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第16 讲 万有引力定律
目录
01 课标达标
练.................................................................................................................................................................................2
题型01 开普勒行星运动定律的理解及应用........................................................................................................2
题型02 万有引力与重力的关系.............................................................................................................................3
题型03 天体不同位置及其他星球重力加速度..................................................................................................3
题型04 在天体表面计算天体质量及密度.............................................................................................................4
题型05 利用环绕天体计算天体质量及密度........................................................................................................4
02 核心突破练.......................................................................................................................................................9
03 真题溯源练.....................................................................................................................................................11
01 开普勒行星运动定律的理解及应用
1．（2021·福建·高考真题）两位科学家因为在银河系中心发现了一个超大质量的致密天体而获得了2020
年诺贝尔物理学奖。他们对一颗靠近银河系中心的恒星
的位置变化进行了持续观测，记录到的
的椭圆
轨道如图所示。图中O 为椭圆的一个焦点，椭圆偏心率（离心率）约为0.87。P、Q 分别为轨道的远银心
点和近银心点，Q 与O 的距离约为
（太阳到地球的距离为
），
的运行周期约为16 年。假设
的运动轨迹主要受银河系中心致密天体的万有引力影响，根据上述数据及日常的天文知识，可以推出（
）
A．
与银河系中心致密天体的质量之比
B．银河系中心致密天体与太阳的质量之比
C．
在P 点与Q 点的速度大小之比
D．
在P 点与Q 点的加速度大小之比
【答案】BCD
【详解】A．设椭圆的长轴为2a，两焦点的距离为2c，则偏心率
且由题知，Q 与O 的距离约为
，即
由此可得出a 与c，由于
是围绕致密天体运动，根据万有定律，可知无法求出两者的质量之比，故A 错
误；
B．根据开普勒第三定律有
式中k 是与中心天体的质量M 有关，且与M 成正比；所以，对
