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第四章 曲线运动
（考试时间：100 分钟 试卷满分：90 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题，共48 分)
一、选择题(本题共12 小题，每小题4 分，共48 分。在每个小题给出的四个选项中，第1～8 小题，只有
一个选项符合题意；第9～12 小题，有多个选项符合题意，全部选对的得4 分，选对而不全的得2 分，错
选或不选的得0 分)
1.（2025·湖北省部分高中协作体高三一模）如图，容量足够大的圆筒竖直放置，水面高度为h，在圆筒侧
壁开一个小孔P，筒内的水从小孔水平射出，设水到达地面时的落点距小孔的水平距离为x，小孔P 到水
面的距离为y。短时间内可认为筒内水位不变，重力加速度为g，不计空气阻力，在这段时间内，下列说法
正确的是（ ）
A. 水从小孔P 射出的速度大小为
B y 越小，则x 越大
C. x 与小孔的位置无关
D. 当y =
，时，x 最大，最大值为h
.【答案】A
【详解】从小孔处水平射出的水在水平方向受到的作用力为
1
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F=pS=ρgyS（S 为小孔的面积）
在较短时间Δt 内，在水平方向由动量定理得FΔt=Δmv=ρv⋅ΔtSv
解得水从小孔P 射出的速度
故A 正确；水从小孔P 射出时做平抛运动，则x=vt
解得
可知x 与小孔的位置有关，由数学知识可知，当y=h-y，即y=
h 时x 最大，最大值为
h，故BCD 错误。
2.(2025·四川省成都市高三二诊）图
为记载于《天工开物》的风扇车，它是用来去除水稻等
农作物子实中杂质的木制传统农具。风扇车的工作原理可简化为图（b）模型：质量为
的杂质与质量为
的子实仅在水平恒定风力和重力的作用下，从同一位置
静止释放，若
小于
，杂质与子实受到
的风力大小相等。下列说法正确的是（ ）
A. 杂质与子实在空中做曲线运动
B. 杂质与子实在空中运动的时间相等
C. 杂质与子实落地时重力的瞬时功率相等
D. 杂质落地点与
点的水平距离小于子实落地点与
点的水平距离
.【答案】B
【详解】在水平恒定风力和重力
作用下，从同一位置
静止释放，所以杂质与子实在空中做初速度为零
的匀变速直线运动，故A 错误；杂质与子实在空中运动的时间相等，因为竖直方向两者均做自由落体运动，
2
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高度相同，故B 正确；杂质与子实落地时重力的瞬时功率
因为质量不同，所以功率不同，故C 错误；杂质的水平加速度
较大，水平方向位移
杂质落地点与
点的水平距离大于子实落地点与
点的水平距离，故D 错误。
3.（2025.·山东省青岛市质检）如图为曲柄连杆机构的结构示意图，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴
的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动。曲轴可绕固定的O 点做匀速圆周运动，连杆两端分别连接曲轴上的
A 点和活塞上的B 点，已知转速为2400r/min，OA=40cm，AB=1m。下列说法正确的是（ ）
A. OA 从竖直方向转到水平方向
过程中，活塞的速度逐渐增大
B. 当OA 在竖直方向时，活塞的速度大小为32πm/s
C. 当OA 与AB 垂直时，活塞的速度大小为32πm/s
D. 当OA 与AB 共线时，活塞的速度大小为32πm/s
【答案】.B
【详解】根据题意，活塞可沿水平方向往复运动，所以，OA 从竖直方向转到水平方向
过程中，活塞的
速度先增大后减小，故A 错误；由公式
可得，A 点线速度为
将A 点和活塞的速度沿杆和垂直杆分解，如图所示
由几何关系有可得
故B 正确；同理可知，A 点的速度沿杆方向，活塞的速度分解如图
3
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所以
由几何关系得
可得
，故C 错误；
同理可知，A 点在沿杆方向的分速度是0，所以活塞的速度为0，故D 错误。
型特点：沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。
4．（2025·广东省汕头市高三一模）凤仙花的果实成熟后会突然裂开，将种子以弹射的方式散播出去。如
图所示，多粒种子同时以相同速率向不同方向弹射，不考虑叶子的遮挡，忽略种子运动过程所受的空气阻
