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第 4 章 曲线运动
第 1 节 曲线运动 运动的合成与分解
学生用书P34
考点 1 曲线运动的条件和特征 提分关键·规律总结
1.物体做曲线运动的条件 曲线运动中速率变化的判断
D '+E CE
> ,3
>
+ C'E
> ,3
2.曲线运动的特征
考点 2 运动的合成与分解
曲线运动是变速运动 加速度必不为
（１） ， ０。
1.合运动与分运动的重要性质
若做曲线运动的物体所受合力恒定 物体
（２） ，
做匀变速曲线运动 若所受合力变化 物体做 合运动与分运动 分运动与分运动经历的时间相
； ， 等时性 、
变加速曲线运动 等 即同时开始 同时进行 同时停止
。 ， 、 、
曲线运动的轨迹 始终夹在合力方向与速 各分运动相互独立 不受其他运动的影响 各
（３） ： 独立性 ， ，
度方向之间 而且向合 力 的 方 向 弯 曲 如 图 分运动共同决定合运动的性质和轨迹
， ，
所 示 各分运动叠加起来与合运动有完全相同的
等效性
。
效果
W
'
2.运算法则：平行四边形定则
。
3.运动分解的方法：根据运动的效果分解 也
即练即清 ，
可采用正交分解法
。
判断正误，正确的打√，错误的打 。
✕ 4.合运动性质的判断
如图所示为质点做匀变速曲线运动的轨迹 且
， 两个分运动 合运动
质点运动到 Ｄ 点时速度方向与加速度方向恰好
（不共线） 推断依据 运动性质
相互垂直
。
" 两个匀速直线运动 ｖ ａ 匀速直线运动
０≠０， ＝０
#
$ & 一个匀速直线运动和 ｖ ａ 且 匀变速
% ０≠０， ≠０
一个匀变速直线运动 ｖ 与ａ不共线 曲线运动
质点经过 Ｃ 点时的速率比经过 Ｄ 点时的速 ０
（１）
ｖ 与ａ共线时 匀变速直线运动
率大 两个初速度不为零
０
。 （ ）
质点经过 Ｄ 点时的加速度比经过 Ｂ 点时的 的匀变速直线运动 ｖ 与ａ不共线时 匀变速曲线运动
（２） ０
加速度大 匀加速直线运动
。 （ ） 两个初速度为零的
从 Ｂ 到 Ｅ 的过程中质点的加速度方向与速 ｖ ａ 运动方向与ａ
（３） 匀加速直线运动 ０＝０， ≠０ （
度方向的夹角先增大后减小 的方向相同
）
。 （ ）
答案 典例1 （ 届泰安新泰中学二模）（多选）如图
（１）√ （２）✕ （３）✕ ２０２４
所示 把质量为 ｍ 的小球以大小为 ｖ 的速度从
， ０
第4章 曲线运动 ３７
空中的 Ｐ 点水平向右抛出 同时对小球施加大 河水流速 ｖ 的河流中进行水上救援演
， １ ＝５ ｍ／ｓ
小为 ｍｇ 方向斜向左上方的恒力 Ｆ 作用 θ 练 可视为质点的冲锋舟到下游危险区的距离
３ 、 ， ＝ ，
° 不计空气阻力 重力加速度为 ｇ 下列判 ｘ 其在静水中的速度为 ｖ 则
６０ 。 ， 。 ＝７５ ｍ， ２， （ ）
断正确的是 Y
（ ）
'
!"
E K
W
1
小球的加速度大小总为 ｇ
Ａ．
若冲锋舟在静水中的初速度为 船头垂直于
ｖ２
Ａ． ０，
小球向右运动的最大位移为 ３ ０
Ｂ． ｇ 对岸 以恒定的加速度 ａ ． ２ 冲向对
４ ， ＝ ０ ９ ｍ／ｓ
小球经过一段时间会落地 岸 则能安全到达对岸
Ｃ． ，
ｖ 若冲锋舟在河流中做匀速直线运动 为了使
小球的最小速度为 ０ Ｂ． ，
Ｄ． 冲锋舟能安全到达河对岸 冲锋舟在静水中
２ ，
解题导引
的速度 ｖ 不得小于
２ ３ ｍ／ｓ
化曲为直
若冲锋舟船头与河岸夹角为 °斜向上游且
Ｃ． ３０
! E
E 以速度 ｖ 匀速航行 则恰能到达正
D ,3 ,UE ２ ＝１０ ｍ／ｓ ，
? 0, E 对岸
,3
冲锋舟以最小的ｖ 匀速航行恰能安全到达对
答案 ＡＤ Ｄ． ２
岸所用的时间为
２５ ｓ
考点 3 小船渡河模型
答案 Ａ
情况 图示 说明
提分关键·方法提升
当船头垂直河岸时
， 分析小船渡河问题的思维流程
渡河时 渡河时间最短 最短
，
EU7+KE
间最短 ｄ
时间ｔ E+?