是围绕致密天体运动有
对地球围绕太阳运动有
两式相比，可得
因
的半长轴a、周期
，日地之间的距离
，地球围绕太阳运动的周期
都已知，故由上式，可以求
出银河系中心致密天体与太阳的质量之比，故B 正确；
C．根据开普勒第二定律有
解得
因a、c 已求出，故可以求出
在P 点与Q 点的速度大小之比，故C 正确；
D．
不管是在P 点，还是在Q 点，都只受致密天体的万有引力作用，根据牛顿第二定律有
解得
因P 点到O 点的距离为a+c,，Q 点到O 点的距离为a-c，解得
因a、c 已求出，故
在P 点与Q 点的加速度大小之比，故D 正确。
故选BCD。
2．（2025·福建厦门·二模）国际天文学团队发现“超级地球”——行星HD20794d。如图所示，该行星围
绕着一颗类太阳恒星运动，运行轨道呈椭圆形，位于宜居带内、外缘之间，
、
、
、
是椭圆轨道
的顶点。已知类太阳恒星质量小于太阳质量，则“超级地球”（ ）
A．运行轨道半长轴的三次方与其运行周期的平方之比等于地球公转轨道半长轴的三次方与其运行周
期的平方之比
B．从
到
所用时间大于
到
所用时间
C．在
点的速度大于
点的速度
D．在
点的加速度小于
点的加速度
【答案】BD
【详解】A．“超级地球”围绕类太阳恒星运动，中心天体时类太阳恒星；地球围绕太阳运动，中心天体
时太阳，中心天体不同，轨道半长轴的三次方与其运行周期的平方之比不同，故A 错误；
B．“超级地球”围绕类太阳恒星做椭圆运动，从Q 到M 的平均速度大小小于从M 到P 的平均速度大小，
所以从Q 到M 所用时间大于M 到P 所用时间，故B 正确；
C．由开普勒第二定律可知在远日点Q 点的速度小于近日点P 点的速度，故C 错误；
D．根据万有引力公式
可知“超级地球”在P 点受到的万有引力大，根据牛顿第二定律可知在Q 点的加速度小于P 点的加速度，
故D 正确。
故选BD。
3.（2025·福建南平·模拟预测）2024 年11 月15 日，天舟八号货运飞船A 成功发射至预定圆轨道。如图所示，
空间站天和核心舱B 在更高圆轨道上运行，A、B 均沿顺时针方向运行，某时刻A、B 与地心O 的连线夹角
为
。从图示位置开始计时，经过时间，O、A、B 第一次共线。若A、B 的运行周期分别为
、
，则
（ ）
A．A、B 与地心O 的连线在相等时间内扫过的面积相等
B．
C．A、B 在时间内通过弧长之比为
D．从初始位置经
时间，A、B 第一次相距最远
【答案】B
【详解】A．开普勒第二定律是指同一卫星与中心天体的连线在相等时间内扫过的面积相等，故A 错误；
B．根据
得
解出
，故B 正确；
C．弧长
，又因为
，
得正比于
，最终得弧长之比为
，故C 错误；
D．从初始位置开始，到第一次相距最远时有
得
，故D 错误。
故选B。
02 万有引力与重力的关系
4．（2023·福建厦门·模拟预测）2022 年11 月30 日，我国六名航天员在空间站首次“太空会师”，向世界
展示了中国航天工程的卓越能力。载人空间站绕地运动可视为匀速圆周运动，已知空间站距地面高度为
h，运行周期为T，地球半径为R。忽略地球自转，则（ ）
A．空间站的线速度大小为
B．地球的质量可表示为
C．地球表面重力加速度为
D．空间站的向心加速度大小为
【答案】AC
【详解】A．根据线速度与周期的关系式，可得空间站的线速度大小为
故A 正确；
B．空间站做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，可得
解得
故B 错误；
C．根据
联立，解得
故C 正确；
D．空间站的向心加速度大小为
故D 错误。
故选AC。
5.2023 年2 月10 日神舟十五号乘组圆满完成了中国空间站全面建成后的首次出舱任务，空间站如图所示。
若中国空间站绕地球可视为匀速圆周运动，已知空间站运行周期为T，轨道离地面的高度为h，地球半径
为R，引力常量为G，忽略地球自转的影响，则下列说法正确的是（ ）
A．地球的第一宇宙速度为
B．空间站的运行速度为
