判 断选项 ；由 得 即可判断选项 ；根据题干条件得到 ，再结合函数的周期即可判 断选项 . 【详解】因为 ，所以 ，又 ， 则有 ，因为 是奇函数，所以 ， 可得 ，即有 与 ， 即 ，所以 是周期为4的周期函数， 故 也是周期为4的周期函数． 因为 ，所以 ，所以 为偶函数．故 错误； 由 是奇函数，则 ，所以 ，又 ， 所以 ，所以 选项错误； 由 得 ，所以 选项错误； 因为 ， ， 所以 ，所以 ， 所以 选项正确． 故选： . 11．（2023秋·山东烟台·高三统考期末）已知定义在 上的函数 满足： 为偶函数，且 ；函数 ，则当 时， 函数 的所有零点之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意画出 的图象，由图知， 均关于 对称， 有14个交点，即可求出函数 的所有零点之和. 【详解】因为 为偶函数，所以 关于 对称， 所以当 时， ， 当 时， ， ，当 时， ， ， 当 时， ， ， 当 时， ， ， …… 函数 为 的图象向左平移 个单位， 的图象如下图所示， 均关于 对称， 有14个交点， 所以函数 的所有零点之和为： . 故选：A. 12．（2023·山东威海·统考一模）若函数 与 的图像有且 仅有一个交点，则关于x的不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将条件 与 只有1个交点转换为函数 只有1个零点， 参数分离求出a，再构造函数 ，利用其单调性求解即可. 【详解】 与 只有1个交点等价于函数 只有1个零点， 即 只有1个解，令 ，则 ， ， 当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，并且 ， 所以 ， ，函数 的大致图像如下图： ，原不等式为： ，即 ， 令 ，显然 在 时是增函数，又 ， 的解集是 . 故选：C. 13．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数 ，设 ， ，则 成立的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性和奇偶性可知函数 为偶函数，且在 上单调递增， 所以 在 上单调递减，结合 可得 ，举例说明即可判断 选项A、B，将选项C、D变形即可判断. 【详解】函数 的定义域为R， 则函数 ，所以函数 是偶函数， 当 时， ， ， 所以 在 上单调递增，所以 在 上单调递减. 若 ，则 ，即 . A：若 ，满足 ，但 ，反之也不成立，故选项A 错误； B：若 ，满足 ，则 ，反之，若 ，不一定 ，故选项B错误； C：由 可得 ，但不一定有 ，所以充分性不成立，故选项 C错误； D：由 可得 ，但由 不一定能推出 ，故D正确. 故选：D. 14．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知函数 的定义域为 ， 为奇函 数， 为偶函数.记函数 ，则 （ ） A．25 B．27 C．29 D．31 【答案】D 【分析】由已知条件得函数 的图象点 对称也关于直线 对称，由此求得其 是周期函数，周期是4，由中心对称得 ，然后求得 ，代入计算可得． 【详解】 为奇函数， 是由 向左平移1个单位得到， 则 的图象关于点 对称，所以 ， ，为偶函数， 是由 向左平移2个单位得到， 则 的图象关于直线 对称，所以 ，则 ， 所以 ，从而 ， 是周期函数，且周期为4，所以 ， 因为 的图象关于直线 对称，也关于点 对称， 所以 的图象关于点 对称，所以 ， 所以 ， 所以 因为 ， ， 所以 ， 故选：D． 15．（2023·湖北·统考模拟预测）已知函数 ，若 成立，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数 ，根据函数的奇偶性及复合函数的单调性可 得函数为偶函数且在 单调递增，进而 关于直线 对称，且在 单 调递增，结合条件可得 ，解不等式即得. 【详解】因为 的定义域为R，又，故函数 为偶函数， 又 时， ， 单调递增，故由复合函数单调性可得函数 在 单调递增，函数 在定义域上单调递增， 所以 在 单调递增， 所以 ， 所以 关于直线 对称，且在 单调递增． 所以 ， 两边平方，化简得 ，解得 ． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数 ，然后根据函数 的单调性及对称性化简不等式进而即得. 16．（2023秋·浙江杭州·高三浙江省桐庐中学期末）已知函数 ， ， ，有 ，其中 ， ，则下列说法一定正 确的是（ ） A． 是 的一个周期 B． 是奇函数 C． 是偶函 数 D． 【答案】A 【分析】利用特殊函数即可判断BCD，利用赋值法可证明 是 的一个周期，从 而可得正确的选项. 