文档文本内容
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第17 讲 万有引力定律及其应用
目录
01、考情透视，目标导
航
02、知识导图，思维引航.............................................................................................3
03、考点突破，考法探究.............................................................................................3
考点一 开普勒定律..............................................................................................................3
知识点1、开普勒三大定律的内容.......................................................................................3
知识点2、开普勒第二定律的数学表达式...........................................................................4
知识点3、开普勒第三定律的数学表达式...........................................................................4
考向1.开普勒第一定律的理解..............................................................................................5
考向2.开普勒第二定律的理解..............................................................................................5
考向3 开普勒第三定律的应用.............................................................................................6
考点二 宇宙速度.........................................................................................................................6
知识点1．第一宇宙速度的推导...........................................................................................7
知识点2．宇宙速度与运动轨迹的关系...............................................................................7
考向洞察................................................................................................................................................7
考向1 对宇宙速度的理解.....................................................................................................7
考向2 第一宇宙速度的计算.................................................................................................8
考向3 第二宇宙速度的计算.................................................................................................8
考点三 万有引力定律...................................................................................................................8
知识点1．万有引力定律的理解...........................................................................................9
知识点2．星体表面及上空的重力加速度...........................................................................9
知识点3.万有引力与重力的关系..........................................................................................9
考向洞察..............................................................................................................................................10
考向1 万有引力与重力的大小关系.................................................................................10
考向2 天体表面的重力加速度的计算.............................................................................10
考向3 地球表面某高度和某深度的重力加速度.............................................................11
考点四 天体质量和密度的计算.................................................................................................12
考向洞察..............................................................................................................................................13
考向1 “自力更生”法(g－R)..........................................................................................13
考向2 “借助外援”法(T－r)..........................................................................................14
04、真题练习，命题洞见............................................................................................................................15
考情
2024·辽宁·高考物理试题
1