ｍｉｎ＝ｖ
船
EU7K! EU7,
当ｖ ｖ 时 满足ｖ
水＜ 船 ， 水－ $"+E L!+E
ｖ θ 渡河位移
船 ｃｏｓ ＝０， !"+EW U 7 L!+EW U
! 7
最短 最短渡河位移 !! # 7
，
ｘ ｄ
ｍｉｎ＝ E+
渡河位 7,+KEW
当ｖ ｖ 时 船头方向
水＞ 船 ，
移最短
（ 即ｖ 船 方向 ） 与合速度 考点 4 关联速度模型
方向垂直 渡河位移
，
情境图示 分解图示 定量结论
最短 最短渡河位移
，
ｄｖ
ｘ 水 ｖ ｖ
ｍｉｎ＝ ｖ
船
Ｂ＝ １＝
ｖ θ
Ａ ｃｏｓ
典例2 如图所示 消防员正在宽度 ｄ
， ＝１００ ｍ、
３８ 5年高考3年模拟 A版 高考物理
续表 下列判断正确的是
（ ）
情境图示 分解图示 定量结论
W
"
ｖ ｖ #
０＝ １＝ W
#
ｖ θ
Ａ ｃｏｓ
小车 Ａ 做减速直线运动
Ａ．
ｖ ｖ 则
Ａ １＝ Ｂ １， 绳子拉力大于物体 Ｂ 的重力
Ｂ．
ｖ α
Ａ ｃｏｓ ＝ 小车 Ａ 的速度大小可表示为 ｖ θ
Ｃ． Ｂ ｃｏｓ
ｖ β
Ｂ ｃｏｓ 小车 Ａ 受到地面的支持力逐渐变小
Ｄ．
ｖ ｖ 则
Ａ １＝ Ｂ １， 答案 Ａ
ｖ α
Ａ ｃｏｓ ＝ 提分关键·规律总结
ｖ α
Ｂ ｓｉｎ 明确合速度与分速度
（ ）合速度为物体实际运动的速度，一般分解合速度，不
典例3 （ 届菏泽模拟）如图所示 在不计滑 １
２０２４ ，
分解分速度。
轮摩擦和绳子质量的条件下 小车 Ａ 在水平外
， （ ）绳、杆两端连接的物体速度大小不一定相等，但沿
力作用下沿水平地面向左做直线运动 绳子跨 ２
， 绳、杆方向的分速度大小一定相等。
过定滑轮拉着物体 Ｂ 以速度 ｖ 竖直匀速上升
Ｂ ，
第4章 曲线运动 ３９
第 2 节 抛体运动
学生用书P36
考点 1 平抛运动的基本规律
即练即清
以抛出点为坐标原点 以初速度方向为 ｘ 轴正 判断正误，正确的打√，错误的打
，
✕
方向 竖直向下为ｙ轴正方向 建立坐标系
一个小球从空中某点水平抛出 先后经过空中
， ，
，
运动 的 Ａ Ｂ 两点 不计空气阻力
、 ， 。
图示
小球做非匀变速曲线运动
（１） 。 （ ）
小球经过 Ａ 点的速度大小大于经过 Ｂ 点的
（２）
速度大小
。 （ ）
! UW W
速度 Y UW W W Ａ 点到 Ｂ 点的速度变化量大小与小球在 Ａ
E Y W Z HU （３） 、
关系
UUBO?
W
Z
W
Ｂ 间的运动时间成正比
0, UW Z HU Y 。 （ ）
连续相等时间 Ｔ 内 竖直方向上的位移差
! UY WU （４） Δ ，
位移 / UT Y Z Z HU 不变
UUBO? 。 （ ）
关系 0, UZ HU Y W 答案
（１）✕ （２）✕ （３）√ （４）√
提分关键·规律总结
轨迹 ｇ
ｙ ｘ２
方程 ＝ ｖ２ 平抛运动速度和位移的变化规律
２ ０
（ ）速度的变化规律
重要
ｘ １
ｘ′ θ α
推论 ＝ ，ｔａｎ ＝２ ｔａｎ 相等时间 Ｔ 内的速度变化量相等： ｖ ｇ Ｔ，方向竖直
２ Δ Δ ＝ Δ
向下，如图所示。
续表
明确速度方向
（ ）
ｖ ｇｔ
由 θ ｙ
ｔａｎ ＝ｖ ＝ｖ
ｘ
０
ｖ θ
得ｔ ０ ｔａｎ
＝ ｇ
（ ）位移的变化规律
２
明确位移关系
①
相等时间
Δ
Ｔ内的水平位移相等：
在半圆内的平抛运动 （ ）
ｘ ｖ Ｔ。 由Ｒ Ｒ２ ｈ２ ｖ ｔ
Δ ＝ ０Δ ＋ － ＝ ０
连续相等时间 Ｔ 内，竖直方向上的位移差不变，即
② Δ 得ｔ
Ｒ
＋
Ｒ２
－
ｈ２
ｙ ｇ（ Ｔ）２。 ＝ ｖ
Δ ＝ Δ ０
明确速度方向
考点 2 与斜面或圆弧面有关的平抛运动 （ ）
ｖ ｇｔ
1.斜面约束 由 θ ｙ
ｔａｎ ＝ｖ ＝ｖ
ｘ
０
明确末速度方向 ｖ θ
（ ） 得ｔ ０ ｔａｎ
ｖ ｖ ＝ ｇ
由 θ ０ ０得
ｔａｎ ＝ｖ ＝ｇｔ
ｙ 典例1 如图所示 阳光垂直照射到斜面上 在
， ，
ｖ
ｔ ０ 斜面顶端把一小球水平抛出 小球刚好落在木
＝ｇ θ ，
ｔａｎ
板底端 Ｂ 点是运动过程中距离斜面最远处 Ａ
明确速度方向 。 ，
（ ）
点是小球在阳光照射下小球经过 Ｂ 点的投影
ｖ ｇｔ
由 θ ｙ 得
ｔａｎ ＝ｖ ＝ｖ 点 不计空气阻力 则
０ ０ 。 ， （ ）
ｖ θ W
ｔ ０ ｔａｎ 0
＝ ｇ
#
明确位移方向 K
（ ） "
ｘ ｖ ｔ ｖ %
W 由 θ ０ ２ ０
/ ｔａｎ ＝ ｙ ＝ ＝ ｇｔ
,L
Z
１ ｇｔ２ ?
