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第8 讲 曲线运动 运动的合成与分解
1.掌握曲线运动的概念、特点及条件.
2.掌握运动的合成与分解法则．
考点一 物体做曲线运动的条件及轨迹
1．曲线运动
(1)速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向．
(2)运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动．
(3)曲线运动的条件：物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向
与速度方向不在同一条直线上．
2．合外力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指
向轨迹的“凹”侧．
3．速率变化情况判断
(1)当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大；
(2)当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小；
(3)当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变．
考点二 运动的合成及运动性质分析
1．遵循的法则：
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则．
2．合运动与分运动的关系
(1)等时性:合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止．
(2)独立性:一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响．
(3)等效性:各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果．
3．合运动的性质判断
1
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4．两个直线运动的合运动性质的判断
标准：看合初速度方向与合加速度方向是否共线.
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运
动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v 合与a 合共线，为匀变速直线运动
考点三 小船渡河模型
小船渡河问题分析
(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
(2)三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)．
(3)三种情景
①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t 短＝(d 为河宽)．
②过河路径最短(v2<v1 时)：合速度垂直于河岸，航程最短，s 短＝d.船头指向上游与河岸夹角为
α，cos α＝.
③过河路径最短(v2>v1时)：合速度
不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的
大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：
cos α＝，最短航程：s 短＝＝d.
考点四 绳(杆)端速度分解模型
1．模型特点
沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等．
2．思路与方法
合运动→绳拉物体的实际运动速度v
分运动→
方法：v1与v2的合成遵循平行四边形定则．
3．解题的原则：
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小
2
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相等求解．常见的模型如图所示．
考点五 “关联速度与机械能守恒”连接体模型
1.绳、杆末端速度分解
①找到合运动——物体的实际运动；②确定分运动——沿绳(杆)和垂直
于绳(杆)；③作平行四边形；④根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求
解。常见的模型如图所示。
2.绳杆末端速度分解的三
种方法
要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间来
求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速
率。
如图所示，设船在θ 角位置经△t 时间向左行驶△x 距离，滑轮右侧的
绳长缩短△L，当绳与水平方向的角度变化很小时，△ABC 可近似看
做是一直角三角形，因而有△L=△x cosθ ，两边同除以△t 得：
即收绳速率v0=vA cosθ，因此船的速率为：vA=υ0/cosθ。
首先确定合运动，即物体实际运动；其次确定物体A 的两个分运动。
两个分运动：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即
等于v1=v0；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改
变角度θ 的值。这样就可以将vA按图示方向进行分解。所以v1及v2实
际上就是vA的两个分速度，如图所示，由此可得vA=υ0/cosθ。
人对绳子做功等于绳子对物体所做的功，即二者做功的功率相等。人
对绳子的拉力为F，则对绳子做功的功率为P1=Fv0；绳子对物体的拉
3
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力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F，则绳子对物体做功的功率