【详解】取 ， ，则 ，， 因此 成立， 此时 ， ，故 为偶函数，故B错误，D错误； 取 ， ，则 ， ， ， 因此 成立，此时 为奇函数，故C错误； 令 ，则 ， 令 ， ，则 ， 若 ，则 ，又 ，故 ， 令 ，则 ，所以 ， 令 ，则 ， 令 ，则 ， 又 ，故 ，此时令 ，则 ， 故 或 . 若 ，则 ，故 为偶函数， 故 ，即 ， 所以 为周期函数且周期为 .若 ，则 ，故 为奇函数， 故 ，即 ， 故 ， 所以 为周期函数且周期为 . 若 ，则 ，此时 ，故 或 ， 若 ， 令 ，则 ， 令 ， ，则 ，所以 ， 令 ，则 ， 令 ，则 ， 故 即 ， 故 为周期函数且周期为 . 若 ， 令 ，则 ， 令 ， ，则 ，所以 ， 令 ，则 ， 令 ， 则 ， 故 即 ， 故 为周期函数且周期为 ．综上， 是 的一个周期，故A正确． 故选：A． 【点睛】抽象函数的性质问题，可以根据抽象函数的运算性质寻找具体的函数来辅助 考虑，此处需要对基本初等函数的性质非常熟悉.另外，在研究抽象函数的性质时，注 意通过合理赋值来研究抽象函数的对称性、周期性． 二、填空题 17．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）若 是定义在 上的 奇函数，且 是偶函数，当 时， ，则 __________. 【答案】 【分析】由奇、偶函数和周期函数的定义，可得 的最小正周期，结合对数的运算 性质可得答案． 【详解】解：由 是定义在 上的奇函数， 为偶函数， 可得 ， ，即 ， 所以 ，可得 ， 则 的最小正周期为4， 当 时， ， 则 ． 故答案为： ． 18．（2023春·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试）已知 是定义在 上的 增函数，且 的图象关于点 对称，则关于 的不等式的解集为_________． 【答案】 【分析】利用同构思想，把关于 的不等式 ，化为 ，从而构造函数 ，根据题 意可以得到 是定义在 上的奇函数，也是定义在 上的增函数，进而列出 不等式求解即可. 【详解】令函数 ，因为 的图象关于点 对称，所以 的图象关于原点对称， 故 是定义在 上的奇函数．因为 是定义在 上的增函数， 所以 也是定义在 上的增函数．由 ， 得 ，则 ， 则 解得 ， 故原不等式的解集为 ． 故答案为： 19．（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数 对任意 ，都有 成立．有以下结论： ① ；② 是 上的偶函数；③若 ，则 ； ④当 时，恒有 ，则函数 在 上单调递增． 则上述所有正确结论的编号是________ 【答案】①③【分析】对于①，通过赋值 可得 ，①正确； 对于②，通过赋值 可证 为奇函数，②错误； 对于③，通过赋值 可得 ，③正确； 对于④，函数单调性的定义，根据题意，结合函数为奇函数，可证 在 上单调递 减，④错误． 【详解】对于①令 ，则 ，解得 ，①正确； 对于②令 ，则 ，∴ ，∴ 是 上的 奇函数，②错误； 对于③令 ，则 ，∴ ，③正确； 对于④设 ，则 ，∴ ， 则 ，∴ 在 上单调递减，④错误． 故答案为：①③． 20．（2023春·广东揭阳·高三校考开学考试）已知 为奇函数，则 ________． 【答案】 【分析】根据奇函数的定义，可得 ，化简即得 ，即 可求得答案. 【详解】由题意可得 满足 且 ， 则有 ，即 ， 故 ，即 ， 因为 时， 定义域为 ， 满足 ，函数为偶函数，不合题意，故 ，则 的自变量x可取到0，且函数定义域关于原点对称， 则 不恒等于0，故 ， 当 时， 定义域为R,满足 , 即 为奇函数， 故答案为： 21．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）若函数 为奇函数，且 ， 若 ，则 _________． 【答案】 【分析】由奇函数的性质结合 得出函数 的周期为4，再由周期 性求函数值. 【详解】因为 ，所以 . 因为函数 为奇函数，所以 . 即 ，故函数 的周期为4. ， 故答案为： 22．（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知函数 为奇函数，则实数 ______. 【答案】 【分析】根据 ，结合指数运算求解即可. 【详解】因为函数 为奇函数， 所以 ，即 ，所以 ， 因为 ， 所以 ，即 ， 所以 ，解得 . 故答案为： . 23．（2023春·福建漳州·高三福建省漳州第一中学校考开学考试）已知函数 的定 义域为 ， 对任意的 恒成立，若 ， 则 __________ 【答案】 ##0.5 【分析】先根据题意求出函数 的周期，求出一个周期内的特殊的函数值，再得出 结果即可. 【详解】已知 ，令 ， 则 ， 即 . 因为 ，即 ， 所以 ，即函数 的周期为6. 令 ， ，又 ，则 ， 令 ，，同理 ， ， ， ， . 故答案为： . 24．（2023秋·山东泰安·高三统考期末）已知定义在 上的函数 满足：对任意实 数a，b都有 ，且当 时， ．若 ，则不等 式 的解集为______． 