Y ２ $
ｖ
得ｔ ＝ｇ ２ ０ θ 小球在斜面上的投影做匀速运动
ｔａｎ Ａ．
明确位移方向 ＯＡ 与 ＡＣ 长度之比为
（ ） Ｂ． １ ∶ ３
若 Ｄ 点在 Ｂ 点的正下方 则 ＯＤ 与 ＤＣ 长度
１ｇｔ２ Ｃ． ，
ｙ
由 θ ２ 相等
ｔａｎ ＝ ｘ ＝ ｖ ｔ ＝
０ 减小小球抛出的速度 小球可能垂直落到斜
ｇｔ ｖ θ Ｄ． ，
得ｔ ２ ０ ｔａｎ
ｖ ＝ ｇ 面上
２ ０
答案 Ｃ
2.圆弧面约束
提分关键·方法提升
明确速度方向
（ ） 小球离斜面最大距离分析
ｖ ｇｔ
由 θ ｙ （ ）沿水平方向、竖直方向建坐标系
ｔａｎ ＝ｖ ＝ｖ １
ｘ
０
ｖ θ
得ｔ ０ ｔａｎ
＝ ｇ
４０ 5年高考3年模拟 A版 高考物理
Z W
W B C
0
Y
W
F G
E D
答案 ．
速度与水平方向夹角为 θ 时，离斜面距离最大，此时 １ ８ ｍ
ｇｔ 考点 4 斜抛运动
θ 。
ｔａｎ ＝ｖ
０ 以抛出点为坐标原点 Ｏ 水平向右为 ｘ 轴
（ ）沿斜面和垂直斜面建坐标系 ，
２ 的正方向 竖直向上为ｙ轴的正方向 建立
， ，
平面直角坐标系 如图所示
， 。
运动图示
速度ｖ ｖ ｖ θ
水平方向 ｘ＝ ０ ｘ＝ ０ ｃｏｓ
位移ｘ ｖ ｔ ｖ θ ｔ
＝ ０ ｘ ＝（ ０ ｃｏｓ ）
速度ｖ ｖ ｇｔ ｖ θ ｇｔ
ｙ＝ ０ ｙ－ ＝ ０ ｓｉｎ －
竖直方向
L+ EC.U
位移ｙ
＝
ｖ
０ ｙ
ｔ
－
１ｇｔ２
＝（
ｖ
０ ｓｉｎ
θ
）
ｔ
－
１ｇｔ２
Z U ２ ２
W HZ Z E
Z Z
E,3D ｖ θ
,!? )L+C. 飞行时间 ｔ ２ ０ ｓｉｎ
总＝ ｇ
考点 3 类平抛运动的分析
ｖ ２ ２ θ
射高 Ｈ ０ ｓｉｎ
ｍ＝ ｇ
以抛出点为坐标原点 以初速度方向为 ｘ 轴正 ２
，
方向 ， 合力方向为ｙ轴正方向 ， 建立坐标系 ｘ ｖ ０ ２ ｓｉｎ ２ θ
射程 ｍ＝ ｇ
运动 W
0
Y 若ｖ 一定 当θ °时 ｘ 最大
图示 T （ ０ ， ＝４５ ， ｍ ）
B " W 典例3 （ 江西， ， 分）（多选）一条河流某
Y ２０２４ ８ ６
W W
Z Z 处存在高度差 小鱼从低处向上跃出水面 冲到
， ，
高处 如图所示 以小鱼跃出水面处为坐标原
速度 E UW W UW W W 。 ，
Y E Y W Z
关系 UW BU UUBO WZ B W U 点 ， ｘ 轴沿水平方向 ， 建立坐标系 ， 小鱼的初速
Z Y
度为 ｖ 末速度 ｖ 沿 ｘ 轴正方向 在此过程中
０， 。 ，
E UY WU UT Y Z
位移 / 小鱼可视为质点且只受重力作用 关于小鱼的
Z BU 。
UUBO
关系 UZ BU Y W 水平位置 ｘ 、 竖直位置 ｙ 、 水平方向分速度 ｖ ｘ 和
竖直方向分速度 ｖ 与时间 ｔ 的关系 下列图像
典例2 如图所示 倾角为 θ °的光滑斜面体 ｙ ，
， ＝３０ 可能正确的是
（ ）
固定在水平地面上 斜面 ａｂｃｄ 为正方形 一小
， 。 Z W
球从斜面的顶点ａ 处以大小ｖ ． 的初速
０ ＝３ ０ ｍ／ｓ
度平行ａｂ 方向抛出 小球恰好从ｂｃ 边的中点飞
， W
出 已知重力加速度 ｇ 取 ２ 求斜面 ａｂｃｄ
。 １０ ｍ／ｓ ，
的边长 0 Y
。
第4章 曲线运动 ４１
Y Z W W 仅将 α 变小 小球运动的时间变长
Y Z Ａ． ，
仅将 α 变小 小球仍可能垂直打在墙面上
Ｂ． ，
0 U 0 U 0 U 0 U 仅将 ｖ 变大 小球运动的时间变短
Ｃ． ０ ，
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 将ｖ 变大 同时将α 变小 小球仍可能垂直打
答案 ＡＤ Ｄ． ０ ， ，
在墙面上
高考变式 由定态到动态 （多选）如图所示 将
， 答案 ＢＣＤ
一个小球从 Ｐ 点以大小为 ｖ 的初速度斜向上
０
提分关键·方法提升
抛出 初速度与水平方向的夹角为 α 小球恰好
， ， 逆向思维处理斜抛运动
能垂直打在墙面上 不计小球的大小 不计空气
， ， 利用斜上抛运动至最高点速度水平的特点，可以将斜抛
阻力 重力加速度大小为 ｇ 若改变小球从 Ｐ 点
运动从最高点分段研究，前半段相当于反向的平抛运动，
， ，
抛出的初速度 则关于小球从 Ｐ 点抛出到打在 后半段为平抛运动。
，
墙面上的过程 下列说法正确的是
， （ ）
W
1
４２ 5年高考3年模拟 A版 高考物理
微专题 7 抛体运动中的综合问题
学生用书P39
题型 1 抛体运动中的临界、极值问题 典例1 某运动员从滑雪跳台以不同的速度
1.抛体运动中的临界问题 ｖ 水平跳向对面倾角为 °的斜坡 如图所
０ ４５ （
抛体运动的临界问题的两种常见情境 示 已知跳台的高度为 ｈ 不计空气阻力 重力
（１） ）， ， ，
物体有最大位移 最小位移 最大初速度 加速度为 ｇ 则该运动员落到斜坡上的最小速
① 、 、 、 ，
最小初速度等 度为
。 （ ）
物体的速度方向恰好为某一方向 W
② 。 2
处理抛体运动的临界问题的关键
