冲刺985、211名校之2023届新高考题型模拟训练专题21指数对数幂函数综合问题（单选+多选+填空）（新高考通用）解析版_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_专项复习

【冲刺985、211名校之2023届新高考题型模拟训练】 专题21 指数对数幂函数综合问题（单选+多选+填空） （新高考通用） 一、单选题 1．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）若集合 ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合 ，然后再逐个分析判断即可. 【详解】由 ，得 ， 解得 或 ， 所以 或 ， 因为 ， 所以 ， 对于A，因为 ，所以 ，所以A错误， 对于B，因为 或 ， ， 所以 ，所以B正确， 对于C，因为 ，所以C错误， 对于D，因为 或 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以D错误， 故选：B 2．（2023·安徽合肥·统考一模）已知p： ，q： ，则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】令 ,结合该函数的奇偶性，单调性判断不等式是否 成立. 【详解】令 ， ， 且 ， 故 为奇函数， 时， 递增，则 也递增， 又 为奇函数，则 在 上递增， ，若 ，则 ， 则 ，即 即 ； ，若 ， 则等价于 ，即 ， 由 在 上递增，则 ， 即 ， 故p是q的充要条件， 故选：C. 3．（2023春·湖北襄阳·高三襄阳市襄州区第一高级中学校考开学考试）已知函数 ，则 的图象（ ）A．关于直线 对称 B．关于点 对称 C．关于直线 对称 D．关于原点对称 【答案】A 【分析】求出 以及 的表达式，根据函数的对称性，即可判断各项，得 到结果. 【详解】对于A项，由已知可得， ， 所以 的图象关于直线 对称，故A项正确； 对于B项，因为 ，则 ，故B项错误； 对于C项， ，则 ，故C错误； 对于D项，因为 ，则 ，故D错误. 故选:A. 【点睛】设 的定义域为 . 对于 ，若 恒成立，则 的图象关于直线 对称； 对于 ，若 恒成立，则 的图象关于点 对称. 4．（2023·福建莆田·统考二模）若 ，则（ ） A． 是等差数列 B． 是等比数列 C． 是等差数列 D． 是等比数列 【答案】A 【分析】根据已知指数式，求出 ，结合对数的运算法则及等差数列与等比数列的 定义逐项判断即可得结论. 【详解】因为 ， 所以 ，则 ，故 是等差数列，故A正确； 因为 ， 所以 ，故 不是等比数列，故B不正确； 因为 ， 所以 ，故 不是等差数列，故C不正确； 因为 ， 所以 ，故 不是等比数列，故D不正确. 故选：A. 5．（2023秋·山西运城·高三统考期末）已知实数 满足 ，其中 是自然对数的底数，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知 ，进而构造函数 ，再根据函数 的单调性得 ，再与 求和整理 即可得答案. 【详解】解：由题知 ， 所以 ，所以 令 ，则 ， 因为， 恒成立， 所以， 在 上单调递减， 所以， ，即 因为 ， 所以 ，即 故选：C 6．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）“打水漂”是一种游戏,通过一定方式投掷石 片,使石片在水面上实现多次弹跳,弹跳次数越多越好.小赵同学在玩“打水漂”游戏时, 将一石片按一定方式投掷出去,石片第一次接触水面时的速度为 ,然后石片在水面 上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素,假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的 ,若石片接触水面时的速度低于 ,石片就不再弹跳,沉入水底,则小赵同学这次 “打水漂”石片的弹跳次数为( )(参考数据: ). A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为 ,根据题意得 ,即 ,根据指数函数的单调性和对数换底公式求解即可. 【详解】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为 , 由题意得 , 即 , 得 . 因为 , 所以 ,即 . 故选：C. 7．（2023春·浙江温州·高三统考开学考试）通过长期数据研究某人驾驶汽车的习惯， 发现其行车速度v（公里/小时）与行驶地区的人口密度p（人/平方公里）有如下关系： ，如果他在人口密度为 的地区行车时速度为65公里/小时，那 么他在人口密度为 的地区行车时速度约是（ ） A．