文档文本内容
第17 讲 天体运动
目录
01
考情解码·命题预警2
02 体系构建·思维可视.........................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚.........................................................................................................................4
考点一 开普勒定律............................................................................................................................4
知识点1 开普勒定律..................................................................................................................................4
知识点2 开普勒定律的理解与应用...................................................................................................4
考向 开普勒定律......................................................................................................................................... 4
考点二 万有引力定律及应用............................................................................................................5
知识点1 万有引力定律及其应用..............................................................................................................5
知识点2 天体质量和密度的计算..............................................................................................................6
考向1 万有引力的基本应用.......................................................................................................................... 7
考向2 求天体质量和密度..................................................................................................................... 12
考点三 宇宙速度..............................................................................................................................15
知识点 第一、二、三宇宙速度...................................................................................................................15
考向 第一、二、三宇宙速度.......................................................................................................................16
考点四 卫星......................................................................................................................................19
知识点1 人造卫星........................................................................................................................................ 19
知识点2 卫星的变轨与对接问题........................................................................................................20
考向1 人造卫星............................................................................................................................................ 22
考向2 同步卫星、近地卫星以及赤道上的物体间的比较................................................................24
考向3 卫星变轨与对接问题........................................................................................................................ 25
考点五 双星及多星问题..................................................................................................................28
知识点1 双星问题........................................................................................................................................ 28
知识点2 多星问题................................................................................................................................28
考向1 双星问题............................................................................................................................................ 29
考向2 多星问题............................................................................................................................................ 31
考点六 天体的追及相遇问题..........................................................................................................34
知识点 天体的追及相遇问题................................................................................................................... 34
考向 天体的追及相遇问题...............................................................................................................35
考点七 星球“瓦解”问题、黑洞问题..........................................................................................37
知识点1 星球的“瓦解”........................................................................................................................37
知识点2 黑洞............................................................................................................................................37
考向1 自转稳定问题................................................................................................................................38
考向2 黑洞................................................................................................................................................39