（２） I
关于临界条件的关键信息 恰好不出界 c
① ：“ ”
1
刚好飞过壕沟 速度方向恰好与斜面平行
“ ”“ ”
速度方向与圆周相切 等 ｇｈ ｇｈ
“ ” 。 Ａ． （ ２－１） Ｂ． （ ３－１）
解题关键 从实际出发寻找临界点 画出物
ｇｈ ｇｈ
② ： ，
Ｃ． （ ５－１） Ｄ． （ ６－１）
体运动的草图 确定临界条件
解题导引
， 。
2.抛体运动中的极值问题 -D !0
9
U ,/KK *
抛体运动的极值问题主要是利用抛体运动规 E
/ 2 +> 0E
K+
律和几何关系 列出关系式 得到相关的函数 !0,/
， ， 2
I+2
关系 利用数学方法得到最大值或最小值的
，
答案 Ｃ
问题 常见的数学方法有二次函数求极值
。 、
均值不等式求极值 导数求极值等 极值问 题型 2 立体空间中的抛体运动问题
、 。
题中往往蕴含临界问题 处理三维空间的抛体运动问题 核心思想为建
。 ，
立合适的坐标系 将三维问题降为二维问题 将 抛相遇等
， ， 。
立体空间问题转化为平面问题 结合合成与分 2.解题方法
，
解的思想 化曲为直 进行求解 两物体相遇即二者同一时刻到达空间同一位
“ ”， 。
典例2 （ 山东， ， 分）（多选）如图所示 某 置 利用运动的合成与分解将二维的追及相
２０２２ １１ ４ ， 。
遇问题转化为一维的追及相遇问题 根据运
同学将离地 ． 的网球以 的速度斜向
，
１ ２５ ｍ １３ ｍ／ｓ
动过程图列出相应的速度关系 位移关系和
上击出 击球点到竖直墙壁的距离 ． 当网
、
， ４ ８ ｍ。
时间关系
球竖直分速度为零时 击中墙壁上离地高度为
。
，
． 的 Ｐ 点 网球与墙壁碰撞后 垂直墙面 典例3 （ 湖南， ， 分）如图 我国某些
２０２３ ２ ４ （ａ），
８ ４５ ｍ 。 ，
农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种 某
速度分量大小变为碰前的 ． 倍 平行墙面的
。
０ ７５ ，
次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图 所
速度分量不变 重力加速度 ｇ 取 ２ 网球 （ｂ）
。 １０ ｍ／ｓ ，
示 其轨迹在同一竖直平面内 抛出点均为 Ｏ
碰墙后的速度大小 ｖ 和着地点到墙壁的距离 ｄ
， ， ，
且轨迹交于 Ｐ 点 抛出时谷粒 和谷粒 的初
分别为
， １ ２
（ ）
速度分别为 ｖ 和 ｖ 其中 ｖ 方向水平 ｖ 方向
１ ２， １ ， ２
斜向上 忽略空气阻力 关于两谷粒在空中的运
， ，
动 下列说法正确的是
， （ ）
ｖ ｖ
Ａ． ＝５ ｍ／ｓ Ｂ． ＝３ ２ ｍ／ｓ
ｄ ． ｄ ．
Ｃ． ＝３ ６ ｍ Ｄ． ＝３ ９ ｍ
图
答案 ＢＤ （ａ）
高考变式 空间几何关系 试计算出网球着地
点与击出点之间的距离
。
答案 ．
７ ６６ ｍ
图
提分关键·方法提升 （ｂ）
谷粒 的加速度小于谷粒 的加速度
Ａ． １ ２
降维法一般步骤
谷粒 在最高点的速度小于 ｖ
Ｂ． ２ １
-KM BU *K
)?KM 两谷粒从 Ｏ 到 Ｐ 的运动时间相等
4" Ｃ．
两谷粒从 Ｏ 到 Ｐ 的平均速度相等
EL E E+L>KM
Ｄ．
解题导引
E+LUE E+')>
!?KM
KM!?
A10, D0, W
L!?+3 E= U W A1
3 0
30
A1
A10, D7*9
1
题型 3 抛体运动中的相遇问题
A1/, U!/, U0,
1.常见类型 /,
常见的有平抛与直线运动相遇 平抛与平抛 答案 Ｂ 高考变式 平抛与竖直上抛相遇
、
运动相遇 平抛与竖直上抛相遇 平抛与斜上 （多选）如图 物体甲从高 Ｈ 处以速度 ｖ 平抛
、 、 ， １ ，
第4章 曲线运动 ４３
同时乙从水平方向距甲 ｓ 处由地面以初速度 若要物体乙在上升过程中与甲相遇 必须满
Ｂ． ，
ｖ 竖直上抛 不计空气阻力 重力加速度为 ｇ 则 ｓ Ｈ
２ ， ， ， 足 ｖ ｇＨ
ｖ ＝ｖ ， ２＞
１ ２
（ ）
若要物体乙在下降过程中与甲相遇 必须满
W
* Ｃ． ，
ｓ Ｈ ｇＨ
足 ｖ
) W ｖ ＝ｖ ， ２＞
１ ２ ２
Ｈ
若相遇点离地高度为 则 ｖ ｇＨ
若两物体在空中能够相遇 从抛出到相遇的 Ｄ． ， ２ ＝
２
Ａ． ，
答案 ＡＢＤ
Ｈ
时间为
ｖ
２
４４ 5年高考3年模拟 A版 高考物理
第 3 节 圆周运动
学生用书P41
考点 1 圆周运动的运动学问题 创作的 武经总要 其原理如图乙 将一根圆轴
《 》， ，
1.描述圆周运动的物理量间的关系 削成同心而半径不同的大小辘轳 其上绕以绳
，
EB 索 绳下加动滑轮 滑轮下挂上重物 人转动把
O B W ， ， ，
?T O S 手带动辘轳旋转便可轻松将重物吊起 ａ ｂ 分
3EW ? U B O ?S ?W B ? S 别是大小辘轳边缘上的两点 在起吊 。 过程 、 中
O 5
。 ，
W ?S
下列说法正确的是
>E? ? ? W ? S （ ）
?U 5 BC
?
?
