文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
考情
分析
试题
情境
生活实
践类
生活中的抛体运动，自行车、汽车、火车转弯等动力学及临界问题，
水流星，体育运动中的圆周运动问题
学习探
究类
小船渡河模型，绳、杆速度分解模型，与斜面或圆弧面有关的平抛运
动，圆周运动的传动问题，圆锥摆模型，水平面内、竖直面内圆周运
动的临界问题，圆周运动中的轻绳、轻杆模型
第1 课时 曲线运动 运动的合成与分解
目标要求 1.理解物体做曲线运动的条件，掌握曲线运动的特点。2.会用运动的合成与分解
处理小船渡河、关联速度等问题。3.理解运动的合成与分解是处理曲线运动的一种重要思想
方法。
考点一 曲线运动的条件和特征
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2．曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变
速运动。
(1)a 恒定：匀变速曲线运动；
(2)a 变化：非匀变速曲线运动。
3．做曲线运动的条件：
4．速率变化的判断
1．速度发生变化的运动，一定是曲线运动。( × )
2．做曲线运动的物体的位移一定小于路程。( √ )
3．做曲线运动的物体受到的合力一定是变力。( × )
4．做曲线运动的物体所受合力方向与速度方向有时可以在同一直线上。( × )
例1 (2023·全国乙卷·15)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用
带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是( )
答案 D
解析 小车做曲线运动，所受合力指向曲线的凹侧，故A、B 错误；小车沿轨道从左向右运
动，动能一直增加，故合力方向与运动方向的夹角始终为锐角，C 错误，D 正确。
曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
1．速度方向与运动轨迹相切；
2．合力方向指向曲线的“凹”侧；
3．运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
考点二 运动的合成与分解
1．基本概念
(1)运动的合成：已知分运动求合运动。
(2)运动的分解：已知合运动求分运动。
2．遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。
3．运动分解的原则
根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解法。
4．合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响。
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果。
1．合运动的速度一定比分运动的速度大。( × )
2．只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。( × )
3．曲线运动一定不是匀变速运动。( × )
例2 跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静
止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是( )
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成的动作越多
B．风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
答案 C
解析 运动员同时参与了两个分运动，竖直方向向下落的运动和水平方向随风飘的运动，两
个分运动同时发生，相互独立，水平方向的风力大小不影响竖直方向的运动，即落地时间和
着地时竖直方向的速度不变，故A、B 错误，C 正确；水平风力越大，水平方向的速度越大，
则落地时的合速度越大，故D 错误。
例3 (2023·河南新乡市检测)快递公司推出了用无人机配送快递的方法。某次配送快递无
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
人机在飞行过程中，水平方向速度vx和竖直方向速度vy与飞行时间t 的关系图像分别如图甲、
乙所示。规定竖直向上为vy的正方向，下列关于无人机运动的说法正确的是( )
A．0～t1时间内，无人机做曲线运动
B．t2时刻，无人机运动到最高点
C．t3～t4时间内，无人机做匀变速直线运动
D．t2时刻，无人机的速度大小为
答案 D
解析 在0～t1时间内，无人机在水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，在竖直方向也