【答案】 【分析】根据抽象函数的条件，结合函数单调性的定义证明函数的单调性，结合函数 单调性将不等式进行转化求解即可． 【详解】解：对任意实数a，b都有 ，且当 时， ． 设 ，则 ， ． 所以 ， 即 ， 所以 是增函数． 因为 ，即 ，所以 . 所以原不等式化为 等价为 ， 则 ，即 ，则 ，得 ， 故不等式的解集是 . 故答案为： 25．（2023·山东菏泽·统考一模）定义在 上的函数 ，满足 为偶函数， 为奇函数，若 ，则 __________. 【答案】1 【分析】根据 为偶函数、 为奇函数的性质，利用赋值法可得答案. 【详解】若 为偶函数， 为奇函数， 则 ， ， 令 ，则 ，即 ， 令 ，则 ，即 ， 又因为 ，所以 . 故答案为：1. 26．（2023·山东泰安·统考一模）设 是定义域为R的偶函数，且 . 若 ，则 的值是___________. 【答案】 ##0.25 【分析】由题意可得 是周期为2的函数，即可求解. 【详解】因为 是定义域为 的偶函数，所以 ； 又 ，所以 ， 所以 是周期为2的函数，则 . 故答案为： . 27．（2023秋·湖南怀化·高三统考期末）已知函数 在 上的最大值与最小值分别为 和 ，则函数 的图象的对称中心是______.【答案】 【分析】先求得 ，然后构造函数 ，判断出 的奇偶 性，由此求得 ，进而求得 的表达式，利用图象变换的知识确定 的对称 中心. 【详解】 ， 即 ，所以 ， 令 ， ， 则 为 上奇函数， 在 上的最大值为最小值的和为0， ∴ ， ， 是奇函数，图象的对称中心是 ， 向左平移 个单位得到 ，对称中心为 ， 再横坐标缩小为原来的一半得到 ，对称中心为 ， 再向下平移 个单位得到 ，对称中心为 ，所以 的对称中心是 . 故答案为： 28．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知定义在R上的偶函数 满足 .若 ，且 在 单调递增，则满足 的x的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由题意可知， 是周期为 的周期函数， 的最小正周期为8，结 合 与 的单调性，易知在一个周期内，由 ，可得 ，再结合周期求出范围即可. 【详解】因为 是偶函数，所以 ， 由 ，可得 关于 对称， 因为 ，所以 ， 则 ， 因为 是偶函数，所以 ， 因为 ，所以 ， 则 ， 所以函数 是周期为 的周期函数. 因为 是偶函数，且在 单调递增，所以 在 单调递减，令 中 ，则 ，则 ， 又因为 关于 对称，所以 在 上单调递增， 上单调递减， 结合函数 是周期为 的周期函数， 综上可得 在 ， 上单调递增， ， 上单调递减. 因为 的最小正周期为 ，结合 图象可知， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减， 令 中 ，则 ，则 ， 当 ，又 ，所以 ， 当 ，又 ，所以 ， 所以当 时， ，解得 . 又因为 与 均为周期函数，且8均为其周期， 所以 的x的取值范围是 . 故答案为： . 【点睛】本题解题的关键是求出 与 的周期性，由 ， ，结合函数的单调性和周期性求解即可. 29．（2023春·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知 是定义在R上的奇 函数，满足 ，有下列说法：① 的图象关于直线 对称； ② 的图象关于点 对称； ③ 在区间 上至少有5个零点； ④若 上单调递增，则在区间 上单调递增． 其中所有正确说法的序号为_______． 【答案】②③④ 【分析】求得函数 的图象关于点 对称判断①②；求得 在区间 上零点个数判断③；求得 在区间 上的单调性判断④ 【详解】因为 ，所以 ， 故函数 是周期为3的周期函数，又 是定义在R上的奇函数， 则 ，所以 ， 故函数 的图象关于点 对称，故①错误，②正确； 由题意可知， ，因为 ， 令 ，可得 ， 即 ， 所以 ，从而 ， 故函数 在区间 上至少有5个零点，故③正确； 因为 ， ， 且函数 在区间 上单调递增，则函数 在区间 上单调递增， 故函数 在区间 上也单调递增，故④正确． 故答案为：②③④ 30．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）设奇函数 的定义域为 ，且对任意，都有 ．若当 时， ，且 ， 则不等式 的解集为__________． 【答案】 【分析】由题知函数 在 上单调递减，在 上单调递减，且 ， ， ， ，再根据对数函数单调性将 转 化为解 即可得答案. 【详解】解：设 ，且 ，则 因为，当 时， ，所以 ， 因为对任意 ，都有 ． 所以， ，即 ， 所以，函数 在 上单调递减， 因为 是定义域为 的奇函数， 所以，函数 在 上单调递减， 因为不等式 等价于不等式 ，即 ， 因为对任意 ，都有 ， ， 所以，当 时，得 ；当 时，得 所以 ，所以， ， ， ， ， 所以，当 时， 的解集为 ， 当 时， 的解集为 ， 所以， 的解集为 ， 所以，不等式 的解集为 故答案为：