为P2=FvAcosθ ，因为P1= P2所以vA=v0/cosθ。
[例题1] 一质量为m的物块在光滑水平面上以速度v0做匀速直线运动。某时刻开始受到与
水平面平行的恒力F的作用，之后其速度大小先减小后增大，最小值为v0
2
。下列图中初速度v0
与恒力F夹角正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
[例题2] 如图，某质点沿曲线从A 点运动到B 点，分析质点在A 点的速度方向的过程中，
使用的物理学方法是（ ）
A．控制变量法
B．极限思维法
C．等效替代法
D．理想模型法
[例题3] 某自动流水线装置可以使货物在水平传送带上运动方向转过180°，其示意图如
图所示。货物与传送带间不发生相对滑动，则（ ）
4
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A．以地面为参考系，货物是静止的
B．转弯过程中，货物始终处于平衡状态
C．转弯过程中，货物的惯性发生变化
D．研究货物的运动轨迹时，可以将其视为质点
[例题4] 图甲为某砖坯切割机，原理如图乙所示。工作时，砖坯随水平传送带一起沿直线
运动，钢丝在长为R 的力臂作用下绕O 点转动切割，两者配合保证砖坯的切割面竖直。已知
某切割瞬间，传送带的速度为v，钢丝转动的角速度为ω，力臂与竖直方向的夹角为θ，则（
）
A．v =ωR cosθ
B．v =ωR sinθ
C．v = ωR
cosθ
D．v = ωR
sinθ
[例题5] 一小船以两种方式渡河：如图甲所示，小船航行方向垂直于河岸；如图乙所示，
小船航行方向与水流方向成锐角α。已知小船在静水中航行的速度大小为v1，河水流速大小为
v2，则下列说法正确的是（ ）
A．图甲中比图乙中小船渡河的时间短
B．图甲中比图乙中小船渡河的合速度大
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C．图甲中比图乙中小船渡河的合位移大
D．图甲和图乙中小船均做曲线运动
[例题6] 如图所示，物块A 放在光滑的水平地面上，竖直悬挂的B 小球通过光滑的定滑轮
与物块A 相连，初始时，细绳与水平方向的夹角为θ，在外力的作用下，滑块A 向左以速度v0
做匀速直线运动，则（ ）
A．初始时，B 小球的速度为v0
cosθ
B．B 小球做减速运动
C．小球B 处于超重状态
D．A 物块受到的合力变化
[例题7] 图甲为一种常见的3D 打印机的实物图，打印喷头做x 轴、y 轴和z 轴方向的运动，
t =0时，打印喷头从打印平台的中心开始运动，在x 轴方向的位移-时间图像和y 轴方向的速
度-时间图像如图乙、丙所示，下列说法正确的是（ ）
A．0.5 s末喷头的速度大小为0.25m/ s
B．喷头运动轨迹可能是图丁中的轨迹P
C．1.0 s末喷头速度方向与x 轴正方向的夹角为53
∘
D．1.0 s末喷头离打印平台中心的距离为√13
10 m
6
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题型1 曲线运动条件及特点
1.
关于物体的运动，下列说法中正确的是（ ）
A．物体在变力作用下不可能做直线运动
B．物体做曲线运动，所受的合外力一定是变力
C．物体在恒力作用下可能做曲线运动
D．物体做曲线运动，其速度可能不变
2.
(24-25 高三上·辽宁本溪第一中学·)一质量为0.2kg 的物体在水平面上运动，它的两个
正交分速度图像分别如图所示，由图可知错误的是（ ）
A．开始4s 内物体的位移为8√2m
B．从开始至6s 末物体一直做曲线运动
C．开始4s 内物体所受合外力为0.2N
D．开始4s 内物体做曲线运动，接着2s 内物体做直线运动
3.
如图为小猫蹬地跃起腾空追蝶的情景，下列说法正确的是（ ）
A．飞行的蝴蝶只受重力的作用
B．蝴蝶转弯时所受合力沿运动方向
C．小猫在空中时处于失重状态
D．小猫蹬地时对地面的压力小于地面对小猫的支持力
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题型2 曲线运动速率的变化
4.
如图所示，一物体在光滑水平面上做匀速直线运动，从a 点开始受到水平恒力F 的作
用，经过一段时间到达b 点，此时F 突然反向且大小不变，再经过相同时间物体到达c 点。下
列关于该物体在a、c 两点间的运动轨迹可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5.
(24-25 高三上·云南昆明第一中学·)2023 年11 月珠海航展表演中，我国自主研发的
歼-35A 正式亮相，展示了其卓越的飞行性能和隐身能力。如图所示，歼-35A 沿着近似圆弧的
曲线从a 运动到b 后沿陡斜线直入云霄。设此段飞行路径在同一竖直面内，飞行速率保持不变。
关于战机从a 运动到b 这一段，下列说法正确的是（ ）
A．战斗机合力可能一直竖直向上
B．战斗机的速度一直在变化
C．战斗机的加速度可能保持不变
D．战斗机做匀变速曲线连动
6.
(24-25 高三下·江苏“决胜高考”·)如图所示，2024 珠海航空展上，飞行员驾驶飞机沿
实线轨迹在竖直面内匀速率飞行， a、b、c 为飞行轨迹上的三点，a、c 为飞行过程中距离地
面高度相等的两点。关于此飞机，下列说法中正确的是（ ）
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A．各点的加速度方向竖直向下
B．在a 点所受的合力比在c 点小
C．a、c 两点的重力功率相等
D．a、b、c 三点的机械能相等
题型3 生活中的运动合成与分解
7.
(24-25 高三上·广东深圳东莞佛山部分学校·)小明设计实验研究“淋雨量”与移动速度
的关系。分别把面积相同的吸水纸挡在头顶和挡在身前，以速度大小v 向右穿过长度相同的一
段下雨的区域，如图所示。挡在头顶的吸水纸质量增加Δm1，挡在身前的吸水纸质量增加
Δm2。已知雨滴匀速下落，可视作密度均匀的介质。下列关于Δm1和Δm2的说法正确的有（
）
A．Δm1与v 无关
B．v 越大Δm1越小
C．Δm2与v 无关
D．v 越大Δm2越小
8.
