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第14 讲 抛体运动 目录 01 考情解码·命题预警2 02 体系构建·思维可视.........................................................................................................................3 03 核心突破·靶向攻坚.........................................................................................................................4 考点一 平抛运动规律及应用.........................................................................................................4 知识点1 平抛运动......................................................................................................................................4 知识点2 平抛运动规律...............................................................................................................................6 考向1 单体平抛运动..................................................................................................................................9 考向2 多体平抛运动.........................................................................................................................10 考点二 斜面或圆弧面上的平抛运动............................................................................................11 考向2 圆弧面上的平抛运动............................................................................................................18 【思维建模】平抛运动与两类曲面结合问题的求解思路 考点三 平抛运动的临界、极值问题...........................................................................................19 知识点1、常见的“临界术语”................................................................................................19 知识点2、平抛运动临界、极值问题的分析方法......................................................................20 考向1 物体达到最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度........................................20 考向2 物体的速度方向恰好沿某一方向时.............................................................................21 考点四 斜抛运动...........................................................................................................................21 知识点1 斜抛运动....................................................................................................................................22 知识点2 斜抛运动基本规律.............................................................................................................22 考向1 斜抛运动基本规律的理解和应用................................................................................................25 考向2 三维空间的斜抛运动....................................................................................................................26 考向3 斜面上的斜抛运动.................................................................................................................27 .............................................................................................................................................................................30 04 真题溯源·考向感知........................................................................................................................29 考点要求 考察形式 2025 年 2024 年 2023 年 平抛运动基本规 律及应用 选择题 非选择题 云南卷T3，4 分 安徽卷T14，14 分 安徽卷T7，4 分 海南卷T3，4 分 湖北卷T3，4 分 福建卷T1，3 分 浙江卷1 月卷T8，1 分 浙江卷6 月卷T3，2 分 全国甲卷T14，6 分 全国新课标T24，10 分 平抛运动与斜 面、圆面结合问 题 选择题 非选择题 山东卷T12，4 分 斜抛运动 选择题 非选择题 福建卷T8，4 分 江苏卷T4，3 分 江西卷T9，4 分 湖南卷T2，4 分 \ 考情分析： 1.