5
W ?SG
5
? ?G #D
5
G F'
M(G DEO
甲 乙
ａ 点的线速度等于 ｂ 点的线速度
2.常见的传动方式
Ａ．
人对把手做的功等于重物机械能的增加量
共轴传动 皮带传动 齿轮传动 摩擦传动 Ｂ．
滑轮对重物的力与重物的重力是一对作用力
Ｃ．
与反作用力
传
图乙中滑轮会顺时针转动
动
Ｄ．
装
答案 Ｄ
置
图
考点 2 圆周运动的动力学问题
图像 合力作用效果
基
本 角速度相同 轮缘或啮合处线速度大小相等 所受合力提供向心力
特
征
ω ω ｖ ｖ ω ω Ｒ ｒ
匀速
0
'
W
Ｆ
合＝
ｍａ
ｎ ＝
ｍ ｖ
ｒ
２
＝
ｍｒω２
＝
定 Ａ＝ Ｂ Ａ＝ Ｂ， Ａ ∶ Ｂ＝ ∶ 圆周
量 ｖ ｖ ｒ Ｒ ａ ａ Ｒ ｒ ｍ４π ２ ｒ ｍωｖ
关 Ａ ∶ Ｂ＝ ∶ Ａ ∶ Ｂ＝ ∶ Ｔ２ ＝
系
ａ ａ ｒ Ｒ 齿数比等于半径比
Ａ ∶ Ｂ＝ ∶ （ ）
典例1 如图甲 绞车记载于北宋曾公亮和丁度
，
续表 甲图中两摆球的线速度大小相等
Ｂ．
乙图中两个小球的线速度大小相等
变速 ' O Ｆ 改变速度大小 Ｆ 提供 Ｃ．
0 ｔ ； ｎ 乙图中两个小球的角速度大小相等
'
圆周 U 向心力 改变速度方向 Ｄ．
'
， 链接高考 （ 福建， ， 分）一种离心测
（３） ２０２３ １５ １２
Ｆ 时 物体沿切线方向 速器的简化工作原理如图所示 细杆的一端固
＝０ ， 。
飞出 定在竖直转轴 ＯＯ′上的 Ｏ 点 并可随轴一起转
离心 ' ； ，
' NS Ｆ ｍω２ｒ 时 物体逐渐 动 杆上套有一轻质弹簧 弹簧一端固定于 Ｏ
或 ０＜ ＜ ， 。 ，
' NS 远离圆心 点 另一端与套在杆上的圆环相连 当测速器
向心 ' NS ；
， 。
Ｆ
＞
ｍω２ｒ时
，
物体逐渐靠近
稳定工作时 圆环将相对细杆静止 通过圆环的
， ，
圆心
位置可以确定细杆匀速转动的角速度 已知细
。
教考衔接 杆长度ｌ ． 杆与竖直转轴的夹角α 始终为
＝０ ２ ｍ，
° 弹簧原长 ｘ ． 弹簧劲度系数 ｋ
典例2 （人教版必修二 ， 改编）如图 所示 ６０ ， ０ ＝ ０ １ ｍ， ＝
Ｐ４２ Ｔ５ １ ，
圆环质量 ｍ 弹簧始终在弹性
质量为 ｍ 的小球用细绳悬于 Ｐ 点 使小球在水 １００ Ｎ／ｍ， ＝１ ｋｇ；
，
限度内 重力加速度大小取 摩擦力可
２
平面内做匀速圆周运动 重力加速度为 ｇ 小球 ， １０ ｍ／ｓ ，
， ，
忽略不计
可视为质点 。
。
若细杆和圆环处于静止状态 求圆环到 Ｏ 点
1 1 ① ，
的距离
；
M I 求弹簧处于原长时 细杆匀速转动的角速度
② ，
大小
0
0 ；
求圆环处于细杆末端 Ｐ 时 细杆匀速转动的
图 图
③ ，
１ ２
回归教材 若悬挂小球的绳长为ｌ 小球做 角速度大小
（１） ① ， 。
匀速圆周运动的角速度为ω 绳对小球的拉力Ｆ
，
有多大
？
如图 所示 若保持绳长 ｌ 不变 改变轨迹圆
② ２ ， ，
的圆心 Ｏ 到悬点 Ｐ 的距离 ｈ 增大细绳与竖直
，
答案 ｍω２ｌ 增大
方向的夹角θ 则小球做匀速圆周运动的角速度 （１）① ② （２）Ａ
，
ω 将如何变化
． １０ ６
？
（３）①０ ０５ ｍ ② ｒａｄ／ｓ ③１０ ｒａｄ／ｓ
情境变式 图甲是两个圆锥摆 两摆球运动 ３
（２） ，
轨道在同一个水平面内 图乙是完全相同的两
，
个小球在内壁光滑的倒圆锥内做匀速圆周运
动 下列说法正确的是
。 （ ）
B
C
甲 乙
甲图中两摆球的运动周期相等
Ａ．
第4章 曲线运动 ４５
提分关键·方法提升 可视为质点
。
圆周运动中动力学问题的分析思路
-&% #
#MU- D+'
-/A -/A
B
C ?%
- - D+DEL
!K %
2U,+- D
+ 甲 乙
若自行车匀速行驶过程中气门嘴灯可以一
'+DU'+3E
（１）
>E0,F
直亮 求自行车行驶的最小速度
'+ U* -M ， ；
. U- + # J 若自行车以 ｇＲ的速度匀速行驶 求车轮
（２） ２ ，
'MD D-@
每转一圈 气门嘴灯的发光时间
/ ， 。
解题导引
典例3 （ 届青岛一模）很多人在山地自行车
２０２３ 逆推法
上安装了气门嘴灯 夜间骑车时犹如踏着风火
， （ ）
１
轮 格外亮眼 如图甲是某种自行车气门嘴灯
% - P%#
， 。 ，
气门嘴灯内部开关结构如图乙所示 弹簧一端 , 1 1 7=D
： # - D E
固定 另一端与质量为 ｍ 的小滑块 含触点 ａ L2
， （ ）
连接 当触点 ａ ｂ 接触 电路接通使气门嘴灯发 （ ）
