冲刺985、211名校之2023届新高考题型模拟训练专题17等式与不等式综合问题（单选+填空）（新高考通用）解析版_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_专项复习

【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】 专题17 等式与不等式综合问题（单选+填空）（新高考通 用） 一、单选题 1．（2023秋·江苏扬州·高三仪征中学校联考期末）已知 且 ，则 的最小值是（ ） A．9 B．10 C． D． 【答案】D 【分析】由“1”的妙用和基本不等式可求得结果. 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 即 时，等号成立. 结合 可知，当 时， 最小值 . 故选：D. 2．（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练习）非零实数 满足 成等差数 列，则 的最小值为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据 成等差数列，可将 用 表示，再将所求化简，利用基本不 等式即可得解. 【详解】因为 成等差数列，所以 ， 所以 ， 则 ， 当且仅当 ，即 时，取等号， 所以 的最小值为 . 故选：B. 3．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）正实数 满足 ，且不等式 恒成立，则实数 的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式“1”的妙用可得 的最小值为4，再根据含参不等式恒成 立解一元二次不等式，即可得实数 的取值范围. 【详解】正实数 满足 ， 则 ， 当且仅当 ，即 且 时，等号成立，则 时， 取到 最小值4，要使不等式 恒成立，即 ，解得 ， 所以实数 的取值范围是 . 故选：C. 4．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数 ，正 数 满足 ，则 的最小值（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用 可得 ，由此可化简所求式子，结合基本不等式 可求得最小值. 【详解】 ，且 在 上单调递减， 由 得： ，即 ， ， （当且仅当 时取等 号）， 则 的最小值为 . 故选：B. 5．（2023·湖南岳阳·统考一模）已知正实数x，y满足 ，则下列不等式恒成立 的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用特殊值判断AC，利用不等式性质及指数函数单调性判断B，根据排除法 判断D. 【详解】取 ，则 不成立，故A错误；由 ，当 时， ，所以 ， 即 ，故B错误； 取 时， ，而 ， 所以 ，故C错误； 由ABC错误，排除法知，故D正确. 故选：D 6．（2023·山东菏泽·统考一模）设实数 满足 ， ， ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分为 与 ，去掉绝对值后，根据“1”的代换，化简后分别根据基本不 等式，即可求解得出答案. 【详解】当 时， ， 当且仅当 ，即 ， 时等号成立，此时有最小值 ； 当 时， . 当且仅当 ，即 ， 时等号成立，此时有最小值 . 所以， 的最小值为 . 故选：A. 7．（2023·山东潍坊·校考一模）若正实数a，b满足 ，且 ，则下列不 等式一定成立的是（ ）A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性及 得到 或 ，分别讨论两种情况 下四个选项是否正确，A选项可以用对数函数单调性得到，B选项可以用作差法，C选 项用作差法及指数函数单调性进行求解，D选项，需要构造函数进行求解. 【详解】因为 ， 为单调递增函数，故 ，由于 ， 故 ，或 ， 当 时， ，此时 ； ，故 ； ， ； 当 时， ，此时 ， ， 故 ； ， ； 故ABC均错误； D选项， ，两边取自然对数， ，因为不管 ，还 是 ，均有 ，所以 ，故只需证 即可， 设 （ 且 ），则 ，令 （ 且 ），则 ，当 时， ，当 时， ，所以 ，所以 在 且 上恒成立，故 （ 且 ）单调递减，因为 ，所以 ，结论得证，D 正确 故选：D8．（2023秋·河北邢台·高三统考期末）若 ，且 ， 则（ ） A． 的最小值为 B． 的最小值为 C． 的最小值为16 D． 没有最小值 【答案】A 【分析】先将题意整理成 ，然后利用基本不等式可得到 ，最后检验 是否成立即 可 【详解】由 ，得 . 因为 ，所以 所以 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立. 由 得 , 设函数 ， 则由 ，得 在 上至少一个零点， 此时 ，故存在 ，使得不等式 中的等号成 立， 故 的最小值为 . 故选：A 【点睛】关键点睛：这道题关键的地方在于检验 是否成立，需要构造 ，并结合零点存在定理进行验证 9．（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ） A．10 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】由已知，可设 ， ，利用换底公式表示出 ， 带入 中，得到m，n的等量关系，然后利用“1”的代换 借助基本不等式即可求解最值. 【详解】由已知，令 ， ， 所以 ， ，代入 得： ， 因为 ， ， 所以 . 当且仅当 时，即 时等号成立. 