04 真题溯源·考向感知.................................................................................................................40
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
开普勒定律
选择题
非选择题
\
全国甲卷，T16,6 分
\
万有引力定律
选择题
非选择题
四川卷T6,4 分
全国甲卷，T16,6 分
\
宇宙速度
选择题
非选择题
\
\
\
卫星
选择题
非选择题
四川卷T6,4 分
\
\
双星及多星问题
选择题
非选择题
\
\
\
天体的追及相遇
问题
选择题
非选择题
\
\
\
星球“瓦解”问
题、黑洞问题
选择题
非选择题
\
\
\
考情分析：
1．高考常考查天体运动，考查时大多以选择题的形式出现，难度不大，一般考察较为简单的开普勒、万有
引力定律等基础知识，但难一些的模型也不可忽视。
2．从命题思路上看，试题情景常为科研背景，涉及卫星等。
复习目标：
目标一：理解并能运用开普勒定律、万有引力定律。
目标二：熟悉卫星问题。
目标三：接触双星、追及、坍塌、黑洞等与天体运动有关的较为复杂的模型与问题。
考点一 开普勒定律
知识点1 开普勒定律
1.定律内容
（1）开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是 椭圆 ，太阳处在椭圆的一个 焦点 上。
（2）开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的 面积 相等。
（3）开普勒第三定律：所有行星轨道的 半长轴 的三次方跟它的 公转周期 的二次方的 比都相等
，即 a
3
T
2＝
k
。
2.适用条件：适用于宇宙中一切环绕同一中心天体的运动。
知识点2 开普勒定律的理解与应用
1.微元法解读开普勒第二定律：行星在近日点、远日点时的速度方向与两点连线垂直，若行星在近日点、
远日点到太阳的距离分别为a、b，取足够短的时间Δt，则行星在Δt 时间内的运动可看作匀速直线运动，
由Sa＝Sb知1
2va·Δt·a＝1
2vb·Δt·b，可得va＝vbb
a 。行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，反之
越大。
2.行星绕太阳的运动通常按匀速圆周运动处理。
3.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
4.开普勒第三定律a
3
T
2＝k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k 值不同，故该定律只能用
在绕同一中心天体公转的两星体之间。
考向 开普勒定律
例1 最近，一颗编号为“2024YR4”的小行星在网络上引起热议，因为它绕太阳运行的椭圆轨道与地球轨
道相交，在未来有可能与地球相撞。一旦撞击地球，威力大约相当于几百颗原子弹爆炸，会给地球造成毁
灭性的灾难。地球围绕太阳可近似认为是做匀速圆周运动，已知地球围绕太阳运行的轨道半径与运行周
期。关于小行星“2024YR4”，下列说法正确的是（ ）
A．小行星在靠近太阳运行时速率越来越小
B．太阳位于小行星椭圆轨道的中心
C．已知小行星的运行周期就能计算出它的轨道半长轴
D．已知小行星的运行周期就能计算出它的轨道半短轴
【答案】C
【详解】A．题目中已经告诉了小行星的运行轨道为椭圆，小行星围绕太阳运行的速度大小是变化的，靠
近太阳运行时速率越来越大，远离太阳运行时速率越来越小，故A 错误；
B．太阳位于椭圆轨道的焦点上而不是位于椭圆轨道的中心，故B 错误；
CD．因为地球围绕太阳运行的轨道半径和周期已知，根据开普勒第三定律，再知道小行星的运行周期就能
计算出它的轨道半长轴，故C 正确，D 错误。
故选C。
【变式训练1】（多选）（2025·四川内江·高三月考）根据德国天文学家开普勒的行星运动三定律，下
列说法正确的是（ ）
A．所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的中心
B．行星在椭圆轨道上运动时，任意相等的时间内走过的弧长都相等
C．由开普勒第二定律可知，行星离太阳越近，速度越大
D．开普勒第三定律公式a
3
T
2 =k中的k 值，只与中心天体有关
【答案】CD
【详解】A．所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的焦点上，选项A 错误；
B．行星在椭圆轨道上运动时，任意相等的时间内与太阳的连线扫过的面积都相等，选项B 错误；
C．由开普勒第二定律可知，行星离太阳越近，速度越大，选项C 正确；
D．开普勒第三定律公式a
3
T
2 =k中的k 值，只与中心天体有关，选项D 正确。
故选CD。
考点二 万有引力定律及应用
知识点1 万有引力定律及应用
1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与 物体的质量
m 1
和
m 2的乘积 成正比、与 它们之间距离
r 的二次方
成反比。
2.公式：F＝
G
m1m2
r
2
，其中G 叫作引力常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，其值由卡文迪什通过
扭秤实验测得。
3.公式的适用条件：计算两个 质点 间的万有引力。
4.万有引力理论的主要成就
（1）发现未知天体。
（2）计算天体质量。
5.万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F 向，如图所
示。
（1）在赤道上：G Mm
R
2 ＝mg1＋mω2R。
（2）在两极上：G Mm
R
2 ＝mg0。
（3）在一般位置：万有引力G Mm
R
2 等于重力mg 与向心力F 向的矢量和。
越靠近两极，向心力越小，g 值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于
重力，即GMm
R
2
＝mg。
6.星体表面及上空的重力加速度（以地球为例）
（1）地球表面附近的重力加速度g（不考虑地球自转）：mg＝G Mm
R
2 ，得g＝GM
R
2 。
（2）地球上空的重力加速度g'
地球上空距离地球中心r＝R＋h 处的重力加速度g'：mg'＝
GMm
（R＋ℎ）
2 ，得g'＝
GM
（R＋ℎ）
2 。
知识点2 天体质量和密度的计算
一、
天体
度
利用
表面重力加速
g 和天体半径R 计算
1.由G Mm
R
2 ＝mg，得天体质量M＝g R
2
G 。
2.天体密度ρ＝M
V ＝
M
4
3 π R
3＝
3 g
4 π GR 。
二、利用运行天体的轨道半径r 和周期T 计算
1.由G Mm
r
2 ＝m4 π
2
T
2 r，得M＝4 π
2r
3
GT
2 。
2.若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝M
V ＝
M
4
3 π R
3＝3 π r
3
GT
2 R
3。
3.若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r 等于天体半径R，则天体密度ρ＝3 π
GT
2，故只要测出卫星环
绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
考向1 万有引力的基本应用
例1（2025·四川德阳·高三月考）万有引力公式F =G m1m2
r
2
中的万有引力常量G 的单位，用国际单位制
中的基本单位表示正确的是（ ）
A．N ⋅m
2
kg
2
B．m
3
kg⋅s
2
C．N⋅kg
2
m
2
D．N
kg
【答案】B
【详解】根据万有引力公式 F = Gm1m2
r
2
解得G = F r
2
m1m2
根据牛顿第二定律F =ma
力F 的单位是 kg⋅m
s
2
；
距离r 的单位为m；
质量m1的单位是kg；
质量m2的单位是kg；
解得G 的单位为m
3
kg⋅s
2
故选B。
例2（2025·四川泸州·高三月考）如图所示，“嫦娥六号”由“轨返组合体P”和“着上组合体Q”组成。经
多次变轨后在离月面高ℎ1的圆轨道上做匀速圆周运动。在适当位置P、Q 分离，Q 受到与运动方向相反的
冲量而减速，之后Q 沿椭圆轨道飞行，择机在离月面高ℎ2的近月点，启动发动机调整姿态后缓慢着月。
已知月球半径为R，月球质量为M，万有引力常量为G。根据以上信息（ ）
A．能求出“嫦娥六号”在圆轨道上的运行速率
B．能求出“嫦娥六号”受到月球的万有引力
C．可判断Q 在近月点的速率小于远月点的速率
D．不能求出Q 在椭圆轨道上运动的周期
【答案】A
【详解】A．由题知，“嫦娥六号”在圆轨道上运行的轨道半径为r = R+ℎ1
根据万有引力提供向心力，则有G Mm
r
2 =m v
2
r
解得v = ❑√
GM
r
= ❑√
GM
R+ℎ1
故A 正确；
B．“嫦娥六号”受到月球的万有引力为F =G Mm
r
2 =G
Mm
(R+ℎ1)
2
由于不知道嫦娥六号”质量，故无法求“嫦娥六号”受到月球的万有引力，故B 错误；
C．Q 沿椭圆轨道飞行，根据开普勒第二定律，可知Q 在近月点的速率大于远月点的速率，故C 错误；
D．由题知，“嫦娥六号”在圆轨道上的运行的轨道半径为r = R+ℎ1
根据万有引力提供向心力，则有G Mm
r
2 =m(
2π
T 1)
2
r
解得T 1=2π
❑√
r
3
GM =2π
❑√
(R+ℎ1)
3
GM
由几何关系可知椭圆的半长轴为a= ℎ1+2 R+ℎ2
3
根据开普勒第三定律r
3
T 1
2 = a
3
T 2
2
因“嫦娥六号”在圆轨道上的周期T 1可以求出，故嫦娥六号”在椭圆轨道上的周期T 2也可以求出，故D 错
误。
故选A。
【变式训练1】（2025·四川遂宁·高三月考）如图甲所示，两个半径均为R、质量均为M 的均匀球体靠在
一起，与两球心相距均为2R 的质点m 受到两球对它的万有引力的合力F1。现紧贴球的边缘各挖去一个半