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分析
2024·江苏·高考物理试题
2024·甘肃·高考物理试题
2024·湖北·高考物理试题
2024·江西·高考物理试题
2024·北京·高考物理试题
2023·辽宁·高考物理试题
复习
目标
目标1.了解开普勒三定律内容，会用开普勒第三定律进行相关计算。
目标2.理解万有引力定律的内容，知道适用范围。
目标3.掌握计算天体质量和密度的方法。
目标4.掌握卫星运动的规律，会分析卫星运行时各物理量之间的关
系。
目标5.理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度的大小。
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考点一 开普勒定律
知识点1、开普勒三大定律的内容
定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律
(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭
圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律
(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连
线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律
(周期定律)
所有行星轨道的半长轴的三次方跟它
的公转周期的二次方的比都相等
＝k，k 是一个与行星无关
的常量
注意：开普勒行星运动定律也适用于其他天体系统，例如月球、卫星绕地球的运动。此时k 是一个与中心
天体有关的常量。
知识点2、开普勒第二定律的数学表达式
已知同一行星在轨道的两个位置的速度：近日点速度大小为v1，远日点速度大小为v2，近日点距太阳距离
为r1，远日点距太阳距离为r2。
由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，
则有v1Δt·r1＝v2Δt·r2，
可得＝。
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知识点3、开普勒第三定律的数学表达式
把行星绕太阳运行的轨道近似为圆轨道，由＝mr 得：＝，即k＝。
考向1.开普勒第一定律的理解
1.(多选)下列说法正确的是( )
A．太阳系中的八大行星有一个共同的轨道焦点
B．行星的运动方向总是沿着轨道的切线方向
C．行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直
D．太阳是静止不动的
【答案】AB
【解析】： 太阳系中八大行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳位于八大行星椭圆轨道的一个共同焦
点上，故A 正确；行星的运动轨道为椭圆，即行星做曲线运动，速度方向沿轨道的切线方向，故B 正确；
椭圆上某点的切线并不一定垂直于此点与焦点的连线，故C 错误；太阳并非静止，它围绕银河系的中心不
断转动，故D 错误。
考向2.开普勒第二定律的理解
2.如图所示，是某小行星绕太阳运动的椭圆轨道，M、N、P 是小行星依次经过的三个位置，F1、F2为椭圆
的两个焦点。小行星由M 到N 和由N 到P 的过程中，通过的路程相等，小行星与太阳中心的连线扫过的面
积分别为S1和S2。已知由M 到N 过程中，太阳的引力对小行星做正功。下列判断正确的是( )
A．太阳位于焦点F1处
B．S1>S2
C．在M 和N 处，小行星的动能EkM>EkN
D．在N 和P 处，小行星的加速度aN>aP
【答案】 B
【解析】 已知由M 到N 过程中，太阳的引力对小行星做正功，说明小行星靠近太阳运动，所以太阳位于
焦点F2处，A 错误；根据开普勒行星运动定律可知小行星由M 到P 的过程中速度逐渐增大，小行星由M
到N 和由N 到P 的过程中，通过的路程相等，所以小行星由M 到N 运动时间大于由N 到P 的运动时间，
由开普勒第二定律可知S1>S2，B 正确；由动能定理，由M 到N 过程中，万有引力做正功，则动能增大，
即EkM<EkN，C 错误；根据万有引力公式F＝G，可知小行星在N 处的引力小于在P 处的引力，由牛顿第二
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定律F＝ma，得aN<aP，D 错误。
考向3 开普勒第三定律的应用
1.(2024 年1 月·广西高考适应性演练)我国酒泉卫星发射中心在2022 年将“夸父一号”卫星送入半径为r1的
晨昏轨道；2023 年又将“星池一号A 星”送入半径为r2的晨昏轨道，“夸父一号”与“星池一号A 星”在
绕地球运行中，周期之比为( )
A．1 1
∶
B．r1∶r2
C．∶
D．∶
【答案】C
【解析】： 由开普勒第三定律＝得，“夸父一号”与“星池一号A 星”在绕地球运行中，周期之比为＝，
故选C。
2.2021 年2 月，我国首次火星探测任务中探测器“天问一号”成功进入周期为T 的大椭圆环火轨道。14 天
后，“天问一号”成功实施近火制动，经过极轨转移轨道(图中未画出)，进入近火点高度(离火星表面的高
度)为h、远火点高度为H、周期为T 的火星停泊轨道。已知火星半径为R。则大椭圆环火轨道半长轴为(
)
A.(H＋h)
B.(H＋h＋2R)
C. (H＋h)
D. (H＋h＋2R)
【答案】B
【解析】 根据开普勒第三定律可得＝，解得a＝(H＋h＋2R)，故选B。
考点二 宇宙速度
知识点1．第一宇宙速度的推导
法一：由G＝m 得v1＝ ＝ m/s≈7.9×103 m/s。
法二：由mg＝m 得
v1＝＝ m/s≈7.9×103 m/s。
第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时人造卫星的运行周期最短，
Tmin＝2π≈5 078 s≈85 min。
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知识点2．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v 发＝7.9 km/s 时，卫星绕地球做匀速圆周运动。
(2)7.9 km/s＜v 发＜11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。
(3)11.2 km/s≤v 发＜16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。
(4)v 发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
考向1 对宇宙速度的理解
1．(多选)已知火星的质量约为地球质量的，火星的半径约为地球半径的。下列关于“天问一号”火星探测
器的说法中正确的是( )
A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可
B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以
C．发射速度应大于第二宇宙速度、小于第三宇宙速度
D．“天问一号”火星探测器环绕火星运行的最大速度约为地球的第一宇宙速度的一半
【答案】CD
【解析】： 根据三个宇宙速度的意义，可知A、B 错误，C 正确；已知M 火＝，R 火＝，则vmax∶v1＝∶＝
≈0.5，D 正确。
考向2 第一宇宙速度的计算
2．某星球直径为d，航天员在该星球表面以初速度v0竖直上抛一个物体，物体上升的最大高度为h，若物
体只受该星球引力作用，则该星球的第一宇宙速度为( )
A.
B．2v0
C.
D.
