文档文本内容
第16 讲 圆周运动
目录
01 考情解码·命题预警...........................................................................................................................................1
02 体系构建·思维可视...........................................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚.........................................................................................................................4
考点一 圆周运动的运动学问题.............................................................................................................4
知识点1 描述圆周运动的物理量....................................................................................................4
知识点2 常见的四种传动方式及特点............................................................................................4
考向1 描述圆周运动的物理量及其关系................................................................................................5
考向2 传动问题................................................................................................................................. 7
考点二 圆周运动的动力学问题...............................................................................................9
知识点1 向心力................................................................................................................................9
知识点2 匀速圆周运动与变速圆周运动...................................................................................................10
知识点3 离心运动.......................................................................................................................... 11
知识点4 匀速圆周运动中向心力的来源......................................................................................11
考向1 圆周运动的动力学问题...........................................................................................................11
考向2 圆锥摆模型............................................................................................................................ 14
考向3 离心运动...............................................................................................................................17
考点三 圆周运动的临界、极值问题....................................................................................19
知识点1 水平面内圆周运动的临界、极值问题..........................................................................19
知识点2 竖直面内圆周运动的临界、极值问题..........................................................................20
知识点3 斜面上圆周运动的临界、极值问题..........................................................................................20
考向1 水平面内圆周运动的临界、极值问题......................................................................................21
考向2 竖直面内圆周运动的临界、极值问题.......................................................................................23
考向3 斜面上圆周运动的临界、极值问题...........................................................................................26
04 真题溯源·考向感知....................................................................................................................... 28
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
圆周运动的运动
学问题
选择题
非选择题
\
黑吉辽卷T2，4 分
\
圆周运动的动力
学问题
选择题
非选择题
\
\
\
圆周运动的临
界、极值问题
选择题
非选择题
\
\
\
考情分析：
圆周运动的运动学问题：在黑吉辽蒙高考物理中考查频率较高。主要以选择题形式出现，偶尔也会在计算
题的某一问中出现，考查学生对圆周运动基本概念和公式的理解与应用。
圆周运动的动力学问题：选择题和计算题均有考查。在计算题中，常与牛顿第二定律、平抛运动、机械能
守恒定律等知识点综合考查。
圆周运动的临界、极值问题：考查频率相对较低，多以计算题形式出现，通常是在综合性的问题中，作为
其中的一个关键环节进行考查。
复习目标：
目
一：深入理解
速度、角速度、周期等物理量的概念，明确它
之
的相互关系，能
准确运用相关公式
标
线
们
间
够
行
算。
进
计
目
二：熟
掌握皮
、
等模型中
周运
物理量的特点和关系，能
根据模型特点分析和解
标
练
带传动齿轮传动
圆
动
够
决问题。
目
三：能
准确分析物体在
周运
中的受力情况，确定向心力的来源，熟
掌握向心力公式及牛
第二
标
够
圆
动
练
顿
定律，能
根据具体
列出正确的
力学方程
行求解。
够
问题
动
进
目
四：牢
直面内
周运
模型和杆模型的
界条件，以及其他常
模型的
界情况，能
根据
界
标
记竖
圆
动绳
临
见
临
够
临
条件分析
。
问题
考点
圆周运动的运动学问题
一
知识点1 描述圆周运动的物理量
1、圆周运动
运动轨迹为圆周或一段圆弧的机械运动称为圆周运动。圆周运动为 曲线 运动，因此一定是变速运
动。
2、描述圆周运动的物理量
定义、意义
公式、单位、方向
线速度v
描述做圆周运动的物体运动的快慢
①定义式：
②单位：m/s
③方向：线速度是矢量，其方向沿轨迹 切线 方
向，与半径垂直
角速度ω
描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢
①定义式：
②单位：rad/s 或s-1
频率f
做匀速圆周运动的做匀速圆周运动物体，
每秒 转过的圈数
①公式：
②单位：赫兹（Hz）
周期T
做匀速圆周运动的物体，运动 一周 所用
的时间
①公式：
②单位：秒（s）
转速n
做匀速圆周运动的物体，单位时间所转过
的圈数
①公式：
②单位：转每秒（r/s）
向心加速
度an
描述速度 方向 变化 快慢 的物理量
①公式：
②单位：m/s2
3、描述匀速圆周运动的各物理量之间的关系
（1）线速度与角速度：
。
（2）线速度与周期、频率、转速：
。
（3）角速度与周期、频率、转速：
。
（4）向心力：
。
（5）向心加速度：
。
知识点2 常见的四种传动方式及特点
装置
特点
规律
同轴转动
A、B 两点在同轴的一个圆盘上
A 、B 两点
角速度、周
期、频率相
同
线速度与半径成正比，即
皮带（或链
条）传动
两个轮子用皮带连接，A、B 两点分别是两
个轮子边缘上的点，两轮同向转动
A 、B 两点
线速度相等
角速度与半径成反比，即
周期与半径成正比，即
齿轮传动
两个齿轮轮齿啮合，A、B 两点分别是两个
齿轮边缘上的点，两齿轮的齿数分别为
n1、n2，两轮转动反向
角速度与半径成反比，与齿轮齿
数成反比
周期与半径成正比，与齿轮齿数
成正比
摩擦传动
两摩擦轮靠摩擦进行传动，A、B 两点分别
是两轮边缘上的点
角速度与半径成反比，即
周期与半径成正比，即
考向1 描述圆周运动的物理量及其关系