命题形式：单选题非选择题 2.命题分析：高考对这部分内容的考查，大多以选择题的形式出现，通常情况下难度不大,会以实际生活中 的例子作为试题背景，重点考查平抛运动，主要有以下形式：平抛运动与斜面结合；平抛运动与圆弧面结 合；平抛运动与实际情景结合；平抛运动与图像结合等。斜抛运动近几年考查有增加趋势。考查形式主要 有：斜抛运动与实际结合；斜抛运动与图像结合；斜抛运动与功能结合、抛体运动与动量冲量结合、考虑 空气阻力的抛体运动等。 3.备考建议：本讲内容备考时候，关键掌握平抛运动和斜动运动规律及与斜面结合问题，多关注时事热点 和实际生活情境，把问题放到真实情境中去理解。 4.命题情境： ①生活实践类：日常生活的水管，农业生产、体育运动的球类(如足球、垒球、网球、乒乓球、排球 等)，滑雪； ②学习探究类：对平抛运动的研究，子弹测速度。 5.常用方法：比值定义法、极限法 复习目标： 1.理解平抛运动、斜抛运动的概念及运动性质。 2.掌握抛体运动的规律，会用运动的合成与分解的方法处理抛体运动、类抛体运动。 3.学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题 考点 一 平抛运动规律 应用 及 知识点1 平抛运动 1．定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动。 2．运动性质：平抛运动是加速度为g 的匀变速曲线运动，其运动轨迹是抛物线。 3．研究方法 运动的合成与分解。 —— (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：自由落体运动。 知识点2 平抛运动规律 1.平抛运动基本规律 运动分解图示 速度关系 位移关系 两个重要推论 (1)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻，设其速度方向与水平方向的夹角 为θ，位移方向与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan_α (2)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此 时水平位移的中点，则x＝2OB 2.平抛运动 间和 平 时 水 射程 运动 时间 由t＝ 知，运 取决于下落高度 动 间 时 h，与初速度v0无关 水平 射程 x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h 共同决定 知识点3 和 的 规律 ．速度 位移 变化 速度 变化 规律 ①任一时刻的速度水平分量均等于初速度v0 ②任一相等时间间隔Δt 内的速度变化量方向竖直向下，大小Δv＝Δvy＝gΔt 位移 变化 规律 ①任一相等时间间隔内，水平位移相同，即Δx＝v0Δt ②连续相等的时间间隔Δt 内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝gΔt2 考向1 单体平抛运动 例1 （2025·广东汕头·三模）飞镖扎气球是一种民间娱乐游戏项目，其示意图如图甲所示，靶面 竖直固定， 点为镖靶中心， 水平、 竖直，靶面图如图乙所示。若每次都在空中同 一位置 点水平射出飞镖，且 三点在同一竖直平面，忽略空气阻力。关于分别射 中靶面 三点的飞镖，下列说法错误的是（ ） A．射中 点的飞镖射出时的速度最小 B．射中 点的飞镖射出时的速度最小 C．射中 点的飞镖空中飞行时间最长 D．射中 、 两点的飞镖空中飞行时间相等 【答案】AB 【详解】飞镖做平抛运动，由平抛运动的特点有 联立解得 因为 可知飞镖射中O、P 两点的飞镖空中飞行时间相等，射中Q 点的飞镖空中飞行时间最长， 即 又因为 则有 可知平抛初速度最小的是射中Q 点的，所以AB 错误，符合题意，CD 正确，不符合题意。 故选AB。 【变式训练1·变载体】．（2025·河北石家庄·三模）如图为水流导光实验，已知出水 口的横截面积为 ，出水口中心到水池水面的竖直高度为0.8m，水柱在水面 的落点中心到出水口的水平距离为0.4m，水的密度为 ，g 取10m/s2。假设 水落到水面后竖直速度立即减为0，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ） A．水离开出水口时的速度大小为0.5m/s B．水离开出水口时的速度大小为1.0m/s C．落水对水面竖直方向的冲击力大小为0.12N D．落水对水面竖直方向的冲击力大小为1.2N 【答案】BC 【详解】AB．根据平抛运动的规律 ， 可得v0=1.0m/s 选项A 错误，B 正确； CD．在∆t 时间内流出水的质量 落地时的竖直速度 由动量定理 解得F=0.12N 选项C 正确，D 错误。 故选BC。 【变式训练2·变类平抛】（2025·海南·三模）如图所示，风洞实验室可以产生竖直向上 的恒定风力。在风洞中O 点将一个质量为m=1kg 的小球以初速度v0=4m/s 水平向右抛出， 一段时间后小球经过右上方的P 点。已知OP=5m，OP 与水平方向的夹角为θ=37°， sin37°=0.6，重力加速度g 取10m/s2。求： (1)小球到P 点时的速度大小； (2)小球从O 到P 的过程中恒定风力的冲量大小； (3)小球从O 到P 的过程中到OP 的最远距离。 