径为R
2 的球形空穴，如图乙所示，挖去后，质点m 受到的合引力为F2，则（ ）
A．F2＝7
9F1
B．F2＝4
9 F1
C．F2＝5
9F1
D．F2＝2
9F1
【答案】A
【详解】把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和。两个完整的均质球
体对球外质点m 的引力这个引力为
F1=2G Mm
(2 R)
2 cos30
∘=
❑√3GMm
4 R
2
此力可以看成是挖去球穴后的剩余部分对质点的引力F2与两个半径为R
2 的小球对m 质点的引力F
′之和，
即
F1= F2+ F
′
根据
M = ρV = 4
3 ρπ R
3
半径为R
2 的小球质量为
M
′ = ρV
′ = 4
3 ρπ( R
2 )
3
= M
8
两个半径为R
2 的小球对m 质点的引力为
F
′ =2G
M
′ m
( R+ R
2 )
2 cos30
∘=
❑√3GMm
18 R
2
挖去球穴后的剩余部分对球外质点m 的引力为
F2= F1−F
′ = 7 ❑√3GMm
36 R
2
= 7
9 F1
故选A。
【变式训练2】2021 年5 月15 日7 时18 分，天问一号探测器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆
区，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功。火星探测器着陆火星时，就可以用下面方法测量的火星的
半径：先让飞船在火星引力的作用下在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动，记下环绕一周所用的时间
T，然后回到火星表面，从高h 处自由落下一个小球，记录小球下落的时间t，由此可测得火星的半径为（
）
A．
T
ℎ
8 π
2t
B．ℎT
2
8 π
2t
2
C．ℎT
❑
2π
2t
D．ℎT
2
2π
2t
2
【答案】D
【详解】因为飞船在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动时，满足
G Mm
R
2 =m 4 π
2 R
T
2
又在天体表面满足
G Mm
R
2 =mg
又由自由落体运动规律得
ℎ= 1
2 gt
2
联立解得
R = ℎT
2
2π
2t
2
故选D。
【变式训练3】（2024·全国·高三月考）我国2022 年发射的“夸父一号”卫星，它的运行轨道设定在距地
面高度约为ℎ=720km的太阳同步晨昏轨道。已知地球的半径为R，地球极地表面重力加速度为g0，则下
列说法正确的是（ ）
A．“夸父一号”与地球静止卫星虽然运行高度不同，但运行周期相同
B．“夸父一号”的运行线速度大小为v = R
❑√
g0
R+ℎ
C．太空中运行的航天器处于完全失重状态，所以“夸父一号”搭载的科学仪器不再受重力作用
D．“夸父一号”所处位置的重力加速度大小为
R
R+ℎg0
【答案】B
【详解】A．根据开普勒第三定律
C = R
3
T
2
可知“夸父一号”与地球静止卫星运行高度不同，轨道半径不同，运行周期不同，故A 错误；
B．根据万有引力与重力的关系
G Mm
R
2 =m g0
根据万有引力提供向心力
G
Mm
( R+ℎ)
2 =m
v
2
R+ℎ
解得“夸父一号”的运行线速度大小为
v = R
❑√
g0
R+ℎ
故B 正确；
C．太空中运行的航天器处于完全失重状态，“夸父一号”搭载的科学仪器仍受重力作用，故C 错误；
D．根据牛顿第二定律
G
Mm
( R+ℎ)
2 =mg
解得“夸父一号”所处位置的重力加速度大小为
g=(
R
R+ℎ)
2
g0
故D 错误。
故选B。
【变式训练4】（2025·四川凉山·高三月考）2025 年1 月16 日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者
几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周
运动，火星与地球绕太阳运动的周期之比约为3 ❑√3:2❑√2，如图所示。根据以上信息可以得出（ ）
A．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最小
B．火星与地球的公转轨道半径之比约为❑√3:❑√2
C．火星与地球绕太阳公转的向心加速度大小之比约为4 9∶
D．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为4 9∶
【答案】C
【详解】A．当火星与地球相距最远时，两者的速度方向相反，此时相对速度最大，选项A 错误；
B．根据开普勒第三定律r 火
3
r地
3 = T 火
2
T 地
2
可得火星与地球的公转轨道半径之比约为
r 火
❑
r地
❑= 3
2
选项B 错误；
C．根据ma= GmM
r
2
，a= GM
r
2
火星与地球绕太阳公转的向心加速度大小之比约为
a火
a地
= r地
2
r 火
2 = 4
9
选项C 正确；
D．火星和地球的质量和半径关系均未知，不能比较火星与地球表面的自由落体加速度大小关系，选项D
错误。
故选C。
【变式训练5】（多选）（2025·四川成都·高三月考）我国“天问二号”小行星探测器计划于2025 年5 月
发射，主要任务是对近地小行星2016HO3 开展伴飞、探测并取样返回。假设“天问二号”小行星探测器在
小行星的静止轨道上运行时速度为v，公转周期为T，降落在小行星表面采样时发现同一样品在赤道时的
重力是其在北极时重力的9
10倍。已知小行星的两极加速度为g，引力常量为G，则下列说法正确的是（
）
A．小行星的质量为v
3T
2Gπ
B．小行星的质量为v
3T
Gπ
C．小行星半径为gT
2
40 π
2
D．小行星半径为9 gT
2
40 π
2
【答案】AC
【详解】AB．小行星探测器在小行星的静止轨道上运行时速度为v，公转周期为T，则有G Mm
r
2 =m v
2
r ，
T = 2πr
T
解得M = v
3T
2Gπ ，故A 正确，B 错误；
CD．小行星的两极加速度为g，则有G Mm
R
2 =mg
由于同一样品在赤道时的重力是其在北极时重力的9
10倍，则有G Mm
R
2 = 9
10 mg+m 4 π
2
T
2 R
解得R = gT
2
40 π
2，故C 正确，D 错误。
故选AC。
考向2 求天体质量和密度
例1（2025·四川巴中·高三月考）已知地球半径为R，月球半径为r，地球与月球球心之间的距离为L，月
球绕地球公转的周期为T1，地球自转的周期为T2，地球绕太阳公转周期为T3，假设公转运动都视为圆周运
动，引力常量为G，由以上条件可知（ ）
A．地球的质量为m地=
4 π
2 L
3
GT 3❑
2
❑
❑
B．月球的质量为m月= 4 π
2 L
3
GT 1
2
C．地球的密度为ρ= 3 π L
3
G R
3T 1
2
D．月球运动的加速度为a= 4 π
2 L
GT 1
2
【答案】C
【详解】AC．月球绕地球做圆周运动，由万有引力提供向心力G m地m月
L
2
=m月4 π
2
T 1
2 L
解得地球的质量为m地= 4 π
2 L
3
GT 1
2
又知地球的体积V = 4
3 π R
3
则地球的密度为ρ= m地
V = 3 π L
3
GT 1
2 R
3
故A 错误，C 正确。
B．根据万有引力定律而列出的公式可知月球质量将会约去，所以无法求出月球的质量，故B 错误；
D．月球绕地球做圆周运动，由万有引力提供向心力G m地m月
L
2
=m月a=m月4 π
2
T 1
2 L
解得月球运动的加速度为a= 4 π
2 L
T 1
2
故D 错误。
故选C。
【变式训练1】（2025·四川成都·高三月考）我国航空航天技术已居于世界前列。如图所示，飞行器P 绕某
星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ。已知万有引力常量G，下列说法正确的是（ ）
A．轨道半径越大，向心加速度越大
B．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度
C．若测得周期和张角，可得到星球的质量
D．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度
【答案】B
【详解】A．根据牛顿第二定律有G Mm
r
2 =ma
解得a= GM
r
2
可知轨道半径越大，向心加速度小，故A 错误；
BC．设星球的质量为M，半径为R，平均密度为ρ，张角为θ，飞行器的质量为m，轨道半径为r，周期为
T。对于飞行器，根据万有引力提供向心力得G Mm
r
2 =m(
2π
T )r
解得星球质量M = 4 π
2r
3
GT
2
根据几何关系有r =
R
sin θ
2
星球的平均密度
ρ=
M
4
3 π R
3 =
3 π
GT
2(sin θ
2)
3
可知若测得周期和张角，因星球的半径和轨道半径均未知，则不能得到星球的质量，但可得到星球的平均
密度，故B 正确，C 错误；
D．根据星球的平均密度
ρ=
3 π
GT
2(sin θ
2)
3
若测得周期和轨道半径，不能得到星球的平均密度，故D 错误。
故选B。
【变式训练2】（2025·四川成都·高三月考）在天文学上，太阳的半径、体积、质量和密度都是常用的物理
量，利用小孔成像原理和万有引力定律，可以简捷的估算太阳的密度。如图，在地面上某处，取一个长
L=100cm的圆筒，在其一端封上厚纸，中间扎直径为1mm 的圆孔，另一端封上一张画有同心圆的薄白纸，
最小圆的半径为2.0mm，相邻同心圆的半径相差0.5mm，当作测量尺度；再用目镜（放大镜）进行观察。
把小孔正对着太阳，调整圆筒的方向，使在另一端的薄白纸上可以看到一个圆形光斑，这就是太阳的实像。
为了使观察效果明显，可在圆筒的观测端蒙上遮光布，形成暗室。若测得光斑的半径为r0= 4.6 mm（小于
圆筒半径），试根据以上数据估算太阳的密度为（ ）（已知：G =6.67×10
−11N ⋅m
2/kg
2，一年约为
T =3.2×10
7s，取π=3.14）
A．1.4×10
2kg/ m
3
B．1.4×10