69.4公里/小时 B．67.4公里/小时 C．62.5公里/小时 D．60.5公里/小时 【答案】B 【分析】由题知 ，进而得 ，进而代入计算即可得答案. 【详解】解：由题知 ，整理得 所以 所以，当他在人口密度为 的地区行车时速度 公里/小时， 故选：B 8．（2023·山西·统考一模）在天文学中，常用星等 ，光照度 等来描述天体的明暗 程度.两颗星的星等与光照度满足星普森公式 .已知大犬座天狼星的 星等为 ，天狼星的光照度是织女星光照度的4倍，据此估计织女星的星等为（参 考数据 ）（ ） A．2 B．1.05 C．0.05 D． 【答案】C 【分析】根据题意，代入数据计算即可得答案. 【详解】解：设天狼星的星等为 ，光照度为 ，织女星的星等为 ，光照度为 ，因为天狼星的光照度是织女星光照度的4倍，所以 ， 因为两颗星的星等与光照度满足星普森公式 ， 所以 ，解得 . 所以，织女星的星等为 故选：C 9．（2023·云南红河·统考一模）中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，茶文化是把 茶、赏茶、闻茶、饮茶、品茶等习惯与中国的文化内涵相结合而形成的一种文化现象， 具有鲜明的中国文化特征．其中沏茶、饮茶对水温也有一定的要求，把物体放在空气 中冷却，如果物体原来的温度是 ，空气的温度是 ，经过t分钟后物体的温度为 θ℃，满足公式 ．现有一壶水温为92℃的热水用来沏茶，由经验 可知茶温为52℃时口感最佳，若空气的温度为12℃，那从沏茶开始，大约需要（ ） 分钟饮用口感最佳．（参考数据； ， ） A．2.57 B．2.77 C．2.89 D．3.26 【答案】B 【分析】有题意，根据公式 代入数据得 ， 变形、化简即可得出答案. 【详解】由题意得 ，代入数据得 ， 整理得 ，即 ，解得 ； 所以若空气的温度为12℃，从沏茶开始，大约需要2.77分钟饮用口感最佳． 故选：B． 10．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）2022年诺贝尔物理学奖授予在 量子领域做出贡献的法国、美国、奥地利科学家，我国于2021年成功研制出目前国际 上超导量子比特数量最多的量子计算原型机“祖冲之号”，操控的超导量子比特为66 个．已知1个超导量子比特共有“ ， ”2种叠加态，2个超导量子比特共有“， ， ， ”4种叠加态，3个超导量子比特共有“ ， ， ， ， ， ， ， ”8种叠加态，…，只要增加1个超导 量子比特，其叠加态的种数就呈指数级增长．设M个超导量子比特共有N种叠加态， 且N是一个20位的数，则这样的M有（ ）个．（参考数据： ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意可得 个超导量子比特共有 中叠加态，结合指、对数的运算即 可求解. 【详解】根据题意，设 个超导量子比特共有 中叠加态， 也即 ，两边同时取以10为底的对数得， ， 所以 ，因为 是一个 位的数，所以 , 也即 ，解得 ， 所以这样的 有64，65，66这3个， 故选： . 11．（2023·福建泉州·高三统考阶段练习）萃取是有机化学实验室中用来提纯和纯化化 合物的手段之一．研究发现，用总体积相同的有机萃取液对某化合物进行萃取，采用 少量多次的方法比全量一次的萃取率高．已知萃取率 与萃取次数 满足 ， 为分配比、现欲用有机萃取液 ，对含四氧化锇 的 水溶液进行萃取，每次所用有机萃取液 的体积为 ，分配比 为14．要使萃取率达到 以上，则至少需要经过的萃取次数为（参考数据： ）（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B【分析】根据题意确定各参数值，代入等式 ，利用指对互 化和对数函数运算即可得所求. 【详解】解：由题可知萃取率 与萃取次数 满足 ， 其中分配比 ，萃取率 ， ， 则 ，所以 ，则 ， 即 ， 所以至少需要经过的萃取次数为 . 故选：B. 12．（2023·江苏南通·统考模拟预测）传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者， 古印度国王让发明者自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上 放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第 四个格子放八粒……依此规律，放满棋盘的64个格子所需小麦的总重量大约为（ ） 吨.