力。下列说法正确的是（ ）
A. 沿
方向弹出的种子，经过最高点
时速度为零
B. 若沿
方向弹出的种子与沿
方向水平弹出的种子运动轨迹相交于
点，则两颗种子在
点相撞
C. 沿不同方向弹出的种子到达地面时的速度大小相等
D. 位置越高的果实，弹射出的种子落地点离凤仙花越远
【答案】C
【详解】斜向上抛运动，在最高点速度方向水平，为初速度在水平方向的分量，不是零，故A 错误；同时
沿
方向弹出的种子与沿
方向水平弹出的种子运动轨迹相交于
点，沿
方向弹出的种子用时长，二者
4
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不能相撞，故B 错误；无论初速度
方向如何，由动能定理，有
落地速度均为
，故C 正确；位置越高的果实，弹射出的种子落地时间越长，但初速度方向
未知，所以落地点离凤仙花的距离不一定越远，故D 错误
5．（2025.·山东省青岛市联考） 如图所示，将一斜面体固定在水平地面上，两个小球P、Q 分别从图示位
置以大小相同的速度水平抛出，两个小球落到斜面上时，其速度方向均与斜面垂直。下列说法正确的是（
）
A. P、Q 两球在空中运动的时间之比为3∶4
B. P、Q 两球在空中运动的时间之比为4∶3
C. P、Q 两球在水平方向通过的距离之比为9∶16
D. P、Q 两球在竖直方向下落的距离之比为9∶16
【答案】
【详解】设两球水平初速度为v，末速度与水平方向的夹角为
，则
即
与成正比，故
故AB 错误；水平方向通过的距离为
可知水平位移与时间成正比，故为
故C 正确；竖直方向下落的距离为
竖直方向下落的距离与时间的平方成正比，故为
故D 错误。
5
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6．（2025.·广东省肇庆市高三一模）如图甲为一种名为“喊泉”的游乐设施，游客对着池边的话筒大声呼
喊时，水池中的喷口就会有水倾斜喷出（可认为水恰好从水面喷出）。如图乙，某次呼喊时，水柱在空中
的射高为11.25 m，已知喷口与水面的夹角为45°，重力加速度取10 m/s2，不计空气阻力。下列说法正确的
是（ ）
A. 在最高点的水的速率不为零
B. 在最高点的水的重力的瞬时功率不为零
C. 水在空中运动时先超重后失重
D. 水柱的水平射程为22.5 m
【答案】A
【详解】水喷出后做的是斜抛运动，竖直方向上做竖直上抛运动，由
可求得从射出到最高点的过程用时1.5 s，射出时水在竖直方向的分速度大小
水在水平方向做匀速直线运动，在水平方向的分速度大小
水在最高点时竖直方向的分速度变为0，只有水平方向的分速度15 m/s，A 正确；
在最高点时速度沿水平方向，与重力方向垂直，其重力的瞬时功率为零，B 错误；
水在空中的加速度一直向下，所以一直处于失重状态，C 错误；根据斜抛运动的对称性可知，水柱在空中
的运动时间为3 s，所以水平射程为
，D 错误。
7.（2025.·河北省保定市高三质检） 如图所示，某款自行车大齿轮总齿数为
，小齿轮总齿数为
，后轮
直径为D。某同学骑行时，匀速蹬脚踏板带动大齿轮每秒钟转N 圈，则自行车向前行驶的车速为（ ）
6
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A.
B.
C.
D.
.【答案】A
【详解】从小孔处水平射出的水在水平方向受到的作用力为
F=pS=ρgyS（S 为小孔的面积）
在较短时间Δt 内，在水平方向由动量定理得FΔt=Δmv=ρv⋅ΔtSv
解得水从小孔P 射出的速度
故A 正确；水从小孔P 射出时做平抛运动，则x=vt
解得
可知x 与小孔的位置有关，由数学知识可知，当y=h-y，即y=
h 时x 最大，最大值为
h，故BCD 错误。
8.
（2025.·山西省太原市高三一模）竖直细圆杆顶端附近有一小孔，光滑细绳穿过小孔，细绳两
端分别系有
、
两小球，已知
球质量小于
球质量。调节细绳并转动圆杆，使得两球与圆杆能以相
同角速度在水平面内匀速转动，下列图样大致正确的是（ ）
7
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A.
B.
C.
D.
【答案】C
【详解】设小孔到小球转动平面的竖直距离为h，细绳与竖直方向的夹角为
，根据小球在竖直方向上受
力平衡
两小球受到的细绳拉力大小相等，因为
，所以
，即
小球做圆周运动的半径为
根据小球所受合力提供向心力
解得
，两球一起做圆周运动，角速度相同，即，两球高度相同。选项C 正确。
8
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9.