3kg/ m
3
C．1.4×10
4kg/ m
3
D．1.4×10
5kg/ m
3
【答案】B
【详解】设太阳质量为M、半径为R、体积为V、平均密度为ρ，地球质量为m、日地距离为r，由万有引
力定律和牛顿运动定律可以知道G Mm
r
2 =m 4 π
2
T
2 r，M = 4
3 π R
3 ρ
由图中的几何关系可近似得到r
R = L
r0
联立计算得ρ= 3 π
GT
2(
L
r0)
3
代入数据得ρ≈1.4×103kg/m3
故选B。
【变式训练3】中国新闻网宣布：在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星。某同学想根据平时收集的部分火
星资料（如图所示）计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较。下列计算火星密度的公式错误的
是（引力常量G 已知，忽略火星自转的影响）（ ）
火星-Mars
火星的小档案
直径d=6779km
质量M=6.4171×1023kg
表面的重力加速度g0=3.7m/s2
近地卫星的周期T=3.4h
A．ρ= 3 g0
2πGd
B．ρ= g0T
2
3 πd
C．ρ= 3 π
GT
2
D．ρ= 6 M
π d
3
【答案】B
【详解】设近地卫星的质量为m，火星的质量为M，对近地卫星，火星的万有引力提供其做匀速圆周运动
的向心力，则有
GMm
(
d
2)
2 = m4 π
2
T
2
⋅d
2
可得
M = π
2d
3
2GT
2
可得火星的密度为
ρ=
M
4
3 π(
d
2)
3 = 6 M
π d
3
将
M = π
2d
3
2GT
2
代入上式可得
ρ= 6 M
π d
3 =
6 π
2d
3
2GT
2
π d
3
= 3 π
GT
2
又火星对近地卫星的万有引力近似等于近地卫星的重力，则有
m g0=G Mm
(
d
2)
2
解得
M = g0d
2
4G
因此火星的密度为
ρ=
M
4
3 π(
d
2)
3 =
g0d
2
4G
1
6 π d
3 = 3 g0
2πGd
故ACD 正确，B 错误。
此题选择错误选项，故选Ｂ。
考点三 宇宙速度
知识点 第一、二、三宇宙速度
1.第一宇宙速度
（1）定义：第一宇宙速度是在地面附近发射飞行器，使飞行器成为绕地球运动的人造地球卫星的最小
发射 速度，也是飞行器环绕地球运动的最大 环绕 速度。
（2）大小：地球第一宇宙速度大小为
7.9
km/s。
（3）第一宇宙速度的计算方法
由Gmm地
R
2
＝mv
2
R ，解得v＝ ❑√
G m地
R
；
由mg＝mv
2
R ，解得v＝ ❑√gR 。
得分速记
第一宇宙速度是人造卫星绕地球表面做匀速圆周运动的速度，也是发射卫星的最小速度（轨道半径越小，
发射速度越小）和卫星绕地球运行的最大速度（轨道半径越大，运行速度越小）。
2.第二宇宙速度
在地面附近 发射飞行器，使飞行器挣脱 地球 引力束缚，永远离开地球的最小发射速度，其数值为
11.2
km/s。
3.第三宇宙速度
在地面附近发射飞行器，使飞行器挣脱 太阳 引力束缚，飞到太阳系外的最小发射速度，其数值为
16.7
km/s。
卫星的发射速度与运动轨道的关系
1.v 发＝7.9 km/s 时，卫星绕地球做匀速圆周运动。
2.7.9 km/s＜v 发＜11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。
3.11.2 km/s≤v 发＜16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。
4.v 发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
考向 第一、二、三宇宙速度
例1（2025·四川德阳·高三月考）北斗三号导航卫星系统由三种不同轨道的卫星组成，即24 颗地球中圆轨
道卫星（轨道形状为圆形，轨道半径在3 万公里与1000 公里之间）、3 颗地球同步轨道卫星和3 颗倾斜地
球同步轨道卫星。（同步卫星离地高度约为5.6R 地，R 地=6.4×103km）则关于地球中圆轨道卫星，下列说法
正确的是（ ）
A．比地球同步轨道卫星的线速度大
B．比地球同步轨道卫星的角速度小
C．比地球同步轨道卫星的周期大
D．线速度大于第一宇宙速度
【答案】A
【详解】A．由万有引力提供向心力G Mm
r
2 =m v
2
r
解得v = ❑√
GM
r
地球中圆轨道卫星轨道半径小于同步卫星轨道半径，因此比地球同步轨道卫星的线速度大，故A 正确；
B．同理，可得角速度公式ω= ❑√
GM
r
3
地球中圆轨道卫星轨道半径小于同步卫星轨道半径，因此比地球同步轨道卫星的角速度大，故B 错误；
C．由周期公式T =
❑√
4 π
2r
3
GM
地球中圆轨道卫星轨道半径小于同步卫星轨道半径，因此比地球同步轨道卫星的周期小，故C 错误；
D．第一宇宙速度是近地轨道（r = R地）的环绕速度v1= ❑√
GM
R地
。地球中圆轨道卫星轨道半径大于地球半
径，其线速度小于第一宇宙速度，故D 错误。
故选A。
例22022 年10 月，中国成功发射“夸父一号”先进天基太阳天文台卫星，可全年不间断对日观测。该卫
星在距地面720km 的近似圆形轨道上绕地运行，周期为99min。下列说法正确的是（ ）
A．“夸父一号”卫星受到的向心力一定大于地球静止卫星受到的向心力
B．“夸父一号”卫星的发射速度大于7.9km/s小于11.2km/s
C．“夸父一号”卫星的角速度小于地球自转的角速度
D．“夸父一号”卫星的线速度小于地球静止卫星的线速度
【答案】B
【详解】A．卫星质量未知，所受向心力无法比较，故A 错误；
B．第一宇宙速度7.9km/s是发射绕地卫星的最小速度，第二宇宙速度11.2km/s是卫星离开地球飞向太阳
的最小发射速度，“夸父一号”的发射速度小于11.2km/s，，故B 正确；
C．因为
99 min<24h
“夸父一号”的周期小于地球自转周期，由
ω= 2π
T
可知“夸父一号”的角速度大于地球自转的角速度，故C 错误；
D．由
G Mm
r
2 =m( 2π
T )
2
r
得
T =2π
❑√
r
3
GM
因为
99 min<24h
“夸父一号”的周期小于地球静止卫星周期，“夸父一号”的轨道半径小于地球静止卫星半径。又
G Mm
r
2 =m v
2
r
得卫星的线速度
v = ❑√
GM
r
“夸父一号”卫星的线速度大于地球静止卫星的线速度，故D 错误。
故选B。
例3（2025·四川宜宾·高三月考）如图为中国科学家们为“天问一号”设计的椭圆形“科学轨道”，“天
问一号”将在该轨道上正常运行的同时对火星展开观测。记录它在近火点265km 附近的探测段运行2 小
时，在远火点11945.6km 附近的探测段运行1 小时，在采样段共运行288 分钟。据以上信息，下列说法正
确的是（ ）
A．可以准确知道“科学轨道”的半长轴
B．可以求得“天问一号”在“科学轨道”上的运行周期
C．从地球上发射“天问一号”的速度不得小于16.7km/s
D．“天问一号”在火星引力作用下从轨道近火点加速运行到远火点
【答案】B
【详解】A．由于椭圆轨道万有引力不等于向心力，故无法准确知道“科学轨道”的半长轴，故A 错误；
B．根据题中已知条件可得，“天问一号”在科学轨道“上的运行周期为
T =3h+288min=7.8h
故B 正确；
C．“天问一号”环绕火星运行，因此可知“天问一号”脱离了地球引力的束缚，成为了火星得卫星，可
知其发射速度必定大于第二宇宙速度， 即11.2kms，而16.7km/s 为第三宇宙速度，即脱离太阳引力束缚所
需要的最小发射速度，而火星是太阳的卫星，因此可知，从地球上发射“天问一号”的速度不得小于
11.2km/s， 故C 错误；
D．根据开普勒第定律可知， 近火点的线速度大于远火点的线速度，即“天问一号”在火星引力作用 下
从轨道近火点减速运行到远火点， 故D 错误。
故选B。
【变式训练1】（2025·四川遂宁·高三月考）已知某天体的第一宇宙速度为5km /s，则高度为该天体半径
四分之一的宇宙飞船绕该天体做匀速圆周运动的运行速度大小为（ ）
A．❑√5km /s
B．2❑√5km /s
C．3 ❑√5km /s
D．4 km /s
【答案】B
【详解】根据G Mm
r
2 =m v
2
r
解得v = ❑√
GM
r
宇宙飞船的速度与第一宇宙速度之比
v 船
v1
= ❑
√
R
R+ R
4
= 2
❑√5
解得v 船=2❑√5km /s
故选B。
【变式训练2】2025 年1 月7 日，实践二十五号卫星在西昌卫星发射中心发射成功，并在离地36000km高
空的圆轨道为北斗G7 卫星加注142 公斤燃料，完成人类首次太空卫星燃料补加及延寿服务。若加注燃料
前后G7 卫星的轨道半径不变，则（ ）
A．加注燃料时，实践二十五号卫星的线速度大于7.9km /s
B．加注燃料时，实践二十五号与G7 卫星处于平衡状态
C．加注燃料后，G7 卫星质量增大，线速度大小不变
D．加注燃料后，G7 卫星质量增大，加速度减小
【答案】C
【详解】A．第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，是最大环绕速度，所以实践二十五号卫星的线速
度小于7.9km/s，A 错误；
B．在加注燃料时，两卫星相对静止，处于失重状态，并非力学平衡状态，B 错误；
CD．根据GMm
r
2
=ma=m v
2
r
解得v = ❑√
GM
r
a= GM
r
2
可知加注燃料后，质量增加，轨道半径不变，线速度和加速度大小均不变，C 正确，D 错误。
故选C。
考点四 卫星
知识点1 人造卫星
1.环绕天体（卫星）运行问题的分析方法
将环绕天体或卫星的运动看成 匀速圆周 运动，其所需向心力由中心天体对它的 万有引力 提供。
2.运行参量随轨道半径变化的规律
G Mm
r
2 ＝{
ma→a＝GM
r
2 →a∝1
r
2
m v
2
r →v ＝❑√
GM
r
→v ∝1
❑√r
mω
2r →ω＝❑√
GM
r
3 →ω∝1
❑√r
3
m 4 π
2
T
2 r →T ＝
❑√
4 π
2r
3
GM →T ∝
❑√r
3
即r 越大，v、ω、a 越小 ，T 越大 。（越高越慢）