（1kg麦子大约20000粒，lg2=0.3） A．105 B．107 C．1012 D．1015 【答案】C 【分析】由等比数列求和公式结合对数的运算求解即可. 【详解】64个格子放满麦粒共需 ， 麦子大约20000粒，1吨麦子大约 粒， ， 故选：C. 13．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知函数，则 的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数 解析式，作出函数图象，继而作出 的图象，数形结合，求得不等式的解集. 【详解】根据题意当 时, ， 当 时, , 作出函数 的图象如图， 在同一坐标系中作出函数 的图象， 由图象可得不等式 解集为 ，故选：C 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是正确的作出函数的图象，数形结合，求得不 等式解集. 14．（2023秋·湖北十堰·高三统考阶段练习）已知函数 若函数 恰有4个不同的零点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将 看做整体，先求出 对应的 ，再根据方程的解得个数确 定对应的 的取值范围即可得解. 【详解】令 ， 得 或 ， 画出 的大致图象. 设 ，由图可知， 当 或 时， 有且仅有1个实根; 当 或 时， 有2个实根; 当 时， 有3个实根. 则 恰有4个不同的零点等价于 或 或 或 解得 或 . 故选：C.15．（2023·云南·统考一模）已知a，b，c满足 ， ，则 （ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】B 【分析】构造函数 ，利用其单调性，分 ， ， 讨论即可. 【详解】由题意得 ，即 ，则 ，则 ， 令 ，根据减函数加减函数为减函数的结论知： 在 上单调递减， 当 时，可得 ， ，两边同取以5为底的对数得 ，对 通过移项得 ， 两边同取以3为底的对数得 ， 所以 ，所以 ，所以 ，且 ， 故此时， ，故C,D选项错误， 时， ，，且 ，故A错误, 下面严格证明当 时， ， ， 根据函数 在 上单调递增，且 ， 则当 时，有 ， ， ， 下面证明： ， 要证： ， 即证： ，等价于证明 ， 即证： ，此式开头已证明， 对 ，左边同除分子分母同除 ，右边分子分母同除 得 ， 则故当 时， ，则 当 时，可得 ， ，两边同取以5为底的对数得 ，对 通过移项得 ， 两边同取以3为底的对数得 ， 所以 ，所以 ，所以 ，且 ， 故 ，故此时， ， 下面严格证明当 时， ， 当 时，根据函数 ，且其在 上单调递减，可知 ，则 ，则 ， 根据函数函数 在 上单调递增，且 ， 则当 时， ， 下面证明： ， 要证： 即证： ，等价于证 ， 即证： ，此式已证明， 对 ，左边同除分子分母同除 ，右边分子分母同除 得， 则 ， 故 时， ，则 当 时， ，则 ， ， 综上 ， ， 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题的关键在于构造函数 ，利用其单调性及 ，从而得到 之间的大小关系，同时需要先求出 的范围，然后再对 进行 分类讨论. 二、多选题 16．（2023·湖南·模拟预测）已知 ，则下列结论正确的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由 可得 ，进而可借助导数、指数函数的单调 性及不等式的基本性质对选项逐一进行分析. 【详解】 可得 ，时， 为递减函数，故 ，故A正确； 取 ，则 ，故B错误； 令 时， 恒成立， 故 在 上单调递增， 时，有 ，故 ，故C正确； ， ，则 ， 则 ，又 则 ，故 ，故D正确； 故选：ACD. 17．（2023·广东茂名·统考一模）e是自然对数的底数， ，已知 ，则下列结论一定正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】BC 【分析】构建函数 根据题意分析可得 ，对A、D：取特值 分析判断；对B、C：根据 的单调性，分类讨论分析判断. 【详解】原式变形为 ， 构造函数 ，则 ， ∵ ， 当 时， ，则 ，即 ；当 时， ，则 ，即 ； 故 在 上单调递减，在 上单调递增， 对于A：取 ，则 ∵ 在 上单调递增，故 ， 即 满足题意，但 ，A错误； 对于B：若 ，则有： 当 ，即 时，则 ，即 ； 当 ，即 时，由 在 时单调递增，且 ， 故 ，则 ； 综上所述： ， B正确； 对于C：若 ，则有： 当 ，即 时， 显然成立； 当 ，即 时，令 ， ∵ ，当且仅当 ，即 时等号成立， ∴当 时，所以 ，即 ， 由 可得 ，即 又∵由 在 时单调递增，且 ， ∴ ，即 ； 综上所述： ，C正确； 对于D：取 ， ，则 ， ∵ 在 上单调递减，故 ， ∴故 ， 满足题意，但 ，D错误. 