做初速度为零的匀加速直线运动，则合运动为匀加速直线运动，选项A 错误；在0～t4时间
内，无人机竖直方向速度一直为正，即一直向上运动，则在t2时刻，无人机还没有运动到最
高点，选项B 错误；在t3～t4时间内，无人机水平方向做速度为v0的匀速直线运动，竖直方
向做匀减速直线运动，则合运动为匀变速曲线运动，选项C 错误；在t2时刻，无人机的水平
速度为v0、竖直速度为v2，则合速度大小为，选项D 正确。
判断两个直线运动的合运动性质的方法
1．分别把两个直线运动的初速度和加速度合成，然后根据合加速度特点以及合加速度与合
初速度的方向关系判断合运动的运动性质。
2．常见的情况：
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v 合与a 合共线，为匀变速直线运动
如果v 合与a 合不共线，为匀变速曲线运
动
考点三 绳(杆)端速度分解模型
例4 (2024·四川广安第二中学月考)质量为m 的物体P 置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P 与小车，P 与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v
水平向右做匀速直线运动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向所成夹角为θ2时(如图)，下列
判断正确的是( )
A．P 的速率为v
B．P 的速率为vsin θ2
C．P 处于超重状态
D．P 处于失重状态
答案 C
解析 将小车的速度v 进行分解，如图所示，则有vP＝vcos θ2，选项A、B 错误；
小车向右运动，θ2减小，v 不变，则vP逐渐增大，说明物体P 沿斜面向上做加速运动，处于
超重状态，选项C 正确，D 错误。
例5 (2023·河南南阳市检测)甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用铰链与轻直杆连接，乙球
处于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。无初速度
释放，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m 时，甲球的速度为v1，乙球的速
度为v2，如图所示，下列说法正确的是( )
A．v1∶v2＝∶3
B．v1∶v2＝3∶7
C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D．甲球即将落地时，乙球的速度达到最大
答案 B
解析 设当乙球距离起点3 m 时，轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿杆方向的分量为
v1 杆＝v1cos θ，v2在沿杆方向的分量为v2 杆＝v2sin θ，而v1 杆＝v2 杆，由题意有cos θ＝，sin θ
＝，解得＝，选项A 错误，B 正确；甲球即将落地时，有θ＝90°，此时甲球的速度达到最
大，而乙球的速度为零，选项C、D 错误。
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
1．题型特点
与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上。
2．明确合速度与分速度
合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线
3．解题原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分速度，根据沿绳(杆)方向的分速
度大小相等求解，常见的模型如图所示。
考点四 小船渡河模型
例6 (多选)(2023·福建泉州市二模)如图，小船以大小为v1＝5 m/s、船头与上游河岸成θ＝
60°角的速度(在静水中的速度)从A 处渡河，经过一段时间正好到达正对岸B 处。已知河宽d
＝180 m，则下列说法中正确的是( )
A．河中水流速度为2.5 m/s
B．小船以最短位移渡河的时间为24 s
C．小船渡河的最短时间为24 s
D．小船以最短时间渡河时到达对岸的位移大小是90 m
答案 BD
解析 河中水流速度为v2＝v1cos 60°＝2.5 m/s，选项A 错误；小船以最短位移渡河的时间为
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
t＝＝ s＝24 s，选项B 正确；当船头方向指向正对岸时渡河时间最短，则小船渡河的最短时
间为tmin＝＝ s＝36 s，选项C 错误；小船以最短时间渡河时到达对岸沿水流方向的位移大
小是x＝v2tmin＝2.5×36 m＝90 m，则总位移大小s＝＝90 m，选项D 正确。