3.人造卫星
卫星运行的轨道平面一定通过地心 ，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，地球同步卫星中的静
止卫星的轨道是赤道轨道。
（1）极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
（2）地球同步卫星
①静止卫星的轨道平面与 赤道 共面，且与地球自转的方向相同。
②周期一定：与地球自转周期相同，即T＝
24
h＝86 400 s。
③角速度大小一定：与地球自转的角速度大小相同。
④高度一定：根据G Mm
r
2 ＝m4 π
2
T
2 r 得r＝
3√
GM T
2
4 π
2 ＝4.23×104 km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R（为恒
量）。
（3）近地卫星
近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半
径，其运行线速度约为7.9 km/s。
知识点2 卫星的变轨与对接问题
1.卫星的发射与变轨
（1）在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有G
Mm
r1
2 ＝
mv
2
r1
，如图所示。
（2）在A 点（近地点）点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G
Mm
r1
2 ＜mv A
2
r1
，卫星做离心运动进入
椭圆轨道Ⅱ。
（3）在椭圆轨道B 点（远地点），G
Mm
r2
2 ＞mvB
2
r2
，将做近心运动，再次点火加速，使G
Mm
r2
2 ＝mvB'
2
r2
，进
入圆轨道Ⅲ。
2.变轨过程物理量变化分析
（1）速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在椭圆轨道Ⅱ上过A 点和B 点时速率分
别为vA、vB，四个速度关系为vA＞v1＞v3＞vB。
（2）向心加速度
在A 点，轨道Ⅰ上和轨道Ⅱ上的向心加速度关系a ⅠA＝a ⅡA，在B 点，轨道Ⅱ上和轨道Ⅲ上的向心加速度关
系a ⅡB＝a ⅢB，A、B 两点向心加速度关系aA＞aB。
（3）周期
卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期T1、T2、T3的关系为T1＜T2＜T3。
（4）机械能
在一个确定的圆（椭圆）轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨
道Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速，则机械能关系为E1＜E2＜E3。
3.宇宙飞船与空间站的对接
宇宙飞船与空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体的追赶问题，本质仍然是卫星的变轨
问题，要使宇宙飞船与空间站成功“对接”，必须让宇宙飞船在较低轨道上逐渐加速，通过做离心运动升
高轨道，从而完成宇宙飞船与空间站的成功对接。
思维建模
1.分析人造卫星的运动规律的两条思路
（1）万有引力提供向心力，即G Mm
r
2 ＝man。
（2）天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即GMm
R
2
＝mg 或gR2＝GM（R、g 分别是天体的半径、
表面重力加速度），公式gR2＝GM 应用广泛，被称为“黄金代换”。
2.地球卫星的运行参量（将卫星轨道视为圆）
物理量
推导依据
表达式
最大值
或最小值
线速度
G Mm
r
2 ＝mv
2
r
v＝❑√
GM
r
当r＝R 时有最大值，v＝7.9 km/s
角速度
G Mm
r
2 ＝mω2r
ω＝❑√
GM
r
3
当r＝R 时有最大值
周期
G Mm
r
2 ＝m(
2π
T )
2
r
T＝2π❑√
r
3
GM
当r＝R 时有最小值，约85 min
向心
加速度
G Mm
r
2 ＝man
an＝GM
r
2
当r＝R 时有最大值，最大值为g
轨道
平面
圆周运动的圆心与中心天体的中心重合
考向1 人造卫星
例1（2025·四川内江·高三月考）2024 年9 月27 日，我国成功发射首颗可重复使用返回式技术试验卫星一
实践十九号卫星。如图所示，实践十九号卫星和中国空间站均绕地球做匀速圆周运动，且卫星轨道半径小
于空间站轨道半径。下列说法正确的是（ ）
A．卫星的发射速度大于第一宇宙速度
B．卫星的线速度小于空间站的线速度
C．卫星的运行周期大于空间站的运行周期
D．卫星的向心加速度小于空间站的向心加速度
【答案】A
【详解】A．第一宇宙速度是最小的发射速度，实践十九号卫星离地面有一定高度，发射速度大于第一宇
宙速度，故A 正确；
B．由G Mm
r
2 =m v
2
r ，可得v = ❑√
GM
r
卫星轨道半径小于空间站轨道半径，故卫星的线速度大于空间站的线速度，故B 错误；
C．由G Mm
r
2 =mr 4 π
2
T
2 ，可得T =2π
❑√
r
3
GM
卫星轨道半径小于空间站轨道半径，故卫星的运行周期小于空
间站的运行周期，故C 错误；
D．由G Mm
r
2 =ma，可得a= GM
r
2
卫星轨道半径小于空间站轨道半径，故卫星的向心加速度大于空间站的向心加速度，故D 错误。
故选A。
【变式训练1】北斗三号全球卫星导航系统由24 颗中圆地球轨道卫星、3 颗地球静止轨道卫星和3 颗倾斜
地球轨道卫星，共30 颗卫星组成。如图所示，a 为地球同步卫星、b 为环绕周期与地球自转周期相同的卫
星，卫星c 与卫星a 运动轨迹在同一平面内。下列说法正确的是（ ）
A．卫星a、b 具有相同的线速度
B．卫星a、b 受地球的引力大小相同
C．卫星a 的周期小于卫星c 的周期
D．卫星b 的角速度小于卫星c 的角速度
【答案】D
【详解】A．卫星a、b 的线速度方向不同，故A 错误；
B．万有引力大小为F = GMm
r
2
，两卫星的质量大小未知，无法比较引力大小，故B 错误；
C．根据开普勒第三定律r
3
T
2 =k可知，卫星a 的周期大于卫星c 的周期，故C 错误；
D．根据万有引力提供向心力有GMm
r
2
=mr ω
2
解得ω= ❑√
GM
r
3
b 的半径较大，则卫星b 的角速度小于卫星c 的角速度，故D 正确；
故选D。
【变式训练2】（2025·四川·高三月考）“北斗”系统中两颗工作卫星1 和2 均绕地心O 做匀速圆周运动，
轨道半径均为r，某时刻两颗工作卫星分别位于轨道上的A、B 两位置，如图所示。若卫星均顺时针运行，
地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，不计卫星间的相互作用力。以下判断正确的是（ ）
A．两颗卫星的向心加速度大小可能不相等
B．两颗卫星所受的向心力大小一定相等
C．卫星1 由位置A 运动到位置B 所需的时间可能为7 πr
3 R
❑√
r
g
D．如果要使卫星1 追上卫星2，一定要使卫星1 加速
【答案】C
【详解】A．根据G Mm
r
2 =man
两颗卫星的轨道半径r 相同，向心加速度大小相等，故A 错误；
B．两颗卫星所受的向心力等于地球的引力，因卫星的质量大小关系未知，故向心力大小不一定相等，故
B 错误；
C．根据G Mm
r
2 =m 4 π
2
T
2 r，G M m0
R
2 =m0 g
卫星1 由位置A 运动到位置B 所需的时间为t = 1
6 T +nT ，(n=0,1,2,3⋯)
解得t =(
1
6 +n)
2πr
R
❑√
r
g ，(n=0,1,2,3⋯)
当n=1 时即可得t = 7 πr
3 R
❑√
r
g
，故C 正确；
D．卫星1 加速会做离心运动偏离原轨道，不可能追上卫星2，故D 错误。
故选C 。
考向2 同步卫星、近地卫星以及赤道上的物体间的比较
例1（2025·四川巴中·高三月考）如图所示，a 为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆
周运动，b 为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径），c 为地球的静止
卫星。下列关于 a、b、c 的说法中正确的是（ ）
A．a、b、c 做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为ab ac aa
B．b 卫星运行的线速度约等于7.9 km/s
C．在a、 b、c 中，c 的线速度最大
D．a、b、c 做匀速圆周运动的周期关系为T a=T c<T b
【答案】AB
【详解】A．a、c 圆周运动的角速度相等，但a 的半径小于c 的速度，根据a=ω
2r可知，ac>aa
又根据G Mm
r
2 =ma得a= GM
r
2 ，故ab>ac
故ab>ac>aa，故A 正确；
B．b 为地球的近地卫星，其运行的线速度约等于地球的第一宇宙速度，即7.9km/s，故B 正确；
C．a、c 圆周运动的角速度相等，但a 的半径小于c 的速度，故c 的线速度比a 的大，又根据万有引力提供
向心力有G Mm
r
2 =m v
2
r
得v = ❑√
GM
r
故b 的线速度比c 的大，综合以上，b 的线速度最大，故C 错误；
D．由题意可知，T a=T c
根据万有引力提供向心力有G Mm
r
2 =m 4 π
2
T
2 r
得T =2π
❑√
r
3
GM
故T c>T b
故a、b、c 做匀速圆周运动的周期关系为T a=T c>T b，故D 错误。
故选AB。
【变式训练1】（2025·四川·高三月考）地球赤道上有一物体随地球的自转，所受的重力为F1，向心加速
度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星（高度忽略），所受的重力为
F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球的同步卫星所受的重力为F3，向心加速度为a3，线
速度为v3，角速度为ω3；地球表面的重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则