的最小值为 . 故选：C. 10．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）对于任意实数 及 ，均有 ，则实数 的取值范围是（ ） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】先将除了 以外的量 看成常量，运用基本不等式先求出左边表达式的最小 值，然后利用分离参数，结合对勾函数性质求解. 【详解】由基本不等式， ，故只 需要 即可， 即对于任意的 ， 恒成立，等价于对任意的 ， ，或 . 当 时，由于 ，原式可变形为 ，记 ， 根据对勾函数性质 在 上递减，在 上递增， 于是 在 上递增，此时 ； 当 时，由于 ，原式可变形为 ，记 ， 根据对勾函数性质 在 上递减，在 上递增，于是 在 上递减，在 上递增， 当 ，当 ，注意到 ，故当 时， ， 故 .综上， . 故选：D 11．（2023·浙江·统考一模）若 ，则 的最小值是（ ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】先把已知整理成 的形式，再把等式的右边 利用柯西不等式进行放缩，得到关于 的一元二次不等式进行求解. 【详解】由已知 整理得 ， 由柯西不等式得 ， 当 时取等号， 所以 ，即 ， 解得 ，所以 的最小值为 . 故选：C． 二、填空题 12．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）已知关于 ， ，若 时，关于 的不等式 恒成立，则 的最小值为______. 【答案】 【分析】根据不等式分类讨论分析可知， 为 的零点，可得方程，运算 整理结合基本不等式求值.【详解】 时，关于 的不等式 恒成立， ，由 ，则 ；由 ，则 ，即 为 的零点， ∴ ， . ∴ ，当且仅当 时，等号成立. 故答案为： . 13．（2023秋·江苏扬州·高三校考期末）已知 ， ， 是正实数，且 ，则 最小值为__________. 【答案】 【分析】由于 ， ， 是正实数，且 ，所以先结合基本不等式“1”的代换 求 的最小值，得 ，则 ，再根据基本不等式凑 项法求 的最小值，即可求得 的最小值. 【详解】解： ，由于 ， ， 是正实数，且 ， 所以 ，当且仅当 ，即 ，所以 时等号成立， 则 的最小值为 ，所以 ， 当且仅当 ，即 时等号成立， 则 最小值为 . 故答案为： . 14．（2023春·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试）若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 的最小值为_____． 【答案】 【分析】由两条曲线的公切线斜率分别等于各曲线上切点处的导数值，以及各曲线上 切点分别满足切线方程来列方程组，得到 与 满足的关系式，将原式中的 替换， 再利用基本不等式求最小值即可. 【详解】曲线 在点A处的切线可写作 设该切线在曲线 上的切点为 ， 则有 ，消去t得 则 当且仅当 ，即 时取得该最小值. 故答案为： .15．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知正实数 满足 ，则 的最小值是___________. 【答案】 【分析】根据不等式特征可通过构造函数 ，利用函数单调性解不等 式可得 ，再根据基本不等式即可求得 的最小值是 . 【详解】由题意可得将不等式变形成 ； 又因为 都是正数，所以 ； 可构造函数 ，易知函数为增函数， 由 可得 ， 即 ，根据函数单调性可得 ， 则 ， 当且仅当 ，即 取等号， 因此 的最小值是 . 故答案为： 16．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知实数 ，满足 ，则 的最小值是______. 【答案】9 【分析】将已知条件 通过恒等变形，再利用基本不等式即可求解.【详解】由已知条件得 ， ∵ ，∴ ， 又∵ ， ，∴ ， ∴ ， 当且仅当 ，即 时等号成立. 故答案为：9. 17．（2023春·广东江门·高三校联考开学考试）已知正数x，y，z满足 ， 当 取最大值时， 的最小值为______. 【答案】 ## 【分析】由条件化简 ，结合基本不等式求其最大值，确定取最大值的条件，再结合 二次函数性质求 的最小值. 【详解】因为 ， 所以 ， 因为 ，所以 ，当且仅当 ， 时等号成立， 所以当 ， 时， 取最大值 ， 所以当 取最大值时， ， ， ， 所以 ， 所以当 时， 取最小值 .故答案为： . 18．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知a，b都是正数，则 的最小 值是______． 【答案】2 【分析】设 ， ，解出 ， ，代入化简 得 ，利用基本不等式即可求出最值. 【详解】因为 均为正实数，故设 ， ，则 联立解得 ， ， ， 当且仅当 ，即 ，即 ，即 时取等号， 故答案为：2. 19．（2023秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ，若存在两项 ，使得 ，则 的最小值为_____________. 【答案】 【分析】先根据 可得数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，即可得 到 ，结合 可得 ，再结合基本不等式求解即可. 【详解】由 ，得 ， 两式相减得 ，而 ，即 ， 所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， 即 . 