（2025·广东省佛山市顺德区二模）如图为自行车车轮的气嘴灯原理图，气嘴灯由接触式开关
控制。其结构为弹簧一端固定在顶部A，另一端与重物连接，当车轮转动的角速度达到一定值时，重物拉
伸弹簧后使点M、N 接触，从而接通电路使气嘴灯发光。触点N 与车轮圆心距离为R，车轮静止且B 端在
车轮最低点时触点M、N 距离为0.05R。已知A 靠近车轮圆心、B 固定在车轮内臂，重物与触点M 的总质
量为m。弹簧劲度系数为k，重力加速度大小为g。不计接触式开关中的一切摩擦，重物和触点M、N 均视
为质点，则有（ ）
A. 相同转速下，重物质量大小对能否接通LED 灯没影响
B. 转速越大，重物质量越大，LED 灯越容易发光
C. 使得LED 灯发光的最小角速度为
D. 若气嘴灯在最低点能发光，同一转速下在最高点也一定能发光
【答案】BC
【详解】当气嘴灯在最低点时，根据牛顿第二定律可得
可知，角速度相同时，m 越大，弹簧伸长x 越大，灯越容易接通，同时角速度越大，x 越大，灯越容易接
通，故A 错误，B 正确；在最低点静止时有
当M、N 刚接触时有
，解得
故C 正确；在最高点，有
由此可知，弹簧
伸长量应小于最低点的伸长量，则气嘴灯不一定能发光，故D 错误
9
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10.（2025.·湖北省新八校协作体高三联考）清华大学科学博物馆复原的记里鼓车，又名大章车，如图甲所
示，晋《古今注》中记载：“大章车，所以识道里也，起于西京，亦曰记里车。车上为二层，皆有木人，
行一里，下层击鼓：行十里，上层击镯。”记里鼓车内部设置了三级齿轮机构，通过齿轮的啮合将车轮的
转动传递给车身上的木人，从而实现每隔一段距离击鼓和击镯，类似现代车辆的里程表。其原理如图乙所
示，立轮和足轮固定同一车轴上，立轮和下平轮通过齿轮啮合，下平轮和旋风轮固定在同一立轴上，旋风
轮和中平轮通过齿轮啮合，中平轮带动固定在同一轴上的上凸轮转动，固定在上凸轮边缘的拨片在转动过
程中拨动拉着小人手臂的细线，从而实现“击鼓记里”的目的。齿轮的齿数如图所示。下列说法正确的是
（ ）
A. 足轮每转动1 圈，下平轮就转动3 圈
B. 足轮每转动3 圈，旋风轮就转动1 圈
C. 旋风轮每转动100 圈，中平轮就转动3 圈
D. 足轮每转动100 圈，上凸轮就转动1 圈
【答案】BCD
【详解】由题中数据，根据
，立轮和下平轮的半径之比为
立轮和下平轮通过齿轮啮合，则线速度相等，根据
所以
立轮和足轮固定同一车轴上，所以角速度相等，则
足轮每转动1 圈，下平轮就转动1
3圈，故A 错误；下平轮和旋风轮固定在同一立轴上，所以角速度相等，
10
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则
足轮每转动3 圈，旋风轮就转动1 圈，故B 正确；由题中数据可知，中平轮和旋风轮的
半径之比为
旋风轮和中平轮通过齿轮啮合，线速度相等，则
旋风轮每转动100 圈，中平轮就转动3 圈，故C 正确；中平轮带动固定在同一轴上的上凸轮转动，所以角
速度相等，则
足轮每转动100 圈，上凸轮就转动1 圈，故D 正确。
11.(2025·山西省晋中市高三二模）如图所示，有一半径为R 的光滑圆槽组成的圆形轨道固定在某平板上。
在距圆心
处开有小孔Q，劲度系数为k 的轻弹性绳一端固定在孔正下方点P，另一端穿过小孔Q 固定
在质量为m 的小球上，弹性绳原长恰好等于
，将小球嵌在圆形轨道内，不计一切摩擦。已知弹性绳的
弹性势能
，x 为形变量，重力加速度为g，
共线。现在a 点给小球一沿轨道切线方向的速
度
，为使小球能绕圆形轨道不断地运动，
应满足的条件为（ ）
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A. 若平板平面水平，则
B. 若平板平面水平，则
C. 若平板平面竖直，且Q、a、P 在O 的正下方，则
D. 若平板平面竖直，且Q、a、P 在O 的正下方，则
【答案】AD
【详解】若平板平面水平，小球能绕圆形轨道不断地运动，小球运动到在水平轨道最左端时，有
，
根据能量守恒定律知
求得