【答案】(1) (2)16N∙s (3)0.6m 【详解】（1）根据题意可知小球做类平抛运动，设经过时间t 运动到P 点，则 水平向右做匀速直线运动，则 代入数据得 竖直向上做初速度为零的匀加速直线运动 代入数据得 到P 点时竖直方向的速度 小球在P 点时的速度 （2）设恒定风力为F，竖直方向根据牛顿第二定律得 代入数据得 小球从O 到P 的过程中恒定风力的冲量 （3）小球的运动可以分解为沿OP 方向和垂直OP 方向，如图所示 垂直OP 方向的初速度 垂直OP 方向的加速度 设垂直OP 方向的速度减为0 时的位移为x，则 小球从O 到P 的过程中离OP 的最远距离0.6m。 考向2 多体平抛运动 例2 如图所示，A、B 两个小球在同一竖直线上，离地高度分别为2h 和h，将两球水平抛出后，不计空气 阻力，两球落地时的水平位移分别为s 和2s。重力加速度为g，则下列说法正确的是( ) A.A、B 两球的初速度大小之比为1 4∶ B.A、B 两球的运动时间之比为1∶ C.两小球运动轨迹交点的水平位移为s D.两小球运动轨迹交点的离地高度为h 【答案】 D 【解析】 小球做平抛运动，竖直方向有H＝gt2，解得t＝，则A 球运动时间tA＝＝，B 球运动时间tB＝， 所以tA∶tB＝∶1；由x＝v0t 得v0＝，结合两球落地时位移之比xA∶xB＝1 2∶，可知A、B 两球的初速度之比为 1 2∶，故A、B 错误；两球相交时，水平方向位移相同，因此有vAtA′＝vBtB′，B 球下落高度hB＝gtB′2，A 球下 落的高度hA＝gtA′2，hA＝h＋hB，联立各式得hB＝h，tB′＝，则两小球运动轨迹交点的高度为h－h＝h，两小 球运动轨 迹交点的水平位移xB′＝vBtB′，2s＝vB，联立解得xB′＝，C 错误，D 正确。 【变式训练1·变考法】如图甲所示，投壶是中国传统礼仪和宴饮游戏，《礼记传》中提到：“投壶，射之 细也。宴饮有射以乐宾，以习容而讲艺也”。两同学用小球代替箭玩投壶游戏，两人从同一竖直线上不同 高度的两位置沿水平方向分别抛出a、b 两个小球，两小球从壶口同一位置落入壶中，入壶瞬间速度方向 如图乙所示。两小球均可视为质点，空气阻力可忽略不计。a、b 两小球相比较，下列说法正确的是 （ ） A．小球a 初速度较大 B．小球a 被抛出时离地高度大 C．小球a 在空中运动的时间长 D．小球a 在空中运动过程中速度变化量较大 【答案】A 【详解】AC．设速度方向与水平方向夹角 （锐角），水平位移s，初速度 ，有 由乙图可知 则 由于 二者水平位移相等，则 故A 正确，C 错误； B．根据 则小球b 被抛出时离地高度大，故B 错误； D．根据速度变化量 则小球b 在空中运动过程中速度变化量较大，故D 错误。 故选A。 考点 二 与斜面 圆弧面有关的平抛运动 或 知识点 平抛运动与斜面组合问题 已知条件 情景示例 解题策略 已知速 度方向 从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图所 示。 已知速度的方向垂直于斜面 分解速度tan θ＝＝ 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆 弧形轨道，如图所示。 已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度tan θ＝＝ 已知位 移方向 从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示。 已知位移的方向沿斜面向下 分解位移tan θ＝＝＝ 在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图 所示。 分解位移tan θ＝＝＝ 已知位移方向垂直斜面 利用位 移关系 从圆心处水平抛出，落到半径为R 的圆弧 上，如图所示。 已知位移大小等于半径R 从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径 为R 的圆弧上，如图所示。 已知水平位移x 与R 的差的平方与竖直位移的 平方之和等于半径的平方 考向1 与斜面有关的平抛运动问题 例2 ．（2025·湖南长沙麓山外国语实验中学·一模）北京举办冬奥会以后，人们参与滑雪运动的热情高涨。 如图所示，滑雪滑道由弯曲滑道和斜面雪道组成。滑雪爱好者从弯曲滑道顶端静止滑下，从弯曲滑道末端 A 点飞出，飞出后将落到斜面雪道上的C 点，斜面雪道的倾角为 ，B 点为从A 到C 运动过程的最高点。 运动过程空气阻力的方向总是与速度方向相反，关于滑雪爱好者从A 运动到C 的过程，下列判断正确的是 （ ） A．滑雪爱好者做匀变速曲线运动 B．滑雪爱好者在B 点时的动能最小 C．滑雪爱好者可能在B、C 之间的某个位置动能最小 D．滑雪爱好者在B 点时到斜面的距离最远 【答案】C 【知识点】斜面上的平抛运动、应用动能定理解多段过程问题 【详解】A．滑雪爱好者从A 运动到C 的过程，受到与速度方向相反的空气阻力，所以滑雪爱好者不是做 匀变速曲线运动，故A 错误； BC．因为重力方向不变竖直向下，而受到空气阻力总与速度方向相反，满足从B 运动到C 的过程中某个 位置重力与阻力的合力方向与速度方向垂直，在此位置前重力与阻力的合力对滑雪爱好者做负功，动能不 断减少，在此位置后重力与阻力的合力对滑雪爱好者做正功，动能开始增大，所以滑雪爱好者可能在B、 C 之间的某个位置动能最小，故B 错误，C 正确； D．由数学知识过轨迹作与斜面平行的切线，交点D，可知滑雪爱好者在D 点时到斜面的距离最远，故D 错误。 【思维建模】 方法总结 平抛运动与斜面结合的三种模型 模型 处理 方法 分解速度 分解速度 分解位移 运动 时间 由tan θ＝＝得t＝ 由tan θ＝＝得t＝ 由tan θ＝＝＝得t＝ 从斜面上某点水平抛出，又落到斜面上的平抛运动 两种 特殊 状态 落回斜面的时刻 速度与斜面平行的时刻 处理 方法 分解位移 分解速度 运动 特征 ①位移偏转角度等于斜面倾角 θ； ②落回斜面上时速度方向与斜面 的夹角与初速度大小无关，只与 斜面的倾角有关； ③落回斜面上时的水平位移与初 ①竖直分速度与水平分速度的比 值等于斜面倾角的正切值； ②该时刻是运动全过程的中间时 刻； ③该时刻物体距斜面最远 速度的平方成正比，即x∝v 运动 时间 由tan θ＝＝得t＝ 由tan θ＝＝得t＝ 【变式训练1·变载体】2025·海南·三模）如图所示，将质量为m 的小球从倾角为 的斜面顶端以 速度 沿水平方向抛出，忽略空气阻力，斜面足够长。已知重力加速度为g，对于小球落 到斜面前的运动，以下说法正确的是（ ） A．小球的速度与斜面平行时最小 B．小球的速度变化越来越快 C．小球从抛出到落在斜面上所用时间为 D．