【答案】D
【解析】： 由题意可知，星球表面的重力加速度为g＝，根据万有引力定律可知
，解得
v＝，又在星球表面重力等于万有引力
，解得v＝ ，故D 正确。
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考向3 第二宇宙速度的计算
3．火星的表面积相当于地球陆地面积，火星的自转周期约为24.6 h，火星半径约是地球半径的0.53 倍，火
星质量约是地球质量的0.11 倍。已知地球半径约为6.4×106 m，地球表面的重力加速度g＝9.8 m/s2，逃逸
速度为第一宇宙速度的倍。根据以上信息请你估算火星的逃逸速度约为( )
A．3.0 km/s
B．4.0 km/s
C．5.0 km/s
D．6.0 km/s
【答案】C
【解析】：根据万有引力提供向心力有＝m，解得地球的第一宇宙速度v1＝ ＝≈7.9 km/s，火星的第一宇
宙速度v2＝ ≈0.46v1≈3.6 km/s，所以火星的逃逸速度v＝v2≈5.1 km/s，C 正确，A、B、D 错误。
考点三 万有引力定律
知识点1．万有引力定律的理解
(1)内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量
m 1和
m 2的乘
积成正比、与它们之间距离
r 的二次方
成反比。即F＝G，G 为引力常量，通常取G＝6.67×10 －11
N·m2/kg2，由物理学家卡文迪什测定。
(2)适用条件
①公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
②质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离。
知识点2．星体表面及上空的重力加速度
(1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：有mg＝G，得g＝。
(2)地球上空的重力加速度大小g′
地球上空距离地球中心r＝R＋h 处由mg′＝，得g′＝。
知识点3.万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F 向，如图所
示。
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(1)在赤道上：
G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G＝mg0。
(3)在一般位置：万有引力G 等于重力mg 与向心力F 向的矢量和。
越靠近两极，向心力越小，g 值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于
重力，即＝mg。
考向1 万有引力与重力的大小关系
1．(多选)万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用
弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球
质量为M，引力常量为G，将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体。下列说法正确的是( )
A．在北极地面称量时，弹簧测力计读数为F0＝G
B．在赤道地面称量时，弹簧测力计读数为F1＝G
C．在北极上空高出地面h 处称量时，弹簧测力计读数为F2＝G
D．在赤道上空高出地面h 处称量时，弹簧测力计读数为F3＝G
【答案】AC
【解析】： 在北极地面称量时，物体不随地球自转，万有引力等于重力，则有F0＝G，故A 正确；在赤
道地面称量时，万有引力等于重力加上物体随地球一起自转所需要的向心力，则有F1<G，故B 错误；在
北极上空高出地面h 处称量时，万有引力等于重力，则有F2＝G，故C 正确；在赤道上空高出地面h 处称
量时，F3<G，故D 错误。
考向2 天体表面的重力加速度的计算
2．(2024·广东中山模拟)被誉为“中国天眼”的500 米口径球面射电望远镜(FAST)已取得一系列重大科学成
果，发现新脉冲星数量超过800 颗。脉冲星就是旋转的中子星，某中子星的质量是太阳质量的20 倍，自转
周期为0.01 s，半径是地球绕太阳运动的轨道半径的。已知地球绕太阳做匀速圆周运动的向心加速度约为
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6.0×10－3 m/s2，则该中子星两极表面的重力加速度大小约为( )
A．4.0×108 m/s2
B．6.0×1010 m/s2
C．1.2×1011 m/s2
D．2.0×1013 m/s2
【答案】C
【解析】： 在该中子星两极表面万有引力等于重力，有mg 中＝G，地球绕太阳做匀速圆周运动，根据万
有引力提供向心力有man＝G，根据题意有m 中＝20m 太，R 中＝r＝10－6r，联立可得，该中子星两极表面的
重力加速度大小约为g 中＝1.2×1011 m/s2，故选C。
考向3 地球表面某高度和某深度的重力加速度
3．若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体，已知质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引
力为零。中国空间站轨道距离地面高度为h，所在处的重力加速度为g1；“蛟龙”号载人潜水器下潜深度
为d，所在处的重力加速度为g2；地表处重力加速度为g，不计地球自转影响，下列关系式正确的是( )
A．g1＝g
B．g2＝g
C．g1＝g2
D．g1＝g2
【答案】C
【解析】：对于中国空间站，根据万有引力提供向心力可得＝mg1，解得g1＝，在地球表面＝mg，因此g1