故A 正确，B 错误；若平板平面竖直，且Q、a、P 在O 的正下方，小球能绕圆形轨道不
断地运动，则小球到达竖直轨道最高点时，且此时小球的速度
，根据能量守恒定律知
求得
故D 正确，C 错误。
12（2025·辽宁省辽南协作体高三一模）如图甲，固定在竖直面内的光滑圆形管道内有一小球在做圆周运
动，小球直径略小于管道内径，管道最低处N 装有连着数字计时器的光电门，可测球经过N 点时的速率
，最高处装有力的传感器M，可测出球经过M 点时对管道作用力F（竖直向上为正），用同一小球以
不同的初速度重复试验，得到F 与
的关系图像如图乙，c 为图像与横轴交点坐标，b 为图像延长线与纵
轴交点坐标，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（ ）
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A. 小球的质量为
B. 小球做圆周运动的半径为
C. 当小球经过N 点时满足
，则经过M 点时对内管道壁有压力
D. 若小球经过N 点时满足
，则经过M 点时对轨道无压力
.【答案】ABD
【详解】设小球的质量为
，做圆周运动的半径为
，从最高点
到最低点
，由动能定理得
，解得
小球经过M 点时，根据牛顿第二定律可得
联立可得
根据
图像的斜率和纵轴截距可得
联立解得
，故A、B 项正确；．由乙图可知，当
时，经过M 点时对管道作用
力
，
的方向为竖直向上，对外管道壁有压力，但对内管道壁无压力，故C 错误；由乙图可知，当
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时，球经过M 点时对管道作用力
，故D 正确。
第Ⅱ卷(非选择题，共52 分)
二、填空题(本题共2 小题，共14 分)
13．(6 分)（2025·1 月四川高考改革适应性演练测试）某学习小组使用如图所示的实验装置探究向心力大小
与半径、角速度、质量之间的关系若两球分别放在长槽和短槽的挡板内侧，转动手柄，长槽和短槽随变速
轮塔匀速转动，两球所受向心力的比值可通过标尺上的等分格显示，当皮带放在皮带盘的第一挡、第二挡
和第三挡时，左、右变速轮塔的角速度之比分别为1∶1，1∶2 和1∶3。
（1）第三挡对应左、右皮带盘的半径之比为_____。
（2）探究向心力大小与质量之间的关系时，把皮带放在皮带盘的第一挡后，应将质量_____（选填“相
同”或“不同”）的铝球和钢球分别放在长、短槽上半径_____（选填“相同”或“不同”）处挡板内侧；
（3）探究向心力大小与角速度之间的关系时，该小组将两个相同的钢球分别放在长、短槽上半径相同处
挡板内侧，改变皮带挡位，记录一系列标尺示数。其中一组数据为左边1.5 格、右边6.1 格，则记录该组数
据时，皮带位于皮带盘的第_____挡（选填“一”“二”或“三”）。
【答案】（1）3∶1 （2） ① 不同 ②. 相同 （3）二
【详解】（1）皮带传动线速度相等，第三挡变速轮塔的角速度之比为1∶3，根据v = ωr 可知，第三挡对
应左、右皮带盘的半径之比为3∶1。
（2）探究向心力大小与质量之间的关系时，需要保证两个物体做圆周运动的角速度相等、半径相等，质
量不同，所以应将质量不同的铝球和钢球分别放在长、短槽上半径相同处挡板内侧。
（3）根据Fn = mω2r，其中一组数据为左边1.5 格、右边6.1 格，则角速度平方之比为
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可知由于误差存在，角速度之比为
，可知皮带位于皮带盘的第二挡14．(8 分)（2025·山西省太原市质
检）为探究平抛运动的特点，某小组同学设计了如下图所示的实验：
A.在一块平木板上钉上复写纸和白纸，将其竖直紧靠斜槽轨道末端槽口，保持板面与轨道末端的水平段垂
直
B.使小球从斜槽上由静止滚下，小球撞击挡板留下点迹
C.将木板保持竖直沿水平方向向右平移一段距离
，固定木板
D.先后使小球从斜槽上由高到低不同
6 个位置由静止滚下，小球水平飞出后分别撞击木板留下点迹
E.以点迹
为坐标原点，竖直向下建立坐标轴，各点迹
坐标值从上到下依次分别为
、
、
、
、
、
。请回答下列问题：