经时间 ，小球动能为 【答案】C 【详解】A．小球落到斜面前的运动为平抛运动，速度一直在增大，所以刚抛出时的速度 最小，故A 错误； B．小球在空中的加速度为重力加速度，所以小球的速度变化快慢恒定不变，故B 错误； C．小球从抛出到落在斜面上，有 解得所用时间为 故C 正确； D．经时间 ，小球的竖直分速度为 则此时小球动能为 故D 错误。 故选C。 【变式训练2·变考法】（2025·湖南长沙田家炳实验中学·一模）如图所示，在倾角为θ 的斜面顶 端有一压缩的弹簧，弹簧将一个小球弹射出去，若小球从斜面水平抛出的初动能为E1，小球落到斜面上的 动能为E2，小球落到斜面瞬间的速度方向与水平方向的夹角为α。不计空气阻力，下列说法正确的是（ ） A．E1越大，α 越小 B．α 的大小与E1大小无关 C． D． 【答案】BD 【知识点】斜面上的平抛运动、动能的定义和表达式 【详解】小球在飞行过程中，水平方向有 竖直方向有 又 ， 故 故α 的大小与E1大小无关；又 ， 得 落到斜面的条件是 故选BD。 考向2 与圆弧面有关的平抛运动问题 例2（如图所示，半径为R 的半球形碗固定于水平面上，碗口水平，O 点为碗的圆心，A、B 为水平直径的 两个端点。将一弹性小球(可视为质点)从A 点沿AB 方向以初速度v1水平抛出，小球与碗内壁碰撞一次后 恰好经过B 点；若将该小球从离O 点R 处的C 点以初速度v2水平抛出，小球与碗内壁碰撞一次后恰好返回 C 点。假设小球与碗内壁碰撞前后瞬间小球的切向速度不变，沿半径方向的速度等大反向，则v2与v1的比 值为( ) A．2 B. C. D. 【答案】B 【解析】小球从A 点以初速度v1向右平抛，反 后 弹 经过B 点，由 称性知小球与碗内壁的碰撞点 在碗的 应 对 最低点，由平抛运 的 律有 动 规 R＝v1t1，R＝gt1 2，解得v1＝；小球从C 点以初速度v2向右平抛，要使小球能反 回 弹 C 点，小球必 垂直打在 弧上， 圆 须 如 所示 图 碰撞点 设 为D， 接 连 OD，即 平抛 迹 为 轨 过D 点的切 ， 线过D 点作DE⊥AB 于E，则O 小球平抛水平位移的 为 中点，有ED＝gt2 2，CO＝OE＝v2t2，在Rt△ODE 中，有(ED)2＋(OE)2＝R2，解得v2＝，可得＝，故选B。 解题技巧 平抛运动与两类曲面结合问题 (1)物体平抛后落入圆弧内时，物体平抛运动的水平位移、竖直位移与圆弧半径存在一定的数量关系。 (2)物体平抛后落入抛物面内时，物体平抛运动的水平位移、竖直位移与抛物线方程结合可以建立水平 方向和竖直方向的关系方程。 【变式训练1·变情境】.如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面满足的数学关系式为y＝x2(x＞0)，在y 轴上有一点P，坐标为(0,6 m)。从P 点将一可看成质点的小球水平抛出，初速度为1 m/s。则小球第一次打 在曲面上的时间为(不计空气阻力，g 取10 m/s2)( ) A．1 s B. s C. s D. s 【答案】 A 【解析】 小球 设 经过时间t 打在曲面上M 点，M 点坐标为(x1，y1)，小球水平抛出后做平抛运 ，在水平方 动 向上，有x1＝v0t，在 直方向上，有 竖 6 m－y1＝gt2，又小球打在曲面上， 足数学关系式 则满 y1＝x1 2，代入数据 立解得 联 t＝1 s，故A 正确，B、C、D 错 。 误 考点三 平抛运动的临界、极值问题 知识点1 平抛运动的“临界术语” (1)题目中有“刚好”“恰好”“正好”“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程 中存在临界点。 (2)题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值。 识点1 平抛运动的临界、极值问题的分析方法 (1)确定研究对象的运动性质； (2)根据题意确定临界状态； (3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图； (4)应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解。 考向1 物体达到最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度 例1．（2025.·山东省济南市高三一模）如图所示，弹珠发射器（可视为质点）固定于足够高的支架顶端， 支架沿着与竖直墙壁平行的方向以速度v1水平运动，同时弹珠发射器可在水平面内沿不同方向发射相对发 射器速度大小为v2（v2>v1）的弹珠。弹珠从发射到击中墙壁的过程中水平方向位移为x，竖直方向位移为 y。已知发射器到墙壁的垂直距离为L，重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ） A. x 的最小值为 B. x 的最小值为 C. y 的最小值为 D. y 的最小值为 【答案】C 【解析】 弹珠在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，当v2垂直竖直墙壁射出时，弹珠 运动时间最短 y 的最小值为 ，C 项正确，D 项错误；由于 则弹珠水平方向的合速度可以垂直竖直墙壁，合速度大小为 此时x 的最小值为L，A、B 项错误。 【变式训练1·变情境】（2025.·安徽省合肥市合肥皖智高级中学高三第二次阶段性检测）如图1 为一个网 球场的示意图，一个网球发球机固定在底角处，可以将网球沿平行于地面的各个方向发出，发球点距地面 高为1.8m，球网高1m。图2 为对应的俯视图，其中 ， 。按照规则，网球发出后不触网 且落在对面阴影区域（包含虚线）内为有效发球。图中虚线为球场的等分线，则发球机有效发球时发出网 球的最小速率为（忽略一切阻力 重力加速度g=10m/s2）（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】当发球机有效发球且发出网球的速率最小时，球应恰好到达有效区域的边缘，如图所示 网球从A 点发出后落在C 点。网球从A 点发出后，在竖直方向做自由落体运动，有 ，解得 若网球恰不触网，则有 解得 网球在水平方向上做匀速直线运动，即 因 与 为相似三角形，则有 因 、 ，可得 ， 则发球机有效发球时发出网球的最小速率为 ，A 项正确。 考向2 物体的速度方向恰好沿某一方向时 例2．