文档文本内容
第13 讲 曲线运动、运动的合成与分解
目录
01
考情解码·命题预警2
02 体系构建·思维可视.........................................................................................................................2
03 核心突破·靶向攻坚.........................................................................................................................3
考点一 曲线运动.............................................................................................................................3
知识点 曲线运动......................................................................................................................................... 3
考向1 曲线运动的条件..............................................................................................................................4
考向2 力与物体运动轨迹的关系..............................................................................................................6
考点二 运动的合成与分解.............................................................................................................8
知识点 运动的合成与分解.................................................................................................................9
考向 位移和速度的合成与分解...............................................................................................................10
考点三 小船渡河模型...................................................................................................................15
知识点 小船渡河模型............................................................................................................................... 15
考向 小船渡河模型................................................................................................................................... 16
考点四 关联速度问题...............................................................................................................19
知识点 关联速度....................................................................................................................................... 20
考向1 杆关联模型....................................................................................................................................20
考向2 绳关联模型....................................................................................................................................23
04 真题溯源·考向感知........................................................................................................................26
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
曲线运动
选择题
非选择题
\
\
\
运动的合成与分
解
选择题
非选择题
\
\
\
考情分析：
1．近几年的四川高考试题中没有涉及到该内容，但考过。
2．考到这部分内容的时候，题目难度并不大，常以选择题的形式出现。
复习目标：
目标一：理解曲线运动，并能够准确判断曲线运动，解决比较简单的曲线运动问题。
目标二：掌握简单的运动的合成与分解问题。
目标三：加深对小船渡河、关联运动问题的理解。
考点
一
曲线运动
知识点 曲线运动
一、定义
1.运动轨迹是________的运动，运动轨迹夹在速度方向和________方向之间。
二、条件
1.物体所受合力的方向与它的速度的方向________同一条直线上。
2.所受的合力一定不为0：合力可以是恒力，也可以是变力，合力指向运动轨迹的________侧。