（1）关于该实验，下列说法正确的是_____；
A. 斜槽轨道必须尽可能光滑
B. 小球初速度越大，对应的
值越大
C. 小球在斜槽上由静止释放的位置越高，平抛运动的时间越短
（2）用游标卡尺测量小球直径，如图所示，则小球直径为
_____
；
（3）已知当地的重力加速度为
，利用
轴上的6 组数据，结合
值、
值可分别算得小球6 次平抛运
15
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动的水平初速度。
对应的水平初速度可表示为_____（用
、
、
、
表示）；
（4）请分析：若轨道支架足够高，挡板足够长，小球撞击挡板的速度最小时，对应的
值为_____（用
、
表示）。
【答案】.（1）C （2）6.70 （3）
（4）
【详解】（1）为了让小球平抛运动的初速度相等，每次让小球从斜槽的同一位置由静止释放，斜槽轨道
不一定需要光滑，故A 错误；小球初速度越大，在水平方向上
小球在水平方向上的位移相同，即运动时间越短，在竖直方向上
所以对应的y 值越小，故B 错误；小球在斜槽上由静止释放的位置越高，平抛的初速度越大，根据B 选项
分析可知，平抛时间越短，故C 正确。
（2）由图可知，小球的直径为
（3）小球在水平方向上
在竖直方向上
解得
（4）小球在水平方向上
在竖直方向上
则小球的速度为
有数学知识可知，当
时小球的速度v 最小，此时小球运动时间为
16
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则对应的y 值为
三、计算题(本题共4 小题，共38 分。要有必要的文字说明和演算步骤。有数值计算的要注明单位)
15．(9 分)（2025.·安徽省合肥市合肥皖智高级中学第二次检测）“路亚”是一种钓鱼方法，用这种方法钓
鱼时先把鱼饵通过鱼线收到鱼竿末端，然后用力将鱼饵甩向远处。如图所示，钓鱼爱好者在a 位置开始甩
竿，鱼饵被甩至最高点b 时迅速释放鱼线，鱼饵被水平抛出，最后落在距b 水平距离s=16m 的水面上。已
知开始甩竿时鱼竿与竖直方向成53°角，鱼饵的质量为m=0.02kg。甩竿过程竿可视为在竖直平面内绕O 点
转动，且O 离水面高度h=1.6m、到鱼竿末端鱼饵的距离L=1.6m。鱼饵从b 点抛出后，忽略鱼线对其作用
力和空气阻力，重力加速度g 取10m/s2，已知sin53°=0.8，cos53°=0.6。求：
（1）鱼饵在b 点抛出时的速度大小；
（2）释放鱼线前，鱼饵在b 点受鱼竿作用力的大小和方向；
（3）从a 到b 的甩竿过程，鱼竿对鱼饵做的功W。
【答案】（1）20m/s；（2）4.8N，方向竖直向下；（3）4.128J
【详解】（1）鱼饵被甩至最高点b 时迅速释放鱼线，鱼饵被水平抛出，根据平抛运动的规律可得
联立解得
，
（2）释放鱼线前，鱼饵在b 点，由于
所以鱼饵受鱼竿作用力的方向竖直向下，根据牛顿第二定律可得
17
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解得
（3）从a 到b 的甩竿过程，根据动能定理可得
解得鱼竿对鱼饵做的功为
16．(9 分)（2025.·广东省东莞市东莞外国语学校一模）如图所示，倾角为
的光滑斜面体固定在水
平地面上，在斜面上同定一个光滑的半圆形挡板AEB，半径为
，其最低点A、最高点B 的切线水平，
AB 是半圆形挡板的直径，OE 垂直于边AB 和CD，斜面体右侧地面上有半径为
的半球形容器，
直径MN 和矩形BCQP 在同一竖直面内，M 点到BP 的水平距离为
。已知重力加速度
，忽略空气阻力，
，
，现让质量为m 的小球（可视为质点）从A
点以一定的水平速度滑进轨道。
（1）若小球恰好从B 点飞出，求通过B 点的速度大小；
（2）若小球从B 点以速度
飞出，要落入右边的容器中，则
需满足什么条件？
（3）若小球从A 点进入后运动到图中F 点（半圆形挡板与OC 的交点）时离开挡板，求经过F 点时的速度
大小
。（结果可带根号）
【答案】（1）
18
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（2）
（3）
【解析】
【小问1 详解】