， 、 ， ２
光 触点 ｂ 位于车轮边缘 车轮静止且气门嘴 7=DE # 1 1 F
， 。
灯在最低点时触点ａ ｂ 距离为Ｌ 弹簧劲度系数 DD$ %K %*4
、 ，
ｍｇ
为 重力加速度大小为 ｇ 自行车轮胎半径为 答案 ｇＲ π ｇＲ
（１） ３ （２） ｇ ２
Ｌ ， ，
２
Ｒ 不计开关中的一切摩擦 滑块和触点 ａ ｂ 均
， ， 、
４６ 5年高考3年模拟 A版 高考物理
微专题 8 圆周运动的临界、极值问题
学生用书P43
题型 1 水平面内圆周运动的临界、极值 续表
问题 情境 受力分析 临界状态对应规律
情境 受力分析 临界状态对应规律
初始有Ｆ
静＝
ｍω２ｒ
临界状态 静摩擦力
0 '
初始有Ｆ
静＝
ｍω２ｒ
' ' 达 到 最
：
大 有
/ 临界状态 静摩擦力 / ' / ，
S '
L 达 到 最
：
大 有
S '
L
'
LNBY
5 Ｆ
静 ｍａｘ＝
ｍω２临 ｒ
0 ( ， ( ( 随着 ω 继续变大
Ｆ
静 ｍａｘ＝
ｍω２临 ｒ
有Ｆ
静 ｍａｘ＋
Ｆ
Ｔ＝
ｍω２ｒ
，
，
Ｆ 从 开始增大
Ｔ ０
续表 典例1 （ 届泰安肥城模拟）（多选）如图所
２０２３
情境 受力分析 临界状态对应规律 示 水平圆盘可绕竖直轴转动 沿直径方向放着
， ，
临 界 状 态 当 用细线相连的质量均为 ｍ 的物体 Ａ 和 Ｂ 它们
１： ，
Ｆ Ｆ 时 绳子 分居圆心两侧 与圆心距离分别为 Ｒ ｒ Ｒ
0 ' / ' / Ｂ静 ＝ Ｂ ｍａｘ ， ， Ａ ＝ ， Ｂ ＝
" # ' "L " ' 5 ' # ' L 5 # 上将要产生拉力 ２ ｒ ， Ａ 和 Ｂ 与圆盘间的动摩擦因数分别为 μ 和
临 界 状 态 当
0 ( ( ２： μ
" # 圆盘静止时细线刚好伸直且无张力 设最
Ｆ Ａ静 ＝ Ｆ Ａ ｍａｘ 时 ， Ａ 、 Ｂ ２ ， 。
将要发生相对滑动 大静摩擦力等于滑动摩擦力 重力加速度为 ｇ
， ，
Ａ Ｂ 开始滑动的临 现让圆盘从静止开始缓慢加速 则
' ' 、 ， （ ）
/ /
" 0 # ' 界状态
' "L " ' ' #L 5 # ：
5 Ｆ Ｆ ′ ｍ ω２ｒ
( " ( # Ｂ ｍａｘ＋ Ｔ ＝ Ｂ " 0 #
Ｆ Ｆ ｍ ω２ｒ
Ｔ－ Ａ ｍａｘ＝ Ａ S S
通过比较两接触面
'
' / μｇ
/
"
# ' "L " ' #L # "
的
判
动
定谁
摩
先
擦
滑
因
动
数
动
μ 来
摩 Ａ．
当 ω
＜ ４ ｒ
时
，
细线中没有张力
，
( " ( " ( # 擦因数小的先滑动 当 ω μｇ 时 物体 Ａ 受到的摩擦力指向圆心
Ｂ． ＝ ｒ ，
临界状态 当 Ｆ ２
S ' / ： Ｔ ＋ μｇ
0 "
' 5 ( #' "
Ｆ
静 ｍａｘ ＝
ｍ
Ａ
ω２ｒ 时
，
Ａ
Ｃ．
当 ω
＝
３
ｒ
时
，
两物体刚好不滑动
L 物体即将相对圆盘 ２
(
# " 当两物体刚好不滑动时烧断细线 Ａ 仍相对
向外滑动 Ｄ． ，
圆盘静止 Ｂ 将做离心运动
0
M
0
5 临界状态 ： 当Ｆ Ｎ＝０，
答案 ＡＣ
，
' / ｇ
0 0 即 ω 时
＝ ｌ θ ，
ｃｏｓ
NH 小球即将 飘起来
“ ”
第4章 曲线运动 ４７
题型 2 竖直面内圆周运动的临界、极值问题
绳球模型 杆球模型
图示
绳连球 轨道内球 杆连球 管内球 大环套小球
共同特征 绳或轨只能提供指向圆心的力 杆或轨的力既可指向圆心 也可背离圆心
，
现实典例 凹形桥 水流星 飞机俯冲等 打夯机
、 、续表
绳球模型 杆球模型
ｖ２
拉力 ｍｇ Ｆ ｍ
ｖ２ ＋ 杆＝ Ｒ
最高点 ｍｇ Ｆ ｍ
＋ Ｔ＝ Ｒ ｖ２
由 支持力 ｍｇ Ｆ ｍ
牛 － 杆＝ Ｒ
顿
ｖ２ ｖ２
第 最低点 Ｆ ｍｇ ｍ Ｆ ｍｇ ｍ
二 Ｔ－ ＝ Ｒ 杆－ ＝ Ｒ
定
ｖ２
律 若Ｆ ｍｇ ｍ ｖ ｇＲ
列 ｖ２ 杆＝０， ＝ Ｒ， ＝
若Ｆ 即ｍｇ ｍ ｖ ｇＲ
方 最高点 Ｔ＝０， ＝ Ｒ， ＝ ｖ２
程 若Ｆ 背离圆心 ｍｇ Ｆ ｍ ｖ ｇＲ
速度 杆 ， － 杆＝ Ｒ，０≤ ＜
ｖ２ ｖ２
Ｆ 即ｍｇ Ｆ ｍ ｖ ｇＲ 若Ｆ 指向圆心 Ｆ ｍｇ ｍ ｖ ｇＲ
Ｔ≠０， ＋ Ｔ＝ Ｒ， ＞ 杆 ， 杆＋ ＝ Ｒ， ＞
最高点速度范围 ｖ ｇＲ ｖ ｇＲ 绳球模型中球脱轨 ｖ 杆球模型不存在脱轨情况
≥ （ ＜ ， ） ≥０（ ）
最高点临界速度
ｖ ｇＲ 最高点速度不能为 ｖ 最高点速度可以为
恰好 刚好 临＝ （ ０） 临＝０（ ０）
（ 、 ）
'
能力进阶 /