如图所示，把质量为m的小球以大小为v0的速度从空中的P点水平向右抛出，同时对
小球施加大小为√3 mg、方向斜向左上的恒力F作用，θ =60°。不计空气阻力，重力加速度为
g。下列判断正确的是（ ）
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A．小球的加速度大小总为g
B．小球向右运动的最大位移为√3 v0
2
4 g
C．小球经过一段时间会落地
D．小球的最小速度为v0
2
9.
如图，商场内某顾客站在自动扶梯上随扶梯一起上行，扶梯与水平面夹角为30°，速
度为0.8m/s，将速度沿水平和竖直方向分解，则顾客在竖直方向的分速度为（ ）
A．0.2m/s
B．0.4m/s
C．0.6m/s
D．0.8m/s
题型4 有关运动合成与分解的图像问题
10. 漯河红枫广场无人机灯光表演给广大市民带来了科技的惊艳，同时也很好的烘托了节
日的氛围并给漯河的文化、经济等做了极大的宣传。在一次无人机表演中，若分别以水平向右、
竖直向上为x轴、y轴的正方向，某架参演的无人机在x、y方向的v −t图像分别如图甲、乙
所示，则在0∼t2时间内，该无人机的运动轨迹为（ ）
10
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A．
B．
C．
D．
11. 某质点在一竖直平面内运动，其水平方向的分运动情况和竖直方向的分运动情况分别
如图甲、乙所示，初始时刻质点在坐标原点，竖直方向初速度为0，下列说法正确的是（ ）
A．质点的运动轨迹是直线
B．t =2s 时，质点的合速度方向与水平方向成45°
C．t =3s 时，质点的合速度大小为√13m/s
D．t = 4s 时，质点的合位移大小为16m
12. 一质点在直角坐标系xOy所在平面内由O点开始运动，其沿坐标轴方向的两个分速度
随时间变化如图所示。则（ ）
A．3s末质点速度的大小为7 m /s
B．前3s质点做匀变速直线运动，加速度大小为1m /s
2
C．3−4s内质点做匀变速曲线运动，加速度大小为5 m /s
2
D．3−4s内质点的位移大小为7.5 m
11
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题型5 小船渡河最短时间问题
13. 如图甲，某同学需要通过小木筏渡过一条河，已知小木筏在静水中的速度大小为
5m/s。受地形等因素影响，不同位置河水流速会有变化。出发点A 下游某位置的水流速度与
该位置到A 点的沿河距离关系如图乙所示，已知小木筏前端始终垂直河岸，最终到达对岸偏离
正对面20m的B 处，则以下说法正确的是（ ）
A．小木筏在河水中的轨迹是直线
B．河的宽度为16.25 m
C．若水流速度恒为8m/s，小木筏过河时间将变短
D．若水流速度恒为8m/s，小木筏可调节前端指向使轨迹垂直河岸渡河
14. (24-25 高三上·辽宁本溪第一中学·)前不久河北石家庄京津冀第五届澽沱河公开水域游
泳挑战赛在叶子广场周边水域进行，比赛前某运动员练习时要匀速横渡一段宽d =600 m的澽沱
河，运动员在静水中的速度为v1=3 m /s，水流速度为v2= 4 m /s，则（ ）
A．该运动员可能垂直河岸到达正对岸
B．该运动员渡河的时间可能小于200s
C．该运动员以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为600m
D．该运动员以最短位移渡河时，位移大小为800m
15. 一只小船渡河，船头方向始终垂直于河岸，水流速度各处相同且恒定不变。现小船相
对于静水以初速度v0分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，运动轨迹如图所示，可以判断（
）
12
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A．小船沿三条不同轨迹渡河的时间相同
B．小船沿AC 轨迹渡河的时间最小
C．小船沿三条不同轨迹到达河对岸时的速率相同
D．小船沿AD轨迹运动到达河对岸时的速率最小
题型6 小船渡河最短距离问题
16. (24-25 高三下·江苏南通海安高级中学·开学考)如图所示，河的宽度为d，水速恒定为
v0，两船在静水中的速度同为v。现让两船同时渡河，甲船头与河岸的夹角为45°、乙船头与
河岸的夹角为α，两船恰好在甲船的正对岸相遇。则（ ）
A．v0>v
B．α <45°
C．两船出发点相距2d
D．两船的合速度大小相等
17. 解放军某部在某次登岛演习过程中，要渡过一条宽度为d 的小河。现有甲、乙两个战
斗小组分别乘两只小船渡河，船头朝向如图所示，渡河时两小船船头与河岸夹角都是θ 角，两
船在静水中的速率都为v，水流速率为v0，此时甲船恰好能到小河正对岸的A 点，则（ ）
A．甲船渡河时间为
d
v cosθ
B．乙船比甲船更早到达对岸
