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第50 讲 动态圆、磁聚焦和磁发散问题
模拟·基础演练
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
BC
BC
BC
BC
AB
BC
BCD
BCD
AD
题号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
答案
BC
A
C
D
C
AD
AD
A
D
D
重难·创新演练
题号
1
2
3
4
5
6
答案
BD
BD
AC
BCD
AD
BD
真题·实战演练
1．【答案】(1)0.6 或0.8 (2)2
5 L或4
5 L
(3)U >2m v0
2
q
，无粒子能到达O 点，均无法打到P 右侧面。
当0<U <16mv0
2
17q
时，仅θ1粒子能进入磁场，1 个撞击点；
当16m v0
2
17 q
≤U <2m v0
2
q
时，两粒子均能进入且撞击点不同，2 个撞击点；
当U =2mv0
2
q
时，两粒子轨迹重合，1 个撞击点。
【详解】（1）粒子在电场中做类斜抛运动
设粒子初速度方向与x 轴夹角为θ，加速度a= qU
m(2 L) =24 v0
2
25 L
方向沿y 轴正向。粒子从(−L,0)运动到(0, 0)，水平方向L=v0cosθ⋅t
竖直方向0=−v0sinθ⋅t +1
2 at
2
联立解得v0
2sin(2θ)=aL=24
25 v0
2
即sin(2θ)= qU
2m v0
2 =24
25
在O 点，v x=v0cosθ，v y =−v0sinθ+at =v0sinθ
设射入磁场速度方向与x 轴夹角为β，则tan β =v y
v x
=tanθ
即β =θ
根据sin(2 β)=24
25 ，sin
2 β +cos
2 β =1
解得sin β =0.6或sin β =0.8
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，半径R =m v0
qB =L
磁场区域半径也为L。由几何关系，粒子从O 点射入，必从磁场边界另一点射出，且射出速度方向水平向
右，如下图
射出点纵坐标y出=L(1−cosα )
当sinα =3
5时，cosα =4
5 ，y出=L
5
当sinα =4
5 时，cosα =3
5，y出=2 L
5
粒子与Q 板弹性碰撞后沿x 轴负方向返回，再次进入磁场。
由对称性及圆周运动几何关系，粒子再次打到挡板P上的位置纵坐标y =2 y出
故y 坐标为2
5 L或4
5 L。
（3）根据（1）可知sin(2θ)= qU
2m v0
2 =24
25
设k = qU
2mv0
2。粒子能到达O 点需满足sin(2θ)=k，即k ≤1，U ≤2mv0
2
q
若U >2m v0
2
q
，则k >1，无粒子能到达O 点，均无法打到P 右侧面。
当U ≤2mv0
2
q
时，存在两个发射角θ1,θ2（假设θ2大于θ1）。粒子在电场中不撞板条件为|ymin)≤L，如下图
上图为刚好到达上极板的临界，根据逆向看，类平抛运动速度偏转角是位移偏转角正切值的2 倍，可知，
此时tanθ =2× L
1
2 L
=4
根据数学关系可知此时sinθ =4 ❑√17
17
，cosθ =
❑√17
17
解得对于θ2需k =sin(2θ)≥8
17 ，即U ≥16m v0
2
17q
此时θ2对应粒子轨迹刚好与上极板相切。
综上所述，当0<U <16m v0
2
17 q
时，仅θ1粒子能进入磁场，1 个撞击点；
当16mv0
2
17q
≤U <2mv0
2
q
时，两粒子均能进入且撞击点不同，2 个撞击点；
当U =2m v0
2
q
时，两粒子轨迹重合，1 个撞击点；
当U >2mv0
2
q
，则k >1，无粒子能到达O 点，均无法打到P 右侧面。
2．【答案】(1)3qBh
2m (2)2qBh
m
(3)2πm
3qB
【详解】（1）由题意粒子水平发射后做匀速圆周运动，要在O 点产生光点，其运动半径r =3h
2
运动过程中由洛伦兹力提供向心力有qvB =m v
2
r
联立解得v =qBr
m =3qBh
2m
（2）若K 从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N 点产生光点，则两端粒子
的轨迹正好构成一个完整的圆，且在N 点相切，如图
由于K 从水平方向逆时针旋转60°，则θ =30
∘，根据几何关系可知此时粒子做匀速圆周运动的半径为
r1=2h
根据洛伦兹力提供向心力可知q v1B =m v1
2
r1
解得v1=qBr1
m
=2qBh
m
（3）由题意带正电粒子恰好在M 点产生光点，则关闭磁场时粒子速度恰好指向M，过M 点做正电粒子轨
迹的切线，切点为P，如图
根据前面解析可知ON =❑√3h，所以NM =2❑√3h
由于O
′ N =r1=2h，且O
′ N ⊥NM
根据几何关系可知∠N O
′ M =∠PO
′ M =60
∘，而∠K O
′ N =120
∘
所以α =120
∘
粒子在磁场中运动的周期T =2πm
qB ，对应的圆心角α =120
∘
所以t =1
3 T =1
3 ⋅2πm
qB =2πm
3qB
3．【答案】（1）2m v0
qB
；（2）2d；（3）mv0
2
2q
；（4）当m v0
2qB ≤x ≤2❑√2m v0
qB
时，U x =q B
2 x
2
8m
【详解】（1）速度大小为v0、沿y 轴正方向射出的离子经磁场偏转后轨迹如图
由洛伦兹力提供向心力
Bq v0=m v0
2
R
解得半径
R =m v0
Bq
孔C 所处位置的坐标x0
x0=2 R =2mv0
Bq
（2）速度大小为v的离子进入磁场后，由洛伦兹力提供向心力
Bqv =m v
2
R
′
解得半径
R
′ =mv
Bq
若要能在C 点入射，则由几何关系可得
2 R
′ cosθ =2 R
解得
cosθ =v0
v ∈[
❑√2
2 ,1)
如图
由几何关系可得
L=2d
（3）不管从何角度发射
v y =v cosθ
由（2）可得
v y =v0
根据动力学公式可得
a=qU 0
md ，v y
2 =2ad
联立解得
U 0=m v0
2
2q
（4）孔C 位置坐标x
x =2r cosθ
其中
r =m v
′
Bq =R v
′
v0
联立可得
x =2 R v
′
v0
cosθ，cosθ∈[
1
2 ,1)
解得
1
2 R≤x ≤2❑√2 R
在此范围内，和（3）相同，只与v y相关，可得
Bq v y =m v
′2
x
2
解得v y =Bqx
2m
根据动力学公式可得a=qU x
md ，v y
2 =2ad
解得U x =B
2q x
2
8m