3.若合力为变力，则为一般变速曲线运动；若合力为恒力，则为________曲线运动。
三、理解
1.运动轨迹的判断
（1）若物体所受合力方向与它的速度方向在同一直线上，则物体做直线运动。
（2）若物体所受合力方向与它的速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动。
2.曲线运动
速度方向、合力方向与运动轨迹
的关系
中
之间
（1）速度方向与运动轨迹相切；
（2）合力方向指向轨迹曲线的“凹”侧；
（3）运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间，且弯向合力方向。
3.合力与速
的关系
率变化
（1）当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大；
（2）当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小；
（3）当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。
思维建模
判断两个直线运动的合运动性质的方法
1.分别把两个直线运动的初速度和加速度合成，然后根据合加速度特点以及合加速度与合初速度的方向关
系判断合运动的性质。
2.常见的情况：
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v 合与a 合共线，为匀变速直线运动
如果v 合与a 合不共线，为匀变速曲线运动
考向1 曲线运动的条件
例1（2025·四川绵阳·高三月考）对于做曲线运动的质点，下列说法正确的是（ ）
A．合外力一定不为0
B．合外力一定是变化的
C．速度可以保持不变
D．加速度可以为0
【变式训练1】（2025·四川德阳·高三月考）某物体同时受到在同一平面内的几个恒力作用而平衡，某时刻
突然撤去其中一个力，以后这物体将不可能做（ ）
A．平抛运动
B．匀速圆周运动
C．匀加速直线运动
D．匀减速直线运动
【变式训练2】做曲线运动的物体，其一定变化的物理量是（ ）
A．速率
B．速度
C．加速度
D．合力
【变式训练3】如图所示，光滑水平面上的物体受五个沿水平面的恒力F1、F2、F3、F4、F5作用，以速率
v0（方向与F4方向相反）沿水平面做匀速直线运动，若撤去其中某个力（其他力不变），则在以后的运动
中，下列说法正确的是（ ）
A．若撤去的是F1，则物体将做圆周运动
B．若撤去的是F2，则经过一段时间后物体的速率可能再次变为v0
C．若撤去的是F3，则经过一段时间后物体的速率可能再次变为v0
D．无论撤去这五个力中的哪一个，物体在相同时间内的速度改变量一定都相同
考向2 力与物体运动轨迹的关系
例1（2025·四川内江·高三月考）小林积极参加球溪高级中学2025 年春季田径运动会，在实心球比赛项目
中获得第一名，用实力为班级争得了荣誉。如图所示的曲线为小林抛出的实心球运动轨迹（实心球可视为
质点），其中A、B、C 为实心球运动过程中依次经过的三点，关于实心球在B 点的速度方向，下列说法正
确的是（ ）
A．沿BC 方向
B．沿BD 方向
C．沿BE 方向
D．沿BF 方向
例2 图中虚线描述的是一位跳水运动员高台跳水时头部的运动轨迹，最后运动员沿竖直方向以速度v 入
水。整个运动过程中，除运动员入水前一段时间外，与入水时头部速度v 方向相同的位置有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式训练1】如图所示，一物体在水平恒力F 的作用下沿光滑水平面做曲线运动，当物体从M 点运动到
N 点时，其速度方向恰好改变了90°，则物体从M 点到N 点的运动过程中，力F 的功率（ ）
A．不断增大
B．不断减小
C．先增大后减小
D．先减小后增大
【变式训练2】如图，一质点以一定的速度通过P 点时,开始受到一个恒力F 的作用,则此后该质点的运动轨
迹不可能是图中的( )
A．a
B．b
C．c
D．d
【变式训练3】2025 年2 月9 日，第九届亚冬会短道速滑女子3000 米接力A 组决赛在哈尔滨举行，中国队
的范可新、公俐、张楚桐和王欣然夺得冠军。运动员经过弯道沿曲线从a 点向b 点运动的过程中，速度逐
渐减小，在此过程中，运动员所受合外力方向可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点
二
运动的合成与分解
知识点1 运动的合成与分解
1.如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就叫那几个运动的________；那几个运动叫这
个实际运动的________。
2.运动的合成与分解：由分运动求合运动的过程叫运动的________，由合运动求分运动的过程叫运动的
________。运动的合成与分解遵循_______________。
3.合运动和分运动的关系
（1）等时性：各个分运动与合运动总是同时开始、同时进行、同时结束，经历时间相等（不同时的运动
不能合成）。
（2）独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响。
（3）等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果。
（4）同一性：各分运动与合运动是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动，不能是几个不同物体发
生的不同运动。
4.运动的合成与分解的运算法则：运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合
成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵从平行四边形定则。
得分速记
1. 三步法规范解题
① 确定合运动与分运动
合运动：物体实际发生的运动（如小船的实际位移方向）；
分运动：按效果分解的两个独立运动（如小船的划行运动 + 水流运动）。
② 建立正交分解坐标系
原则：沿加速度方向和垂直加速度方向分解（若无加速度，沿运动效果方向分解）；
示例：小船渡河选 “河岸方向” 和 “垂直河岸方向”，平抛运动选 “水平方向” 和 “竖直方向”。
③ 列方程求解
分运动各自满足运动学规律（匀速直线 / 匀变速直线运动），再通过矢量合成法则（平行四边形定则）求
合运动参数。
思维建模
1.