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C．靠岸时两船间距增大了
d
v sinθ (v cosθ+ v0)
D．如果河水流速增大，甲船不改变船头方向也能到达A 点
18. 游泳是人们很喜爱的运动之一。如图，某游泳运动员在河中的P点发现正下游O处有
一半径为r =5 m的旋涡，当时水流速度为3 m /s. P点与O点的距离d =15 m，该运动员为了能
避开旋涡沿直线到达安全地带，其在静水中的速度至少为（ ）
A．3√3
2
m /s
B．1m /s
C．2m /s
D．3√3
4
m /s
题型7 绳类关联速度
19. 质量为m 的物块P 置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻质细绳跨过光滑定滑轮分别连
接着物块P 与小车，物块P 与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v0水平向右做匀速直线运
动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时，重力加速度为g，下列判断正确的是（
）
A．物块P 的速率为v0sinθ2
B．物块P 的速率为v0cosθ1
C．细绳对物块P 的拉力恒为mgsinθ1
D．细绳对物块P 的拉力大于mgsinθ1
20. 如图所示，一足够长的细线一端连接穿过水平细杆的滑块A，另一端通过光滑滑轮连
接重物B，此时两边细线竖直。某时刻，水平拉力F 作用在滑块A 上，使A 向右移动。已知
A、B 的质量分别为m 和2m，滑块A 与细杆间的动摩擦因数为√3
3
。则（ ）
14
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A．若A 做匀速运动，则B 也做匀速运动
B．若B 做匀速运动，则A 做加速运动
C．若A 缓慢向右运动，当细线与细杆间的夹角为30°时，拉力F 有最小值
D．若A 缓慢向右运动到细线与细杆间的夹角为30°时，拉力F 一直在增大
21. 如图所示，足够长的直角支架aOb固定在竖直平面内，其中细杆Oa粗糙，沿水平方
向，细杆Ob光滑，沿竖直方向。质量分别为m 和3m的小圆环P 和Q 分别套在两个细杆上，
两个小圆环用轻绳拴接。初始时，圆环P 被锁定，绷紧的轻绳与水平方向的夹角为θ =37°，
圆环P 与细杆Oa间的动摩擦因数为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，
sin37° =0.6，cos37° =0.8，则下列说法正确的是（ ）
A．初始时，轻绳上的拉力大小为5mg
B．解除P 锁定后瞬间，轻绳上的拉力大小为25
13 mg
C．解除P 锁定后瞬间，圆环P 的加速度大小为2g
D．解除P 锁定后瞬间，圆环Q 的加速度大小为8
13 g
题型8 杆类关联速度
22. 火灾逃生的首要原则是离开火灾现场，如图所示是火警设计的一种让当事人快捷逃离
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现场的救援方案：用一根不变形的轻杆MN 支撑在楼面平台AB 上，N 端在水平地面上向右以
匀速运动，被救助的人员紧抱在M 端随轻杆一起向平台B 端靠近，平台高为h，当CN =2h
时，被救人员向B 点运动的速率是（ ）
A．1
2 v0
B．√3
2 v0
C．2√5
5
v0
D．√5
5 v0
23. 甲、乙两光滑小球（均可视为质点）用铰链与轻直杆连接，乙球处于光滑水平地面上，
甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为4m。无初速度释放，使得乙球沿水平地
面向右滑动，当乙球距离起点3m 时，下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两球的速度大小之比为√7:3
B．甲、乙两球的速度大小之比为3√7:7
C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D．甲球即将落地时，甲球的速度达到最大
24. (23-24 高三上·湖南衡阳第八中学·月考)如图是内燃机中一种传动装置，车轮和滑块上
分别设置可以绕轴A、B 转动的轻杆，O 轴固定。工作时高压气体驱动活塞在汽缸中做往复运
动，再通过连杆驱动滑块在斜槽中做往复运动，最终驱动车轮做角速度为ω 的匀速圆周运动。
已知轻杆OA 长度为L，运动到图示位置时AB、BC 垂直，α = β =60°，那么此时活塞的速度
大小为（ ）
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A．1
2 ωL
B．3
2 ωL
C．√3
2 ωL
D．√3
3 ωL
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