C．航天员出舱与空间站保持相对静止时受到的合力为零
D．空间站绕地球运动的向心加速度大于地面的重力加速度
【答案】A
【详解】A．设地球质量为M，空间站质量为m，对空间站根据万有引力提供向心力有
对质量为
的物体在地球上达到第一宇宙速度时有
联立解得
A 正确；
B．空间站的运行速度为
B 错误；
C．航天员出舱与空间站保持相对静止时仍然受到地球的万有引力作用，所受合力不为零，C 错误；
D．空间站绕地球运动时有
在地面时有
可得
D 错误。
故选A。
03 天体不同位置及其他星球重力加速度
6.假设月球表面下存在一条贯穿月球球心的熔岩管隧道，隧道的两端开口，内部为真空，长度为月球直径，
航天员在隧道内进行重力加速度的测量。已知月球质量为地球质量的
，月球半径约为地球半径的
，地
球表面的重力加速度为
。假设月球为质量分布均匀的球体，且质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为
零，忽略月球自转的影响。则（ ）
A．月球表面的重力加速度约为
B．可以在隧道内找到一个位置，其重力加速度等于地球重力加速度
C．隧道内某处的重力加速度与该处到月球球心的距离成正比
D．距月球表面高为处的重力加速度与该处到月球球心的距离成正比
【答案】C
【详解】A．由
可得
则有
，故A 错误；
BC．质量分布均匀的球壳对球壳内部任意位置质点的万有引力都为零，则隧道内任一点（到球心的距离为
r）的重力加速度为
可知g 与r 成正比，则隧道内任一位置的重力加速度均小于
，故B 错误，C 正确；
D．距月球表面高为h 处，由
可得
可知距月球表面高为处的重力加速度
与
成反比，故D 错误。
故选C。
7.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，设地球是一个质量分布均匀的球体，其质量为
，半
径为
，设想以地心为圆心，（
）为半径处挖一条圆形隧道，如图所示，给小球一合适的速度，
使小球恰好在隧道内做圆周运动，且不与隧道壁接触，不考虑隧道宽度与阻力，小球可视为质点，引力常
量为
，下列说法正确的是（ ）
A．轨道处重力加速度大小为
B．小球线速度大小为
C．小球角速度大小为
D．若设想沿地球直径挖一条隧道，将小球从此隧道一端由静止释放，小球到达
点的速度大小为
【答案】A
【详解】A．设地球的密度为
，则有
轨道处有
，
联立解得轨道处重力加速度大小为
故A 正确；
BC．给小球一合适的速度，使小球恰好在隧道内做圆周运动，且不与隧道壁接触，根据牛顿第二定律可
得
可得
，
故BC 错误；
D．若设想沿地球直径挖一条隧道，将小球从此隧道一端由静止释放，当小球离
点距离为
时，所受引
力大小为
则小球从此隧道一端由静止释放，小球到达
点时，引力做功为
根据动能定理可得
解得小球到达
点的速度大小为
故D 错误。
故选A。
04 在天体表面计算天体质量及密度
8．（2025·福建泉州·模拟预测）如图甲，某行星外围有一圈厚度为d 的发光带，R 为该行星的半径。若发
光带是环绕该行星做圆周运动的卫星群，发光带上某卫星绕行星中心的运行速度的二次方与到该行星中心
的距离r 的倒数之间的关系图像如图乙所示图线中
为已知量。已知引力常量为G，则下列说法正确的
是（ ）
A．该行量的第一宇宙速度为
B．该行星的质量
C．该行星的平均密度
D．该行星表面的重力加速度
【答案】AC
【详解】B．该发光带是环绕该行星做圆周运动的卫星群，由万有引力提供向心力，有
化简可得
又由题图乙可知
图像的斜率
故
联立可得该行星的质量
，故B 错误；
D．当
时，有
得行星表面的重力加速度
，故D 错误；
A．行星的第一宇宙速度
，故A 正确；
C．该行星的平均密度
，故C 正确。
故选AC。
9.（2023·福建宁德·模拟预测）利用万有引力常量G 和表中选择的一些信息可以完成的估算是（ ）
信
息
内
容
地球公
转周期
约365
天
地表重力
加速度约
为9.8m/s2
火星的公
转周期为
687 天
日地距