解运动的合成与分解问题的
求
技巧
（1）求解运动的合成与分解问题，应抓住合运动与分运动具有等时性、独立性。
（2）物体的实际运动是合运动。运动分解时一般按运动效果进行分解。
2.合运动
的判断
性质
（1）合加速度（或合力）{
变化：变加速运动
不变化：匀变速运动
（2）合加速度（或合力）{
共线：直线运动
不共线：曲线运动
考向 位移和速度的合成与分解
例1（多选）关于运动的合成与分解，下列说法中正确的是（ ）
A．合运动的速度一定比两个分运动的速度都大
B．合运动的速度可以比两个分运动的速度都小
C．两个互成角度的匀加速直线运动的合运动，可能是曲线运动
D．两个互成角度的匀速直线运动的合运动，可能是曲线运动
例2 如图所示，在一段封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个由蜡做成的小圆柱体R。R 从坐标原
点以速度v0=3cm /s匀速上浮的同时，玻璃管沿x 轴正方向做初速度为0 的匀加速直线运动，1s 时小圆柱
体的速度为v =5cm /s。下列说法正确的是（ ）
A．小圆柱体做匀加速直线运动
B．小圆柱体的加速度是4cm /s
2
C．0~1s 内小圆柱体沿y 轴方向的位移为2cm
D．该时刻小圆柱体到坐标原点的距离为5cm
【变式训练1】无人机表演越来越多地出现在各种节日庆祝活动中。某次无人机表演时，t =0时刻无人机
水平方向上的速度为0，根据数据接收端收到的数据绘制出的无人机水平方向上的加速度
时间
—
(ax−t)图
像和竖直方向上的位移
时间
—
( y −t )图像分别如图甲、乙所示，则下列说法正确的是（ ）
A．0∼t1时间内无人机做曲线运动
B．0∼t1时间内无人机处于超重状态
C．t1∼t2时间内无人机做曲线运动
D．t1∼t2时间内无人机所受的合力不为0
【变式训练2】升降机沿竖直方向匀速下降的同时，一工人在升降机水平平台上向右匀速运动，以出发点
为坐标原点O 建立平面直角坐标系，水平向右为x 轴正方向，竖直向下为y 轴正方向，工人可视为质点，
则该过程中站在地面上的人看到工人的运动轨迹可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3】某架飞机在进行航空测量时，需要严格按照从南到北的航线进行飞行。如果在无风时飞机
相对地面的速度是414 km/h，飞行过程中航路上有速度为54 km/h的持续东风。则（ ）
A．飞机的飞行方向为北偏西为θ角度，且sinθ = 1
23
B．飞机的飞行方向为北偏东为θ角度，且sinθ = 3
23
C．飞机实际的飞行速度为100 ❑√2m/s
D．飞机实际的飞行速度为100 ❑√3 m/s
【变式训练4】在一次施工中，塔吊将重物从O 点吊起，从起吊开始计时，以O 为原点，设水平向右为x
方向、竖直向上为y 方向，重物x、y 方向的运动规律分别如图甲、乙所示，则（ ）
A．重物的运动轨迹为直线运动
B．t=0 时，重物的速度为零
C．t=8s 时重物的位置坐标为（24m，16m ）
D．重物在相等时间内的速度变化量不相等
【变式训练5】一质点在直角坐标系xOy所在平面内由O点开始运动，其沿坐标轴方向的两个分速度随时
间变化如图所示。则（ ）
A．3s末质点速度的大小为7 m /s
B．前3s质点做匀变速直线运动，加速度大小为1m /s
2
C．3−4s内质点做匀变速曲线运动，加速度大小为5 m /s
2
D．3−4s内质点的位移大小为7.5 m
考点
三
小船渡河模型
知识点 小船渡河模型
1.船的
运动
实际
：水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
2.
速度
三种
：船在静水中的速度v 船、水的流速v 水、船的实际速度v。
3.