故选：BC. 【点睛】结论点睛：指对同构的常用形式：（1）积型： ， ①构造形式为： ，构建函数 ； ②构造形式为： ，构建函数 ； ③构造形式为： ，构建函数 . （2）商型： ， ①构造形式为： ，构建函数 ； ②构造形式为： ，构建函数 ； ③构造形式为： ，构建函数 . 18．（2023·安徽宿州·统考一模）已知 ，且 ，则下列不等关系成立的 是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式易知选项AB正确；利用对数运算法则和重要不等式可知C 正确；将不等式 化简整理可得 ，构造函数 利用函数单调性即可证明D错误. 【详解】由基本不等式可知， ，当且仅当 时，等号 成立，即A正确； 易知 ，当且仅当 时，等号成立，即B正确； 由重要不等式和对数运算法则可得：，当且仅当且仅当 时， 等号成立，即C正确； 由 可得 ，所以 ， 若 ，即证明 ，即 即需证明 ， 令函数 ，则 ， 当 时， ，即 在 上单调递增， 所以 时，解不等式 可得 即可，即 时不等式 成立； 当 时， ，即 在 上单调递减，解不等式 可得 ，即 时不等式 才成立； 综上可知，当 时，不等式 才成立，所以D错误. 故选：ABC 19．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）函数 ，则（ ） A．f(x)的定义域为R B． 值域为 C． 为偶函数 D． 在区间 上是增函数 【答案】ACD 【分析】根据函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等知识进行分析，从而确定正确 答案. 【详解】对于函数 ， 由于 恒成立，所以 的定义域为 ，A选项正确.， 由于 ，当且仅当 时等号成立， 所以 ，B选项错误. 由于 ，所以 为偶函数，C选项正确. 对于函数 ， 任取 ， ， 由于 ，所以 ， 所以 在区间 上递增. 当 时，令 ，则 在区间 上递增， 根据复合函数单调性同增异减可知 在区间 上是增函数，D选项正确. 故选：ACD 20．（2023·河北邯郸·统考一模）已知函数 ，则（ ） A． 的定义域是 B． 有最大值 C．不等式 的解集是 D． 在 上单调递增 【答案】AB 【分析】根据函数解析式，求解函数定义域，利用复合函数单调性求解单调区间及最 值，利用单调性解函数不等式。 【详解】由题意可得 ，解得 ，即 的定义域是 ，则A正 确； ，因为 在 上单调递增，在 上单调递减， 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，则B正确； 因为 在 上单调递增，在 上单调递减，且 ，所以不 等式 的解集是 ，则C错误； 因为 在 上单调递减，所以D错误． 故选：AB. 21．（2023·重庆·统考一模）已知m，n关于x方程 的两个根，且 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据函数的图象可得 ，结合条件可得 ， ，利用对 勾函数的性质可判断A，构造函数 ，根据函数的单调性可判断B，构 造函数 ，利用导数研究函数的性质结合条件可判断CD. 【详解】画出函数 与 的大致图象，由题可知 ，即 ， 所以 ，又 ， 所以 ，可得 ， ， 由对勾函数的性质可知 ，故A正确； 设函数 ，因为函数 在 上单调递增，所以函 数 在 上单调递增， 又 ， 所以 ， ，即 ， 故B错误； 设函数 ，则 ， 由 ，可得 单调递增， 由 ，可得 单调递减， 因为 ， 所以 ，即 ， 所以 ，即 ，故C正确； 又 ， ， 所以 ，即 ， 所以 ，即 ，故D正确. 故选：ACD.【点睛】关键点点睛： 本题关键点是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据不等式的“形 状”变换函数“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 22．（2023春·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）已知函数 （ 且 ），下列说法正确的是（ ） A． 为偶函数 B． 为非奇非偶函数 C． 为偶函数（ 为 的导函数） D．