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第5 讲 曲线运动及其应用
【模型一 曲线运动】
类型1：基本概念的辨析理解
类型2：曲线运动的动力学分析
【模型二 运动的合成与分解】
类型1：合运动和分运动的关系
类型2：两个直线运动的合运动性质的判断
类型3：小船渡河模型
【模型二 关联速度问题】
类型1：绳联速度
类型2：杆联速度
合外力方向与初速度方向不共线的运动即为曲线运动，曲线运动的一般解题思路是将曲线运动分
解成两个直线运动再分别用直线运动的公式进行求解，曲线运动高考考查的题型主要有曲线运动的动
力学分析，运动的合成与分解，小船渡河模型，杆绳的关联速度问题等。
【模型一 曲线运动】
类型1：基本概念的辨析理解
1．曲线运动
运动轨迹是曲线的运动叫做曲线运动。
（1）速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
（2）运动的性质：
1
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（3）直线运动和曲线运动的条件及分类
【典例1】（2025·甘肃白银·一模）在航空表演中，一架特技飞机进行展示“落叶飘”飞行技术动作，轨迹
呈螺旋形。关于该飞机的运动，下列说法正确的是（ ）
A．速度方向不断变化
B．竖直方向做匀加速直线运动
C．加速度保持不变
2
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D．所受合力方向与速度方向相同
A．飞机做螺旋运动时，轨迹为三维曲线，速度方向始终沿切线方向且不断改变，故A 正确；
B．螺旋下降过程中，飞机受重力和空气阻力作用，竖直方向加速度非恒定，故B 错误；
C．螺旋运动包含向心加速度（改变速度方向）和切向加速度（改变速度大小），合加速度方向不断变化，
故C 错误；
D．曲线运动中，合力方向指向轨迹凹侧（提供向心力），与速度方向不共线，故D 错误。
【变式1-1】（2025·福建福州·三模）“玉兔二号”是我国自主设计制造并成功登陆月球的第二辆无人探测
车，图为“玉兔二号”巡视器在月球上从O 处行走到B 处的照片，轨迹OA 段是直线，AB 段是曲线，巡视
器质量为130kg，则巡视器（ ）
A．受到月球的引力为1300N
B．在AB 段运动时加速度可能为0
C．OA 段与AB 段的位移相同
D．从O 到B 的路程等于OAB 轨迹长度
【变式1-2】（2024·陕西榆林·一模）关于物体的运动，下列说法中正确的是（ ）
A．物体在变力作用下不可能做直线运动
B．物体做曲线运动，所受的合外力一定是变力
C．物体在恒力作用下可能做曲线运动
D．物体做曲线运动，其速度可能不变
【变式1-3】一小球在光滑水平面上做匀速直线运动，现对其施加一水平方向的恒力，小球做曲线运动。
在小球做曲线运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．该恒力可能与小球的速度方向共线
B．小球的速度方向可能不变
3
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C．小球单位时间内速度的变化量总是不变
D．小球的速度方向可能总是与该恒力的方向垂直
类型2：曲线运动的动力学分析
1.合力、速度、轨迹
（1）合力方向与轨迹的关系：合力的方向总是指向轨迹的“凹”侧。曲线运动轨迹始终夹在合力方
向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，而且向合力的方向弯曲，但是特别注意速度的方向只会向着合
外力方向趋近，而不可能趋近到与合外力方向相同。
（2）合力、速度、轨迹之间的关系：做曲线运动的物体，其速度方向与运动轨迹相切，所受的合力
方向与速度方向不在同一条直线上，合力改变物体的运动状态，据此可以判断：
①已知运动轨迹，可以判断合力的大致方向在轨迹的包围区间（凹侧），如图所示。
②运动轨迹在速度方向与合力方向所夹的区间，根据受力方向和速度方向可以判断轨迹的大致弯曲方
向。
③根据合力方向与速度方向的夹角，判断物体的速率变化情况：夹角为锐角时，速率变大；夹角为钝
角时，速率变小；合力方向与速度方向垂直时，速率不变，这是匀速圆周运动的受力条件。
【典例2】（2023·辽宁·高考真题）某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受
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合力F 的示意图可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
篮球做曲线运动，所受合力指向运动轨迹的凹侧。故选A。
【变式2-1】（2023·浙江·高考真题）图为“玉兔二号”巡视器在月球上从O 处行走到B 处的照片，轨迹
OA 段是直线，AB 段是曲线，巡视器质量为135kg，则巡视器（ ）
A．受到月球的引力为1350N
B．在AB 段运动时一定有加速度
C．OA 段与AB 段的平均速度方向相同
D．从O 到B 的位移大小等于OAB 轨迹长度
【变式2-2】（2025·黑龙江·二模）1935 年5 月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河，突击队冒着枪林
弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若突击队采用渡河时间最短的方式渡河，小木船相对静水的速度大
小不变，越靠近河道中央水流速度越快，则小木船从P 到Q 渡河的轨迹可能是（ ）
5
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A．
B．
C．
D．
【变式2-3】（2025·北京东城·一模）一质量为m的物块在光滑水平面上以速度v0做匀速直线运动。某时刻
开始受到与水平面平行的恒力F的作用，之后其速度大小先减小后增大，最小值为v0
2 。下列图中初速度v0
与恒力F夹角正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【模型二 运动的合成与分解】
类型1：合运动和分运动的关系
1．合运动与分运动的关系
等时性
分运动与合运动经历时间相等（不同时运动不能合成）
独立性
一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响，此为运动的独立性原理
等效性
各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果
同体性
各分运动与合运动是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动
2．运动的合成与分解的运算法则
（1）原则：根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解。
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（2）运动的分解优点：将不易研究的复杂曲线运动分解为简单的熟悉的直线运动。
（3）分解实际运动
物体（或物体上某点）的实际运动为合运动，即以地面为参考系的运动，只分解实际运动。看物体同
时参与了哪两种运动，而后确定分解的方向再进行分解。
3．合运动性质的判断
①合运动的速度大小不一定比每一个分运动的速度都大。
②两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等。
【典例3】（2023·河北沧州·一模）如图甲所示为杂技演员正在表演“巧蹬方桌”。某一小段时间内，表演
者让方桌在脚上飞速旋转，同时完成“抛”“接”“腾空”等动作技巧。演员所用方桌（如图乙所示）桌
面abcd是边长为1m 的正方形，桌子绕垂直于桌面的中心轴线OO
′做匀速圆周运动，转速约为2r/s，某时
刻演员用力将桌子竖直向上蹬出，桌子边水平旋转边向上运动，上升的最大高度约为0.8m。已知重力加速
度g取10m/s
2，则桌子离开演员脚的瞬间，桌角a点的速度大小约为（ ）
A．4m/s
B．4πm/s
C．√16+8π
2m/s
D．√16+16π
2m/s
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桌子在水平面内做匀速圆周运动，转速约为2r/s，桌角a点的线速度为
v1=2πnr
又
r= √2
2
m
故
v1=2√2πm/s
桌子被蹬出瞬间竖直向上的速度为v2
，由竖直上抛运动规律可得v2
2=2gh，解得
v2=4m/s
则a点的合速度为
v=√v1
2+v2
2=√16+8π
2m/s
【变式3-1】（2023·陕西安康·模拟预测）跳伞运动深受年轻人的喜爱。在水平风向的环境中，一位极限运
动员从飞机上由静止跳下后，下列说法中正确的是（ ）
A．风力越大，运动员下落时间越长
B．运动员下落时间与风力无关
C．风力越大，运动员落地时的竖直速度越大
D．运动员落地速度与风力无关
【变式3-2】（2024·河北石家庄·模拟预测）如图所示，乒乓球从斜面上滚下，以一定的速度在光滑水平桌
面上沿直线匀速运动。在与乒乓球路径相垂直的方向上有一个洞，当球经过洞口正前方时，对球沿三个不
同的方向吹气，下列说法正确的是（ ）
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A．沿方向1 吹气，乒乓球可能进入洞内B．沿方向2 吹气，乒乓球可能进入洞内
C．沿方向3 吹气，乒乓球可能进入洞内D．沿三个方向吹气，乒乓球均不可能进入洞内
【变式3-3】某风洞实验室可产生水平方向的恒定风力，在风洞实验室中，恒定风力水平向左，在实验室
离地一定高度处水平向右抛出一个小球，关于小球的运动。下列说法正确的是（ ）
A．风力越大，小球在空中运动的时间越长
B．当风力为某一合适大小的力时，小球可以做直线运动
C．当风力为某一合适大小的力时，小球落地点的位置可以在小球抛出点正下方
D．当小球落地时的速度竖直向下时，风力大小等于小球的重力
类型2：两个直线运动的合运动性质的判断
分运动的性质
合运动的性质
两个分运动均为匀速
直线运动
①当两个分速度v1、v2等大反向时，合速度 v=0，保持静止
②其他情况时，合速度大小、方向均不变，物体做匀速直线运动
一个分运动为匀速直
线运动，另一个分运
动为匀变速直线运动
①v0与a 共线时，物体做匀变速直线运动
②v0与a 不共线时，物体做匀变速曲线运动
两个分运动均为匀变
速直线运动
