文档文本内容
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第17 讲 万有引力定律及其应用
目录
01 考情解码·命题预警..........................................................................................................................1
02 体系构建·思维可视..........................................................................................................................2
03 核心突破·靶向攻坚..........................................................................................................................2
考点一 开普勒定律 .........................................................................................................................................2
知识点1 开普勒三定律....................................................................................................................2
知识点2 开普勒第二定律与第三定律的表达式....................................................................................3
考向1 开普勒第一定律与第二定律的理解与应用................................................................................3
考向2 开普勒第三定律的理解与应用....................................................................................................3
考点二 万有引力定律.......................................................................................................................................3
知识点1 万有引力定律的理解..................................................................................................................3
知识点2 万有引力定律与重力的关系......................................................................................................4
考向1 万有引力的计算..............................................................................................................................5
考向2 万有引力与重力..............................................................................................................................5
考点三 利用万有引力求天体质量和密度..............................................................................................5
知识点1 利用万有引力求天体质量和密度......................................................................................................5
考向1 “自力更生”法(g－R)..........................................................................................................6
考向2 “借助外援”法(T－r)..........................................................................................................7
04 真题溯源·考向感知..........................................................................................................................8
1
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考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
开普勒定律
选择题
非选择题
湖南卷T4，4 分
浙江卷1 月卷T6，3 分
安徽卷T9，4 分
广东卷T5，4 分
山东卷T5，3 分
浙江卷6 月卷T6，3
分
浙江卷1 月卷T10，3
分
万有引力
选择题
非选择题
湖南卷T4，4 分
安徽卷T9，4 分
广东卷T5，4 分
河南T3，4 分
2024·湖南卷·T7
全国新课标卷T3，6
分
海南T6，4 分
广西卷T1，4 分
2023·湖南卷·T4
2023 山东卷·T3
2023·新课标卷·T17