(多选)2024 年1 月7 日，全国单板及自由式滑雪坡面障碍技巧锦标赛开赛。运动员(可视为质点)从A 点由静止滑下，到达B 点后水平飞出，落到斜面上的C 点，不计一切摩擦和空气阻力。已知A、B 两点的 高度差为h，BC 段斜面与水平面之间的夹角为θ，重力加速度为g，则下列说法中正确的是( ) A．运动员从A 点由静止滑下后到达B 点时的速度大小为2 B．运动员从B 点运动到C 点所用的时间为 C．B、C 两点之间的距离为 D．运动员在空中的运动速度方向与斜面平行时，与斜面之间的距离最大 【答案】BD 【解析】： 运动员从高为h 的A 点由静止滑下，到达B 点后水平飞出，根据动能定理，可得mgh＝mv2， 解得v＝，A 错误；设C 点与B 点之间的距离为s，运动员在空中做平抛运动，有scos θ＝vt，ssin θ＝ gt2，联立解得t＝，s＝，B 正确，C 错误；把运动员在空中的运动分解成沿斜面向下的初速度为vcos θ、 加速度大小为gsin θ 的匀加速直线运动，和垂直斜面向上的初速度为vsin θ、加速度大小为gcos θ 的匀减 速直线运动，当垂直斜面的分速度减到0 时，即速度方向与斜面平行时运动员离斜面最远，D 正确。 考点四 斜抛运动 知识点1 斜抛运动的基本概念 1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。 2．性质：斜抛运动是加速度为g 的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。 3．研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：匀变速直线运动。 知识点2 斜抛运动的基本规律 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x 轴的正方向，竖直向上为y 轴的正方向，建立如图所示 的平面直角坐标系xOy。 (1)初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cos θ)t vx＝v0x＝v0cos θ 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2 vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt (2)当斜抛物体落点位置与抛出点等高时 ①射高：h＝＝。 ②斜抛运动的飞行时间：t＝＝。 ③射程：s＝v0cos θ·t＝＝， 对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝。 考向1 斜抛运动的理解与应用 例1 （2025·重庆·三模）用题图甲所示的足球发球机在球门正前方的 、 两个相同高度的 位置发射同一足球，情景如题图乙所示，两次足球都水平击中球门横梁上的同一点，不 计空气阻力。则（ ） A．两次击中横梁的速度相同 B．足球两次运动的速度变化量相同 C．从 位置发射的足球初速度较大 D．从 位置发射的足球在空中的运动时间长 【答案】B 【详解】A．将足球发射到水平击中球门横梁，看成逆向的平抛运动，根据平抛运动规律 有 ， 解得 由于两次的水平位移不相等，高度相等，所以两次的水平分速度不相等，即两次击中横 梁的速度不相同，故A 错误； BD．根据 ，由于两次足球在空中的高度相等，所以两次足球在空中的运动时间 相等，再根据 ，则足球两次运动的速度变化量相同，故B 正确，D 错误； C．足球发射的初速度大小为 ，由于两次高度相等，所以两次足球发射的初 速度竖直分量相等，由于从B 位置发射的足球水平位移较小，则从B 位置发射的足球水 平分速度较小，从B 位置发射的足球初速度较小，故C 错误。 故选B。 【变式训练1】（2025·河南·三模）在篮球比赛中，运动员将篮球斜向上抛出，若篮球在运动过 程中所受空气阻力大小与其速率成正比，方向与篮球运动方向相反。则该篮球从抛出到 运动至最高点的过程中（ ） A．运动轨迹为抛物线 B．加速度大小一定变小 C．速率先变小后变大 D．在最高点加速度大小等于重力加速度大小 【答案】B 【详解】AC．如图所示 篮球在上升至最高点的过程中，受重力和空气阻力，两个力均做负功，故速率v 变小， 则阻力 逐渐减小，所以合力是变力，所以其运动不是匀变速曲线运动，轨迹不是抛物线，故AC 错误； B．由于阻力f 的方向与重力mg 方向间的夹角逐渐变大，且阻力变小，重力不变，根据 平行四边形定则可知合力变小，则由牛顶第二定律可知加速度变小，故B 正确； D．篮球在最高点处，速度沿水平方向，仍受空气阻力作用，故合力大于重力，加速度大 于重力加速度，故D 错误。 故选B。 【变式训练2】2025·辽宁·三模）如图所示，辽篮某球员在比赛中进行投篮。已知A、B、C 是 篮球运动轨迹中的三个点，其中A 为球抛出点，B 为球运动轨迹的最高点，C 为球落入篮 框的点，且A、B 连线垂直于B、C 连线，A、B 连线与水平方向的夹角为 ， 不计空气阻力。则篮球从A 到B 与从B 到C 的运动时间之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将篮球从A 到B 运动的逆过程与从B 到C 运动的过程看作两个平抛运动，将AB 过程沿水平和竖直方向分解，如图所示 水平方向则有 竖直方向则有 由几何知识可得 解得 同理可得 故 根据数学知识 ， 解得 则 故 故选B。 考向2 三维空间的斜抛运动 例2 （2025·河南郑州·三模）如图甲，某景观喷泉正以喷头为中心，在同一竖直面内向各个 方向以相同大小的初速度将水喷出，落到水平湖面上，空气阻力忽略不计。以喷头为坐 标原点O，水平方向为x 轴，竖直方向为y 轴建立坐标系，如图乙所示。已知图乙中实曲 线为部分水流的轨迹，虚曲线为水流的包络线（与所有水流的轨迹均相切的曲线），虚 曲线的方程为 。取重力加速度 ，则（ ） A．水喷出时速度大小为 B．水喷出后在空中飞行的最长时间为 C．水流飞行的最大水平位移为 D．水平位移最大的水流在空中的时间为 【答案】D 【详解】A．由题可知，当 时，则有 结合竖直上抛运动规律 联立解得 A 错误； B．根据 ，可知最高点对应得时间最长，故有 根据抛体运动得对称性可得，水喷出后在空中飞行的最长时间为 B 错误； C．当 时，可得水平位移最大为 解得 C 错误； D．设水流抛出时，速度方向于水平方向的夹角为 ，根据运动的分解可得水平位移 竖直方向上则有 根据运动得对称性可得 联立可得 由数学知识可知， 时，即 水平位移最大，故水平位移最大的水流在空中 的时间为 D 正确。 