离大约
是1.5
亿km
地球半
径
6400km
地球近地卫星
的周期90min
A．地球的密度
B．太阳的密度
C．近地卫星的质量
D．火星公转的线速度
【答案】AD
【详解】AC．对地球近地卫星有
由于
解得
可估算出地球的密度，近地卫星作为环绕天体，根据题中条件无法求出其质量，A 正确，C 错误；
B．地球绕太阳做匀速圆周运动有
可得
利用地球公转周期
、日地距离r 只能求出出太阳的质量，由于不知道太阳的半径，则不能求出太阳的密
度，B 错误；
D．根据开普勒第三定律有
可以估算出火星到太阳的距离，根据
则可以估算出火星的线速度，D 正确。
故选AD。
05 利用环绕天体计算天体质量及密度
10．（2025·福建漳州·模拟预测）我们通常以地球上看到的角度（即“角直径”，如图中θ）来描述遥远星
球的大小。已知地球绕太阳的公转周期T、角直径θ 和引力常量G，则能求出的物理量有（ ）
A．太阳的质量
B．太阳的平均密度
C．地球的平均密度
D．地球绕太阳公转的轨道半径
【答案】B
【详解】AD．设太阳的半径为R，根据几何关系可得地球绕太阳运动的轨道半径
根据万有引力提供向心力
可得太阳的质量
由于太阳半径未知，所以无法求出太阳的质量和地球绕太阳公转的轨道半径，故AD 错误；
B．根据
又
可得太阳的平均密度
，故B 正确；
C．地球是环绕天体，地球的半径未知，质量未知，无法求出地球的平均密度，故C 错误。
故选B。
11.（2023·福建泉州·二模）2022 年11 月1 日，梦天实验舱成功对接天宫空间站，至此我国空间站一期建设
基本完成。如图为梦天实验舱正在接近天宫空间站的对接情景，假设对接后组合体的轨道近似看成圆形，
已知组合体运行周期为
，其轨道半径与地球半径的比值为
，引力常量为
。下列说法正确的是
（ ）
A．图示时刻天宫空间站的运行速度小于
B．图示时刻天宫空间站的加速度大于
C．组合体的运行速度为
D．地球的平均密度为
【答案】AD
【详解】A．根据环绕模型中
整理得
是第一宇宙速度，也是近地卫星的环绕速度。根据上述公式可知，天宫空间站的环绕半
径比近地卫星的环绕半径大，天宫空间站的运行速度小于
。故A 正确；
B．根据公式
整理得
天宫空间站的环绕半径比地球半径大，则加速度小于地球表面加速度
。故B 错误；
C．设地球半径为
，根据圆周运动特征
故C 错误；
D．根据
整理得
根据密度公式可知
故D 正确。
故选AD。
1．（2025·福建莆田·二模）二十四节气是中华民族优秀传统文化，如图为地球沿椭圆轨道绕太阳运动所处
的四个位置，分别对应我国的四个节气。冬至和夏至时地球中心与太阳中心的距离分别为r1、r2，下列说
法正确的是（ ）
A．冬至时地球的运行速度大于7.9km/s 小于11.2km/s
B．地球运行到冬至和夏至时，运行速度之比为
C．地球运行到冬至和夏至时，加速度之比为
D．地球运行到冬至和夏至时，所受太阳的万有引力之比为
【答案】D
【详解】A．第一宇宙速度7.9km/s 是地球近地卫星绕地球做圆周运动的速度；而第二宇宙速度11.2km/s
是脱离地球引力的最小速度；而与地球绕太阳运行的速度没有直接关系，选项A 错误；
B．根据开普勒第二定律可知，地球运行到冬至和夏至时
可得运行速度之比为
选项B 错误；
CD．根据
可知地球运行到冬至和夏至时，加速度之比为
所受太阳的万有引力之比为
选项C 错误，D 正确。
故选D。
2．（2024·福建漳州·三模）齐娜星是太阳系中已知质量最大的矮行星，质量是地球质量的
，半径为
，绕太阳运行的椭圆轨道离心率为0.44，轨道长轴为
（地球与太阳间的距离为
）。
已知地球的半径为
，地球绕太阳公转视为圆周运动，则（ ）
A．齐娜星受到太阳的万有引力比地球受到太阳的万有引力大
B．齐娜星绕太阳公转的周期比地球绕太阳公转的周期大
C．齐娜星的第一宇宙速度比地球的第一宇宙速度小
D．齐娜星极地的重力加速度比地球极地的重力加速度小
【答案】B
【详解】A．由几何知识可知，齐娜星与太阳的最近距离约为
若取最近距离