例1 如图所示，操场跑道的弯道部分是半圆形，最内圈的半径是36m。一位同学沿最内圈跑道匀速跑过一
侧弯道的时间为10s，则这位同学在沿弯道跑步时（ ）
A．角速度为
rad/s
B．线速度大小为3.6πm/s
C．转速为
r/s
D．向心加速度大小为
m/s2
【答案】B
【解析】A．由题意知，绕半圆形跑道的时间为10s，该同学在沿弯道跑步时角速度为
，故A 错
误；
B．根据
可得线速度大小为
，故B 正确；
C．根据
，得转速为
，故C 错误；
D．根据
，故D 错误。
故选B。
【变式训练1】
（多选）如图所示，空中飞椅在水平面内做匀速圆周运动。若飞椅和人的总质量为
m，运动半径为R，角速度大小为ω，钢绳与竖直方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。下列
说法正确的有（）
A．运动的周期为
B．线速度的大小为ωR
C．向心力的大小为mgtanθ
D．钢绳的拉力大小为
【答案】BC
【解析】A．运动的周期为
，A 错误；
B．线速度的大小为
，B 正确；
C．向心力的大小为
，C 正确；
D．竖直方向根据平衡条件
解得钢绳的拉力大小为
，D 错误。
故选BC。
【变式训练2】
、
两个质点分别做匀速圆周运动，在相同的时间内它们通过的路程之比
，
转过的角度之比
。则下列说法中正确的是（ ）
A．它们的半径之比
B．它们的线速度之比
C．它们的角速度之比
D．它们的向心加速度之比
【答案】D
【解析】ABC．已知A、B 在相同的时间内通过的路程之比
，则根据线速度的定义式
，
可得它们的线速度之比为
已知A、B 在相同的时间内转过的角度之比
，则根据角速度的定义式
，可得它们的角速
度之比为
由线速度与角速度的关系式
，可得它们的半径之比为
，故ABC 错误；
D．根据向心加速度
，可得它们的向心加速度之比为
，故D 正确。
故选D。
考向2 传动问题
例2 如图所示是研究地球自转的示意图，
的位置在地球赤道上，
是地球表面上北半球的一个点，下列
说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】BD．
、
两点同轴转动，所以
、
两点的角速度相等，周期相等，故BD 错误；
AC．根据
，
由于
、
两点做圆周运动的半径关系为
，则有
，
，故A 错误，C 正确。
故选C。
【变式训练1】
某变速自行车的传动装置示意图如图所示，已知链轮有三个，链轮的半径用
表示，
飞轮有八个，飞轮的半径用
表示，后轮的半径为定值。设
（图中未画出）分别为链轮、飞轮和
后轮边缘上的点。小聪匀速踩脚蹬时带动链轮每秒钟转3 圈，则在自行车匀速前进的过程中，下列说法正
确的是（ ）
A．A、
通过链条连接，两点的线速度大小相等
B．
、
在同一转轴上，两点的线速度大小相等
C．链轮的半径
越大，飞轮的半径
越小，自行车速度越小
D．飞轮的半径
越大，飞轮与后轮边缘上的质点的线速度大小之比越小
【答案】A
【解析】A．A、
通过链条连接，两点的线速度大小相等，故A 正确；
B．
、
在同一转轴上，两点的角速度大小相等，C 的半径较大，根据
可知，C 的线速度较大，故
B 错误；
C．设链轮和飞轮的转速分别为
和
，根据A、B 两点线速度大小相等，B、C 两点角速度大小相等（即
转速相等），有
，自行车的车速
联立得
故若
和
一定，则链轮的半径
越大，飞轮的半径
越小，自行车速度越大，故C 错误；
D．飞轮与后轮边缘上的质点角速度相等，根据
可知，飞轮与后轮边缘上的质点的线速度大小之比
等于半径之比，即
故飞轮的半径
越大，飞轮与后轮边缘上的质点的线速度大小之比越大，故D 错误。
故选A。
【变式训练2】某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图所示，其齿数分别为
、
、
，三个轮相互不打滑，则下列比例关系正确的是（ ）
A．甲、乙、丙的边缘线速度大小之比为
B．甲、乙、丙的角速度之比为
C．甲、乙、丙的边缘加速度大小之比为
D．甲、乙、丙的周期大小之比为
【答案】C
【解析】A．由于三个轮相互不打滑，则甲、乙、丙边缘的线速度大小之比为
，故A 错
误；
B．由题意可知甲、乙、丙三个齿轮的半径之比为
根据
，可得甲、乙、丙的角速度之比为
，故B 错误；
C．根据
可知甲、乙、丙的加速度大小之比为
，故C 正确；
D．根据
，可得甲、乙、丙的周期大小之比为
，故D 错误。
故选C。
考点二 圆周运动的动力学问题
知识点1 向心力
1、作用效果
向心力产生向心加速度，只改变速度的 方向 ，不改变速度的 大小 。
2、大小、方向
始终沿半径方向指向 圆心 ，时刻在改变，即向心力是一个变力。
3、来源
向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的 合力 提供，还可以由一个力的 分力 提供。
4、公式
。
得分速记
对向心力的理解
1、向心力的方向：无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动向心力方向均沿半径指向圆心。
2、向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某