故选D。 【变式训练1】 （2025·四川乐山·三模）如图1 所示是某款小游戏，物体需要从平台A 跳跃到前方更高的平 台B 上。假设不同的操作方式会使物体的运动轨迹出现如图2 所示的两种情况，则由图2 可推断出（ ） A．轨迹甲的起跳速度较大 B．轨迹乙的运动时间较长 C．两条轨迹最高点速度相同 D．两条轨迹起跳瞬间重力的功率相同 【答案】D 【详解】B．轨迹甲乙做斜抛运动，可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖 直上抛运动。由于两种情况下在竖直方向都做竖直上抛运动，且上升的最大高度相同， 都落到同一水平面上，所以它们在空中运动的时间相等，故B 错误； AC．由于轨迹甲和乙落地点的距离不同，且它们在空中运动的时间相等，根据水平方向 的匀速直线运动规律可知，轨迹乙水平方向的初速度分量较大，即乙轨迹最高点速度大， 上升高度相等，竖直初速度也相等，根据速度的合成可知，轨迹乙初速度较大，故AC 错 误； D．由图可知轨迹甲乙上升的高度相同，竖直分速度相同，根据瞬时功率表达式 可知两条轨迹起跳瞬间重力的功率相同，故D 正确。 故选D。 考向3 斜抛运动与斜面结合问题 例3（2025·湖南长沙·三模）从一倾角θ=30°的斜面顶端抛出一个小球，小球的初速度大小为 ，方向与水平方向成α=45°，在斜面底端放置一足够长的竖直挡板，小球抛出后直接打 到挡板，反弹后垂直打在斜面上。重力加速度为g，不计空气阻力，小球与挡板的碰撞为 弹性碰撞，即垂直挡板方向的速度大小不变方向反向，竖直方向速度不变，则与挡板碰 撞一次后打在斜面上的落点与抛出点的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】小球做斜抛运动，初速度在水平方向分解为 初速度在竖直方向分解为 设档板位于 ，碰到档板时间为 碰到档板竖直方向位移为 根据题意，水平速度反向，竖直速度不变，有 ， 设反弹后落到斜面的时间为 ，反弹后水平位移为 反弹后竖直方向位移为 由 联立解得 落点与抛出点的距离为 联立解得 故选A。 【变式训练1】（2025·河南新乡·三模）如图所示，两个倾角相同的斜面固定在水平面上， 斜面底端紧靠在一起，将小球从左侧斜面上的A 点垂直左侧斜面斜向上抛出，小球恰落 到右侧斜面上与A 点等高的B 点。已知斜面的倾角均为θ，A、B 两点到水平面的高度均 为h，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球从A 点抛出时的速率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】小球以初速度 做斜抛运动，如图 由几何关系得 小球从A 点到B 点水平方向做匀速直线运动，可得 竖直方向做匀变速直线运动，则 解得 由平抛运动规律得 由几何关系得 故选A。 【变式训练2】（2025·河北张家口·三模）一科技小组设计了一个多挡位的弹簧枪，在一个倾角 为 、足够长的斜面上进行测试。如图所示，将枪与水平面成一定角度固定在斜面底端， 用第一挡发射时弹簧对弹丸做功为 ，落点与发射点间距为 ，落到斜面上时弹丸速度 恰好水平；用第二挡发射时弹簧对弹丸做功为 ，落点与发射点间距为 ，落到斜面 上时弹丸速度与斜面夹角为 ，弹簧枪的长度及空气阻力不计。下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】用第一挡发射时弹簧对弹丸做功为 ，设弹丸的质量为 ，弹丸的初速度大小 为 ，则 弹丸初速度方向与地面的夹角大小为 ， 弹丸在空中运动时间为，第一挡发射时落到 斜面上时弹丸速度恰好水平，弹丸做平抛运动的逆运动，则水平方向 竖直方向 ， 则 可知弹丸竖直方向为零时，都落在斜面上，即 弹丸上升的最大高度 则 又 ，则 所以 故选B。 1．（2025·云南·高考真题）如图所示，某同学将两颗鸟食从O 点水平抛出，两只小鸟分别在 空中的M 点和N 点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平 面内，则（ ） A．两颗鸟食同时抛出 B．在N 点接到的鸟食后抛出 C．两颗鸟食平抛的初速度相同 D．在M 点接到的鸟食平抛的初速度较大 【答案】D 【详解】AB．鸟食的运动视为平抛运动，则在竖直方向有 由于hM < hN，则tM < tN，要同时接到鸟食，则在N 点接到的鸟食先抛出，故AB 错误； CD．在水平方向有x = v0t，如图 过M 点作一水平面，可看出在相同高度处M 点的水平位移大，则M 点接到的鸟食平抛的 初速度较大，故C 错误，D 正确。 故选D。 2.（2025·安徽·高考真题）如图，M、N 为固定在竖直平面内同一高度的两根细钉，间距 。一根长为 的轻绳一端系在M 上，另一端竖直悬挂质量 的小球， 小球与水平地面接触但无压力。 时，小球以水平向右的初速度 开始在竖 直平面内做圆周运动。小球牵引着绳子绕过N、M，运动到M 正下方与M 相距L 的位置时， 绳子刚好被拉断，小球开始做平抛运动。小球可视为质点，绳子不可伸长，不计空气阻力， 重力加速度g 取 。 (1)求绳子被拉断时小球的速度大小，及绳子所受的最大拉力大小； (2)求小球做平抛运动时抛出点到落地点的水平距离； (3)若在 时，只改变小球的初速度大小，使小球能通过N 的正上方且绳子不松弛，求 初速度的最小值。 【答案】(1) ， (2)4m (3) 【详解】（1）小球从最下端以速度v0抛出到运动到M 正下方距离为L 的位置时，根据机 械能守恒定律 在该位置时根据牛顿第二定律 解得 ， （2）小球做平抛运动时 ， 解得x=4m （3）若小球经过N 点正上方绳子恰不松弛，则满足 从最低点到该位置由动能定理 解得 3．（2024·福建·高考真题）先后两次从高为 高处斜向上抛出质量为 同一物体落于 ，测得 ，两轨迹交于P 点，两条轨迹最高点等高且距水平地面高为 ， 下列说法正确的是（ ） A．第一次抛出上升时间，下降时间比值为 B．第一次过P 点比第二次机械能少 C．落地瞬间，第一次，第二次动能之比为 D．第二次抛出时速度方向与落地瞬间速度方向夹角比第一次大 【答案】B 【详解】A．第一次抛出上升的高度为 故上升时间为 最高点距水平地面高为 ，故下降的时间为 故一次抛出上升时间，下降时间比值为 ，故A 错误； B．