3 B
典例2 如图所示 长为 Ｌ 的轻绳一端拴一个质 0
，
0
CD W
量为 ｍ 的小球 另一端可绕 Ｏ 在竖直平面内自
，
甲 乙
由转动 已知小球通过最高点 Ｐ 时速度为 ｇＬ ｂＲ
， ， 小球的质量为
不计一切阻力 小球可视为质点 ｇ 为重力加速 Ａ． ａ
， ，
度 则 ｂ
当地的重力加速度大小为
。 （ ）
Ｂ． Ｒ
1
当ｖ２ ｃ时 在最高点杆对小球的弹力方向向上
Ｃ． ＝ ，
0
当 ｖ２ ｂ 时 小球处于完全失重状态
- Ｄ． ＝ ，
解题导引
2
P%U)E0LU
小球运动到最低点 Ｑ 时的速度大小为 ｇＬ )+0)+F ' /
Ａ． ６ B
P% )KE
小球运动到最低点 Ｑ 时的速度大小为 ｇＬ
Ｂ． ５ +>U 3 0
CD W
在最高点 Ｐ 小球受到绳的拉力不为零 (+
Ｃ．
P%U )+0
在最高点 Ｐ 小球受到绳的拉力为 ｍｇ
LU) F
Ｄ．
答案 Ｂ
答案 ＢＤ
进阶1 杆球模型 （多选）如图甲所示 轻杆一
，
进阶2 圆环模型 （多选）如图甲所示 质量为
，
端固定在 Ｏ 点 另一端固定一小球 现让小球在
． 的小球套在竖直固定的光滑圆环上 并
， ，
０ ２ ｋｇ ，
竖直平面内做半径为 Ｒ 的圆周运动 小球运动
在圆环最高点保持静止 受到轻微扰动后 小
。
。 ，
到最高点时 杆与小球间的弹力大小为 Ｆ 小 球由静止开始沿着圆环运动 一段时间后 小球
， Ｎ，
， ，
球在最高点的速度大小为 ｖ 其 Ｆ ｖ２ 图像如图 与圆心的连线转过 θ 角度时 小球的速度大小
， Ｎ － ，
乙所示 不计一切阻力 则 为 ｖ ｖ２ 与 θ 的关系如图乙所示 ｇ 取
， 。 （ ） ， ｃｏｓ ，
４８ 5年高考3年模拟 A版 高考物理
则
２ ｇ μ θ θ
１０ ｍ／ｓ 。 （ ） 得 ω （ ｃｏｓ － ｓｉｎ ）
W NeT ｍａｘ ＝ ｒ 。
典例3 （多选）转盘游戏深受人们喜爱 现将其
，
简化为如图所示模型 倾角为 θ °的圆盘绕
DPT 。 ＝３０
垂直于盘面且过圆心的轴做匀速圆周运动 盘
，
甲 乙
面上距离轴 ｒ 处有一可视为质点的小物块与圆
圆环半径为 ．
Ａ． ０ ６ ｍ
盘始终保持相对静止 物块质量为 ｍ 与盘面间
， ，
θ π时 小球所受合力为
的动摩擦因数为 μ 重力加速度为 ｇ 圆盘的角
Ｂ． ＝ ， ４ Ｎ
， ，
２
θ 过程中 圆环对小球的作用力一直 ｇ
Ｃ．０≤ ≤π ， 速度为 ω ２ 最大静摩擦力等于滑动摩擦
＝ ｒ ，
增大
３
力 则
θ 过程中 圆环对小球的作用力先减 ， （ ）
Ｄ．０≤ ≤π ，
小后增大
答案 ＡＤ
题型 3 斜面上圆周运动的临界、极值问题
1.特殊位置受力分析
μ 的最小值为７
Ａ． ３
９
' ' 物块从最低点第一次转到最高点的过程中
G (/ Ｂ． ，
( Y
Z ' '
NH G / 圆盘对物块的冲量大小为２ｍ ｇｒ
( ６
( Y ３
Z
NH 物块运动到任意关于转轴对称的两点时受到
Ｃ．
的摩擦力的大小分别为 ｆ ｆ 一定有 ｆ２
2.临界状态分析 １、 ２， １ ＋
物块相对转盘即将滑动的临界位置在最低点
ｆ２
２＞
ｍ２ｇ２
，
ω 增大 物块在最高点受到的摩擦力一定
物块运动过程中在最低点有 Ｆ ｍｇ θ Ｄ． ，
ｆ － ｓｉｎ ＝
增大
ｍω２ｒ 当 Ｆ μｍｇ θ 时转盘角速度 ω 达到
， ｆ ＝ ｃｏｓ 答案 ＡＣＤ
最大值 此时 μｍｇ θ ｍｇ θ ｍω２ ｒ 可
， ｃｏｓ － ｓｉｎ ＝ ｍａｘ ，
第4章 曲线运动 ４９
实验 5 探究平抛运动的特点
学生用书P46
一、实验原理及装置图 二、操作要领及注意事项
1.装置调节有什么要求：平板必须处于竖直面
内 斜槽末端的切线必须水平
； 。
2.如何进行实验操作：小球每次必须从斜槽上
同一位置由静止释放 开始滚下的位置高度
；
把钢球从同一位置由静止释放 钢球沿着斜槽 要适中 以使小球做平抛运动的轨迹由坐标
， ，
滚下并被水平抛出 落在挡板上 通过复写纸在 纸的左上角一直到达右下角为宜
， ， 。
竖直的坐标纸上留下印迹 逐次下调挡板 重复 3.如何进行作图：坐标原点不是槽口的端点
， ， ，
以上操作得到钢球的一系列运动点迹 应是小球出槽口时小球球心在平板上的投影
。
点 点迹要用平滑曲线连接 不能用折线 五、其他实验方案
； （ ）。
三、数据处理 方案一 对比实验法
1.判断是否为抛物线：在轨迹曲线上取几点
，
"
读出各点坐标值 若各点坐标满足 ｙ ａｘ２ ａ $ 1
， ＝ ， # .