个力的分力，因此在受力分析中要避免再添加一个向心力。
知识点2 匀速圆周运动与变速圆周运动
1、匀速圆周运动
（1）定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处 相等 ，所做的运动叫作匀速圆周运动。
（2）运动特点：线速度的大小 不变 ，角速度、周期和频率都 不变 ，向心加速度的大小 不变
。
（3）受力特点：所受到的合力为向心力，大小不变，方向变，其方向时刻指向 圆心 。
（4）运动性质：变加速曲线运动（加速度大小不变，方向变化）。
（5）条件：合外力大小 不变 ，方向始终与 速度 方向垂直且指向圆心。
2、变速圆周运动
（1）运动特点：线速度的大小、方向都 变化 ，角速度 变化 ，向心加速度的大小、方向都 变化
，周期可能变也可能不变。
（2）合力特点：合力产生两个效果
①沿半径方向的分力 Fn，即向心力，它改变速度的 方向 。
②沿切线方向的分力 Ft，它改变速度的 大小 。
（3）运动性质：变加速曲线运动（加速度大小、方向都变化）。
知识点3 离心运动
1、定义
做 圆周运动 的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需 向心力 的情况下，所
做的逐渐远离圆心的运动。
2、本质
做圆周运动的物体，由于本身的 惯性 ，总有沿着圆周 切线 方向飞出去的倾向。离心运动的本
质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力。
3、受力特点
（1）当
时，物体做 匀速圆周 运动。
（2）当
时，物体沿 切线 方向飞出。
（3）当
时，物体逐渐 远离 圆心，做离心运动。
（4）当
时，物体逐渐 靠近 圆心，做近心运动。
知识点4 匀速圆周运动中向心力的来源
运动模
汽车在水平
水平转台（光
圆锥摆
飞车走壁
飞机水平转弯
火车转弯
型
路面转弯
滑）
向心力
Fn 的来
源（图
示）
考向1 圆周运动的动力学问题
例1 一小球沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动。关于小球的受力，下列说法正确的是
（ ）
A．小球受到重力和离心力
B．小球受到重力、支持力和向心力
C．小球的向心力是由支持力提供的
D．小球的向心力是由重力和支持力的合力提供的
【答案】D
【解析】由于漏斗壁光滑，所以小球受到重力和支持力作用，向心力只是效果力，小球的向心力是由重力
和支持力的合力提供。
故选D。
思维建模 圆周运动的动力学问题的
思
分析
路
【变式训练1】如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。已知座舱的质量为m，运动
半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱（ ）
A．运动的周期为
B．线速度大小为ω²R
C．运动至最高点时，所受摩天轮的作用力大小大于mg
D．运动至最低点时，所受摩天轮的作用力大小等于mg
【答案】A
【解析】A．座舱运动的周期为
，故A 正确；
B．座舱的线速度大小为
，故B 错误；
C．运动至最高点时，当
时，所受摩天轮的作用力方向向上，根据牛顿第二定律可得
可得
此时所受摩天轮的作用力大小小于mg，故C 错误；
D．运动至最低点时，根据牛顿第二定律可得
可得
可知所受摩天轮的作用力大小大于mg，故D 错误。
故选A。
【变式训练2·变考法】如图所示，质量为25kg 的小孩静止坐在秋千板上时，小孩离拴绳子的横梁2.5m。
如果秋千板摆到最低点时，速度为3m/s，忽略小孩重心高度的影响（g 取10m/s2）求：
（1）此时小孩运动的角速度大小；
（2）此时小孩的向心力的大小；
（3）此时小孩对秋千的压力大小。
【答案】（1）
；（2）90N；（3）340N
【解析】（1）根据公式
可得，小孩运动的角速度大小为
（2）根据公式
可得，小孩的向心力的大小为
（3）对小孩分析受到重力和支持力，根据牛顿第二定律可得
解得
根据牛顿第三定律可知，小孩对秋千的压力大小等于秋千对小孩的支持力大小为
。
考向2 圆锥摆模型
例2 如图所示，内壁光滑的圆锥筒内有质量不等的两个小球A 和B（
，两小球可视为质点），紧贴
内壁各自在高度不同的水平面内做匀速圆周运动，则（ ）
A．A 球与B 球向心加速度大小相同
B．A 球与B 球线速度大小相同
C．A 球受到内壁的支持力大
D．A 球与B 球角速度大小相同
【答案】A
【解析】设圆锥侧壁与水平方向夹角为
，小球受到重力和内壁的支持力，它们的合力提供向心力，则
，
解得
，
，
，
，故A 正确。
思维建模 圆锥摆模型
1、模型特点：一根质量和伸长可以不计的细线，上端固定，下端系一个可以视为质点的摆球在水平面内
做匀速圆周运动，细绳所掠过的路径为圆锥表面。
2、受力特点：只受两个力，即竖直向下的重力mg 和沿摆线方向的拉力FT。两个力的合力，就是摆球做圆
周运动的向心力Fn，如图所示（也可以理解为拉力FT的竖直分力与摆球的重力平衡，FT的水平分力提供
向心力）。