（ ）
A．F1=F2<F3
B．a1=a2=g>a3
C．v1=v2=v>v3
D．ω1=ω3<ω2
【答案】D
【详解】A．根据题意三者质量相等，轨道半径关系为r1=r2＜r3。物体1 与人造卫星2 比较，由于赤道上物
体受引力和支持力的合力提供向心力，而近地卫星只受万有引力，故F1＜F2。根据万有引力定律
F = GMm
r
2
知F2＞F3。
地球赤道上随地球的自转而做圆周运动物体1 与地球同步卫星3 角速度相同，由F=mω2r 知F1＜F3，则F2
＞F3＞F1，故A 错误；
B．地球赤道上随地球的自转而做圆周运动物体1 与地球同步卫星3 角速度相同，由a=ω2r 知a1＜a3。
由G Mm
r
2 =ma
得a= GM
r
2
则a2＞a3
又a2=g，可知a1＜a3＜a2=g，故B 错误；
C．地球赤道上随地球的自转而做圆周运动物体1 与地球同步卫星3 角速度相同，由v=ωr 知v1＜v3。
绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星的运行速度即为第一宇宙速度v，即v2=v。
根据卫星的线速度G Mm
r
2 =m v
2
r
公式v = ❑√
GM
r
知v2＞v3
因此有v2=v＞v3＞v1，故C 错误；
D．地球同步卫星与地球自转同步，故ω1=ω3
根据G Mm
r
2 =mω
2r，ω= ❑√
GM
r
3
可知ω3＜ω2
有ω1=ω3＜ω2，故D 正确。
故选D。
考向3 卫星变轨与对接问题
例1（2025·四川攀枝花·三模）随着太空垃圾问题日益严峻，天宫空间站面临来自太空碎片的威胁越来越
严重，这些碎片速度极快，对空间站设施构成严重危害。神舟十九号任务中携带了特殊装甲，并为天宫空
间站安装了新的防护罩。同时，地面控制中心通过大型雷达和光学望远镜等监测设备，密切监测太空碎
片，精确计算其运行轨迹，提前发现潜在碰撞风险。一旦监测到有较大的太空垃圾靠近时，天宫空间站会
在地面控制中心的指挥下，依靠自身推进系统主动改变轨道或姿态，避开危险。某次避险过程需要空间站
从低轨道变轨至更高轨道运行，假设变轨前后空间站所在轨道均为圆轨道，下列关于变轨前后的说法正确
的是（ ）
A．变轨后空间站的线速度变大
B．变轨后空间站的角速度变大
C．变轨后空间站的运行周期变长
D．变轨时空间站发动机需沿运动方向喷气
【答案】C
【详解】A．由于变轨前后均做圆周运动，根据GMm
r
2
=m v
2
r
可得v = ❑√
GM
r
从低轨道变轨至更高轨道运行，变轨后空间站的线速度变小，故A 错误；
B．根据GMm
r
2
=mω
2r
可得ω= ❑√
GM
r
3
变轨后空间站的角速度变小，故B 错误；
C．根据GMm
r
2
=m 4 π
2
T
2 r
可得T =
❑√
4 π
2r
3
GM
变轨后空间站的运行周期变长，故C 正确；
D．变轨时需要加速做离心运动，所以空间站发动机需沿运动方向的反向喷气，故D 错误。
故选C。
【变式训练1】（2025·四川遂宁·高三月考）北斗导航系统共55 颗卫星，GPS 只有24 颗，所有北斗卫星中
只有5 颗为同步卫星，如图所示是发射北斗同步卫星的示意图，卫星先发射到近地轨道I，再在近地点A
点火沿过渡椭圆轨道II 运行到远地点B。当卫星经过B 点时再次点火，使卫星由椭圆轨道II 转移到地球同
步轨道III 上运行，下列关于卫星说法正确的是（ ）
A．沿椭圆轨道A →B过程中，卫星速度减小，卫星的机械能不守恒
B．经过A 点时，卫星需要减速才能从近地轨道I 进入椭圆轨道II
C．卫星在轨道II 经过B 点时的加速度等于在轨道III 经过B 点时的加速度
D．卫星经过两次点火加速后进入预定轨道III，卫星在近地轨道I 上的运行速度小于地球同步轨道III 上的
运行速度
【答案】C
【详解】A．A →B过程万有引力做负功速度减小，动能转化为势能，只有引力做功机械能守恒，故A 错
误；
B．经过A 点时，卫星做离心运动，在轨道I 上A 点经加速后才能在轨道II 运行，故B 错误；
C．根据G Mm
r
2 =ma
沿II 轨道和III 轨经过B 点时与地球距离相等，加速度相等，故C 正确；
D．根据G Mm
r
2 =m v
2
r
解得v = ❑√
GM
r
，轨道半径越大，线速度越小，故D 错误。
故选C。
【变式训练2】（2025·四川凉山·高三月考）2024 年6 月25 日，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王
旗预定区域，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，成功实现世界首次月球背面采样返回。嫦娥六
号采样返回地球，需要经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。下列说法正确的是（ ）
A．发射嫦娥六号的速度大于第二宇宙速度
B．飞船在轨道1 上运动的周期小于在轨道3 上运动的周期
C．飞船在轨道1 上经过A 点时的速度大于在轨道2 上经过A 点时的速度
D．载有月壤样本的返回器在变轨进入月地转移轨道时需要点火减速
【答案】B
【详解】A．嫦娥六号没有脱离地球的引力范围，则发射嫦娥六号的速度小于第二宇宙速度，选项A 错
误；
B．根据开普勒第三定律可知，飞船在轨道1 上运动的半长轴小于在轨道3 上运动的半长轴，可知飞船在
轨道1 上运动的周期小于在轨道3 上运动的周期，选项B 正确；
C．飞船从轨道1 进入轨道2 要在A 点加速，可知飞船在轨道1 上经过A 点时的速度小于在轨道2 上经过A
点时的速度，选项C 错误；
D．载有月壤样本的返回器在变轨进入月地转移轨道时需要点火加速做离心运动，选项D 错误。
故选B。
考点五 双星及多星问题
知识点1 双星问题
1.模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，称为双星系统，如图所示。
2.特点
（1）各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
G m1m2
L
2
＝m1ω1
2r1，
G m1m2
L
2
＝m2ω2
2r2。
（2）两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
（3）两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。
（4）两颗星的轨道半径与质量成反比，即
r1
r2
＝
m2
m1
。
（5）双星的运动周期T＝2π❑√
L
3
G（m1＋m2）。
（6）双星的总质量m1＋m2＝4 π
2 L
3
GT
2 。
知识点2 多星问题
所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相
同。常见的多星模型及其规律：
常
见
的
三
星
模
型
①Gm
2
(2 R)
2 ＋GMm
R
2
＝ma 向
②Gm
2
L
2 ×cos 30°×2＝ma 向
常
见
的
四
星
模
型
①Gm
2
L
2 ×cos 45°×2＋G m
2
(❑√2 L)
2＝ma 向
②Gm
2
L
2 ×cos 30°×2＋
GMm
( L
❑√3 )
2＝ma 向
考向1 双星问题
例1 假设宇宙中有一双星系统由质量分别为m 和M 的A、B 两颗星体组成。这两颗星绕它们连线上的某一
点在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，如图所示，A、B 两颗星的距离为L，引力常量为G，则下列说
法错误的是（ ）
A．因为OA>OB， 所以m<M
B．两颗星做圆周运动的周期为2π ❑√
L
3
G (M +m)
C．若星体A 由于不断吸附宇宙中的尘埃而使得质量缓慢增大，其他量不变，则星体A 的周期将缓慢减小
D．若星体A 由于不断吸附宇宙中的尘埃而使得质量缓慢增大，其他量不变，则星体A 的轨道半径将缓慢
增大
【答案】D
【详解】A．双星系统周期、角速度相同，设A、B 两颗星体的轨道半径分别为r1、r2，双星之间的万有
引力提供向心力，则有
GMm
L
2
=mω
2r1，GMm
L
2
= M ω
2r2
两式联立得mr1＝M r2，因为OA>OB，即r1>r2，所以有m< M，故A 正确，不符合题意；
BC．因为L=r1+r2，又因为GMm
L
2
=mω
2r1，GMm
L
2
= M ω
2r2，T = 2π
ω
联立解得两颗星做圆周运动的周期为T =2π ❑√
L
3
G (M +m)
以上可知若m 缓慢增大，其他量不变，由上式可知周期T 变小，故BC 正确，不符合题意；
D．因为mr1＝M r2，可知若星体A 由于不断吸附宇宙中的尘埃而使得质量缓慢增大，其他量不变，则星
体A 的轨道半径将缓慢减小，故D 错误，符合题意。
故选D。
【变式训练1】（2025·四川巴中·三模）两个天体A 和B 以相同的角速度绕某固定点O 做匀速圆周运动，O
点位于它们之间的连线上。A 的轨道半径大于B，设两者总质量为M，质量中心间的距离为L。下列判断
正确的是（ ）
A．天体A 的线速度一定小于B
B．天体A 的质量一定大于B
C．两天体的运动周期与M、L 有关
D．当M 一定时，距离L 越大，角速度越大
【答案】C
【详解】A．设两个天体质量分别为mA、mB，轨道半径分别为RA、RB，角速度为ω，由于二者角速度相
等，则线速度分别为vA=ω RA，vB=ω RB
则vA>vB
故选项A 错误；
B．则由万有引力定律可知GmAmB
L
2
=mAω
2 RA=mBω
2 RB
而mA
mB
= RB
RA
RA> RB
可得mA<mB
故选项B 错误；
CD．对两个天体有GmAmB
L
2
=mAω
2 RA=mBω
2 RB
由几何关系RA+ RB= L
联立解得M =mA+mB= ω
2 L
3
G
而且T = 2π
ω
整理可以得到T =2π
❑√
L
3
GM
可知两天体的运动周期与M、L 有关且当总质量M 一定，L 越大，则T 越大，角速度越小，故C 正确，D
错误。
故选C。