若 ，则 对任意 成立 【答案】ACD 【分析】先证明函数 为奇函数，再根据函数奇偶性的定义即可判断AB；求出函 数 的导函数，再根据函数奇偶性的定义即可判断C；易得 ，再根据 ，可得 ，即可判断D. 【详解】因为 ，所以 的定义域为 ， 因为 ， 所以 ，所以 为奇函数， 对于A，因为 ，所以 为偶函数，故A正确； 对于B，因为 ， 所以 为奇函数，故B错误； 对于C， ， 因为 ， 所以 为偶函数，故C正确； 对于D，因为 ，所以 ， 因为 ， 所以 ， 又 ， ， 所以 ，即 ， 所以 ，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛，解决本题AB的关键在于证明 为奇函数，解决D选项的关 键是由 ，结合换底公式转化.23．（2023·山东潍坊·统考一模）已知 ，过点 和 的直线为 .过点 和 的直线为 ， 与 在 轴上的截距相等，设函数 .则（ ） A． 在 上单调递增 B．若 ，则 C．若 ，则 D． 均不为 （ 为自然对数的底 数） 【答案】CD 【分析】由题意可推得 ， .令 ，可得 ，根 据导函数可得出 的单调性，进而判断A项；先根据导数求解函数 的 零点，可求出 ，代入即可得出 的值，判断B项；由已知可得 ， 平方变形即可求出 ，可得出C项；分别求解 时， 的值以及 时， 的值，即可说明D项. 【详解】由已知可得，直线 的方程为 ， 由 ，可得 ； 直线 的方程为 ， 由 ，可得 . 由已知可得， ， 整理可得， . 因为，函数 在 上单调递增，所以 ， 所以 .对于A项，令 ， ，则 ， . 令 ，则 在R上恒成立， 所以， 在R上单调递增，即 在R上单调递增. 又 ，所以当 时， ，所以 在 上单调递增； 当 时， ，所以 在 上单调递减，故A项错误； 对于B项，设 ，则 . 令 ，则 ， 显然 在 上单调递增， 且 ， ， 根据零点存在定理，可得 ，有 ， 且当 时，有 ，即 在 上单调递减，所以 在 上单 调递减； 当 时，有 ，即 在 上单调递增，所以 在 上单调 递增. 因为 ， ， ， 根据零点存在定理，可得 ，有 ， 且当 时，有 ，即 在 上单调递减； 当 时，有 ，即 在 上单调递增. 因为 ， ， ， . 所以有 ，可得 或 ，因为 ，所以有 可得， ，所以 或 （舍去）. 所以， ， 所以， ，故B项错误； 对于C项，因为 ，则由 可知， . 所以， ，所以 ，故C项 正确； 对于D项，因为 ，所以 ，所以 . ①当 时，则有 . 令 ，则 在 上恒成立， 所以 在 上单调递增，所以 恒成立， 所以，方程 在 上无解，即 不存在； ②当 时，则有 . 令 ，则 在 上恒成立， 所以 在 上单调递减，所以 恒成立， 所以，方程 在 上无解，即 不存在. 综上所述， 均不为 ，故D项正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：由已知求出直线 与 的方程，根据已知，结合对数函数的性质 以及对数运算性质，即可得出 ，进而得到 . 24．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）利用“ ”可得到许多与n（ 且 ）有关的结论，则正确的是（ ） A． B．C． D． 【答案】ABD 【分析】先证明出 ，当且仅当 时，等号成立，A选项，令 ， 得到 ，累加后得到A正确；B选项，推导出 ， ，当且仅当 时等号成立，令 ，可得 ，累加后得到B 正确；C选项，推导出 ，累加后得到C错误；D选项，将 中的 替换为 ，推导出 ，故 ，当且仅当 时，等 号成立，累加后得到D正确. 【详解】令 ，则 ， 当 时， ，当 时， ， 故 在 上单调递减，在 上单调递增， 故 在 处取得极小值，也时最小值， ， 故 ，当且仅当 时，等号成立， A选项，令 ，所以 ， 故 ， 其中 ，所以 ，A正确； B选项，将 中的 替换为 ，可得 ， ， 当且仅当 时等号成立， 令 ，可得 ， 所以 ， 故 ， 其中 所以 ，B正确； C选项，将 中的 替换为 ，显然 ， 则 ， 故 ， 故 ，C错误； D选项，将 中的 替换为 ，其中 ， ，则 ， 则 ，故 ，当且仅当 时，等号成立， 则 ，D正确. 故选：ABD 【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数 的不 等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证 明的目的. 25．