①v、a 共线时，物体做匀变速直线运动（含v=0）
②v、a 不共线时，物体做匀变速曲线运动
【典例4】（2025·湖南·高考真题）如图，物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面，物块的水平位移、
竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、vx、vy表示。物块向上运动过程中，下列图像可能正确的是
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（ ）
A．
B．
C．
D．
根据题意可知，物块沿斜面向上做匀减速直线运动，设初速度为v0，加速度为大小a，斜面倾角为θ
AB．物块在水平方向上做匀减速直线运动，初速度为v0x=v0cosθ，加速度大小为ax=acosθ，则有
vx
2−v0x
2 = 2
−axx
整理可得vx=√(v0cosθ)
2
2
−acosθ⋅x
可知，vx−x图像为类似抛物线的一部分，故AB 错误；
CD．物块在竖直方向上做匀减速直线运动，速度为v0y=v0sinθ，加速度大小为ay=asinθ，则有
vy
2−v0y
2 = 2
−ayy
整理可得vy=√(v0sinθ)
2
2
−asinθ⋅y
可知，vy−y图像为类似抛物线的一部分，故C 正确，D 错误。
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【变式4-1】（2023·江苏·高考真题）达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线
向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】（2025·陕西宝鸡·三模）一杂技演员通过传感器将其斜向上的运动速度转化为水平向前的速度
vx及竖直向上的速度vy，若它们与运动时间t 的关系图像如图甲、乙所示。则下列说法正确的是（ ）
A．演员在t1时刻处于超重状态
B．演员在0−t2这段时间内沿直线飞行
C．演员在t2时刻上升至最高点
D．演员在t2−t3时间内做匀变速曲线运动
【变式4-3】（2025·河南漯河·模拟预测）漯河红枫广场无人机灯光表演给广大市民带来了科技的惊艳，同
时也很好的烘托了节日的氛围并给漯河的文化、经济等做了极大的宣传。在一次无人机表演中，若分别以
水平向右、竖直向上为x轴、y轴的正方向，某架参演的无人机在x、y方向的v−t图像分别如图甲、乙所
示，则在0∼t2时间内，该无人机的运动轨迹为（ ）
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A．
B．
C．
D．
类型3：小船渡河模型
1．模型构建
在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动，其中一个速度大小和方
向都不变，另一个速度大小不变，方向在180°范围内(在速度不变的分运动所在直线的一侧)变化．我们对
合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究．这样的运动系统可看作“小船渡河模型”。
2．模型特点
（1）两个运动：船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
（2）三种速度：船在静水中的速度v 船、水的流速v 水、船的实际速度v 合。
（3）三种情景
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①解决小船渡河问题的关键是：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头所指方向的运
动，是分运动；船的运动方向是船的实际运动方向，是合运动，一般情况下与船头指向不一致。
②渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关。
③船渡河位移的最小值与v 船和v 水的大小关系有关，v 船>v 水时，河宽即为最小位移；v 船<v 水时，应利
用图解法求极值的方法处理。
【典例5】（2021·辽宁·高考真题）1935 年5 月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突
击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽300m，水流速度3m/s，木船相对静水速度
1m/s，则突击队渡河所需的最短时间为（ ）
A．75s
B．95s
C．100s
D．300s
河宽d =300m一定，当木船船头垂直河岸时，在河宽方向上的速度最大，渡河用时最短，即木船相对静水
的速度v=1m/s，渡河时间最短为
tmin=d
v =300
1
s=300s
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【变式5-1】（2024·辽宁·模拟预测）解放军某部在某次登岛演习过程中，要渡过一条宽度为d 的小河。现
有甲、乙两个战斗小组分别乘两只小船渡河，船头朝向如图所示，渡河时两小船船头与河岸夹角都是θ 角，
两船在静水中的速率都为v，水流速率为v0，此时甲船恰好能到小河正对岸的A 点，则（ ）