又 ，即 ，得 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号. 所以 的最小值为 . 故答案为： . 20．（2023春·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）若 ，且 ， 的最小值为m， 的最大值为n，则mn为___________， 【答案】 【分析】根据条件等式利用基本不等式中“1”的妙用可求得 ，由 并结合 即可求得 ，便可得出 . 【详解】由 可得 ， 由 可得， ， 所以 ， 当且仅当 时，等号成立；即 的最小值为 ； ， 所以 ，即 ； 当且仅当 时，等号成立； 即 的最大值为 ； 所以 . 故答案为： 21．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）已知正数a，b满足 ，则 ___________. 【答案】 【分析】利用基本不等式知 ，令 ，利用导数研究函 数的单调性可知 ，进而可得 ，结合已知可得 ，由取等条件即可求解. 【详解】因为a，b都为正数，所以 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立. 构造函数 ， ， 求导 ，令 ，得 当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减； 可知 在 处取得最大值，故 ，即 所以 ，当且仅当 时，等号成立， 所以 ，当且仅当 时，等号成立， 所以 ，又 ， 所以 ，且 ， ， 即 ，所以 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查利用基本不等式及利用导数研究函数的单调性证明不 等式，解题的关键是构造函数 ， ，从而证得 ，再结 合基本不等式及取等条件即可求解，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于难题. 22．（2023·山东济宁·统考一模）已知函数 且 的图象过定点A，且点 A在直线 上，则 的最小值是______. 【答案】 【分析】求出函数所过的定点 ，则有 ，则 ，则 ，化简整理，分离常数再结合基本不等式求解即可. 【详解】函数 且 的图象过定点 ， 则 ，所以 ， 由 ，得 ，则 令 ，则 ， 则 ， 当且仅当 ，即 ，即 时，取等号， 所以 的最小值是 . 故答案为： . 23．（2023秋·河北·高三统考阶段练习）已知 ，则 的 最小值为___________． 【答案】 【分析】根据已知条件变形，再应用基本不等式求最小值即可. 【详解】 则 ，当且仅当 时，等号成立． ， ∴ 最小为 ，此时 ． 故答案为: . 24．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知实数a，b满足，则 的最大值为_____________． 【答案】2 【分析】先消元，再用基本不等式即可求出最大值. 【详解】由 得 ，则 ， 当且仅当 时，此时 ， ，或者 ， 时等号成立， 所以 的最大值为2． 故答案为：2. 25．（2023·重庆·统考一模）已知 ，则 的最小值是 ___________. 【答案】4 【分析】把 化为 ，再利用“1”的妙用，结合基本不等式即可得到答案. 【详解】 ， 当且仅当 即 时，取等号， 故 的最小值是4， 故答案为： . 26．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知 ，且 ，则 的最小值为______． 【答案】2 【分析】根据基本不等式凑项法和“1”的巧用即可求得最值.【详解】因为 ，所以 ，又 ，所以 则 当且仅当 且 ，即 时，等号成立， 所以 的最小值为 . 故答案为： . 27．（2023秋·山西长治·高三校联考阶段练习）已知两个正数 满足 ，则 的最大值为__________. 【答案】2 【分析】先通分得到等式 ，再通过配方法得到等式 ， 最后通过基本不等式得到 的取值范围即可得到答案. 【详解】由 得 .所以 ，即 ，当 且仅当 时取等号. 又 ，所以 ，所以 ，则 的最大值为2. 故答案为：2. 28．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）已知正实数x，y满足 ，则 的小值为______． 【答案】【分析】利用待定系数法可得出 ，与 相 乘，展开后利用基本不等式可求得 的最小值. 【详解】设 ， 可得 ，解得 ， 所以 ， ， 当且仅当 时，即 等号成立， 则 的小值为 . 故答案为：9. 29．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知关于 的不等 式 恒成立，则 的取值范围是_____． 【答案】 【分析】设 ，令 ，要使 恒成立，即 恒成立. 求出 最小值 ，令 得到 ，再求出 的取值范围即可.【详解】设 ，令 ， 要使 恒成立，即 恒成立. ， 由 可得， 在 上有一个解 ， 即 ， ， 又 ， ， 因此当 时， ， 在 上单调递减； 当 时， ， 在 上单调递增. 则 ， ， 将 代入，得 ， 设 ， ， 令 ，解得 . 因此当 时， ， 在 上单调递减； 当 时， ， 在 上单调递增. ，即 的取值范围是 ， 故 的取值范围是 . 故答案为：30．（2023秋·重庆·高三统考学业考试）已知 ，则 的最小 值为___________. 【答案】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为 ，所以 ， 故 ， 当且仅当 且 ，即 时，等号成立， 所以 ，则 的最小值为 . 故答案为： .