两条轨迹最高点等高，故可知两次从抛出到落地的时间相等为 故可得第一次，第二次抛出时水平方向的分速度分别为 由于两条轨迹最高点等高，故抛出时竖直方向的分速度相等为 由于物体在空中机械能守恒，故第一次过P 点比第二次机械能少 故B 正确； C．从抛出到落地瞬间根据动能定理 故落地瞬间，第一次，第二次动能之比为 ，故C 错误； D．根据前面分析可知两次抛出时竖直方向的分速度相同，两次落地时物体在竖直方向的分速度也相同， 由于第一次的水平分速度较小，物体在水平方向速度不变，故可知第一次抛出时速度与水平方向的夹角较 大，第一次落地时速度与水平方向的夹角也较大，故可知第一次抛出时速度方向与落地瞬间速度方向夹角 比第二次大，故D 错误。 故选B。 4．（2024·安徽·高考真题）在某地区的干旱季节，人们常用水泵从深水井中抽水灌溉农田，简化模型如图 所示。水井中的水面距离水平地面的高度为H。出水口距水平地面的高度为h，与落地点的水平距离约为 l。假设抽水过程中H 保持不变，水泵输出能量的 倍转化为水被抽到出水口处增加的机械能。已知水的密 度为 ，水管内径的横截面积为S，重力加速度大小为g，不计空气阻力。则水泵的输出功率约为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设水从出水口射出的初速度为 ，取时间内的水为研究对象，该部分水的质量为 根据平抛运动规律 解得 根据功能关系得 联立解得水泵的输出功率为 故选B。 5．（2024·海南·高考真题）在跨越河流表演中，一人骑车以25m/s 的速度水平冲出平台，恰好跨越长 的河流落在河对岸平台上，已知河流宽度25m，不计空气阻力，取 ，则两平台的高度 差h 为（ ） A．0.5m B．5m C．10m D．20m 【答案】B 【详解】车做平抛运动，设运动时间为，竖直方向 水平方向 其中 、 解得 故选B。 6．（2024·湖北·高考真题）如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。 设低处荷叶a、b、c、d 和青蛙在同一竖直平面内，a、b 高度相同，c、d 高度相同，a、b 分别在c、d 正上 方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到（ ） A．荷叶a B．荷叶b C．荷叶c D．荷叶d 【答案】C 【详解】青蛙做平抛运动，水平方向匀速直线，竖直方向自由落体则有 可得 因此水平位移越小，竖直高度越大初速度越小，因此跳到荷叶c 上面。 故选C。 7．（2024·全国·高考真题）福建舰是我国自主设计建造的首艘弹射型航空母舰。借助配重小车可以进行弹 射测试，测试时配重小车被弹射器从甲板上水平弹出后，落到海面上。调整弹射装置，使小车水平离开甲 板时的动能变为调整前的4 倍。忽略空气阻力，则小车在海面上的落点与其离开甲板处的水平距离为调整 前的（ ） A．0.25 倍 B．0.5 倍 C．2 倍 D．4 倍 【答案】C 【详解】动能表达式为 由题意可知小车水平离开甲板时的动能变为调整前的4 倍，则离开甲板时速度变为调整前的2 倍；小车离 开甲板后做平抛运动，从离开甲板到到达海面上时间不变，根据 可知小车在海面上的落点与其离开甲板处的水平距离为调整前的2 倍。 故选C。 8．（2024·江苏·高考真题）喷泉a、b 形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b 的（ ） A．加速度相同 B．初速度相同 C．最高点的速度相同 D．在空中的时间相同 【答案】A 【详解】A．不计空气阻力，在喷泉喷出的水在空中只受重力，加速度均为重力加速度，故A 正确； D．设喷泉喷出的水竖直方向的分速度为 ，水平方向速度为 ，竖直方向，根据对称性可知在空中运动 的时间 可知 D 错误； BC．最高点的速度等于水平方向的分速度 由于水平方向的位移大小关系未知，无法判断最高点的速度大小关系，根据速度的合成可知无法判断初速 度的大小，BC 错误； 故选A。 9．（2024·浙江·高考真题）如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍， 在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出 水口的速度大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设出水孔到水桶中心距离为x，则 落到桶底A 点时 解得 故选C。 10．（2023·浙江·高考真题）铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中运动 时的加速度大小a、速度大小v、动能Ek 和机械能E 随运动时间t 的变化关系中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A．由于不计空气阻力，铅球被水平推出后只受重力作用，加速度等于重力加速度，不随时间改 变，故A 错误； B．铅球被水平推出后做平抛运动，竖直方向有 则抛出后速度大小为 可知速度大小与时间不是一次函数关系，故B 错误； C．铅球抛出后的动能 可知动能与时间不是一次函数关系，故C 错误； D．铅球水平抛出后由于忽略空气阻力，所以抛出后铅球机械能守恒，故D 正确。 故选D。 11．（2023·湖南·高考真题）如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的 谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为 ，且轨迹交于 点， 抛出时谷粒1 和谷粒2 的初速度分别为 和 ，其中 方向水平， 方向斜向上。忽略空气阻力，关于两 谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（ ） A．谷粒1 的加速度小于谷粒2 的加速度 B．谷粒2 在最高点的速度小于 C．两谷粒从 到 的运动时间相等 D．两谷粒从 到 的平均速度相等 【答案】B 【详解】A．抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒1 的加速度等于谷粒2 的加速度，A 错误； C．谷粒2 做斜向上抛运动，谷粒1 做平抛运动，均从O 点运动到P 点，故位移相同。在竖直方向上谷粒2 做竖直上抛运动，谷粒1 做自由落体运动，竖直方向上位移相同故谷粒2 运动时间较长，C 错误； B．