A．甲船渡河时间为d
vcosθ
B．乙船比甲船更早到达对岸
C．靠岸时两船间距增大了d
vsinθ (vcosθ+v0)
D．如果河水流速增大，甲船不改变船头方向也能到达A 点
【变式5-2】（2024·全国·二模）游泳是人们很喜爱的运动之一。如图，某游泳运动员在河中的P点发现正
下游O处有一半径为r=5m的旋涡，当时水流速度为3m/s.P点与O点的距离d=15m，该运动员为了能避开
旋涡沿直线到达安全地带，其在静水中的速度至少为（ ）
A．3√3
2
m/s
B．1m/s
C．2m/s
D．3√3
4
m/s
【变式5-3】（2024·辽宁本溪·一模）前不久河北石家庄京津冀第五届澽沱河公开水域游泳挑战赛在叶子广
场周边水域进行，比赛前某运动员练习时要匀速横渡一段宽d=600m的澽沱河，运动员在静水中的速度为
v1=3m/s，水流速度为v2=4m/s，则（ ）
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A．该运动员可能垂直河岸到达正对岸
B．该运动员渡河的时间可能小于200s
C．该运动员以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为600m
D．该运动员以最短位移渡河时，位移大小为800m
【变式5-4】（2025·福建莆田·三模）一小船以两种方式渡河：如图甲所示，小船航行方向垂直于河岸；如
图乙所示，小船航行方向与水流方向成锐角α。已知小船在静水中航行的速度大小为v1，河水流速大小为
v2，则下列说法正确的是（ ）
A．图甲中比图乙中小船渡河的时间短
B．图甲中比图乙中小船渡河的合速度大
C．图甲中比图乙中小船渡河的合位移大
D．图甲和图乙中小船均做曲线运动
【模型三 关联速度问题】
1．模型特点：用绳、杆相牵连的物体，在运动过程中，其两物体的速度通常不同，但物体沿绳或杆
方向的速度分量大小相等。
2．原则：v1与v2的合成遵循平行四边形定则。
3．解题方法
把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度
大小相等求解。绳绷紧，则其两端的速度在沿绳方向上的分量相等，即v1x＝v2x，垂直于绳方向的分量使绳
转动。常见的模型如图所示。
4．绳（杆）牵连物体的分析技巧
（1）解题关键：找出合速度与分速度的关系是求解关联问题的关键。
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（2）基本思路：
①先确定合速度的方向（物体实际运动方向）
②分析合运动所产生的实际效果：一方面使绳或杆伸缩；另一方面使绳或杆转动。
③确定两个分速度的方向：沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，而沿绳或杆方向的分
速度大小相同。
5．解决绳（杆）端速度分解问题的技巧
6.绳(杆)端关联速度分解问题的常考模型
情景图示
(注：A 沿斜
面下滑)
分解图示
定量结论
vB＝vAcos θ
vAcos θ＝v0
vAcos α＝
vBcos β
vBsin α＝
vAcos α
基本思路
确定合速度(物体实际运动)→分析运动规律→确定分速度方向→平行四边形定则求
解
类型1：绳联速度
【典例6】（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳
一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v 相向运动。为使
塔块沿竖直方向匀速下落，则v（ ）
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A．一直减小
B．一直增大
C．先减小后增大
D．先增大后减小
设两边绳与竖直方向的夹角为θ，塔块沿竖直方向匀速下落的速度为v块，将v块沿绳方向和垂直绳方向分
解，将v沿绳子方向和垂直绳方向分解，可得v块cosθ=vsinθ
解得v=v块
tanθ
由于塔块匀速下落时θ在减小，故可知v 一直增大。
【变式6-1】（2025·浙江湖州·三模）如图所示，一足够长的细线一端连接穿过水平细杆的滑块A，另一端
通过光滑滑轮连接重物B，此时两边细线竖直。某时刻，水平拉力F 作用在滑块A 上，使A 向右移动。已
知A、B 的质量分别为m 和2m，滑块A 与细杆间的动摩擦因数为√3
3
。则（ ）
A．若A 做匀速运动，则B 也做匀速运动
B．若B 做匀速运动，则A 做加速运动
C．若A 缓慢向右运动，当细线与细杆间的夹角为30°时，拉力F 有最小值
D．若A 缓慢向右运动到细线与细杆间的夹角为30°时，拉力F 一直在增大
【变式6-2】（多选）（2025·福建厦门·三模）如图所示，一渔民（图中未画出）站在岸上，利用绳和定滑
轮以恒定的速率v=0.6m/s 拉质量m=50kg 的小船靠岸，某时刻绳与水面夹角为θ=37°，该时刻渔民的拉力
大小为F=250N，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g 取10m/s2，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，