3、运动特点：如图摆长为L，摆线与竖直方向夹角为θ，由牛顿第二定律得
，而
，解得
。
【变式训练1】
如图甲所示为某社区安装的旋转飞椅，钢绳一端系着座椅，另一端固定在水平转
盘的边缘，转盘可以绕过其中心的竖直轴转动。简化模型如图乙所示：吊绳长为L、上端与竖直转轴间的
距离为x，下端系有可以视为质点的小球，小球A、B 的质量分别为2m、m。竖直转轴匀速转动时，吊绳
AC、BD 与竖直方向的夹角均为
，不计空气阻力的影响和吊绳的质量，重力加速度为g。则（ ）
A．吊绳对A 球的拉力大小为
B．小球A 所受合力大小为
C．小球A 围绕竖直转轴转动的速度大小为
D．小球B 做匀速运动的周期为
【答案】D
【解析】A．小球受到的重力和吊绳拉力的合力提供向心力，根据几何关系有
吊绳的拉力大小为
，故A 错误；
B．根据牛顿第二定律有
对A 球有
解得
A 球所受合力大小为
，故B 错误；
C．小球A 做匀速圆周运动的半径
小球B，绕竖直转轴转动的速度大小为
，故C 错误；
D．由
则B 球与A 球的周期相等，故D 正确。
故选D。
【变式训练2·变考法】如图，用一根长
的细线，一端系一质量
的小球（可视为质点），另一
端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角
。小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动。
取重力加速度
，
，结果可用根式表示，求：
（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度
至少为多大；
（2）若小球的角速度
，则细线对小球的拉力
及锥面对小球的弹力
分别为多少；
（3）若小球的角速度
，求细线对小球的拉力
的大小；
【答案】（1）
（2）
，
（3）
【解析】（1）小球刚要离开锥面时，锥面对小球支持力
，此时重力和细线拉力的合力提供向心力。
由牛顿第二定律
化简得
（2）因为
，小球未离开锥面，对小球受力分析，受重力mg、拉力
、支持力
，水
平方向
竖直方向
代入数据联立解得
，
（3）因为
，小球已离开锥面，设细线与竖直方向夹角为
，此时只有重力和拉力提供
向心力，
化简得
拉力
考向3 离心运动
例3 滚筒洗衣机脱水时，滚筒绕水平转动轴转动。滚筒上有很多漏水孔，滚筒转动时，附着在潮湿衣服上
的水从漏水孔中被甩出，达到脱水的目的。如图，滚筒洗衣机脱水时，衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做
匀速圆周运动。衣物经过洗衣机上
、
、、
四个位置中，脱水效果最好的位置应该是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设衣服对水滴的附着力为
，在
、点有
在最高点
有
所以
在最低点
有
所以
所以
，即在最低点
需要的附着力最大，所以湿衣服上的水在最低点需要的附着力更容易超过最大
附着力，更容易被甩出。
故选D。
【变式训练1】
在东北严寒的冬天，有一项泼水成冰的游戏，具体操作是把一杯滚烫的开水按一
“
”
定的弧线均匀快速地泼向空中，泼洒出的小水珠和热气被瞬间凝结成冰而形成壮观的场景。如图甲所示是
某人玩泼水成冰游戏的精彩瞬间，图乙为其示意图，假设泼水过程中杯子做逆时针匀速圆周运动。下列说
法正确的是（ ）
A．P 位置的小水珠速度方向沿a 方向
B．水珠做离心运动是由于合外力大于所需向心力
C．P、Q 两位置，杯子的线速度相同
D．P、Q 两位置，杯子的角速度相同
【答案】D
【解析】A．杯子做逆时针匀速圆周运动，则P 位置的小水珠速度方向沿b 方向，故A 错误；
B．水珠做离心运动是由于合外力小于所需向心力，故B 错误；
C．杯子做匀速圆周运动，在P、Q 两位置，杯子的线速度大小相等，方向不同，故C 错误；
D．杯子做匀速圆周运动，在P、Q 两位置，杯子的角速度相同，故D 正确。
故选D。
【变式训练2】（多选）某水平圆形环岛如图所示，当某辆汽车通过此环形路段时（ ）
A．应适当减速，避免发生侧滑
B．若以恒定速率转弯，所受的合力为零
C．若以相同速率转弯，在外车道比内车道更易发生侧滑
D．若以相同速率转弯，在内车道比外车道更易发生侧滑
【答案】AD
【解析】A．汽车通过环形路段时速度越大所需向心力也越大，越容易发生侧滑，故应适当减速，避免发
生侧滑，A 正确；
B．汽车做匀速圆周运动，所受的合力提供向心力，故所受的合力一定不为零，B 错误；
CD．若以相同速率转弯，由
可知半径越小所需向心力越大，故在内车道比外车道更易发生侧滑，C 错误，D 正确；
故选AD。
考点三 圆周运动的临界、极值问题
知识点1 水平面内圆周运动的临界、极值问题
情境
受力分析
临界状态对应规律
初始有：
，临界状态：静摩擦力达到最大，有
初始有
，临界状态：静摩擦力达到最大
，随着ω 继续变大，有
，
FT从0 开始增大
临界状态1：当
绳子上将要产生拉力
临界状态2：当
时，A、B 将要发生相对滑动
A、B 开始滑动的临界状态：
、
通过比较两接触面的动摩擦因数 μ 来判定谁先滑动，动摩擦
因数小的先滑动
临界状态：当
时，A 物体即将相对圆盘
向外滑动