为一特定值 说明轨迹为抛物线 "
， 。
% 2
2.计算平抛运动的初速度
/
#
平抛轨迹完整 即含有抛出点 *
（１） （ ）
在轨迹上任取一点 测出该点与坐标原点的 1.采用如图甲所示的装置 用小锤击打弹性金
， ，
水平距离 ｘ 及竖直距离 ｙ 就可求出初速度 属片 金属片把 Ａ 球沿水平方向弹出 同时 Ｂ
， ， ，
ｇ 球被松开而自由下落 判断相同的两球是否
ｖ ｘ ｖ ｔ ｙ １ｇｔ２ 故 ｖ ｘ ，
０。 ＝ ０ ， ＝ ， ０ ＝ ｙ。 同时落地 听声音判断 若两球同时落地
２ ２
（ ）。 ，
平抛轨迹残缺 即无抛出点
说明平抛运动的竖直分运动为自由落体运动
（２） （ ）
。
在轨迹上任取三点 Ａ Ｂ Ｃ 如图所示 使 Ａ Ｂ
2.采用如图乙所示的装置 两个相同的弧形轨道
、 、 （ ）， 、
，
间及Ｂ Ｃ 间的水平距离相等 设为 ｘ 由平抛运
Ｍ Ｎ 其中 Ｎ 的末端可看成与光滑的水平板相
、 ， ，
、 ，
动的规律可知 在 Ａ Ｂ 间运动与在 Ｂ Ｃ 间运动
切 使相同的两小球以相同的初速度 ｖ 同时分
， 、 、
， ０
所用时间相等 设为 ｔ 重力加速度为 ｇ 则
别从轨道Ｍ Ｎ的末端射出 若两球在Ｐ 球落地
， ， ，
、 。
ｈ ｈ 时相碰 说明平抛运动的水平分运动为匀速直线
ｈ ｈ ｈ ｇｔ２ 所以ｔ
ＢＣ－ ＡＢ
初速度ｖ ，
Δ ＝ ＢＣ－ ＡＢ＝ ， ＝ ｇ ， ０ ＝ 运动
。
ｘ ｇ 方案二 通过频闪照相（或视频录制）记录轨迹
ｘ
ｔ ＝ ｈ ｈ 。
ＢＣ－ ＡＢ 如图丙所示 通过频闪照片得到小球经过相等
，
"
时间间隔所到达的位置 测量出经过 Ｔ Ｔ
I
， ，２ ，
"# #
Y Ｔ 时间小球做平抛运动的水平位移和竖直
３ ，…
I
#$ 位移 分析数据得出小球水平分运动和竖直分
，
$ 运动的特点
Y
。
DDE
四、误差分析及改进措施
1.钢球做平抛运动时受空气阻力影响 选用质 "
。 #
量大 体积小 表面光滑的钢球可以减小因此
、 、 # #
产生的误差
。
2.钢球每次滚下的初位置不完全相同 斜槽末
；
丙 丁
端切线不完全水平 建立坐标系时 坐标原点
； ， 方案三 通过传感器探究平抛运动的特点
的选取有些许偏差 规范进行实验操作 可
。 ， 如图丁所示 物体 Ａ 在做平抛运动 向各个方向
， ，
以减小因此产生的误差
。 同时发射超声波脉冲和红外线脉冲 超声 红
。 －
外接收装置 Ｂ 与计算机相连 计算机可以即时
，
给出 Ａ 的位置坐标 分析坐标探究运动特点
， 。
５０ 5年高考3年模拟 A版 高考物理
实验 6 探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
学生用书P47
一、实验原理及装置图 恒定
。
三、数据处理
D 分别作出 Ｆ ω２ Ｆ ｒ Ｆ ｍ 图像 分析向心力
D ｎ － 、 ｎ － 、 ｎ － ，
大小与角速度 半径 质量之间的关系 并得出
J
、 、 ，
-
结论
6 。
0 四、其他实验方案
方案一 用绳和沙袋定性研究
1.调整塔轮上的皮带 使其套到半径大小不同
如图所示 在绳子的一端拴一个小沙袋 或其他
，
， （
的塔轮上 改变长 短槽旋转角速度之比
小物体 另一端握在手中 将手举过头顶 使
， 、 。
）， 。 ，
2.将小球放在长槽不同的卡位上 改变小球做
沙袋在水平面内做匀速圆周运动 此时沙袋所
，
，
圆周运动的半径
需向心力近似等于绳对沙袋的拉力
。
。
3.小球对挡板的作用力通过杠杆结构使弹簧测
S
力套筒下降 露出标尺 通过标尺上等分格
， 。
的数量 可以粗略计算出两个小球所需向心
，
方案二 用力传感器和光电门传感器探究
力的比值
。
二、操作要领及注意事项
1.控制变量法探究
使两小球的质量 转动的半径相同 探究
（１） 、 ，
向心力的大小跟转动的角速度的定量关系
。
使两小球的质量 转动的角速度相同 探
（２） 、 ，
使用光电门传感器和力传感器 并将其接入数
究向心力的大小跟转动半径的定量关系
，
。
据采集器 根据单位时间挡光杆通过光电门传
使两小球的转动半径 转动的角速度相
，
（３） 、
感器的次数得到角速度 系统将自动记录砝码
同 探究向心力的大小跟质量的定量关系
，
， 。
向心力的大小 Ｆ 从而分析出向心力与质量 转
2.转速控制：摇动手柄时应缓慢加速 注意观
， 、
，
动半径 角速度的关系
察标尺的格数 达到预定格数时 保持转速
、 。
。 ，
第4章 曲线运动 ５１