拓展
1．若船头正对河岸渡河时，河水速度突然增大，渡河时间变化吗？
答案 渡河时间不变，渡河时间与河水速度无关。
2．若在A 处下游180 m 后为危险水段，要使船安全到达对岸，船的最小速度为多少？
答案 设船恰好到达危险水域边缘，图示方向船速最小，v1′＝v2sin α，tan α＝＝，得α＝
30°，所以船的最小速度为v1′＝v2sin 30°＝1.25 m/s。
小船渡河的两类情况
最短时间
最短航程
v 船>v 水
v 船<v 水
tmin＝
lmin＝d，cos θ＝
lmin＝d·，cos θ＝
课时精练
1．(2024·吉林通化市模拟)关于曲线运动，下列说法正确的是( )
A．曲线运动一定是匀变速运动
B．物体做曲线运动时，加速度一定不为零
C．物体做曲线运动时，不可能受恒力的作用
D．物体做曲线运动时，加速度方向与速度方向可能在同一直线上
答案 B
解析 曲线运动加速度可以恒定，也可以不恒定，A 错误；物体做曲线运动时，速度方向时
刻改变，速度的变化量一定不为零，则加速度一定不为零，B 正确；物体做曲线运动时，可
能受恒力的作用，例如平抛运动，C 错误；物体做曲线运动的条件是加速度方向与速度方向
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
不在同一直线上，D 错误。
2．(2023·辽宁卷·1)某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受
合力F 的示意图可能正确的是( )
答案 A
解析 篮球做曲线运动，所受合力指向运动轨迹的凹侧，故选A。
3．(2024·江西省模拟)潜艇从海水的高密度区驶入低密度区，浮力急剧减小的过程称为“掉
深”。如图a 所示，某潜艇在高密度区水平向右匀速航行，t＝0 时，该潜艇开始“掉深”，
潜艇“掉深”后其竖直方向的速度vy随时间t 变化的图像如图b，水平速度vx保持不变，若
以水平向右为x 轴正方向，竖直向下为y 轴正方向，则潜艇“掉深”后的0～30 s 内能大致
表示其运动轨迹的图形是( )
答案 B
4.(多选)(2023·河南郑州市第二十四中学检测)如图所示，不可伸长的轻绳平行于斜面，一端
与质量为m 的物块B 相连，B 在光滑斜面上。轻绳另一端跨过滑轮与质量为M 的物块A 连
接。A 在外力作用下沿竖直杆以速度v1向下匀速运动，物块B 始终沿斜面运动且斜面始终
静止，当轻绳与杆的夹角为β 时，物块B 的速度大小为v2。斜面倾角为α，重力加速度为
g，下列说法正确的是( )
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A.＝
B.＝cos β
C．轻绳拉力一定大于mgsin α
D．斜面受到地面水平向左的摩擦力
答案 ACD
解析 根据A、B 沿绳方向的速度相等，有v1cos β＝v2，解得＝，故A 正确，B 错误；由于
A 在外力作用下沿竖直杆以速度v1向下匀速运动，轻绳与杆的夹角逐渐减小，则B 的速度
大小v2逐渐增大，即B 沿斜面向上做加速运动，B 的加速度沿斜面向上，对B 进行受力分
析可知轻绳拉力一定大于mgsin α，故C 正确；B 对斜面有斜向右下方的压力，斜面在该压
力作用下有向右运动的趋势，则斜面受到地面水平向左的摩擦力，故D 正确。
5．(2024·湖北省模拟)有一个质量为4 kg 的质点在xOy 平面内运动，在x 方向的速度图像和
y 方向的位移图像分别如图甲、乙所示。下列说法正确的是( )
A．质点做匀变速直线运动
B．质点所受的合外力为22 N
C．t＝2 s 时质点的速度大小为6 m/s
D．零时刻质点的速度大小为5 m/s
答案 D
解析 由题图可知，质点在x 轴方向上做匀加速直线运动，在y 轴方向上做匀速直线运动，
合力的方向沿x 轴方向，在x 轴方向上的初速度大小为3 m/s，在y 轴方向上的速度大小为
4 m/s，则初速度大小v0＝ m/s＝5 m/s，初速度方向不沿x 轴方向，所以质点做匀变速曲线
运动，故A 错误，D 正确；质点在x 轴方向上的加速度为ax＝1.5 m/s2，y 轴方向上的加速度
为零，则合加速度为a＝1.5 m/s2，所以合外力为F＝ma＝4×1.5 N＝6 N，故B 错误；t＝2 s
时质点在x 轴方向上的速度大小为vx＝6 m/s，在y 轴方向上的速度大小为vy＝4 m/s，则合速
度大小为v＝ m/s>6 m/s，故C 错误。
6.在水平面上有A、B 两物体，通过一根跨过光滑轻质定滑轮的轻绳相连，现A 物体以v1的
速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面的夹角分别为α、β 时(如图所示)，B 物体的速度
vB为(绳始终有拉力)( )
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A. B. C. D.