【变式训练2】（2025·四川成都·高三月考）如图，由恒星A、B 组成的双星系统，绕其连线上的O 点做匀
速圆周运动。已知恒星B 运行的周期为T，恒星A 的质量为2m，恒星B 的质量为m，引力常量为G。下列
说法正确的是（ ）
A．A、B 的线速度大小相等
B．A、B 运行的周期相等
C．A 到O 点的距离与B 到O 点的距离之比为2:1 D．A、B 间的距离为L=
3√
GmT
2
4 π
2
【答案】B
【详解】A．根据v = 2πr
T ，由双星系统可知A、B 的周期相等，半径不同，所以线速度大小不相等，A
错误；
B．A、B 运行的周期相等，B 正确；
C．根据牛顿第二定律得G 2m⋅m
L
2
= 2m⋅4 π
2
T
2
rA，G 2m⋅m
L
2
= m⋅4 π
2
T
2
rB
解得A 到O 点的距离与B 到O 点的距离之比为rA:rB=1:2，C 错误；
D．根据牛顿第二定律得G 2m⋅m
L
2
= 2m⋅4 π
2
T
2
rA，G 2m⋅m
L
2
= m⋅4 π
2
T
2
rB
根据题意得rA+rB= L
解得L=
3√
3GmT
2
4 π
2
，D 错误。
故选B。
考向2 多星问题
例1 宇宙空间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星
体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L。忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕
三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G。下列说法正确的是（ ）
A．每颗星做圆周运动的线速度为❑√
3Gm
L
B．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
C．若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2 倍，则周期变为原来的2 倍
D．若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2 倍，则线速度变为原来的2 倍
【答案】C
【详解】A．任意两颗星之间的万有引力为
F＝Gmm
L
2
每一颗星受到的合力为
F1= ❑√3 F
由几何关系可知，它们的轨道半径为
r＝
❑√3
3 L
合力提供它们的向心力
❑√3Gmm
L
2
＝mv
2
r
联立解得
v = ❑√
Gm
L
A 错误；
B．根据
❑√3Gmm
L
2
=ma
解得
a=
❑√3Gm
L
2
故加速度与它们的质量有关，B 错误；
C．根据
❑√3Gmm
L
2
=m 4 π
2r
T
2
解得
T = 2π
3
❑√
3 L
3
Gm
若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2 倍，则周期变为原来的2 倍， C 正确；
D．根据
v = ❑√
Gm
L
可知，若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2 倍，则线速度不变，D 错误。
故选C。
【变式训练1】有科学家认为，木星并非围绕太阳运转，而是围绕着木星和太阳之间的某个公转点进行公
转，因此可以认为木星并非太阳的行星，它们更像是太阳系中的“双星系统”。假设太阳的质量为m1，木
星的质量为m2，它们中心之间的距离为L，引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
A．太阳的轨道半径为R =
m1
m1+m2
L
B．木星的轨道半径为r = m2
m1
L
C．这个“双星系统”运行的周期为T =2πL❑√
L
G(m1+m2)
D．若认为木星球绕太阳中心做圆周运动，则木星的运行周期为T =2πL❑√
L
G m1
【答案】CD
【详解】ABC．双星是同轴转动模型，其角速度相等，有相同的运动周期，根据万有引力提供向心力，对
太阳有
G m1m2
L
2
=m1
4 π
2
T
2 R
对木星有
G m1m2
L
2
=m2
4 π
2
T
2 r
其中
L= R+r
解得
R =
m2
m1+m2
L
r =
m1
m1+m2
L
T =2π ❑√
L
3
G(m1+m2) =2πL❑√
L
G(m1+m2)
故AB 错误，C 正确；
D．若认为木星绕太阳中心做圆周运动，则有
G m1m2
L
2
=m2
4 π
2
T
2 L
解得
T =2πL❑√
L
G m1
故D 正确。
故选CD。
考点六 天体的追及相遇问题
知识点 天体的追及相遇问题
1.天体运动中的“追及相遇”问题：是指围绕同一中心天体而且轨道共面运行的两个星体间相距“最近”
或“最远”的问题。以地球与某行星的运动为例：
（1）如图甲所示，某行星、地球与太阳三者共线且行星和地球位于太阳的同侧时，行星和地球间相距
“最近”（也称为“某星冲日”现象）。
（2）如图乙所示，某行星、地球与太阳三者共线且行星和地球位于太阳的异侧时，行星和地球间相距
“最远”。
2.两个关键关系：地球和行星同向运行，从图甲位置开始计时。
角度
关系
相距
最近
ω1t－ω2t＝n·2π，（n＝1，2，3，…），即两天体转过的角度之差等于2π 的
整数倍时相距最近
相距
最远
ω1t－ω2t＝（2n－1）π，（n＝1，2，3，…），即两天体转过的角度之差等于
π 的奇数倍时相距最远
圈数
关系
相距
最近
t
T 1
－t
T 2
＝n，（n＝1，2，3，…）
相距
最远
t
T 1
－t
T 2
＝n－1
2，（n＝1，2，3，…）
考向 天体的追及相遇问题
例1 我国北斗卫星导航系统（BDS）已经为全球提供定位、导航、授时、5G 传输等服务。如题图所示，
A、B 为北斗系统中轨道在同一平面内，均沿顺时针方向绕行的两颗工作卫星。某时刻两卫星的连线与A
卫星的轨道相切，已知A、B 卫星的运行周期分别为T A、T B，A、B 卫星的运行半径分别为r、2r。则两卫
星从图示时刻到两卫星间距离最大需要的最短时间为（ ）
A．
T AT B
3(T B−T A)
B．
2T AT B
3(T B−T A)
C．T AT B
T B−T A
D．2T AT B
T B−T A
【答案】B
【详解】根据几何关系可知，设地心为O，在图示时刻两卫星与地心O之间的夹角满足
cosθ = r
2r = 1
2
可得
θ = π
3
两卫星均沿顺时针方向绕行，则两卫星从图示时刻到两卫星间距离最大，A 比B 多转过的最小角度为
Δθ =θA−θB= π + π
3 = 4 π
3
则有
2π
T A
⋅t −2π
T B
⋅t = 4 π
3
解得两卫星从图示时刻到两卫星间距离最大需要的最短时间为
t =
2T AT B
3(T B−T A)
故选B。
【变式训练1】（2025·四川成都·高三月考）如图，在万有引力作用下，a、b 两卫星在同一平面内绕某一
行星c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra:rb=1:4，则下列说法中正确的有（ ）
A．a、b 运动的角速度之比为1 8∶
B．a、b 运动的周期之比为1 4∶
C．从图示位置开始，在b 转动一周的过程中，a、b、c 共线12 次
D．从图示位置开始，在b 转动一周的过程中，a、b、c 共线14 次
【答案】D
【详解】AB．已知轨道半径之比为ra:rb=1:4，根据开普勒第三定律r
3
T
2 =k
可得a、b 运动的周期之比为1 8∶。
根据ω= 2π
T
可得a、b 运动的角速度之比为8 1∶。
故AB 错误；
CD．设ac、bc 间夹角为θ，每隔时间t，ac、bc 间夹角为θ，则每隔时间t，a、b、c 共线2 次，根据几何关
系有(ωa−ωb)t =2π
得t =
2π
ωa−ωb
则n= T b
t = T b(ωa−ωb)
2π
= T b
T a
−1=7
所以可知从图示位置开始，在b 转动一周的过程中，a、b、c 共线14 次。故C 错误，D 正确。
故选D。
【变式训练2】如图所示，a、b是两个在同一平面内的，绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，其中已知b
为地球同步卫星，引力常量为G。据图和上述信息，关于地球和卫星a、b的分析或结论，如：卫星a、b的
绕行速度va、vb，绕行周期T a、T b等。下列的叙述正确的是（ ）
A．由于va>vb，因而卫星a减速可有可能让卫星b追上
B．卫星a、b的轨道平面一定与地球的赤道平面重合
C．卫星a的绕行周期T a一定大于24 h
D．利用以上信息，可计算出地球的半径
【答案】B
【详解】A．卫星a 减速时，a 将做近心运动，轨道半径减小，不可能让卫星b 追上，故A 错误；
B．地球静止卫星的轨道平面一定与地球的赤道平面重合，a、b 是两个在同一平面内的，b 为地球静止卫
星，则卫星a、b 的轨道平面一定与地球的赤道平面重合，故B 正确；
C．根据万有引力提供向心力，得：G Mm
r
2 =m 4 π
2
T
2 r
解得T =2π
❑√
r
3
GM
可知，卫星a 的绕行周期Ta 一定小于卫星b 的绕行周期Tb，即一定小于24h，故C 错误；
D．利用题目的信息，不能求出地球的半径，故D 错误。
故选B。
考点四 星球“瓦解”问题 黑洞问题
知识点1 星球的“瓦解”
当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，
进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是“赤道”上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即
GMm
R
2
＝mω2R，得ω＝❑√
GM
R
3 。当ω>❑√
GM
R
3 时，星球瓦解，当ω<❑√
GM
R
3 时，星球稳定运行。
知识点2 黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天
体的运动规律间接研究黑洞。当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的❑√2倍)超过光速时，