＝g，A 错误；设地球密度为ρ，在地球表面万有引力等于重力，即＝m1g，又因为m 地＝ρV＝，代入得g
＝，由于质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引力为零，因此g2＝＝g，B 错误；由以上各式联立可
得＝，C 正确，D 错误。
考点四 天体质量和密度的计算
天体质量和密度的计算方法
【题后反思】不同位置处重力加速度的比较
地面
地下
天上
两极(或不计自转)
赤道
g＝＝(R－h)
g＝＝
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类型
方法
已知量
利用公式
表达式
备注
质量的
计算
利用运行
天体
r、T
G＝mr
m 中＝
只能得
到中心
天体的
质量
r、v
G＝m
m 中＝
v、T
G＝m，G＝mr
m 中＝
利用天体
表面重力
加速度
g、R
mg＝
m 中＝
—
密度
的计算
利用运行
天体
r、T、R
G＝mr
m 中＝ρ·πR3
ρ＝
当r＝R
时，ρ＝
利用近
地卫星
只需测
出其运
行周期
利用天体
表面重力
加速度
g、R
mg＝，m 中＝
ρ·πR3
ρ＝
—
考向1 “自力更生”法(g－R)
1.(2024·黄山高三质检)据报道，中国新一代载人运载火箭和重型运载火箭正在研制过程中，预计到2030 年
左右，中国将会具备将航天员运上月球的实力，这些火箭不仅会用于载人登月项目，还将用在火星探测、
木星探测以及其他小行星的探测任务中。假设中国航天员在月球表面将小球以速度v0竖直向上抛出，小球
上升的最大高度为h，已知月球的半径为R，引力常量为G。下列说法正确的是( )
A．月球表面的重力加速度大小为
B．月球的第一宇宙速度为
C．月球的质量为
D．月球的密度为
【答案】D
【解析】设月球的质量为M，月球表面重力加速度为g，对在月球表面做竖直上抛运动的小球有v0
2＝
2gh，对月球表面的物体有mg＝G，解得g＝，M＝，故A、C 错误；月球的密度为ρ＝＝，故D 正确；设
月球的第一宇宙速度为v1，由万有引力提供向心力有G＝m，得v1＝＝v0 ，故B 错误。
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考向2 “借助外援”法(T－r)
2.一卫星绕某一行星做匀速圆周运动，其高度恰好与行星半径相等，线速度大小为v。而该行星的环绕周期
(即沿行星表面附近飞行的卫星运行的周期)为T。已知引力常量为G，则这颗行星的质量为( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 设该行星的半径为R，质量为M，卫星的质量为m，根据题意，由万有引力充当向心力有G＝
m，对沿该行星表面附近飞行的卫星，则有G＝m′R，解得M＝，故选D。
3.2022 年11 月27 日，我国在西昌卫星发射中心使用“长征二号”丁运载火箭，成功将“遥感三十六号”
卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。若已知该卫星在预定轨道上绕地球做匀
速圆周运动，其线速度大小为v，角速度大小为ω，引力常量为G，则地球的质量为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】 设地球质量为M，卫星质量为m，运行半径为r，根据牛顿第二定律有G＝mω2r，根据匀速圆
周运动规律有v＝ωr，联立解得M＝，故C 正确。
【题后反思】利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R。
(1)由G＝mg，得天体质量M＝。
(2)天体密度ρ＝＝＝。
(3)GM＝gR2称为黄金代换公式。
【题后反思】测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和半径r。
(1)由G＝mr，得天体的质量M＝。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。
(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r 等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出
卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
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1．（2024·山东·高考真题）“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24 小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地
球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】“鹊桥二号”中继星在24 小时椭圆轨道运行时，根据开普勒第三定律
同理，对地球的同步卫星根据开普勒第三定律
又开普勒常量与中心天体的质量成正比，所以
联立可得
故选D。
2．（2024·海南·高考真题）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常
量为G，则月球的平均密度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设月球半径为
，质量为
，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力
月球的体积