浙江卷1 月卷T10，3
分
考情分析：
1.命题形式：单选题非选择题
2.命题分析：从湖南高考试卷可以看出，开普勒定律与万有引力是重要考点，几乎每年必考，主要考查基
本概念与规律的理解应用，常以选择题形式出现，且多与航空航天背景相结合。
3.备考建议：（1）掌握开普勒定律和万有引力定律。（2））重点关注利用万有引力定律估算天体质量
和密度。。
4.命题情境：
题命题创新力度不断增大，更强调应用性、探究性和开放性。题目常以航空航天的最新事件为背景，
特别是我国航空航天相关事件，如 “天问一号” 登陆火星等，考查学生运用物理知识解决实际问题的能
力
5. 常用方法
复习目标：
目标1：透彻理解开普勒三大定律的内容、适用条件及物理意义，能够准确阐述开普勒第一定律中行星椭
圆轨道特点，熟练运用开普勒第二定律解释行星在近日点和远日点的速度变化，精准应用开普勒第三定律
解决不同天体运行周期与轨道半径的关系问题。。
目标2.理解万有引力定律的内容，知道适用范围。
目标3.掌握计算天体质量和密度的方法。。
2
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考点一 开普勒定律
知识点1 开普勒定律三定律
1.定律内容
定律
内容
图示或公式
3
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开普勒第一定律
(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是 ，
太阳处在 的一个焦点上
开普勒第二定律
(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连
线在相等的时间内扫过的
相等
开普勒第三定律
(周期定律)
所有行星轨道的半长轴的
跟它的公转周期的 的比都
相等
＝k，k 是一个与行星无关
的常量
注意：开普勒行星运动定律也适用于其他天体系统，例如月球、卫星绕地球的运动。此时k 是一个
与中心天体有关的常量。
2.适用条件：适用于宇宙中一切环绕 的运动。
知识点2 开普勒第二定律与第三定律的表达式
1.微元法解读开普勒第二定律：行星在近日点、远日点时的速度方向与两点连线垂直，若行星在近
日点、远日点到太阳的距离分别为a、b，取足够短的时间Δt，则行星在Δt 时间内的运动可看作匀
速直线运动，由Sa＝Sb知1
2va·Δt·a＝1
2vb·Δt·b，可得va＝vbb
a
。行星到太阳的距离越大，行星的速率
越小，反之越大。
2.把行星绕太阳运行的轨道近似为圆轨道，由＝mr 得：＝，即k＝。k 值只与中心天体的质量有关，
不同的中心天体k 值不同，故该定律只能用在绕同一中心天体公转的两星体之间。
考向1 开普勒第一定律与第二定律的理解与应用
例1 （2025·陕西汉中·二模）北京冬奥会开幕式以二十四节气作为倒计时的创意惊艳全球。如图
所示，这是地球沿椭圆轨道绕太阳运动过程中对应的四个节气，春分、秋分时太阳光直射赤道，
夏至时太阳光直射北回归线。下列说法正确的是（ ）
A．夏至时地球的公转速度最大
4
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B．从夏至到冬至的时间大于半年
C．图中相邻两个节气间隔的时间相等
D．春分和秋分时地球绕太阳运动的加速度大小相等
例2 （2025·山东·二模）中国首次火星探测任务工程总设计师表示，我国将在2028 年实施“天问
三号”火星探测与取样返回任务。“天问三号”探测器从地球发射后进入地火转移轨道，逐渐
远离地球，成为一颗人造行星，运行轨迹简化如图所示，I 是地球运行轨道，II 是地火转移轨道，
III 是火星运行轨道，轨道I 与轨道II 相切于
点，轨道II 与轨道III 相切于
点。已知火星公转
轨道半径是地球公转轨道半径的1.5 倍，则（ ）
A．
点处，“天问三号”在轨道I 上的速度大于轨道II 上的速度
B．
点处，“天问三号”在轨道II 上的加速度大于轨道III 上的加速度
C．“天问三号”在轨道II 上
点速度小于
点速度
D．火星运行周期是地球运行周期的
倍
考向2 开普勒第三定律的理解与应用
例3 （2025·辽宁·三模）北京时间2025 年3 月26 日23 时55 分，西昌卫星发射中心长
征三号乙运载火箭点火起飞，天链二号04 星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满
成功。发射可简化为如图所示过程，先将卫星发射到半径为r 的圆轨道Ⅰ上做匀速
圆周运动，卫星运动到A 点时变轨进入椭圆轨道Ⅱ，运动到椭圆轨道Ⅱ的远地点B
时，再次变轨进入半径为2r 的圆轨道Ⅲ做匀速圆周运动。下列判断正确的是
（ ）
A．卫星在轨道Ⅰ与轨道Ⅲ上运行的周期之比为
5
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B．要实现从椭圆轨道B 处进入圆轨道Ⅲ，发动机需要向前喷气
C．卫星在轨道Ⅰ上的机械能大于轨道Ⅲ上的机械能
D．卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上与地心连线单位时间扫过的面积一定相等
【变式训练1·变载体】（）2025·山东威海·三模）2025 年“天问二号”探测器将踏上前往
近地小行星2016HO3 的征程。“天问二号”从地球发射后进入绕太阳运行的椭圆轨
道，其近日点到太阳的距离为
，远日点到太阳的距离为
，太阳的质量为
，引
力常量为
。关于“天问二号”，下列说法正确的是（ ）
A．在近日点的速度为
B．在椭圆轨道上运行的周期为
C．在近日点和远日点的速度之比为
D．在近日点和远日点的加速度之比为
【时事热点与学科知识结合】【变式训练2】（2024·广西来宾·模拟预测）2024 年5 月，
嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样之旅。如图，假设嫦娥六号在环月椭圆
轨道上沿图中箭头方向运动，只受到月球的引力，ab 为椭圆轨道长轴，cd 为椭圆轨道短轴。下列
说法正确的是（ ）
A．某时刻嫦娥六号位于a 点，则再经过二分之一周期它将位于轨道的b 点
B．某时刻嫦娥六号位于a 点，则再经过二分之一周期它将位于轨道cb 之间的某位置
C．某时刻嫦娥六号位于c 点，则再经过二分之一周期它将位于轨道的d 点