得分速记
1、与摩擦力有关的临界极值问题
（1）如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力
，静摩擦力的方向一定指向圆心。
（2）如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内
滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离
圆心和沿半径指向圆心。
2、与弹力有关的临界极值问题
（1）两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。
（2）绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。
知识点2 竖直面内圆周运动的临界、极值问题
知识点3 斜面上圆周运动的临界、极值问题
1、特殊位置受力分析
2、临界状态分析
物块相对转盘即将滑动的临界位置在最低点，物块运动过程中在最低点有
，当
时转盘角速度ω 达到最大值，此时
，可得到
。
考向1 水平面内圆周运动的临界、极值问题
例1 如图所示，自动化物流分拣系统中，包裹随水平圆盘匀速转动，包裹质量
，距转轴距离
，与圆盘间动摩擦因数
，重力加速度
。已知包裹可视为质点，最大静摩擦力
等于滑动摩擦力，当圆盘转速缓慢增至包裹恰好滑动时，圆盘的角速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】包裹随圆盘做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力。临界条件为最大静摩擦力等于所需向心力，
有
解得
，故选D。
解题技巧 解
临界问题的
决
注意事项
（1）先确定研究对象受力情况，看哪些力提供向心力，哪些力可能突变引起临界问题。
（2）注意分析物体所受静摩擦力大小和方向随转盘转速的变化而发生的变化。
（3）关注临界状态，即静摩擦力达到最大值时。物体随转盘转动，静摩擦力提供向心力，随转速的
增大，静摩擦力增大，当达到最大静摩擦力时开始滑动，出现临界情况，此时对应的角速度为临界角
速度。
【变式训练1】如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上
、A 两点连接有两轻绳，
两绳的另一端都系在质量为m 的小球上，
，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀
速圆周运动，三角形
始终在竖直平面内，若转动过程中
、
两绳始终处于拉直状态，重力加速
度为
，则下列说法正确的是（ ）
A．
绳的拉力范围为
B．
绳的拉力范围为
C．
绳的拉力范围为
D．如果把绳
剪断，小球一定会偏离原来位置
【答案】B
【解析】ABC．转动的角速度为零时，
绳的拉力最小，
绳的拉力最大，这时二者的值相同，设为
，则
解得
增大转动的角速度，当
绳的拉力刚好为零时，
绳的拉力最大，设这时
绳的拉力为
，则
解得
因此
绳的拉力范围
，
绳的拉力范围
。故AC 错误，B 正确；
D．当绳
绳的拉力为零时，如果把绳
剪断，小球不会偏离原来位置。故D 错误。
故选B。
【变式训练2·变考法】如图所示，高速公路转弯处弯道半径R=100m，汽车的质量m=2000kg，重力加速度
g=10m/s2。
（1）当汽车以v1=15m/s 的速率行驶时，其所需的向心力为多大？
（2）若路面是水平的，已知汽车轮胎与路面间的动摩擦因数µ=0.9，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求
汽车转弯时不发生径向滑动所允许的最大速率vm为多少？
（3）通过对弯道路面内外高度差的合理设计，可实现汽车转弯时刚好不受径向的摩擦力作用的效果。若
汽车转弯时仍以（2）中的最大速率vm运动，则转弯处的路面与水平面夹角的正切值为多少？
【答案】（1）4500N （2）30m/s （3）0.9
【解析】（1）由题意，根据向心力公式
代入数据解得所需向心力
（2）当以最大速率转弯时，最大静摩擦力提供向心力，此时有
解得最大速率
（3）若汽车转弯时仍以（2）中的最大速率vm，且要求汽车刚好不受径向的摩擦力作用，则转弯处的路面
应设计成外高内低的情况，设路面的斜角为
“
”
θ，作出汽车的受力示意图如图所示
根据牛顿第二定律有
解得
考向2 竖直面内圆周运动的临界、极值问题
例2
为在水平传送带上被传送的小物体（可视为质点），A 为终端皮带轮，如图所示，已知皮带轮半径
为，传送带与皮带轮间不会打滑，当
可被水平抛出时（ ）
A．皮带的最小速度为
B．皮带的最小速度为
C．
轮每秒的转数最少是
D．
轮每秒的转数最少是
【答案】A
【解析】AB．传送带与皮带轮间不会打滑，小物体可被水平抛出，则有
解得
可知皮带的最小速度为
，故A 正确，B 错误；
CD．A 轮每秒的转数满足
可得A 轮每秒的转数最少为
故CD 错误。
故选A。
思维建模
竖直面内圆周运动问题的思
分析
路
【变式训练1】
某同学使用小型电动打夯机平整自家房前的场地，如图所示是电动打夯机的结构示
意图。质量为