月球的平均密度
联立可得
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故选D。
3．（2024·广西·高考真题）潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图
中a、b 和c 处单位质量的海水受月球引力大小在（ ）
A．a 处最大
B．b 处最大
C．c 处最大
D．a、c 处相等，b 处最小
【答案】A
【详解】根据万有引力公式
可知图中a 处单位质量的海水收到月球的引力最大；
故选A。
4．（2024·全国·高考真题）天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星
GJ1002c 的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07 倍，周期约为0.06 年，则这颗红矮星的质量约为
太阳质量的（ ）
A．0.001 倍
B．0.1 倍
C．10 倍
D．1000 倍
【答案】B
【详解】设红矮星质量为M1，行星质量为m1，半径为r1，周期为T1；太阳的质量为M2，地球质量为m2，
到太阳距离为r2，周期为T2；根据万有引力定律有
联立可得
由于轨道半径约为日地距离的0.07 倍，周期约为0.06 年，可得
故选B。
5．（2024·辽宁·高考真题）如图（a），将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直
向上为正方向建立x 轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图
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像如（b）所示（不考虑自转影响），设地球、该天体的平均密度分别为
和
，地球半径是该天体半径
的n 倍。
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设地球表面的重力加速度为
，某球体天体表面的重力加速度为
，弹簧的劲度系数为
，根据
简谐运动的对称性有
可得
可得
设某球体天体的半径为
，在星球表面，有
联立可得
故选C。
6．（2024·全国·高考真题）2024 年5 月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回
之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体
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加速度约为地球表面自由落体加速度的
。下列说法正确的是（ ）
A．在环月飞行时，样品所受合力为零
B．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零
C．样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同
D．样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小
【答案】D
【详解】A．在环月飞行时，样品所受合力提供所需的向心力，不为零，故A 错误；
BD．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力大小等于它在月球表面的重力大小；由于月球表面自由
落体加速度约为地球表面自由落体加速度的
，则样品在地球表面的重力大于在月球表面的重力，所以样
品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小，故B 错误，D 正确；
C．样品在不同过程中受到的引力不同，但样品的质量相同，故C 错误。
故选D。
7．（2023·辽宁·高考真题）在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示。
若月球绕地球运动的周期为T₁，地球绕太阳运动的周期为T₂，地球半径是月球半径的k 倍，则地球与太阳
的平均密度之比约为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设月球绕地球运动的轨道半径为r₁，地球绕太阳运动的轨道半径为r₂，根据
可得
其中
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联立可得
故选D。
8.（2023·北京·高考真题）2022 年10 月9 日，我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成功发射，实现了对
太阳探测的跨越式突破。“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为
，运行一圈所
用时间约为100 分钟。如图所示，为了随时跟踪和观测太阳的活动，“夸父一号”在随地球绕太阳公转的
过程中，需要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向，使太阳光能照射到“夸父一号”，下列说法正确的
是（ ）
A．“夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为
B．“夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于
C．“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度
D．由题干信息，根据开普勒第三定律，可求出日地间平均距离