D．某时刻嫦娥六号位于c 点，则再经过二分之一周期它将位于轨道da 之间的某位置
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考点二 万有引力定律
知识点1 万有引力定律
1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与
成正比、与
成反比。
2.公式：F＝
，其中G 叫作引力常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，其值由卡文
迪什通过扭秤实验测得。
3.公式的适用条件：计算两个
间的万有引力。
4.万有引力理论的主要成就
（1）发现未知天体。
（2）计算天体质量。
知识点2 万有引力与重力的关系
1.万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F 向，
如图所示。
（1）在赤道上：G Mm
R
2 ＝mg1＋mω2R。
（2）在两极上：G Mm
R
2 ＝mg0。
（3）在一般位置：万有引力G Mm
R
2 等于重力mg 与向心力F 向的矢量和。
越靠近两极，向心力越小，g 值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近
似等于重力，即GMm
R
2
＝mg。
2.星体表面及上空的重力加速度（以地球为例）
（1）地球表面附近的重力加速度g（不考虑地球自转）：mg＝G Mm
R
2 ，得g＝GM
R
2 。
（2）地球上空的重力加速度g'
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地球上空距离地球中心r＝R＋h 处的重力加速度g'：mg'＝
GMm
（R＋h）
2 ，得g'＝
GM
（R＋h）
2 。
考向1 万有引力的计算
例1 （2025·陕西渭南·一模）海边会发生潮汐现象，潮来时，水面升高；潮退时，水面降低。太阳、
月球对某一区域海水引力的周期性变化，就引起了潮汐现象。已知太阳质量约为月球质量的3×107
倍，太阳到地球与地球到月球距离的比值约为400。对同一片海水来说，太阳对海水的引力与月球
对海水的引力的比值大约为（ ）
A．1 180
∶
B．180 1∶
C．75000 1∶
D．1 75000
∶
【变式训练1】（2024·重庆九龙坡·模拟预测）如图1 所示，一半径为R、密度均匀的球体，在与球
心O 相距2R 的P 处有一质量为m 的质点，球体对该质点的万有引力大小为F。现从球体中挖去
“半径为R
2 的小球体（球心在OP 连线上，右端位于O 点），如图2 所示，则剩余部分对该质点的
万有引力大小为（ ）
A．7
8 F
B．7
16 F
C．23
25 F
D．23
50 F
【变式训练2】有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O 为2 R的地方有一质量为
m 的质点。现从球体中挖去半径为0.5 R的小球体，如图所示，万有引力常量为G，则剩余部分对
m 的万有引力为（ ）
A．7GMm
36 R
2
B．14GMm
63 R
2
C．343GMm
2048 R
D．343GMm
2048 R
2
考向2 万有引力与重力及重力加速度的计算
例2（2025·山西吕梁·三模）2024 年科学家发现了一颗距离地球40 光年的类地行星
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Gliese12b，这颗行星的发现引发了全球对“第二颗地球”的热议。Gliese12b 体积
和地球差不多，质量约为地球的4 倍。将某物体分别在Gliese12b 表面与地球表面
水平抛出，若水平抛出的高度和初速度均相同，则物体第一次落地时水平距离之比
约为（ ）
A．4 1∶
B．2 1∶
C．1 2∶
D．1 4∶
【变式训练1】（2025·江西九江·三模）假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球
表面重力加速度在两极的大小为
，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引
力常量为G。则（ ）
A．赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为
B．地球的半径为
C．地球的密度为
D．地球同步卫星的轨道半径为
【变式训练2】（2025·湖南·二模）某科研团队利用摆长为L 的单摆，分别在地球北极和赤道进行
实验，测得在地球北极单摆的周期为T0，在赤道的周期为T1，将地球视作一个半径为R，质量
分布均匀的球体，则地球自转角速度
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3】若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体，已知质量分布均匀的球壳对球
内任一质点的万有引力为零。中国空间站轨道距离地面高度为h，所在处的重力加速度为g1；“蛟
龙”号载人潜水器下潜深度为d，所在处的重力加速度为g2；地表处重力加速度为g，不计地球自
转影响，下列关系式正确的是( )
A．g1＝g
B．g2＝g
C．g1＝g2
D．g1＝g2
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考点三 天体质量和密度的计算
知识点1 天体质量和密度的计算
天体质量和密度的计算方法
类型
方法
已知量
利用公式
表达式
备注
质量的
计算
利用运行
天体
r、T
G＝mr
m 中＝
只能得
到中心
天体的
质量
r、v
G＝m
m 中＝
v、T
G＝m，G＝mr
m 中＝
利用天体
表面重力
加速度
g、R
mg＝
m 中＝
—
密度
的计算
利用运行
天体
r、T、R
G＝mr
m 中＝ρ·πR3
ρ＝
当r＝R
时，ρ＝
利用近
地卫星
只需测
出其运
行周期
利用天体
表面重力
加速度
g、R
mg＝，m 中＝
ρ·πR3
ρ＝
—
考向1 “自力更生”法(g－R)
例1 （2025·四川攀枝花·二模）我国计划在2030 年前实现首次中国人登陆月球，假设航天员登陆
【题后反思】不同位置处重力加速度的比较