问题、
情
两类
三种
景
渡河时间最
短
当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝d
v船
渡河位移最
短
如果v 船＞v 水，当船头方向与上游河岸夹角θ 满足v 船cos θ＝v 水
时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v 船＜v 水，当船头方向（即v 船方向）与合速度方向垂直时，渡
河位移最短，等于d v水
v船
考向 小船渡河模型
例1（2025·四川德阳·高三月考）某船在静水中划行的速率为6m/s，河水的流速为10m/s，要渡过60m 宽
的河，下列说法正确的是（ ）
A．该船渡河所用的时间至少为6s
B．该船用最短时间渡河时所通过的位移大小为80m
C．该船渡河所通过的位移大小至少为100m
D．该船以最短位移渡河时所用的时间为11s
例2 小船横渡一条两岸平行的河流，水流速度与河岸平行，船相对于水的速度大小不变，船头始终垂直指
向河岸，小船的运动轨迹如图虚线所示。则小船在此过程中（ ）
A．运动的加速度不变
B．越接近河岸速度越大
C．加速度的方向先指向下游后指向上游
D．水流速度变化，渡河的时间也会改变
【变式训练1】（多选）民族运动会上有一骑射项目如图所示，运动员骑在奔跑的马上，弯弓放箭射击侧
向的固定目标。如图甲所示，选手骑马沿如图乙所示直线O1O2匀速前进，速度大小为v1，运动员静止时
射出的箭速度大小为v2，且有v2>v1，靶中心P 到O1O2的距离为d，垂足为D，忽略箭在竖直方向的运
动，下列说法正确的是（ ）
A．为保证箭能命中靶心，选手应瞄准靶心P 放箭
B．为保证箭能命中靶心，选手在D 点放箭也可以命中靶心
C．为保证箭能命中靶心，且运动时间最短，箭射中靶心的最短时间为d
v2
D．为保证箭能命中靶心，且运动位移最短，箭射中靶心的时间为
d
❑√v2
2−v1
2
【变式训练2】（多选）经过治理的护城河成为城市的一大景观，河水看似清浅，实则较深。某次落水救
人的事件可简化如图，落水孩童抓住绳索停在A 处，对面河岸上的小伙子从B 处直线游过去，成功把人救
起。河宽和间距如图中标注，假定河水在各处的流速均为1m/s，则（ ）
A．游泳时小伙子面对的方向是合运动的方向
B．小伙子在静水中游泳的速度至少应为0.6m/s
C．小伙子渡河的时间一定少于16s
D．若总面对着A 处游，小伙子将到达不了A 处
【变式训练3】（多选）一小船过河的运动轨迹如图所示。河中各处水流速度大小相同且恒定不变，方向
平行于岸边。若小船相对于静水分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，船相对于静水的初速度均相同
（且均垂直于岸边）。 由此可以确定（ ）
A．船沿AC 轨迹运动时，船相对于静水做匀加速直线运动
B．船沿AC 轨迹渡河所用的时间最短
C．船沿AD 轨迹到达对岸前瞬间的速度最小
D．船沿三条不同轨迹渡河所用的时间相同
考点四 关联速度问题
知识点 关联速度
1.模型
点
特
两物体或杆子之间通过绳（或杆）连接，且两物体在运动过程中绳（或杆）发生转动，这里隐含沿绳（或
杆）方向的速度分量大小相等。
2.思
与方
路
法
合运动→绳（或杆）拉物体的实际运动速度v
分运动→{
其一：沿绳（或杆）的速度v∥
其二：与绳（或杆）垂直的分速度v⊥
方法：两分速度的合成遵循平行四边形定则。
3.解题的原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，这两分速度一定是相互垂直的，根
据沿绳（杆）方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。
考向1 杆关联问题
例1 如图甲是智慧工厂里常用的机械手臂，结构简图如图乙所示。机械手臂由金属杆PQ、QO 在Q 点链接
而成，金属杆PQ 抓取到工件后，金属杆QO 绕O 点从竖直位置顺时针匀速转动β 角( β <90°)到图示虚线
位置，金属杆PQ 始终保持水平，则工件在水平方向上（ ）
A．一直加速
B．一直减速
C．一直匀速
D．无法判断
例2（2025·四川·高三月考）汽车发动机的曲柄连杆机构其结构示意图如图所示。曲轴可绕固定的O 点自
由转动，连杆两端分别连接曲轴上的A 点和活塞上的B 点，若曲轴绕O 点做匀速圆周运动，速率12m/s，
OA =15cm，AB =20cm。当OA 与AB 垂直时，活塞的速度为（ ）
A．7.2 m/s
B．9 m/s
C．12m/s
D．15m/s
【变式训练1】（2025·四川绵阳·高三月考）如图所示，水平地面上固定了一个倾角为θ的光滑斜面，一端
拴有光滑小球B 的轻杆在另一端通过铰链与斜面底部连接，小球B 静置于斜面上。物块A 从斜面顶部由静