时齐娜星所受太阳的万有引力最大，
，
，由万有引力定律
，可知
因齐娜星受到太阳的最大万有引力都比地球受到太阳的万有引力小，则齐娜星在椭圆轨道上所受的万有引
力均小于地球所受万有引力，故A 错误；
B．齐娜星绕太阳做椭圆轨道运动，其半长轴为
而
，根据开普勒第三定律可知，齐娜星与地球绕太阳公转的周期之比
故B 正确；
C．由
，可得第一宇宙速度为
因
，
，则齐娜星与地球的第一宇宙速度之比
故C 错误；
D．由
可得
则齐娜星极地的重力加速度与地球极地的重力加速度大小比
故D 错误。
故选B。
3．（2025·福建福州·模拟预测）两颗相距较远的行星A、B 的半径分别为RA、RB，距A、B 行星中心r 处，
各有一卫星分别围绕行星做匀速圆周运动，线速度的平方v2随半径r 变化的关系如图甲所示，两图线左端
的纵坐标相同；卫星做匀速圆周运动的周期为T，
的图像如图乙所示的两平行直线，它们的截距
分别为bA、bB。已知两图像数据均采用国际单位，
，行星可看作质量分布均匀的球体，忽略
行星的自转和其他星球的影响，下列说法正确的是（ ）
A．图乙中两条直线的斜率均为
B．行星A、B 的质量之比为1 3∶
C．行星A、B 的密度之比为1 9∶
D．行星A、B 表面的重力加速度大小之比为3 1∶
【答案】C
【详解】A．根据万有引力提供向心力有
整理得
两边取对数得
图乙中两条直线的斜率均为
，故A 错误；
B．根据已知条件有
解得
故B 错误；
C．根据万有引力提供向心力有
得
由题图甲可知，图线最左侧表示卫星绕两行星贴地飞行，纵坐标相同即两行星的第一宇宙速度相等，有
解得
两行星的密度满足
解得
故C 正确；
D．根据重力由万有引力提供，有
在星球表面
解得
故D 错误。
故选C。
4（2024·福建福州·模拟预测）如图是地球周围的两颗卫星的运动轨迹图，卫星1 的运行轨道为圆形轨道，
卫星2 的运行轨道是椭圆形轨道。两卫星轨道相交于A、B 两点，C 点为圆轨道上的一点，D 点是椭圆轨道
上的远地点，C、D 连线过地心，椭圆轨道的长轴大于圆轨道的直径。下列说法正确的是（ ）
A．卫星1 的运行周期小于卫星2 的运行周期
B．卫星1 在 C 点的速度大于卫星2 在 D 点的速度
C．卫星2 在 D 点的向心加速度大于卫星1 在C 点的向心加速度
D．相等时间内卫星1 与地心的连线扫过的面积一定等于卫星2 与地心的连线扫过的面积
【答案】AB
【详解】A．因为椭圆轨道的长轴大于圆轨道的直径。由开普勒第三定律可知，卫星1 的运行周期小于卫
星2 的运行周期。故A 正确；
B．卫星2 在D 点加速，能变轨到以D 点到地球球心的距离为半径的圆轨道运动，由
可知，r 越大，运行线速度越小，卫星1 在C 点速度大于卫星2 在以D 点到地球球心的距离为半径的圆轨
道上的运行速度，故卫星1 在C 点速度大于卫星2 在D 点速度。故B 正确；
C．由
卫星2 在D 点距地心的距离大于卫星1 距地心的距离，卫星2 在D 点的向心加速度小于卫星1 在C 点的向
心加速度。故C 错误；
D．因为两颗卫星在不同轨道上运行，所以相等时间内卫星1 与地心的连线扫过的面积不等于卫星2 与地
心的连线扫过的面积。故D 错误。
故选AB。
5.（2023·福建福州·二模）宇航员登上某半径为R 的球形未知天体，在该天体表面将一质量为m 的小球以
初速度v0竖直上抛，上升的最大高度为h，万有引力常量为G。求：
（1）该未知天体表面的重力加速度大小；
（2）该未知天体的质量。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）根据
可知该未知天体表面的重力加速度大小
（2）根据
可得
1.（2023·辽宁·高考真题）在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示。
若月球绕地球运动的周期为T₁，地球绕太阳运动的周期为T₂，地球半径是月球半径的k 倍，则地球与太阳