地面
地下
天上
两极(或不计自转)
赤道
g＝＝(R－h)
g＝＝
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月球前先随着陆器和登月飞船绕月球做匀速圆周运动、周期为T，登月后在月球表面用弹簧测
力计测量一个质量为m 的物体的重力，当物体静止时，弹簧测力计的示数为F。已知万有引力
常数为G，着陆器和登月飞船绕月球做圆周运动时距月球表面的高度可忽略不计，则月球的质
量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】（2024·安徽·一模）如图所示，有两颗卫星绕某星球做椭圆轨道运动，两颗卫星的
近地点均与星球表面很近（可视为相切），卫星1 和卫星2 的轨道远地点到星球表面的最近距离分
别为h1、h2，卫星1 和卫星2 的环绕周期之比为k。忽略星球自转的影响，已知引力常量为G，星
球表面的重力加速度为gc。则星球的平均密度为（ ）
A．
3 gc(1−k
2
3)
2πG(h2k
2
3 −h1)
B．
3 gc(1−k
3
2)
2πG(h2k
3
2 −h1)
C．
3 gc(1−k
3
2)
4 πG(h2k
3
2 −h1)
D．
3 gc(1−k
2
3)
4 πG(h2k
2
3 −h1)
考向2 “借助外援”法(T－r)
例2（2025·陕西安康·三模）如图所示，“天问一号”在近火圆轨道的角速度大小为
，
已知引力常量为
，则火星的平均密度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】（2025·辽宁鞍山·三模）中国空间站和嫦娥六号分别围绕地球和月球做圆
周运动，中国空间站的轨道半径为嫦娥六号轨道半径的n 倍，中国空间站的运动周
期为嫦娥六号运动周期的k 倍，根据上述数据可得地球质量与月球质量之比为（
11
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）
A．
B．
C．
D．
总结提升
估算天体质量和密度应注意的问题
（1）利用万有引力提供天体做圆周运动所需的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质
量，而非环绕天体的质量。
（2）区别天体半径R 和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星，才有r≈R；计算天体密度时，
V＝4
3 πR3中的“R”只能是中心天体的半径。
（3）天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h，公转周期为365 天等。
（4）注意黄金代换式GM＝gR2的应用。
【变式训练2】（2025·天津河东·一模）下表为地球与火星的数据比较表，地球与火星绕
太阳的运动视做圆周运动，根据表中信息，下列说法正确的是（ ）
星球
地球
火星
与太阳的平均距离（亿km）
1.496
2.279
赤道半径（km）
6.378
3.395
公转周期
1 年
1.9 年
自转周期
23 小时56 分
24 小时37 分
质量（地球视为1）
1
0.11
体积（地球视为1）
1
0.15
赤道平面与公转轨道平面夹角
23°26
'
23°59
A．地球公转的线速度大于火星公转的线速度
B．地球公转的向心加速度大于火星公转的向心加速度
C．地球的自转角速度小于火星的自转角速度
D．地球表面的重力加速度大于火星表面的重力加速度
【变式训练3】（2025·黑龙江·二模）“千帆星座”是中国低轨道卫星网络，由1.4 万多颗低轨宽频
卫星构成，卫星的轨道可视为圆形。卫星运动过程中，轨道离地高度h 与绕行周期三分之二次方T
2
3
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的关系如图所示，图中h0、h1和T 1均为已知量，已知万有引力常量为G，则地球的质量为（ ）
A．4π
2h1
3
GT 1
2
B．4π
2h1
2
GT 1
3
C．
4π
2(h0+h1)
3
GT 1
2
D．4π
2(h0+h1)
2
GT 1
3
1.（2025·浙江卷1 月卷考题）地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图所示，彗星从a 运行到b、从
c 运行到d 的过程中，与太阳连线扫过的面积分别为
和
，且
。彗星在近日点与太阳中
心的距离约为地球公转轨道半径的0.6 倍，则彗星（ ）
A. 在近日点的速度小于地球的速度
B. 从b 运行到c 的过程中动能先增大后减小
C. 从a 运行到b 的时间大于从c 运行到d 的时间
D. 在近日点加速度约为地球的加速度的0.36 倍
2.（2025·广东·高考真题）一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约
为地球到太阳距离的5 倍和7 倍。关于该小行星，下列说法正确的是（ ）
A. 公转周期约
6 年
B. 从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C. 从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D. 在近日点加速度大小约为地球公转加速度的
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3.（2025·安徽·高考真题） 2025 年4 月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离逆行轨道）
的地月空间三星星座，DRO 具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO 变
轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a 和b，卫星的运行周期
为T；卫星乙从DRO 变轨进入半径为r 的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为
R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则（ ）
A.