当小球恰好从B 点飞出时，此时对轨道的压力N=0，如图甲所示
由牛顿第二定律可得
代人数据解得
【小问2 详解】
小球从B 点飞出后，做平抛运动，有
，
图像可知
联立解得
。
小问3 详解】
当小球从F 点离开挡板时，如图乙所示
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此时对轨道的压力
由牛顿第二定律可得
几何关系可知
代人数据，联立解得
17．(9 分)（2025·陕西西安长安区·一模） 如图所示，水平转台上有一个质量为
的物块，用长为的轻质
细绳将物块连接在转轴上，细绳与竖直转轴的夹角
，此时细绳伸直但无张力，物块与转台间的动
摩擦因数为
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块随转台由静止开始缓慢加速转动，重力加速度
为
，则：
（1）当水平转盘以角速度
匀速转动时，绳上恰好有张力，求
的值；
（2）当水平转盘以角速度
匀速转动时，求物块所受的摩擦力大小；
（3）当水平转盘以角速度
匀速转动时，求细绳拉力大小。
（4）若角速度从零开始缓慢增大，在坐标系中画出绳子的拉力
随
的变化关系图像，并标出相应的坐
标值。
【答案】（1）
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（2）
（3）
（4）见解析【详解】
【小问1 详解】
当水平转盘以角速度
匀速转动时，绳上恰好有张力，此时物块受到的静摩擦力达到最大，由牛顿第二定
律得
代入数据解得
【小问2 详解】
当水平转盘以
角速度匀速转动时，由于
，由静摩擦力提供向心力，则有
解得
【小问3 详解】
当支持力为零时，物块所需要的向心力由重力和细绳拉力的合力提供，由牛顿第二定律得
解得
当水平转盘以
角速度匀速转动时，由于
，物块已经离开转台在空中做圆周运动；设细
绳与竖直方向夹角为
，则有
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解得绳上的拉力大小为
【小问4 详解】
如图
。
18．(11 分)．（2025·福建省福州市高三二模）某科技小组参加了过山车游戏项目研究，如图甲所示，为了
研究其中
物理规律，科技组成员设计出如图乙所示的装置。
为弹性发射装置，
为倾角
的
倾斜轨道，
为水平轨道，
为竖直圆轨道，
为足够长的倾斜轨道，各段轨道均平滑连接。以
A 点为坐标原点，水平向右为
轴正方向，竖直向上为
轴正方向建立平面直角坐标系。已知滑块质量为
，圆轨道半径
，
长为
，
、
段动摩擦因数均为
，其余各段轨道均光滑。
现滑块从弹射装置
弹出的速度为
，且恰好从A 点沿
方向进入轨道，滑块可视为质点。重力加
速度
，
，
。求：
（1）求滑块从弹射装置
弹出时的坐标值；
（2）若滑块恰好能通过
点，求轨道
的长度；
（3）若滑块能进入圆轨道且不脱轨，求轨道
的长度；
（4）若轨道
的长度为
，试判断滑块在圆轨道是否脱轨；若发生脱轨，计算脱轨的位置。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
或
；（4）滑块在圆心以
上
处脱轨
【详解】（1）对滑块由
到A 的运动，根据平抛规律有
平抛运动的竖直方向有
解得
运动时间
则
即弹出时位置的坐标值为
（2）滑块恰好能通过
点，在最高点有
从
到圆轨道最高点，由动能定理得
联立解得
（3）滑块刚好不脱离轨道，有两种临界情况，一是刚好在圆轨道最高点压力为零时，二是刚好到达与圆
轨道圆心等高的地方。由（2）知，滑块刚好能够到达圆轨道最高点时
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滑块刚好到达与圆轨道圆心等高的地方时，从
到与圆心等高的位置，由动能定理得
解得
滑块从A 点切入后不脱离轨道时
的长度应满足
或
（4）由（3）知，
时，滑块在圆轨道发生脱轨，设脱轨地点和圆心的连线与水平方向的夹角为
，则脱轨时
从
到脱轨的位置，由动能定理得
联立解得
即滑块在圆心以上
处脱轨
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