的摆锤通过轻杆与总质量为
的底座（含电动机）上的转轴相连。电动机带动摆锤绕转
轴
在竖直面内匀速转动，转动半径为
，重力加速度为
，打夯机底座刚好能离开地面，下列说法正确
的是（ ）
A．转到最低点时摆锤处于失重状态
B．摆锤在最高点时，杆给摆锤的弹力恰好为
C．摆锤的角速度为
D．摆锤转到最低点时，打夯机对地面的压力为
【答案】D
【解析】A．转到最低点时摆锤有向上的加速度，处于超重状态，故A 错误；
BC．电动机带动摆锤绕转轴
在竖直面内匀速转动，设角速度为
，摆锤在最高点时，根据牛顿第二定律
可得
此时打夯机底座刚好能离开地面，地面对底座的支持力为0，则杆对底座的拉力
由牛顿第三定律可知底座对杆的拉力
在最高点处，杆对摆锤的拉力沿杆方向，可得
，因此摆锤在最高点时，杆给摆锤的弹力不是
。
联立可得
。故BC 错误；
D．根据以上分析可知在最低点时
对打夯机底座受力分析，有
根据牛顿第三定律可得，打夯机对地面的压力为
。故D 正确。
故选D。
【变式训练2】随着科技的发展，汽车已经走进寻常百姓家，据公安部交管局公布的数据，到2024 年底全
国汽车保有量高达3.53 亿辆，安全驾驶问题已受到广泛关注。一辆汽车通过半径为
的圆拱形桥梁顶端
时速度为，重力加速度为
，这辆汽车安全通过该桥顶的最大速度不能超过（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当汽车通过桥顶时，重力与桥面支持力的合力提供向心力。设桥面支持力为
，由牛顿第二定律
得
可得
解得
可知这辆汽车安全通过该桥顶的最大速度不能超过
。
故选C。
考向3 斜面上圆周运动的临界、极值问题
例3 如下图所示，在倾角为
的光滑斜面上，有一根长为
的细绳，一端固定在O 点，另一
端系一质量为
的小球，沿斜面做圆周运动，斜面固定在地面，取
，小球在A 点最小
速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】小球在A 点最小速度时，小球所受重力沿斜面向下的分力提高向心力，则
解得
故选B。
解题技巧
力的
解
视
重
分
和
图
物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解
决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化。
【变式训练1】如图（a）所示，倾斜圆盘与水平面的夹角θ＝30°，它可绕过圆心且垂直于圆盘的转轴匀速
转动，在圆盘平面内以圆心O 为原点建立平面直角坐标系，x 轴沿水平方向，y 轴沿盘面向上。圆盘上一
小滑块始终与圆盘保持相对静止，其所受摩擦力沿x、y 轴的投影fx、fy的关系如图（b）所示。则滑块与圆
盘之间的动摩擦因数至少为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设图（b）圆与
轴正方向的交点的纵坐标为
，则
解得
结合图（b）知，滑块运动至最高点时，所受的静摩擦力最小，方向指向圆心，大小为
由牛顿第二定律得
滑块运动至最低点时，所受的静摩擦力最大，方向指向圆心，大小为
由牛顿第二定律得
且满足
联立知，滑块与圆盘之间的动摩擦因数
故选C。
【变式训练2】（2025·山东临沂·三模）游乐场里有一个半径为5m 的倾斜匀质圆盘，盘面与水平面的夹角
为30°，圆盘可绕过圆盘圆心O 且垂直于盘面的固定对称轴以1rad/s 的角速度匀速转动，如图所示。一个
小孩（可视为质点）坐在盘面上距O 点距离r 处，小孩与盘面间的动摩擦因数为
，已知最大静摩擦力
等于滑动摩擦力，g 取10m/s²。要保证小孩与圆盘始终保持相对静止，则距离r 的可能取值范围为
（ ）
A．0<r≤2.5m
B．1m≤r≤3.5m
C．2.5m≤r≤4m
D．2.5m≤r≤5m
【答案】A
【解析】当小物体转到圆盘的最低点刚要滑动时，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，设半径为
，
根据牛顿第二定律有
解得
当小物体转到圆盘的最高点刚要滑动时，所受的静摩擦力沿斜面向下达到最大时，设半径为
，根据牛顿
第二定律有
解得
可知
，故
不符合要求。
故距离r 的可能取值范围为
故选A。
1．（2024·辽宁·高考真题）指尖转球是花式篮球表演中常见的技巧。如图，当篮球在指尖上绕轴转动时
“
”
，
球面上P、Q 两点做圆周运动的（ ）
A．半径相等
B．线速度大小相等
C．向心加速度大小相等
D．角速度大小相等
【答案】D
【解析】D．由题意可知，球面上P、Q 两点转动时属于同轴转动，故角速度大小相等，故D 正确；
A．由图可知，球面上P、Q 两点做圆周运动的半径的关系为
故A 错误；
B．根据
可知，球面上P、Q 两点做圆周运动的线速度的关系为
故B 错误；
C．根据
可知，球面上P、Q 两点做圆周运动的向心加速度的关系为
故C 错误。
故选D。
2．（2025·河北·高考真题）某同学在傍晚用内嵌多个彩灯的塑料绳跳绳，照片录了彩灯在曝光时间内的运
动轨迹，简图如图。彩灯的运动可视为匀速圆周运动，相机本次曝光时间是
，圆弧对应的圆心角约为
，则该同学每分钟跳绳的圈数约为（ ）