止释放，碰到B 球后，继续紧贴斜面下滑，轻杆则绕铰链顺时针转动。当轻杆转动到与斜面夹角为θ时，
物块A 速度恰好为v，并依然与小球B 紧密接触，则小球B 此时的速度为（ ）
A．v cosθ
B．
v
2sinθ
C．v sinθ
D．2v sinθ
【变式训练2】如图所示，细杆AB 的A 端紧挨竖直墙面，B 端贴着水平地面，在A 端沿着墙面下移的过
程中，当AB 杆与地面的夹角为30°时，A 端与B 端的速度大小之比为（ ）
A．1：3
B．3：1
C．❑√3：1
D．1：❑√3
【变式训练3】如图，一长度为❑√3R 的轻杆两端分别固定两个小球A 和B（均可视为质点），将其放在一
个半径为 R 的光滑球形容器中从位置1 开始下滑，当轻杆到达位置2 时 A 球与球形容器球心O 等高，其
速度大小为v1， 此时B 球的速度大小为v2， 则 （ ）
A．v2=2v1
B．v2= ❑√3 v1
C．v ₂= v ₁
D．v2=
❑√3
3 v1
考向2 绳关联问题
例1 如图所示，物体A 和B 质量均为m，分别与轻绳连接跨过定滑轮（不计绳与滑轮之间的摩擦），用水
平变力F 拉物体B，使A 以v 竖直向上做匀速直线运动，下列判断正确的是（ ）
A．物体B 也做匀速直线运动
B．绳子拉力始终大于物体A 所受的重力
C．物体A 的速度小于物体B 的速度
D．物体B 的速度为vcosα
例2 如图所示为某联动装置，竖直面内的两固定杆AB 倾斜、BC 水平，AB 与BC 间的夹角为30
∘，C 端装
有一定滑轮（大小不计），小球a 套在AB 杆上，绕过定滑轮的轻绳一端连接在小球a 上，另一端吊着小
球b。由静止释放小球a，当小球a 运动到位置D 时，CD 段轻绳与水平方向的夹角为30
∘，此时a、b 两球
的速度大小之比为（ ）
A．1：2
B．2：1
C．❑√3：1
D．1：❑√3
【变式训练1】（2025·四川南充·高三月考）如图所示，轻质不可伸长的细绳，绕过光滑定滑轮C，与质量
为m的物体A连接，A放在倾角为θ的光滑固定斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接。现B
、C间细绳恰沿水平方向，从当前位置开始，B在外力作用下以速度v0匀速下滑。设绳子的张力为T，在此
后的运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．物体A 做匀加速运动
B．物体A 做匀速运动
C．T可能小于mgsinθ
D．T一定大于mgsinθ
【变式训练2】（2025·四川南充·高三月考）如图所示，阻拦索绕过定滑轮与阻尼器连接，阻拦系统通过阻
拦索对飞机施加一作用力，使飞机在模拟甲板上短距离滑行后停止，飞机挂钩与阻拦索间不滑动。若某一
时刻两端阻拦索夹角是θ，飞机沿中线运动速度为v，则阻尼器中的阻拦索绳移动速度大小是（ ）
A．v绳=
v
cosθ
B．v绳= v cosθ
C．v绳=
v
2cos θ
2
D．v绳= v cos θ
2
【变式训练3】（2025·四川南充·高三月考）某人用轻绳通过光滑的定滑轮拉小船，小船沿着河面向左运
动。若人匀速拉绳的速度为v0，如图，绳某时刻与水平方向夹角为α (α <90
∘)。不计一切阻力，则小船靠
岸之前做（ ）
A．加速运动
B．减速运动
C．匀速运动
D．先匀速运动，再减速运动
1.（2023·辽宁·高考真题）某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F
的示意图可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2025·湖南·高考真题）如图，物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面，物块的水平位移、竖直
位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、v x、v y表示。物块向上运动过程中，下列图像可能正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3.（2023·江苏·高考真题）达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加
速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（江苏·高考真题）如图所示，甲、乙两同学从河中O 点出发，分别沿直线游到A 点和B 点后，立即沿原
路线返回到O 点，OA、OB 分别与水流方向平行和垂直，且OA = OB。若水流速度不变，两人在静水中
游速相等，则他们所用时间t 甲、t 乙的大小关系为（ ）
A．t 甲 < t 乙
B．t 甲 = t 乙
C．t 甲 > t 乙
D．无法确定