该天体就是黑洞。
考向1 自转稳定问题
例1 2018 年2 月，我国500 m 口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期
T=5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10
−11N⋅m
2/kg
2．以周期T 稳
定自转的星体的密度最小值约为（ ）
A．5×10
9kg/ m
3
B．5×10
12kg/ m
3
C．5×10
15kg/ m
3
D．5×10
18kg/ m
3
【答案】C
【详解】试题分析;在天体中万有引力提供向心力，即GMm
R
2
=m( 2π
T )
2
R ，天体的密度公式
ρ= M
V =
M
4
3 π R
3，结合这两个公式求解．
设脉冲星质量为M，密度为ρ
根据天体运动规律知：GMm
R
2
≥m( 2π
T )
2
R
ρ= M
V =
M
4
3 π R
3
代入可得：ρ≈5×10
15kg/ m
3 ，故C 正确；
故选C。
【变式训练1】2018 年2 月，我国500 m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转
周期为T，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为G。以周期T 稳定自转的星体的密度最
小值为（ ）
A．3π
2
GT
B．GT
3π
2
C．3π
GT
2
D．GT
2
3π
【答案】C
【详解】毫秒脉冲星恰好稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根据
G Mm
R
2 =mR 4 π
2
T
2
解得
M = 4 π
2 R
3
GT
2
脉冲星体积为
V = 4
3 π R
3
所以密度最小值为
ρ= M
V = 3 π
GT
2
故选C。
考向2 黑洞
例12020 年诺贝尔物理学奖授予了在黑洞研究方面做出成就的三名科学家，银河系中心为一超大质量的黑
洞，发现了与该黑洞中心的距离为r的星体，正以速度v围绕黑洞中心旋转。若该黑洞表面的物体速度达到
光速c时恰好围绕其表面做匀速圆周运动，则该黑洞的半径为（ ）
A．v
2
c
2 r
B．v
c r
C．c
2
v
2 r
D．c
v r
【答案】A
【详解】设黑洞的质量为M，黑洞的半径为R，该黑洞中心的距离为r的星体，正以速度v围绕黑洞中心旋
转，根据万有引力提供向心力可得
GMm
r
2
=m v
2
r
该黑洞表面的物体速度达到光速c时恰好围绕其表面做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可得
GM m
′
R
2
=m
′ c
2
R
联立解得
R = v
2
c
2 r
A 正确，BCD 错误。
故选A。
【变式训练1】2019 年4 月10 日，包括中国在内，全球多地天文学家同步公布人类史上首张黑洞照片，照
片中是室女座巨椭圆星系M 87的黑洞照片，这是黑洞存在最直接的视觉证据。黑洞的发现是由全球200 多
位科学家，历时十年、从全球四大洲8 个观测点共同合作完成的成果，这也表明当今世界合作才会共赢，
单边主义只会越走越窄。黑洞是一个非常致密的天体，会形成强大的引力场，连光也无法逃脱。某黑洞中
心天体的质量是太阳的50 亿倍，太阳质量为2×10
30kg，光在真空中的传播速度c =3×10
8 m/s，引力常
量G =6.67×10
−11Nm
2/kg
2，第二宇宙速度是第一宇宙速度的❑√2倍，请估算该黑洞最大半径的数量级为
（ ）
A．10
10 m
B．10
11m
C．10
12m
D．10
13 m
【答案】D
【详解】设“黑洞”的可能半径为R，质量为M，根据逃逸速度（第二宇宙速度）的定义，结合第一宇宙
速度可知，须满足
❑√
2GM
R
>c
即有
R< 2GM
c
2
所以“黑洞”的可能最大半径
Rmax= 2×6.67×10
−11×50×10
8×2×10
30
(3×10
8)
2
m ≈1.5×10
13 m
故D 正确，ABC 错误。
故选D。
1.（2025·湖南·高考真题）我国研制的“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目
标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R 和质量M。为
探测某自转周期为T 0的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨
到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为T 1。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引
力，可根据以上物理得到R =
a
2
3
b
2
3 −a
2
3
ℎ，M = 4 π
2 R
3
G c
2 。下列选项正确的是（ ）
A．a 为T 1，b为T 0，c为T 1
B．a 为T 1，b为T 0，c为T 0
C．a 为T 0，b为T 1，c为T 1
D．a 为T 0，b为T 1，c为T 0
【答案】A
【详解】根据题意，卫星在同步轨道和表面附近轨道运行时轨道半径分别为R+ℎ、R
设小行星和卫星的质量分别为M 、m
由开普勒第三定律有（R+ℎ)
3
T 0
2
= R
3
T 1
2
解得R =
T 1
2
3
T 0
2
3 −T 1
2
3
ℎ
卫星绕小行星表面附近做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有GMm
R
2
=m 4 π
2
T 1
2 R
解得M = 4 π
2 R
3
GT 1
2
对应结果可得a 为T 1，b为T 0，c为T 1。
故选A。
2.（2025·陕晋青宁卷·高考真题）我国计划于2028 年前后发射“天问三号”火星探测系统，实现火星取样
返回。其轨道器将环绕火星做匀速圆周运动，轨道半径约3750km，轨道周期约2h。引力常量G 取6.67 ×
10－11N m
⋅
2/kg2，根据以上数据可推算出火星的（ ）
A．质量
B．体积
C．逃逸速度
D．自转周期
【答案】A
【详解】轨道器绕火星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，可得
G Mm
r
2 =m v
2
r =mω
2r =m 4 π
2
T
2 r =ma
A．题中已知的物理量有轨道半径r，轨道周期T，引力常量G，可推算出火星的质量，故A 正确；
B．若想推算火星的体积和逃逸速度，则还需要知道火星的半径r，故BC 错误；
D．根据上述分析可知，不能通过所提供物理量推算出火星的自转周期，故D 错误。
故选A。
3.（2025·湖北·高考真题）甲、乙两行星绕某恒星做圆周运动，甲的轨道半径比乙的小。忽略两行星之间
的万有引力作用，下列说法正确的是（ ）
A．甲运动的周期比乙的小
B．甲运动的线速度比乙的小
C．甲运动的角速度比乙的小
D．甲运动的向心加速度比乙的小
【答案】A
【详解】根据卫星做圆周运动的向心力等于万有引力可知G Mm
r
2 =m v
2
r =mω
2r =m 4 π
2
T
2 r =ma
可得T =2π
❑√
r
3
GM
，v = ❑√
GM
r
，ω= ❑√
GM
r
3 ，a= GM
r
2
因r甲<r乙，可知卫星甲、乙运动的周期T 甲<T 乙
线速度关系v甲>v乙
角速度关系ω甲>ω乙
向心加速度关系a甲>a乙
故选A。
4.（2025·四川·高考真题）某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星
持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T 为地球自转周期。
已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，万有引力常量为G。则该卫星轨道半径为（ ）
A．3√
GM T
2
36 π
2
B．3√
GM T
2
16 π
2
C．3√
GM T
2
4 π
2
D．3√
9GM T
2
4 π
2
【答案】A
【详解】设卫星转动的周期为T
′，根据题意可得2π
T
′ ⋅T
2 −2π
T ⋅T
2 =2π
可得T
′ = T
3
根据万有引力提供向心力G Mm
r
2 =m 4 π
2
T
′2 r
可得r =
3√
GM T
′2
4 π
2
代入T
′ = T
3
可得r =
3√
GM T
2
36 π
2
故选A。
5.设a、b 两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体（图中未画出）质量为m（m
<< M），若c 处于a、b 连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c 可视为绕O 点做角速度相同的匀速圆
周，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为G。则（ ）
A．c 的线速度大小为a 的❑√3倍
B．c 的向心加速度大小为b 的一半
C．c 在一个周期内的路程为2πr
D．c 的角速度大小为❑√
GM
8r
3
【答案】A
【详解】D．a、b、c 三个天体角速度相同，由于m << M，则对a 天体有
G MM
(2r )
2 = M ω
2r
解得
ω= ❑√
GM
4 r
3
故D 错误；
A．设c 与a、b 的连线与a、b 连线中垂线的夹角为α，对c 天体有
2G
Mm
(
r
sin α )
2 cosα =mω
2
r
tan α
解得
α = 30°
则c 的轨道半径为
rc =
r
tan30
° = ❑√3r
由v = ωr，可知c 的线速度大小为a 的❑√3倍，故A 正确；
B．由a = ω2r，可知c 的向心加速度大小是b 的❑√3倍，故B 错误；
C．c 在一个周期内运动的路程为
s=2πr =2❑√3 πr
故C 错误。
故选A。