B.
C.
D.
4．（2025·湖南·高考真题）我国研制
“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进
行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R
和质量M。为探测某自转周期为
的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面
高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为
。已知引力常量为
G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理得到
。下列选项
正确的是（ ）
A. a 为
为
为
B. a 为
为
为
C. a 为
为
为
D. a 为
为
为
5．（2024·山东·高考真题）“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24 小时椭圆轨道的半长轴为
a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·海南·高考真题）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，
引力常量为G，则月球的平均密度为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·广西·高考真题）潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相
同。图中a、b 和c 处单位质量的海水受月球引力大小在（ ）
A．a 处最大
B．b 处最大
C．c 处最大
D．a、c 处相等，b 处最小
8．（2024·全国·高考真题）天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行
星GJ1002c 的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07 倍，周期约为0.06 年，则这颗红矮星
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的质量约为太阳质量的（ ）
A．0.001 倍
B．0.1 倍
C．10 倍
D．1000 倍
9．（2024·辽宁·高考真题）如图（a），将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点
O，竖直向上为正方向建立x 轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面
做简谐运动的图像如（b）所示（不考虑自转影响），设地球、该天体的平均密度分别为
和
，
地球半径是该天体半径的n 倍。
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024·全国·高考真题）2024 年5 月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面
采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月
球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的
。下列说法正确的是（ ）
A．在环月飞行时，样品所受合力为零
B．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零
C．样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同
D．样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小
11．（2023·辽宁·高考真题）在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，
如图所示。若月球绕地球运动的周期为T₁，地球绕太阳运动的周期为T₂，地球半径是月球半径的k
倍，则地球与太阳的平均密度之比约为（ ）
A．
B．
C．
D．
12.（2023·北京·高考真题）2022 年10 月9 日，我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成功发射，
实现了对太阳探测的跨越式突破。“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为
，运行一圈所用时间约为100 分钟。如图所示，为了随时跟踪和观测太阳的活动，“夸父一
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号”在随地球绕太阳公转的过程中，需要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向，使太阳光能照射
到“夸父一号”，下列说法正确的是（ ）
A．“夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为
B．“夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于
C．“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度
D．由题干信息，根据开普勒第三定律，可求出日地间平均距离
13．（2024·河北·高考真题）2024 年3 月20 日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球
背面的探月任务提供地月间中继通讯。鹊桥二号采用周期为24h 的环月椭圆冻结轨道（如图），近
月点A 距月心约为2.0 × 103km，远月点B 距月心约为1.8 × 104km，CD 为椭圆轨道的短轴，下列说
法正确的是（ ）
A．鹊桥二号从C 经B 到D 的运动时间为12h
B．鹊桥二号在A、B 两点的加速度大小之比约为81：1
C．鹊桥二号在C、D 两点的速度方向垂直于其与月心的连线
D．鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于7.9km/s 且小于11.2km/s
14．（2024·广东·高考真题）如图所示，探测器及其保护背罩通过弹性轻绳连接降落伞。在接近某
行星表面时以
的速度竖直匀速下落。此时启动“背罩分离”，探测器与背罩断开连接，背罩
与降落伞保持连接。已知探测器质量为1000kg，背罩质量为50kg，该行星的质量和半径分别为地
球的
和
。地球表面重力加速度大小取
。忽略大气对探测器和背罩的阻力。下列说法
正确的有（ ）
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A．该行星表面的重力加速度大小为
B．该行星的第一宇宙速度为
C．“背罩分离”后瞬间，背罩的加速度大小为
D．“背罩分离”后瞬间，探测器所受重力对其做功的功率为30kW
15．（2024·北京·高考真题）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇
宙物质（星体等）在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。
以某一点O 为观测点，以质量为m 的小星体（记为P）为观测对象。当前P 到O 点的距离为
，宇
宙的密度为
。
（1）求小星体P 远离到
处时宇宙的密度ρ；
（2）以O 点为球心，以小星体P 到O 点的距离为半径建立球面。P 受到的万有引力相当于球内质
量集中于O 点对P 的引力。已知质量为
和
、距离为R 的两个质点间的引力势能
，
G 为引力常量。仅考虑万有引力和P 远离O 点的径向运动。
a．求小星体P 从
处远离到
。处的过程中动能的变化量
；
b．宇宙中各星体远离观测点的速率v 满足哈勃定律
，其中r 为星体到观测点的距离，H 为哈
勃系数。H 与时间t 有关但与r 无关，分析说明H 随t 增大还是减小。
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