【答案】A
【详解】A．因为“夸父一号”轨道要始终保持要太阳光照射到，则在一年之内转动360°角，即轨道平面
平均每天约转动1°，故A 正确；
B．第一宇宙速度是所有绕地球做圆周运动的卫星的最大环绕速度，则“夸父一号”的速度小于7.9km/s，
故B 错误；
C．根据
可知“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故C 错误；
D．“夸父一号”绕地球转动，地球绕太阳转动，中心天体不同，则根据题中信息不能求解地球与太阳的
距离，故D 错误。
故选A。
9．（2024·河北·高考真题）2024 年3 月20 日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的
探月任务提供地月间中继通讯。鹊桥二号采用周期为24h 的环月椭圆冻结轨道（如图），近月点A 距月心
约为2.0 × 103km，远月点B 距月心约为1.8 × 104km，CD 为椭圆轨道的短轴，下列说法正确的是（ ）
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A．鹊桥二号从C 经B 到D 的运动时间为12h
B．鹊桥二号在A、B 两点的加速度大小之比约为81：1
C．鹊桥二号在C、D 两点的速度方向垂直于其与月心的连线
D．鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于7.9km/s 且小于11.2km/s
【答案】BD
【详解】A．鹊桥二号围绕月球做椭圆运动，根据开普勒第二定律可知，从A→C→B 做减速运动，从
B→D→A 做加速运动，则从C→B→D 的运动时间大于半个周期，即大于12h，故A 错误；
B．鹊桥二号在A 点根据牛顿第二定律有
同理在B 点有
带入题中数据联立解得
aA：aB = 81：1
故B 正确；
C．由于鹊桥二号做曲线运动，则可知鹊桥二号速度方向应为轨迹的切线方向，则可知鹊桥二号在C、D
两点的速度方向不可能垂直于其与月心的连线，故C 错误；
D．由于鹊桥二号环绕月球运动，而月球为地球的“卫星”，则鹊桥二号未脱离地球的束缚，故鹊桥二号
的发射速度应大于地球的第一宇宙速度7.9km/s，小于地球的第二宇宙速度11.2km/s，故D 正确。
故选BD。
10．（2024·广东·高考真题）如图所示，探测器及其保护背罩通过弹性轻绳连接降落伞。在接近某行星表
面时以
的速度竖直匀速下落。此时启动“背罩分离”，探测器与背罩断开连接，背罩与降落伞保持
连接。已知探测器质量为1000kg，背罩质量为50kg，该行星的质量和半径分别为地球的
和
。地球表
面重力加速度大小取
。忽略大气对探测器和背罩的阻力。下列说法正确的有（ ）
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A．该行星表面的重力加速度大小为
B．该行星的第一宇宙速度为
C．“背罩分离”后瞬间，背罩的加速度大小为
D．“背罩分离”后瞬间，探测器所受重力对其做功的功率为30kW
【答案】AC
【详解】A．在星球表面，根据
可得
行星的质量和半径分别为地球的
和
。地球表面重力加速度大小取
，可得该行星表面的重力
加速度大小
故A 正确；
B．在星球表面上空，根据万有引力提供向心力
可得星球的第一宇宙速度
行星的质量和半径分别为地球的
和
，可得该行星的第一宇宙速度
地球的第一宇宙速度为
，所以该行星的第一宇宙速度
故B 错误；
C．“背罩分离”前，探测器及其保护背罩和降落伞整体做匀速直线运动，对探测器受力分子，可知探测
器与保护背罩之间的作用力
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“背罩分离”后，背罩所受的合力大小为4000N，对背罩，根据牛顿第二定律
解得
故C 正确；
D．“背罩分离”后瞬间探测器所受重力对其做功的功率
故D 错误。
故选AC。
11．（2024·北京·高考真题）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质
（星体等）在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。以某一点O
为观测点，以质量为m 的小星体（记为P）为观测对象。当前P 到O 点的距离为
，宇宙的密度为
。
（1）求小星体P 远离到
处时宇宙的密度ρ；
（2）以O 点为球心，以小星体P 到O 点的距离为半径建立球面。P 受到的万有引力相当于球内质量集中
于O 点对P 的引力。已知质量为
和
、距离为R 的两个质点间的引力势能
，G 为引力常
量。仅考虑万有引力和P 远离O 点的径向运动。
a．求小星体P 从
处远离到
。处的过程中动能的变化量
；
b．宇宙中各星体远离观测点的速率v 满足哈勃定律
，其中r 为星体到观测点的距离，H 为哈勃系数。
H 与时间t 有关但与r 无关，分析说明H 随t 增大还是减小。
【答案】（1）
；（2）a．
；b．H 随t 增大而减小
【详解】（1）在宇宙中所有位置观测的结果都一样，则小星体P 运动前后距离O 点半径为
和
的球内
质量相同，即
解得小星体P 远离到
处时宇宙的密度
（2）a．此球内的质量
P 从
处远离到
处，由能量守恒定律得，动能的变化量
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b．由a 知星体的速度随
增大而减小，星体到观测点距离越大，运动时间t 越长，由
知，H 减小，
故H 随t 增大而减小。
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