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下列说法正确的是（ ）
A．该时刻小船的速度大小为0.75m/s
B．该时刻小船受到三个力的作用
C．该时刻小船的浮力大小为300N
D．小船是加速靠近河岸
【变式6-3】（多选）（2025·河南·模拟预测）如图所示，足够长的直角支架aOb固定在竖直平面内，其中
细杆Oa粗糙，沿水平方向，细杆Ob光滑，沿竖直方向。质量分别为m 和3m的小圆环P 和Q 分别套在两个
细杆上，两个小圆环用轻绳拴接。初始时，圆环P 被锁定，绷紧的轻绳与水平方向的夹角为θ=37°，圆
环P 与细杆Oa间的动摩擦因数为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，sin37°=0.6，
cos37°=0.8，则下列说法正确的是（ ）
A．初始时，轻绳上的拉力大小为5mg
B．解除P 锁定后瞬间，轻绳上的拉力大小为25
13 mg
C．解除P 锁定后瞬间，圆环P 的加速度大小为2g
D．解除P 锁定后瞬间，圆环Q 的加速度大小为8
13 g
类型2：杆联速度
【典例7】（2025·宁夏吴忠·三模）楔形结构是机械中很常用的设计方式，具有可以改变作用力方向而且结
构较紧凑这两个优点。如图是一个楔形结构的例子，质量分别为mA=3kg，mB=1kg的两个楔形块AB 恰好
能贴合在一起。两个光滑竖直面将楔形块A 夹在竖直方向，两个水平面将楔形块B 夹在水平方向。若不施
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加外力时，B 恰好能静止在地面上，当在B 上施加水平外力F 时，A 只能竖直上下移动，B 只能水平左右
移动，不计AB 间的摩擦力，B 和地面间的动摩擦因数μ=1
4
，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，重力加速
度g 取10m/s
2。下列说法正确的是（ ）
A．B 与地面间的夹角满足tanθ=1
4
B．B 匀速向左运动时，F =10N
C．若增加A 的质量，不需要增大F 就能使B 保持静止
D．若施加外力，使B 以1m/s
2的加速度向左运动，则A 以1
3 m/s
2的加速度向上运动
A．不施加外力时，受力情况如图所示
对楔形块B，水平方向上有f =μFN = N sinθ
对AB 整体，竖直方向上有FN = mAg+ mBg
对楔形块A，竖直方向上有N cosθ= mAg
联立解得f =10N，tanθ=1
3
，故A 错误；
B．B 匀速向左运动时，受力情况如图所示
19
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对楔形块B，水平方向上有F =f+ N sinθ=20N，故B 错误；
C．对楔形块B，最大静摩擦力有f=μ(mA+ mB)g
A 对B 压力在水平方向的分量有Nx= mAgtanθ
当mA>3kg时，Nx>f，故必须增大F 才能使B 保持静止，故C 错误；
D．B 向左运动时，二者的速度关系如图所示
则有vAcosθ=vBsinθ
可得vA=1
3 vB
由于A、B 的速度始终满足该关系，故A、B 的加速度也满足aA=1
3 aB=1
3 m/s
2，故D 正确。
【变式7-1】（2024·辽宁本溪·一模）曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动
转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示。曲轴可绕固定的O 点自由转动，
连杆两端分别连接曲轴上的A 点和活塞上的B 点，若曲轴绕O 点做匀速圆周运动，转速
n=1800r/min,OA =20cm,AB=60cm，下列说法正确的是（ ）
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A．活塞在水平方向上做匀速直线运动
B．当OA 竖直时，活塞的速度为8√2πm/s
C．当OA 与AB 共线时，活塞的速度为12πm/s
D．当OA 与AB 垂直时，活塞的速度为4√10πm/s
【变式7-2】（2023·浙江·模拟预测）如图所示，长为l 的轻杆，一端固定一个质量为m 的小球，另一端有
固定转动轴O，杆可在竖直面内绕转动轴O 无摩擦转动；质量为m 的物块放置在光滑水平面上，开始时，
使小球靠在物块的光滑侧面上，轻杆与水平面夹角45°，用手控制物块静止，然后释放物块，在之后球与
物块运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．球与物块分离前，杆上的弹力逐渐增大
B．球与物块分离前，球与物块的速度相等
C．球与物块分离前，物块的速度先增大后减小
D．球与物块分离时，球的加速度等于重力加速度
【变式7-3】如图所示，长为L 的直棒一端可绕固定轴O 转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v 匀
速上升，当棒与竖直方向的夹角为α 时，棒的角速度为（ ）
A．vsinα
L
B．v
Lsinα
C．vcosα
L
D．v
Lcosα
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