答案 D
解析 将两物体的速度分别沿绳方向和垂直绳方向分解，两物体沿绳方向的分速度大小相等，
则有v1cos α＝vBcos β，解得B 物体的速度为vB＝，故选D。
7.(多选)如图所示，甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为d，M、N 分别是甲、
乙两船的出发点，两船头与河岸均成α 角，甲船船头恰好对准N 点的正对岸P 点，经过一段
时间乙船恰好到达P 点，如果划船速度均为v0，且两船相遇不影响各自的航行。下列说法正
确的是( )
A．水流方向向右，大小为v0cos α
B．甲船沿岸方向水平位移为
C．甲乙两船不会在NP 上某点相遇
D．两船同时到达河对岸，渡河时间均为
答案 AD
解析 由于乙船恰好到达P 点，则水流方向向右，且乙船沿河岸方向的分速度恰好等于水
流的速度，即v 水＝v0cos α，故A 正确；设甲船的过河时间为t，则d＝v0tsin α，甲船水平
位移x 甲＝(v0cos α＋v 水)t，联立解得x 甲＝，故B 错误；由于乙船沿NP 运动，在水流的作用
下，甲船到达对岸时，应在P 点的右侧，而两船在垂直河岸方向速度相同，一定会相遇，
且在NP 上某点相遇，故C 错误；两船在垂直河岸方向的分速度都为v 垂直＝v0sin α，河宽d
一定，因此两船同时到达河对岸，渡河时间均为t＝＝，故D 正确。
8．(2023·江苏卷·10)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向
右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的
几何图形是( )
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
答案 D
解析 以罐子为参考系，沙子在水平方向向左做初速度为零的匀加速直线运动，在竖直方向
做自由落体运动，合加速度恒定，沙子在空中排列在一条斜向左下的直线上，故选D。
9.(2024·山东泰安市模拟)如图所示，一根长为L 的轻杆OA，O 端用铰链固定，另一端固定
着一个小球A，轻杆靠在一个质量为M、高为h 的物块上。若物块与地面摩擦不计，则当物
块以速度v 向右运动至杆与水平方向夹角为θ 时，小球A 的线速度大小为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 当物块以速度v 向右运动至杆与水平方向夹角为θ 时，B 点的线速度等于物块的速度
在垂直于杆方向上的分速度vB＝vsin θ，则杆的角速度ω＝＝＝，小球A 的线速度大小vA＝
Lω＝，故选A。
10.(2023·黑龙江哈尔滨市九中二模)如图所示，一竖直杆固定在小车上，杆与小车总质量为
M。杆上套有一质量为m 的物块，杆与物块间的动摩擦因数为μ＝0.5。对小车施加一水平力，
同时释放物块，使小车和物块均由静止开始加速运动，测得t 时刻小车的速度为v＝gt，g 为
重力加速度，不计空气阻力和地面摩擦。则t 时刻物块的速度大小为( )
A.gt B.gt C．2gt D.gt
答案 B
解析 由于t 时刻小车的速度为v＝gt，可知小车的加速度大小为g，方向水平向右，对物块
在水平方向有FN＝mg，在竖直方向有mg－μFN＝ma，vy＝at，则t 时刻物块的速度大小vt
＝，解得vt＝gt，故选B。
11.(2023·山西大同市模拟)如图所示，在风洞实验室中，从A 点以水平速度v0向左抛出一个
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
质量为m 的小球(可视为质点)，小球抛出后所受空气作用力沿水平方向，其大小为F，经过
一段时间小球运动到A 点正下方的B 点处，重力加速度为g，在此过程中，求：
(1)小球离A、B 所在直线的最远距离；
(2)A、B 两点间的距离；
(3)小球的最大速率vmax。
答案 (1) (2)
(3)
解析 (1)将小球的运动沿水平方向和竖直方向分解，水平方向有F＝max，v0
2＝2axxmax，
解得xmax＝。
(2)水平方向速度减小为零所需时间t1＝
由对称性知小球从A 运动到B 的总时间t＝2t1
竖直方向上有y＝gt2＝。
(3)小球运动到B 点时速率最大，
此时有vx＝v0，vy＝gt，
则vmax＝＝。
12