（2023春·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学校考开学考试）已知直线分别与函数 和 的图象交于点 ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】A选项，看出 与 互为反函数，确定 也关于 对称，求出 ， 两点关于 对称， ， ， ， A选项，利用基本不等式进行证明；B选项，得到 ， ， ，构造 ， ，求导得到其单调性，从而求出 ； C选项，由基本不等式得到 ，构造 ，求导得到其单 调性，得到 ，得到 ；D选项，先根据 得到 ，再用作差法比较大小. 【详解】 与 互为反函数，即两函数关于 对称， 而 与 垂直，故 也关于 对称， 联立 ，解得： ， 故 ， 两点关于 对称，即 ， 且 ， 不妨设 ， ， 画出图象如下： A选项， ，当且仅当 ，即 时等号成立， 又 ，故等号取不到，A正确； 因为 ，所以 ，所以 ， 因此 ，故 ， 又 为 与 的交点，故 ， 所以 ，令 ， ， 其中 在 上恒成立， 故 在 上单调递增， 所以 ，B正确； 因为 ， ， 所以 ，因此有 ，设 ， ， 因为 ，所以 ，因此 在 上单调递增， 当 时，有 ，即 ， 因此 ，C错误； 因为 ，所以 ， 所以 ， 即 ，D正确. 故选：ABD 【点睛】互为反函数的两个函数的性质：①反函数的定义域和值域分别为原函数的值 域与定义域； ②严格单调的函数存在反函数，但有反函数的函数不一定是单调的（比如反比例函 数）； ③互为反函数的两个函数关于 对称， ④奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也时奇函数； ⑤如果一个函数图象关于 对称，那么这个函数一定存在反函数，并且其反函数就 是它本身. 三、填空题 26．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）若 是定义在 上的 奇函数，且 是偶函数，当 时， ，则 __________. 【答案】【分析】由奇、偶函数和周期函数的定义，可得 的最小正周期，结合对数的运算 性质可得答案． 【详解】解：由 是定义在 上的奇函数， 为偶函数， 可得 ， ，即 ， 所以 ，可得 ， 则 的最小正周期为4， 当 时， ， 则 ． 故答案为： ． 27．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）若实数 ，且 ， 则 ______. 【答案】0 【分析】由 ，可得 ，据此可得答案. 【详解】因 ，则 ， ， 又由换底公式推论可得 ，设 ，则 ， 故 ， 由换底公式，则 . 故答案为：0 28．（2023·山东济宁·统考一模）已知函数 且 的图象过定点A，且点 A在直线 上，则 的最小值是______. 【答案】 【分析】求出函数所过的定点 ，则有 ，则 ，则，化简整理，分离常数再结合基本不等式求解即可. 【详解】函数 且 的图象过定点 ， 则 ，所以 ， 由 ，得 ， 则 令 ，则 ， 则 ， 当且仅当 ，即 ，即 时，取等号， 所以 的最小值是 . 故答案为： . 29．（2023·山西·校联考模拟预测）已知实数 ， 满足 ，则 的取值范围是___________. 【答案】 【分析】将等式化为 ，设 ，利用导数研究函数的 单调性，根据函数的单调性可得 ，代入 可得 ，利用导数求 其值域即可.【详解】因为 ， 所以 ， 设 ，则 ， 所以函数 在 上单调递增， 所以 ， 所以 ， ， 设 ， 则 ， 当 时， ，函数 在 上单调递增， 当 时， ，函数 在 上单调递减， 又 ， ， 当 时， ，当 时， ， 当 时， ，当 且 时， ， 所以函数 的值域为 ， 所以 的取值范围为 . 故答案为： . 【点睛】关键点睛：解决的关键在于将条件等式化为同构形式，利用函数的性质化简 已知条件，再结合函数性质求目标函数的值域. 30．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）意大利数学家斐波那契 年~ 年）以兔子繁殖数量为例，引人数列： ，该数列从第三项起，每一 项都等于前两项之和，即 ，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为 ．设 是不等式 的正整数解，则 的最小值为__________． 【答案】8 【分析】将不等式 化为 ，即 ，再根据斐波那契数列为递增数列，且 ， 可得答案. 【详解】由 ，得 ， 得 ，得 ， 得 ， ， 所以 ， 令 ，则数列 即为斐波那契数列， ，则 ，显然数列 为递增数列且 ，所以数列 亦为递增 数列， 由 ，得 ， ， ， ， ， ， 因为 ， ， 所以使得 成立的 的最小值为8． 故答案为： . 【点睛】关键点点睛：根据斐波那契数列的通项公式，利用对数知识将不等式化为斐 波那契数列进行求解是本题解题关键.