谷粒2 做斜抛运动，水平方向上为匀速直线运动，故运动到最高点的速度即为水平方向上的分速度。 与谷粒1 比较水平位移相同，但运动时间较长，故谷粒2 水平方向上的速度较小即最高点的速度小于 ， B 正确； D．两谷粒从O 点运动到P 点的位移相同，运动时间不同，故平均速度不相等，谷粒1 的平均速度大于谷 粒2 的平均速度，D 错误。 故选B。 12．（2023·全国·高考真题）一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运动过程 中（ ） A．机械能一直增加 B．加速度保持不变 C．速度大小保持不变D．被推出后瞬间动能最大 【答案】B 【详解】A．铅球做平抛运动，仅受重力，故机械能守恒，A 错误； B．铅球的加速度恒为重力加速度保持不变，B 正确； CD．铅球做平抛运动，水平方向速度不变，竖直方向做匀加速直线运动，根据运动的合成可知铅球速度 变大，则动能越来越大，CD 错误。 故选B。 13．（2023·浙江·高考真题）如图所示，在考虑空气阻力的情况下，一小石子从O 点抛出沿轨迹 运动， 其中P 是最高点。若空气阻力大小与瞬时速度大小成正比，则小石子竖直方向分运动的加速度大小 （ ） A．O 点最大 B．P 点最大 C．Q 点最大 D．整个运动过程保持不变 【答案】A 【详解】由于空气阻力大小与瞬时速度大小成正比，小石子在O 点时速度斜向上方，此时速度最大，空气 阻力斜向下方最大，上升过程与竖直方向夹角最小，故此时空气阻力分解在竖直方向最大，根据牛顿第二 定律可知此时竖直方向分运动的加速度最大。 故选A。 14．（2024·江西·高考真题）一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处．如图所示， 以小鱼跃出水面处为坐标原点，x 轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为 ，末速度v 沿x 轴正方向． 在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度 和 竖直方向分速度 与时间t 的关系，下列图像可能正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】AC．小鱼在运动过程中只受重力作用，则小鱼在水平方向上做匀速直线运动，即 为定值，则 有水平位移 故A 正确，C 错误； BD．小鱼在竖直方向上做竖直上抛运动，则 ， 且最高点时竖直方向的速度为0，故B 错误，D 正确。 故选AD。 15．（2024·山东·高考真题）如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20m/s，与水平 方向的夹角为30°，抛出点P 和落点Q 的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10m/s2，忽略空气 阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是（ ） A．运动时间为 B．落地速度与水平方向夹角为60° C．重物离PQ 连线的最远距离为10m D．轨迹最高点与落点的高度差为45m 【答案】BD 【详解】AC．将初速度分解为沿 方向分速度 和垂直 分速度 ，则有 ， 将重力加速度分解为沿 方向分速度 和垂直 分速度 ，则有 ， 垂直 方向根据对称性可得重物运动时间为 重物离PQ 连线的最远距离为 故AC 错误； B．重物落地时竖直分速度大小为 则落地速度与水平方向夹角正切值为 可得 故B 正确； D．从抛出到最高点所用时间为 则从最高点到落地所用时间为 轨迹最高点与落点的高度差为 故D 正确。 故选BD。 16．（2024·广西·高考真题）如图，在光滑平台上有两个相同的弹性小球M 和N。M 水平向右运动，速度 大小为v。M 与静置于平台边缘的N 发生正碰，碰撞过程中总机械能守恒。若不计空气阻力，则碰撞后， N 在（ ） A．竖直墙面上的垂直投影的运动是匀速运动 B．竖直增面上的垂直投影的运动是匀加速运动 C．水平地面上的垂直投影的运动速度大小等于v D．水平地面上的垂直投影的运动速度大小大于v 【答案】BC 【详解】由于两小球碰撞过程中机械能守恒，可知两小球碰撞过程是弹性碰撞，由于两小球质量相等，故 碰撞后两小球交换速度，即 ， 碰后小球N 做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，即水平地面上的垂直投影的运动速度大小等于v； 在竖直方向上做自由落体运动，即竖直地面上的垂直投影的运动是匀加速运动。 故选BC。 17．（2024·北京·高考真题）如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水 面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为 g，h 远大于管口内径。求： （1）水从管口到水面的运动时间t； （2）水从管口排出时的速度大小 ； （3）管口单位时间内流出水的体积Q。 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【详解】（1）水在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向 解得水从管口到水面的运动时间 （2）由平抛运动规律得，水平方向 解得水从管口排出时的速度大小 （3）管口单位时间内流出水的体积 18．（2023·全国·高考真题）将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方， 俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能 大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h 处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？ （不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g） 【答案】 【详解】石子做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，则有 可得落到水面上时的竖直速度 由题意可知 即 石子抛出速度的最小值为 。