A．90
B．120
C．150
D．180
【答案】C
【解析】根据题意可知跳绳的转动角速度为
故每分钟跳绳的圈数为
故选C。
3．（2025·江苏·高考真题）游乐设施旋转杯的底盘和转杯分别以
“
”
、
为转轴，在水平面内沿顺时针方
向匀速转动。
固定在底盘上。某时刻转杯转到如图所示位置，杯上A 点与
、
恰好在同一条直线上。
则（ ）
A．A 点做匀速圆周运动
B．
点做匀速圆周运动
C．此时A 点的速度小于
点
D．此时A 点的速度等于
点
【答案】B
【解析】A．A 点运动为A 点绕
的圆周运动和
相对于O 的圆周运动的合运动，故轨迹不是圆周，故不
做匀速圆周运动，故A 错误；
B．根据题意
固定在底盘上，故可知
围绕O 点做匀速圆周运动，故B 正确；
CD．杯上A 点与
、
恰好在同一条直线上时且
在
延长线上，
点和
点运动运动方向相同，又
A 点相对
点做圆周运动，故此时A 的速度大于
的速度，故CD 错误。
故选B。
4．（2025·山东·高考真题）某同学用不可伸长的细线系一个质量为
的发光小球，让小球在竖直面内
绕一固定点做半径为
的圆周运动。在小球经过最低点附近时拍摄了一张照片，曝光时间为
。由于
小球运动，在照片上留下了一条长度约为半径
的圆弧形径迹。根据以上数据估算小球在最低点时细线的
拉力大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意可知在曝光时间内小球运动的长度为
近似认为在曝光时间内小球做匀速直线运动，故有
在最低点根据牛顿第二定律有
代入数据解得T=7N
故选C。
5．（2024·江苏·高考真题）制作陶瓷时，在水平面内匀速转动的台面上有一些陶屑。假设陶屑与台面间的
动摩擦因数均相同，最大静摩擦力等于滑动摩檫力。将陶屑视为质点，则（ ）
A．离转轴越近的陶屑质量越大
B．离转轴越远的陶屑质量越大
C．陶屑只能分布在台面的边缘处
D．陶屑只能分布在一定半径的圆内
【答案】D
【解析】与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力为最大静摩擦力时，
根据牛顿第二定律可得
解得
因与台面相对静止的这些陶屑的角速度相同，由此可知能与台面相对静止的陶屑离转轴的距离与陶屑质量
无关，只要在台面上不发生相对滑动的位置都有陶屑。μ 与ω 均一定，故
为定值，即陶屑离转轴最远
的陶屑距离不超过
，即陶屑只能分布在半径为
的圆内。故ABC 错误，故D 正确。
故选D。
6．（2025·福建·高考真题）（多选）春晚上转手绢的机器人，手绢上有P、Q 两点，圆心为O，
，手绢做匀速圆周运动，则（ ）
A．P、Q 线速度之比为
B．P、Q 角速度之比为
C．P、Q 向心加速度之比为
D．P 点所受合外力总是指向O
【答案】AD
【解析】B．手绢做匀速圆周运动，由图可知
、
属于同轴传动模型，故角速度相等，即角速度之比为
，B 错误；
A．由
可知，
、
线速度之比
得A 正确；
C．由
可知，
、
向心加速度之比
得C 错误；
D．做匀速圆周运动的物体，其合外力等于向心力，故合力总是指向圆心
，D 正确。
故选AD。
7．（2024·江西·高考真题）雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图
（a）、（b）所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O 点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘
A 处固定连接一轻绳，轻绳另一端B 连接转椅（视为质点）。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相
等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为
，重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）在图（a）中，若圆盘在水平雪地上以角速度
匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O 点做半
径为
的匀速圆周运动。求
与
之间夹角
的正切值。
（2）将圆盘升高，如图（b）所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕
点做半径为
的匀
速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为
，绳子在水平雪地上的投影
与
的夹角为
。求此时圆盘
的角速度
。
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）转椅做匀速圆周运动，设此时轻绳拉力为T，转椅质量为m，受力分析可知轻绳拉力沿切线
方向的分量与转椅受到地面的滑动摩擦力平衡，沿径向方向的分量提供圆周运动的向心力，故可得
联立解得
（2）设此时轻绳拉力为
，沿
和垂直
竖直向上的分力分别为
，
对转椅根据牛顿第二定律得
沿切线方向
竖直方向
联立解得