的平均密度之比约为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设月球绕地球运动的轨道半径为r₁，地球绕太阳运动的轨道半径为r₂，根据
可得
其中
联立可得
故选D。
2.（2025·浙江·高考真题）月球有类似于地球的南北两极和纬度。如图所示，月球半径为R，表面重力加速
度为
，不考虑月球自转。从月球北极正上方水平发射一物体，要求落在纬度
的M 处，其运动轨
迹为椭圆的一部分。假设月球质量集中在球心O 点，如果物体沿椭圆运动的周期最短，则（ ）
A．发射点离月面的高度
B．物体沿椭圆运动的周期为
C．此椭圆两焦点之间的距离为
D．若水平发射的速度为v，发射高度为h，则物体落到M 处的速度
【答案】BC
【详解】根据题意可知椭圆轨道的一个焦点为
，设椭圆的另外一个焦点为
，如图所示
设椭圆的半长轴为
，焦距为
，根据椭圆知识可知
根据开普勒第三定律
可知如果物体沿椭圆运动的周期最短，则椭圆的半长轴最小，根据几何关系可
知当
垂直于
时，半长轴
最小，如图所示
由几何关系有
解得
C．根据几何关系可得椭圆的焦距
，故C 正确；
A．根据几何关系可得发射点离月面的高度
，故A 错误；
B．设物体绕月球表面做匀速圆周运动时的周期为
，则由重力提供向心力得
结合开普勒第三定律
联立可得物体沿椭圆运动的周期为
，故B 正确；
D．由引力势能公式
结合万有引力公式
结合机械能守恒定律有
联立可得
，故D 错误。
故选BC。
3.（2025·全国卷·高考真题）“天都一号”通导技术试验卫星测距试验的成功，标志着我国在深空轨道精密
测量领域取得了技术新突破。“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时，（ ）
A．受月球的引力大小保持不变
B．相对月球的速度大小保持不变
C．离月球越近，其相对月球的速度越大D．离月球越近，其所受月球的引力越小
【答案】C
【详解】AD．“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时与月球的距离不断发生变化，根据
可知受
月球的引力大小发生变化，离月球越近，其所受月球的引力越大，故AD 错误；
B．根据开普勒第二定律可知“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时相对月球的速度大小改变，近月点速
度最大，远月点速度最小，即离月球越近，相对月球的速度越大，故B 错误，C 正确。
故选C。
4.（2024·北京·高考真题）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质（星
体等）在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。以某一点O 为观
测点，以质量为m 的小星体（记为P）为观测对象。当前P 到O 点的距离为
，宇宙的密度为
。
（1）求小星体P 远离到
处时宇宙的密度ρ；
（2）以O 点为球心，以小星体P 到O 点的距离为半径建立球面。P 受到的万有引力相当于球内质量集中于
O 点对P 的引力。已知质量为
和
、距离为R 的两个质点间的引力势能
，G 为引力常量。
仅考虑万有引力和P 远离O 点的径向运动。
a．求小星体P 从
处远离到
。处的过程中动能的变化量
；
b．宇宙中各星体远离观测点的速率v 满足哈勃定律
，其中r 为星体到观测点的距离，H 为哈勃系数。
H 与时间t 有关但与r 无关，分析说明H 随t 增大还是减小。
【答案】（1）
；（2）a．
；b．H 随t 增大而减小
【详解】（1）在宇宙中所有位置观测的结果都一样，则小星体P 运动前后距离O 点半径为
和
的球内
质量相同，即
解得小星体P 远离到
处时宇宙的密度
（2）a．此球内的质量
P 从
处远离到
处，由能量守恒定律得，动能的变化量
b．由a 知星体的速度随
增大而减小，星体到观测点距离越大，运动时间t 越长，由
知，H 减小，
故H 随t 增大而减小。
